çözümebak

AYT Matematik · Türev

Türevin Tanımı ve Temel Kuralları

~9 dk okumaZorluk: Orta16 çözümlü soru

Türev, bir fonksiyonun anlık değişim hızını ölçer; geometrik olarak bir noktadaki teğetin eğimini verir. Bu ilk konu, türevin limit tanımından temel kurallarına ve türevlenebilirlik–süreklilik ilişkisine kadar tüm zemini kurar. Türev serisinin geri kalanı bu temele dayanır.

1. Türevin Tanımı

f fonksiyonunun x noktasındaki türevi, ortalama değişim oranının (h\to 0 için) limitidir:

f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Burada h küçüldükçe, x ile x+h noktalarını birleştiren kesen doğru, x noktasındaki teğet doğruya yaklaşır. Yani f'(x), grafiğe \big(x,\,f(x)\big) noktasında çizilen teğetin eğimidir.

Aynı limitin bir noktaya (x=a) sabitlenmiş hâli şöyle de yazılır:

f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}

xy(1, 5) — eğim = 0
Şekil 1 — f(x)=x^3-6x^2+9x+1 eğrisi. x=1 noktasında teğet yataydır (eğim =0), bu da yerel maksimuma işaret eder.

Türevin İki Yüzü

YorumAnlamı
Geometrikf'(a), \big(a,f(a)\big) noktasındaki teğetin eğimidir
FizikselKonum s(t) ise s'(t) anlık hızı, s''(t) ivmeyi verir
Analitikf'(a), x=a civarında f'nin anlık değişim hızıdır

Türevin Gösterimleri

Aynı kavram için kullanılan eşdeğer gösterimler:

f'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\,f(x)=\dot{y}

2. Bir Noktada Türevlenebilirlik

f'(a) limitinin var ve sonlu olması için soldan ve sağdan türevlerin eşit olması gerekir:

f'_-(a)=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\quad=\quad f'_+(a)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

Bu eşitlik bozulursa fonksiyon o noktada türevlenemez. Türevin olmadığı tipik durumlar: köşe/sivri uç (|x| in x=0'da), dikey teğet (\sqrt[3]{x} in x=0'da) ve süreksizlik.

3. Süreklilik ve Türevlenebilirlik

Aralarındaki yön tek taraflıdır:

f,\ a\text{'da türevlenebilir} \;\Rightarrow\; f,\ a\text{'da süreklidir}

Tersi doğru değildir: süreklilik türevlenebilirliği gerektirmez. f(x)=|x| fonksiyonu x=0'da süreklidir ama soldan türev -1, sağdan türev +1 olduğundan türevlenemez.

Sık yapılan hata: "Süreklilik varsa türev de vardır" sanmak. Doğrusu: türev varsa süreklilik kesin vardır; ama süreklilik tek başına türevi garanti etmez.

4. Temel Türev Kuralları

Limit tanımını her seferinde uygulamak yerine, aşağıdaki kuralları doğrudan kullanırız (ayrıntılı işlenişi bir sonraki konuda):

KuralFormül
Sabit\dfrac{d}{dx}(c)=0
Kuvvet (üs) kuralı\dfrac{d}{dx}\left(x^{n}\right)=n\,x^{n-1}
Sabitle çarpım\big(c\cdot f\big)'=c\cdot f'
Toplam – fark\big(f\pm g\big)'=f'\pm g'
Çarpım kuralı\big(f\cdot g\big)'=f'g+f\,g'
Bölüm kuralı\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-f\,g'}{g^{2}}
Zincir kuralı\big(f(g(x))\big)'=f'(g(x))\cdot g'(x)

Sık Kullanılan Türevler

FonksiyonTürevi
\sin x\cos x
\cos x-\sin x
e^{x}e^{x}
\ln x\dfrac{1}{x}
a^{x}a^{x}\ln a
Örnek
Soru

f(x)=x^{2}-3x fonksiyonunun türevini limit tanımını kullanarak bulunuz.

