AYT Matematik · Türev

Türevin Tanımı ve Temel Kuralları

~9 dk okumaZorluk: Orta14 çözümlü soruAYT'de ~4 soru/yıl · Sınavda yüksek ağırlık

Türev, bir fonksiyonun anlık değişim hızını ölçer; geometrik olarak bir noktadaki teğetin eğimini verir. Bu ilk konu, türevin limit tanımından temel kurallarına ve türevlenebilirlik–süreklilik ilişkisine kadar tüm zemini kurar. Türev serisinin geri kalanı bu temele dayanır.

1. Türevin Tanımı

$f$ fonksiyonunun $x$ noktasındaki türevi, ortalama değişim oranının ( $h \to 0$ için) limitidir:

$f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$

Burada $h$ küçüldükçe, $x$ ile $x + h$ noktalarını birleştiren kesen doğru, $x$ noktasındaki teğet doğruya yaklaşır. Yani $f^{'} (x)$ , grafiğe $(x, f (x))$ noktasında çizilen teğetin eğimidir.

Aynı limitin bir noktaya ( $x = a$ ) sabitlenmiş hâli şöyle de yazılır:

$f^{'} (a) = x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$

Şekil 1 —

f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1

eğrisi.

x = 1

noktasında teğet yataydır (eğim

= 0

), bu da yerel maksimuma işaret eder.

Türevin İki Yüzü

Yorum	Anlamı
Geometrik	$f^{'} (a)$ , $(a, f (a))$ noktasındaki teğetin eğimidir
Fiziksel	Konum $s (t)$ ise $s^{'} (t)$ anlık hızı, $s^{''} (t)$ ivmeyi verir
Analitik	$f^{'} (a)$ , $x = a$ civarında $f$ 'nin anlık değişim hızıdır

Türevin Gösterimleri

Aynı kavram için kullanılan eşdeğer gösterimler:

$f^{'} (x) = \frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x} f (x) = \overset{y}{˙}$

2. Bir Noktada Türevlenebilirlik

$f^{'} (a)$ limitinin var ve sonlu olması için soldan ve sağdan türevlerin eşit olması gerekir:

$f_{-}^{'} (a) = h \to 0^{-} lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} = f_{+}^{'} (a) = h \to 0^{+} lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$

Bu eşitlik bozulursa fonksiyon o noktada türevlenemez. Türevin olmadığı tipik durumlar: köşe/sivri uç ( $∣ x ∣$ in $x = 0$ 'da), dikey teğet ( $3 x$ in $x = 0$ 'da) ve süreksizlik.

3. Süreklilik ve Türevlenebilirlik

Aralarındaki yön tek taraflıdır:

$f, a ’da t \overset{u}{¨} revlenebilir \Rightarrow f, a ’da s \overset{u}{¨} reklidir$

Tersi doğru değildir: süreklilik türevlenebilirliği gerektirmez. $f (x) = ∣ x ∣$ fonksiyonu $x = 0$ 'da süreklidir ama soldan türev $- 1$ , sağdan türev $+ 1$ olduğundan türevlenemez.

Sık yapılan hata: "Süreklilik varsa türev de vardır" sanmak. Doğrusu: türev varsa süreklilik kesin vardır; ama süreklilik tek başına türevi garanti etmez.

4. Temel Türev Kuralları

Limit tanımını her seferinde uygulamak yerine, aşağıdaki kuralları doğrudan kullanırız (ayrıntılı işlenişi bir sonraki konuda):

Kural	Formül
Sabit	$\frac{d}{d x} (c) = 0$
Kuvvet (üs) kuralı	$\frac{d}{d x} (x^{n}) = n x^{n - 1}$
Sabitle çarpım	$(c \cdot f)^{'} = c \cdot f^{'}$
Toplam – fark	$(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}$
Çarpım kuralı	$(f \cdot g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$
Bölüm kuralı	$(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$
Zincir kuralı	$(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$

Sık Kullanılan Türevler

Fonksiyon	Türevi
$sin x$	$cos x$
$cos x$	$- sin x$
$e^{x}$	$e^{x}$
$ln x$	$\frac{1}{x}$
$a^{x}$	$a^{x} ln a$

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2} - 3 x$ fonksiyonunun türevini limit tanımını kullanarak bulunuz.

Tanımı yaz: $f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$ .
Pay'ı aç: $f (x + h) = (x + h)^{2} - 3 (x + h) = x^{2} + 2 x h + h^{2} - 3 x - 3 h$ .
Farkı al: $f (x + h) - f (x) = 2 x h + h^{2} - 3 h = h (2 x + h - 3)$ .
$h$ 'ye böl ve limiti al: $f^{'} (x) = h \to 0 lim (2 x + h - 3) = 2 x - 3$ .

Sonuç:

f^{'} (x) = 2 x - 3

. (Kuvvet kuralı da aynı sonucu verir.)

Örnek

Soru

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ fonksiyonunun grafiğine $x = 1$ noktasında çizilen teğetin eğimini bulunuz.

Bir noktadaki teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir: $m = f^{'} (1)$ . Önce $f^{'} (x)$ 'i bul, sonra $x = 1$ değerini yerine yaz.

Teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevidir: $m = f^{'} (1)$ .
Kuvvet, sabitle çarpım ve toplam kurallarıyla türevi al: $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9$ .
$x = 1$ değerini yerine yaz: $f^{'} (1) = 3 \cdot 1^{2} - 12 \cdot 1 + 9 = 3 - 12 + 9 = 0$ .
Eğim sıfır olduğundan teğet yataydır; $(1, 5)$ noktasında fonksiyon yerel maksimum yapar (bkz. Şekil 1).

Sonuç: Teğetin eğimi

m = 0

Örnek

Soru

$f (x) = {x^{2}, 2 x - 1, x \leq 1 x > 1$ fonksiyonu $x = 1$ noktasında türevlenebilir mi?

Önce sürekliliği, sonra soldan ve sağdan türevlerin eşitliğini kontrol et.

Süreklilik: Soldan değer $1^{2} = 1$ , sağdan değer $2 \cdot 1 - 1 = 1$ . Eşit, süreklidir.
Soldan türev: $x \leq 1$ için $f^{'} (x) = 2 x \Rightarrow f_{-}^{'} (1) = 2$ .
Sağdan türev: $x > 1$ için $f^{'} (x) = 2 \Rightarrow f_{+}^{'} (1) = 2$ .
Soldan ve sağdan türev eşit ( $2 = 2$ ) olduğundan fonksiyon $x = 1$ 'de türevlenebilirdir ve $f^{'} (1) = 2$ .

Sonuç: Evet;

f^{'} (1) = 2

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$f (x) = 5 x^{4} - 2 x^{3} + 7$ fonksiyonunun türevini bulunuz.

Her terime kuvvet kuralını uygula: $\frac{d}{d x} (x^{n}) = n x^{n - 1}$ .
$5 x^{4}$ türevi: $20 x^{3}$ ; $- 2 x^{3}$ türevi: $- 6 x^{2}$ ; sabit $7$ türevi: $0$ .
Topla: $f^{'} (x) = 20 x^{3} - 6 x^{2}$ .

Sonuç:

f^{'} (x) = 20 x^{3} - 6 x^{2}

Örnek

Soru

$f (x) = \frac{4}{x} + x$ fonksiyonunun $x = 4$ noktasındaki türev değerini bulunuz.

Terimleri üs olarak yaz: $f (x) = 4 x^{- 1} + x^{1/2}$ .
Türevi al: $f^{'} (x) = - 4 x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{- 1/2} = - \frac{4}{x ^{2}} + \frac{1}{2 x}$ .
$x = 4$ yerine yaz: $- \frac{4}{16} + \frac{1}{2 \cdot 2} = - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 0$ .

Sonuç:

f^{'} (4) = 0

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2} + 1$ fonksiyonunun $a = 2$ noktasındaki türevini, $f^{'} (a) = x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$ tanımıyla bulunuz.