  1. Tanımı yaz: f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}.
  2. Pay'ı aç: f(x+h)=(x+h)^2-3(x+h)=x^2+2xh+h^2-3x-3h.
  3. Farkı al: f(x+h)-f(x)=2xh+h^2-3h=h(2x+h-3).
  4. h'ye böl ve limiti al: f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}(2x+h-3)=2x-3.
Sonuç: f'(x)=2x-3. (Kuvvet kuralı da aynı sonucu verir.)
Örnek
Soru

f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+1 fonksiyonunun grafiğine x=1 noktasında çizilen teğetin eğimini bulunuz.

Bir noktadaki teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir: m=f'(1). Önce f'(x)'i bul, sonra x=1 değerini yerine yaz.

  1. Teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevidir: m=f'(1).
  2. Kuvvet, sabitle çarpım ve toplam kurallarıyla türevi al: f'(x)=3x^{2}-12x+9.
  3. x=1 değerini yerine yaz: f'(1)=3\cdot 1^{2}-12\cdot 1+9=3-12+9=0.
  4. Eğim sıfır olduğundan teğet yataydır; (1,5) noktasında fonksiyon yerel maksimum yapar (bkz. Şekil 1).
Sonuç: Teğetin eğimi m=0.
Örnek
Soru

f(x)=\begin{cases}x^2,& x\le 1\\ 2x-1,& x>1\end{cases} fonksiyonu x=1 noktasında türevlenebilir mi?

Önce sürekliliği, sonra soldan ve sağdan türevlerin eşitliğini kontrol et.

  1. Süreklilik: Soldan değer 1^2=1, sağdan değer 2\cdot 1-1=1. Eşit, süreklidir.
  2. Soldan türev: x\le 1 için f'(x)=2x \Rightarrow f'_-(1)=2.
  3. Sağdan türev: x>1 için f'(x)=2 \Rightarrow f'_+(1)=2.
  4. Soldan ve sağdan türev eşit (2=2) olduğundan fonksiyon x=1'de türevlenebilirdir ve f'(1)=2.
Sonuç: Evet; f'(1)=2.

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

f(x)=5x^{4}-2x^{3}+7 fonksiyonunun türevini bulunuz.

  1. Her terime kuvvet kuralını uygula: \dfrac{d}{dx}(x^n)=n\,x^{n-1}.

  2. 5x^4 türevi: 20x^3; -2x^3 türevi: -6x^2; sabit 7 türevi: 0.

  3. Topla: f'(x)=20x^3-6x^2.

Sonuç: f'(x)=20x^{3}-6x^{2}
Örnek
Soru

f(x)=\dfrac{4}{x}+\sqrt{x} fonksiyonunun x=4 noktasındaki türev değerini bulunuz.

  1. Terimleri üs olarak yaz: f(x)=4x^{-1}+x^{1/2}.

  2. Türevi al: f'(x)=-4x^{-2}+\dfrac{1}{2}x^{-1/2}=-\dfrac{4}{x^{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.

  3. x=4 yerine yaz: -\dfrac{4}{16}+\dfrac{1}{2\cdot 2}=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=0.

Sonuç: f'(4)=0
Örnek
Soru

f(x)=x^{2}+1 fonksiyonunun a=2 noktasındaki türevini, f'(a)=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} tanımıyla bulunuz.

  1. Değerleri yerleştir: f(2)=5, dolayısıyla limit \lim\limits_{x\to 2}\dfrac{(x^2+1)-5}{x-2}=\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}.

  2. Payı çarpanlara ayır: x^2-4=(x-2)(x+2).

  3. Sadeleştir: \lim\limits_{x\to 2}(x+2)=4.

Sonuç: f'(2)=4
Örnek
Soru

g(x)=(2x-1)(x^{2}+3) fonksiyonunun türevini çarpım kuralıyla bulunuz.

  1. Çarpanları seç: u=2x-1, v=x^2+3; türevleri u'=2, v'=2x.