Değerleri yerleştir: $f (2) = 5$ , dolayısıyla limit $x \to 2 lim \frac{( x ^{2} + 1 ) - 5}{x - 2} = x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ .
Payı çarpanlara ayır: $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ .
Sadeleştir: $x \to 2 lim (x + 2) = 4$ .

Sonuç:

f^{'} (2) = 4

Örnek

Soru

$g (x) = (2 x - 1) (x^{2} + 3)$ fonksiyonunun türevini çarpım kuralıyla bulunuz.

Çarpanları seç: $u = 2 x - 1$ , $v = x^{2} + 3$ ; türevleri $u^{'} = 2$ , $v^{'} = 2 x$ .
Çarpım kuralı: $g^{'} (x) = u^{'} v + u v^{'} = 2 (x^{2} + 3) + (2 x - 1) (2 x)$ .
Düzenle: $2 x^{2} + 6 + 4 x^{2} - 2 x = 6 x^{2} - 2 x + 6$ .

Sonuç:

g^{'} (x) = 6 x^{2} - 2 x + 6

Örnek

Soru

Bir cismin konumu $s (t) = t^{3} - 4 t^{2} + 5 t$ (metre, $t$ saniye) ile veriliyor. Cismin $t = 3$ saniyedeki anlık hızını bulunuz.

Anlık hız, konumun türevidir: $v (t) = s^{'} (t)$ .
Türevi al: $s^{'} (t) = 3 t^{2} - 8 t + 5$ .
$t = 3$ yerine yaz: $3 \cdot 9 - 8 \cdot 3 + 5 = 27 - 24 + 5 = 8$ .

Sonuç:

v (3) = 8 m/s

Örnek

Soru

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 2}$ fonksiyonunun türevini bölüm kuralıyla bulunuz.

Pay ve paydayı belirle: $u = x - 1$ , $v = x + 2$ ; türevleri $u^{'} = 1$ , $v^{'} = 1$ .
Bölüm kuralı: $f^{'} (x) = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}} = \frac{1 \cdot ( x + 2 ) - ( x - 1 ) \cdot 1}{( x + 2 ) ^{2}}$ .
Payı sadeleştir: $\frac{x + 2 - x + 1}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{3}{( x + 2 ) ^{2}}$ .

Sonuç:

f^{'} (x) = \frac{3}{( x + 2 ) ^{2}}

Örnek

Soru

$f (x) = {a x + b, x^{2}, x \leq 2 x > 2$ fonksiyonunun $x = 2$ noktasında türevlenebilir olması için $a$ ve $b$ değerlerini bulunuz.

Süreklilik koşulu ( $x = 2$ ): soldan $2 a + b$ , sağdan $2^{2} = 4$ . Eşitle: $2 a + b = 4$ .
Türev eşitliği koşulu: soldan türev $f_{-}^{'} (2) = a$ , sağdan türev ( $f^{'} (x) = 2 x$ ) $f_{+}^{'} (2) = 4$ . Eşitle: $a = 4$ .
$a = 4$ değerini süreklilik denklemine koy: $2 \cdot 4 + b = 4 \Rightarrow b = - 4$ .

Sonuç:

a = 4, b = - 4

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

h→0 tanım limitini türev olarak tanıma: h=0'ı doğrudan koyup 0/0'a takılmak, sonra limiti 0 sanmak 0 cevabı
x→a tanımı: [f(x)−f(a)]/(x−a) ile hesap: Sadeleştirmeden x=a koyup 0/0'ı '0' veya 'tanımsız' saymak 0 ya da 'limit yoktur' cevabı
Katsayılı tanım limiti: f(a+kh) biçimi: k çarpanını unutup limiti doğrudan f′(a) sanmak f′(a) — k katı eksik
Süreklilik–türevlenebilirlik ilişkisi (köşe noktası): 'Sürekli ise türevlenebilir' sanmak 'süreklidir ve türevlenebilir' seçeneği
Parçalı fonksiyonda türevlenebilirlikten parametre bulma: Yalnız süreklilik kurup türev eşitliğini atlamak tek denklem — parametreler tek başına belirlenemez, rastgele/yanlış çift
Gizlenmiş tanım limiti (payda çarpanlı / iki yönlü): Payda çarpanını (x+a gibi) hesaba katmamak kalan çarpan kadar yanlış ölçekli f′(a)

Soru 1Kolay

f (x) = x^{2}

fonksiyonu için

h \to 0 lim \frac{f ( 3 + h ) - f ( 3 )}{h}

limitinin değeri kaçtır?

Verilen limit, türevin tanımıdır: $h \to 0 lim \frac{f ( 3 + h ) - f ( 3 )}{h} = f^{'} (3)$ .
$f (x) = x^{2}$ için $f^{'} (x) = 2 x$ olur.
$f^{'} (3) = 2 \cdot 3 = 6$ .

Sonuç:

f^{'} (3) = 6

Soru 2Kolay

f (x) = x^{3} - 2 x

eğrisinin

x = 1

apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?

Teğetin eğimi, o noktadaki türev değeridir: $m = f^{'} (1)$ .
$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2$ .
$f^{'} (1) = 3 \cdot 1 - 2 = 1$ .

Sonuç:

m = 1

Soru 3Orta

f

türevlenebilir bir fonksiyon ve

f^{'} (a) = 4

olduğuna göre,

h \to 0 lim \frac{f ( a + 3 h ) - f ( a )}{h}

limitinin değeri kaçtır?

Limiti türev tanımına benzetmek için pay ve paydayı düzenleyelim: $\frac{f ( a + 3 h ) - f ( a )}{h} = 3 \cdot \frac{f ( a + 3 h ) - f ( a )}{3 h}$ .
$u = 3 h$ dersek $h \to 0$ iken $u \to 0$ olur: $3 \cdot u \to 0 lim \frac{f ( a + u ) - f ( a )}{u} = 3 f^{'} (a)$ .
$3 f^{'} (a) = 3 \cdot 4 = 12$ .

Sonuç:

3 f^{'} (a) = 12

Soru 4Orta

f (x) = ∣ x - 2∣

fonksiyonunun

x = 2

noktasındaki durumu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Süreklilik: $x \to 2 lim ∣ x - 2∣ = 0 = f (2)$ olduğundan $f$ , $x = 2$ 'de süreklidir.
Soldan türev: $x < 2$ için $f (x) = 2 - x$ , dolayısıyla $f_{-}^{'} (2) = - 1$ .
Sağdan türev: $x > 2$ için $f (x) = x - 2$ , dolayısıyla $f_{+}^{'} (2) = + 1$ .
$f_{-}^{'} (2) \neq = f_{+}^{'} (2)$ olduğundan $x = 2$ 'de türev yoktur (grafikte sivri nokta).

Sonuç: Süreklidir fakat türevlenemez.

Soru 5Orta

f (x) = 3 x^{4} - 2 x^{2} + 5 x - 7

olduğuna göre

f^{'} (- 1)

kaçtır?

Kuvvet kuralıyla türev alalım: $f^{'} (x) = 12 x^{3} - 4 x + 5$ .
$x = - 1$ yazalım: $f^{'} (- 1) = 12 (- 1)^{3} - 4 (- 1) + 5$ .
$f^{'} (- 1) = - 12 + 4 + 5 = - 3$ .

Sonuç:

f^{'} (- 1) = - 3

Soru 6Orta

y = x^{2} + 3 x

parabolünün hangi noktasındaki teğeti

y = 5 x + 1

doğrusuna paraleldir?

Paralel doğruların eğimleri eşittir; $y = 5 x + 1$ doğrusunun eğimi $5$ 'tir.
$y^{'} = 2 x + 3$ olduğundan $2 x + 3 = 5 \Rightarrow x = 1$ .
$x = 1$ için $y = 1 + 3 = 4$ ; teğet noktası $(1, 4)$ .

Sonuç:

(1, 4)

Soru 7Zor

f (x) = {a x^{2} + b, 4 x, x \leq 1 x > 1

fonksiyonu

x = 1

noktasında türevlenebilir olduğuna göre,

a \cdot b

çarpımı kaçtır?