  2. Çarpım kuralı: g'(x)=u'v+u\,v'=2(x^2+3)+(2x-1)(2x).

  3. Düzenle: 2x^2+6+4x^2-2x=6x^2-2x+6.

Sonuç: g'(x)=6x^{2}-2x+6
Örnek
Soru

Bir cismin konumu s(t)=t^{3}-4t^{2}+5t (metre, t saniye) ile veriliyor. Cismin t=3 saniyedeki anlık hızını bulunuz.

  1. Anlık hız, konumun türevidir: v(t)=s'(t).

  2. Türevi al: s'(t)=3t^2-8t+5.

  3. t=3 yerine yaz: 3\cdot 9-8\cdot 3+5=27-24+5=8.

Sonuç: v(3)=8\ \text{m/s}
Örnek
Soru

f(x)=\dfrac{x-1}{x+2} fonksiyonunun türevini bölüm kuralıyla bulunuz.

  1. Pay ve paydayı belirle: u=x-1, v=x+2; türevleri u'=1, v'=1.

  2. Bölüm kuralı: f'(x)=\dfrac{u'v-u\,v'}{v^2}=\dfrac{1\cdot(x+2)-(x-1)\cdot 1}{(x+2)^2}.

  3. Payı sadeleştir: \dfrac{x+2-x+1}{(x+2)^2}=\dfrac{3}{(x+2)^2}.

Sonuç: f'(x)=\dfrac{3}{(x+2)^{2}}
Örnek
Soru

f(x)=\begin{cases}ax+b,& x\le 2\\ x^{2},& x>2\end{cases} fonksiyonunun x=2 noktasında türevlenebilir olması için a ve b değerlerini bulunuz.

  1. Süreklilik koşulu (x=2): soldan 2a+b, sağdan 2^2=4. Eşitle: 2a+b=4.

  2. Türev eşitliği koşulu: soldan türev f'_-(2)=a, sağdan türev (f'(x)=2x) f'_+(2)=4. Eşitle: a=4.

  3. a=4 değerini süreklilik denklemine koy: 2\cdot 4+b=4 \Rightarrow b=-4.

Sonuç: a=4,\ b=-4

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

f fonksiyonu x=3 noktasında türevlenebilir olup

\lim_{x\to 3}\frac{f(x)-f(3)}{x^{2}-9}=2

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre f'(3) kaçtır?

A) 6 · B) 12 · C) 18 · D) 24 · E) 36

  1. Paydayı çarpanlarına ayır: x^{2}-9=(x-3)(x+3).
  2. İfadeyi türev tanımına uygun parçala: \dfrac{f(x)-f(3)}{x^{2}-9}=\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}\cdot\dfrac{1}{x+3}.
  3. x\to 3 için ilk çarpan tanım gereği f'(3)'e, ikinci çarpan \dfrac{1}{3+3}=\dfrac{1}{6}'ya gider.
  4. Böylece f'(3)\cdot\dfrac{1}{6}=2 \Rightarrow f'(3)=12.
Sonuç: B) 12
Örnek
Soru

f(x)=\begin{cases}ax^{2}+3,& x\le 2\\[2pt] bx+1,& x>2\end{cases}

fonksiyonu x=2 noktasında türevlenebilirdir.

Buna göre a+b kaçtır?

A) \dfrac{3}{2} · B) 2 · C) \dfrac{9}{4} · D) \dfrac{5}{2} · E) 3

  1. Süreklilik (x=2): soldan a\cdot 2^{2}+3=4a+3, sağdan 2b+1. Eşitle: 4a+3=2b+1 \Rightarrow b=2a+1.
  2. Türev eşitliği: soldan türev f'_-(x)=2ax \Rightarrow f'_-(2)=4a; sağdan türev f'_+(x)=b \Rightarrow f'_+(2)=b. Eşitle: b=4a.
  3. İki bağıntıyı çöz: 4a=2a+1 \Rightarrow a=\dfrac{1}{2}, dolayısıyla b=4\cdot\dfrac{1}{2}=2.
  4. İstenen: a+b=\dfrac{1}{2}+2=\dfrac{5}{2}.
Sonuç: D) \dfrac{5}{2}
Örnek
Soru

g(x)=x^{2}+\lvert x-2\rvert fonksiyonu için g'_+(2) sağdan türevi ile g'_-(2) soldan türevi tanımlanıyor.