Türevlenebilirlik için önce türevler eşleşmeli: soldan $(a x^{2} + b)^{'} = 2 a x \Rightarrow 2 a$ , sağdan $(4 x)^{'} = 4$ . Buradan $2 a = 4 \Rightarrow a = 2$ .
Türevlenebilen fonksiyon sürekli de olmalıdır: $a \cdot 1 + b = 4 \cdot 1 \Rightarrow a + b = 4$ .
$a = 2$ için $b = 2$ bulunur.
$a \cdot b = 2 \cdot 2 = 4$ .

Sonuç:

a \cdot b = 4

Soru 8Zor

Bir hareketlinin konumu

s (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t

(metre,

t

saniye) ile veriliyor. Hareketlinin anlık hızı hangi anlarda sıfırdır?

Anlık hız, konumun türevidir: $v (t) = s^{'} (t) = 3 t^{2} - 12 t + 9$ .
$v (t) = 0$ için: $3 t^{2} - 12 t + 9 = 0 \Rightarrow 3 (t^{2} - 4 t + 3) = 0$ .
Çarpanlara ayıralım: $3 (t - 1) (t - 3) = 0 \Rightarrow t = 1$ veya $t = 3$ .

Sonuç:

t = 1

t = 3

anlarında hız sıfırdır.

Soru 9Orta

f

fonksiyonu

x = 3

noktasında türevlenebilir olup $

lim_{x \to 3} \frac{f ( x ) - f ( 3 )}{x ^{2} - 9} = 2

e \overset{s}{\c} i tl i \overset{g}{˘} i s a \overset{g}{˘} l anmak t a d ı r . B u na g \overset{o}{¨} r e

f'(3)$ kaçtır?

Paydayı çarpanlarına ayır: $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ .
İfadeyi türev tanımına uygun parçala: $\frac{f ( x ) - f ( 3 )}{x ^{2} - 9} = \frac{f ( x ) - f ( 3 )}{x - 3} \cdot \frac{1}{x + 3}$ .
$x \to 3$ için ilk çarpan tanım gereği $f^{'} (3)$ 'e, ikinci çarpan $\frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}$ 'ya gider.
Böylece $f^{'} (3) \cdot \frac{1}{6} = 2 \Rightarrow f^{'} (3) = 12$ .

Sonuç: 12

Soru 10Orta

f (x) = {a x^{2} + 3, b x + 1, x \leq 2 x > 2

f o nk s i y o n u

x=2

n o k t a s ı n d a t \overset{u}{¨} r e v l e n e bi l i r d i r . B u na g \overset{o}{¨} r e

a+b$ kaçtır?

**Süreklilik** ( $x = 2$ ): soldan $a \cdot 2^{2} + 3 = 4 a + 3$ , sağdan $2 b + 1$ . Eşitle: $4 a + 3 = 2 b + 1 \Rightarrow b = 2 a + 1$ .
**Türev eşitliği:** soldan türev $f_{-}^{'} (x) = 2 a x \Rightarrow f_{-}^{'} (2) = 4 a$ ; sağdan türev $f_{+}^{'} (x) = b \Rightarrow f_{+}^{'} (2) = b$ . Eşitle: $b = 4 a$ .
İki bağıntıyı çöz: $4 a = 2 a + 1 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$ , dolayısıyla $b = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ .
İstenen: $a + b = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$ .

Sonuç:

\frac{5}{2}

Soru 11Orta

g (x) = x^{2} + ∣ x - 2 ∣

fonksiyonu için

g_{+}^{'} (2)

sağdan türevi ile

g_{-}^{'} (2)

soldan türevi tanımlanıyor. Buna göre

g_{+}^{'} (2) - g_{-}^{'} (2)

farkı kaçtır?

$x > 2$ için $∣ x - 2 ∣ = x - 2$ , yani $g (x) = x^{2} + x - 2$ ve $g^{'} (x) = 2 x + 1$ ; buradan $g_{+}^{'} (2) = 2 \cdot 2 + 1 = 5$ .
$x < 2$ için $∣ x - 2 ∣ = 2 - x$ , yani $g (x) = x^{2} - x + 2$ ve $g^{'} (x) = 2 x - 1$ ; buradan $g_{-}^{'} (2) = 2 \cdot 2 - 1 = 3$ .
Soldan ve sağdan türev farklı olduğundan $g$ , $x = 2$ 'de türevlenemez (köşe noktası).
İstenen fark: $g_{+}^{'} (2) - g_{-}^{'} (2) = 5 - 3 = 2$ .

Sonuç:

2

Soru 12Zor

Türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

f (2) = 5

f^{'} (2) = 3

veriliyor. Buna göre $

lim_{h \to 0} \frac{f ( 2 + 3 h ) - f ( 2 - h )}{h}

$ limitinin değeri kaçtır?

Payı, $f (2)$ ekleyip çıkararak iki türev tanımına böl: $f (2 + 3 h) - f (2 - h) = [f (2 + 3 h) - f (2)] + [f (2) - f (2 - h)]$ .
İlk parça: $\frac{f ( 2 + 3 h ) - f ( 2 )}{h} = 3 \cdot \frac{f ( 2 + 3 h ) - f ( 2 )}{3 h} \to 3 f^{'} (2)$ .
İkinci parça: $\frac{f ( 2 ) - f ( 2 - h )}{h} = \frac{f ( 2 - h ) - f ( 2 )}{- h} \to f^{'} (2)$ .
Toplam: $3 f^{'} (2) + f^{'} (2) = 4 f^{'} (2) = 4 \cdot 3 = 12$ .

Sonuç:

12

Soru 13Orta

f (x) = {x^{2} + a x, b ln x + 3, x \leq 1 x > 1

fonksiyonu

x = 1

noktasında türevlenebilirdir. Buna göre

a \cdot b

çarpımı kaçtır?

**Süreklilik** ( $x = 1$ ): soldan $1 + a$ , sağdan $b ln 1 + 3 = 3$ . Eşitle: $1 + a = 3 \Rightarrow a = 2$ .
**Türev eşitliği:** soldan türev $f_{-}^{'} (x) = 2 x + a \Rightarrow f_{-}^{'} (1) = 2 + a$ ; sağdan türev $f_{+}^{'} (x) = \frac{b}{x} \Rightarrow f_{+}^{'} (1) = b$ . Eşitle: $b = 2 + a = 2 + 2 = 4$ .
Bulunanlar: $a = 2$ , $b = 4$ (her iki koşul da sağlanır).
İstenen çarpım: $a \cdot b = 2 \cdot 4 = 8$ .

Sonuç:

8

Soru 14Kolay

f

g

türevlenebilir fonksiyonlar olup

f (x) = x^{2} g (x)

biçiminde tanımlanmıştır.

g (2) = 3

g^{'} (2) = - 1

veriliyor. Buna göre

f^{'} (2)

kaçtır?

Çarpım kuralı: $f^{'} (x) = (x^{2})^{'} g (x) + x^{2} g^{'} (x) = 2 x g (x) + x^{2} g^{'} (x)$ .
$x = 2$ koy: $f^{'} (2) = 2 \cdot 2 \cdot g (2) + 2^{2} \cdot g^{'} (2) = 4 \cdot 3 + 4 \cdot (- 1)$ .
Hesapla: $f^{'} (2) = 12 - 4 = 8$ .

Sonuç:

8

0/14 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Limit tanımında $h$ 'yi sadeleştirmeden $h = 0$ koymak: $\frac{0}{0}$ belirsizliği çıkar. Önce payı çarpanlarına ayırıp $h$ ile sadeleştir.
Süreklilik ⇒ türevlenebilirlik sanmak. (Doğrusu tam tersi yönde geçerlidir.)
Köşe noktalarında ( $∣ x ∣$ gibi) türevin var olduğunu sanmak; orada soldan ve sağdan türev farklıdır.

1. Türevin Tanımı

Türevin İki Yüzü

Türevin Gösterimleri

2. Bir Noktada Türevlenebilirlik

3. Süreklilik ve Türevlenebilirlik

4. Temel Türev Kuralları

Sık Kullanılan Türevler

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

İlgili yazılar

Türev — diğer konular