Buna göre g'_+(2)-g'_-(2) farkı kaçtır?

A) 2 · B) 1 · C) 0 · D) -1 · E) 4

  1. x>2 için \lvert x-2\rvert=x-2, yani g(x)=x^{2}+x-2 ve g'(x)=2x+1; buradan g'_+(2)=2\cdot 2+1=5.
  2. x<2 için \lvert x-2\rvert=2-x, yani g(x)=x^{2}-x+2 ve g'(x)=2x-1; buradan g'_-(2)=2\cdot 2-1=3.
  3. Soldan ve sağdan türev farklı olduğundan g, x=2'de türevlenemez (köşe noktası).
  4. İstenen fark: g'_+(2)-g'_-(2)=5-3=2.
Sonuç: A) 2
Örnek
Soru

Türevlenebilir bir f fonksiyonu için f(2)=5 ve f'(2)=3 veriliyor.

Buna göre

\lim_{h\to 0}\frac{f(2+3h)-f(2-h)}{h}

limitinin değeri kaçtır?

A) 6 · B) 9 · C) 12 · D) 15 · E) 18

  1. Payı, f(2) ekleyip çıkararak iki türev tanımına böl: f(2+3h)-f(2-h)=\big[f(2+3h)-f(2)\big]+\big[f(2)-f(2-h)\big].
  2. İlk parça: \dfrac{f(2+3h)-f(2)}{h}=3\cdot\dfrac{f(2+3h)-f(2)}{3h}\to 3f'(2).
  3. İkinci parça: \dfrac{f(2)-f(2-h)}{h}=\dfrac{f(2-h)-f(2)}{-h}\to f'(2).
  4. Toplam: 3f'(2)+f'(2)=4f'(2)=4\cdot 3=12.
Sonuç: C) 12
Örnek
Soru

f(x)=\begin{cases}x^{2}+ax,& x\le 1\\[2pt] b\ln x+3,& x>1\end{cases} fonksiyonu x=1 noktasında türevlenebilirdir.

Buna göre a\cdot b çarpımı kaçtır?

A) 8 · B) 10 · C) 12 · D) 15 · E) 18

  1. Süreklilik (x=1): soldan 1+a, sağdan b\ln 1+3=3. Eşitle: 1+a=3\Rightarrow a=2.
  2. Türev eşitliği: soldan türev f'_-(x)=2x+a\Rightarrow f'_-(1)=2+a; sağdan türev f'_+(x)=\dfrac{b}{x}\Rightarrow f'_+(1)=b. Eşitle: b=2+a=2+2=4.
  3. Bulunanlar: a=2, b=4 (her iki koşul da sağlanır).
  4. İstenen çarpım: a\cdot b=2\cdot 4=8.
Sonuç: A) 8
Örnek
Soru

f ve g türevlenebilir fonksiyonlar olup f(x)=x^{2}\,g(x) biçiminde tanımlanmıştır. g(2)=3 ve g'(2)=-1 veriliyor.

Buna göre f'(2) kaçtır?

A) 4 · B) 6 · C) 8 · D) 10 · E) 12

  1. Çarpım kuralı: f'(x)=\big(x^{2}\big)'g(x)+x^{2}g'(x)=2x\,g(x)+x^{2}g'(x).
  2. x=2 koy: f'(2)=2\cdot 2\cdot g(2)+2^{2}\cdot g'(2)=4\cdot 3+4\cdot(-1).
  3. Hesapla: f'(2)=12-4=8.
Sonuç: C) 8

Sık Yapılan Hatalar

İlgili yazılar

Türev — diğer konular