çözümebak

AYT Matematik · Türev

Artan-Azalan Fonksiyonlar ve Yerel Ekstremum

~10 dk okumaZorluk: Orta18 çözümlü soru

Bir fonksiyonun nerede yükseldiğini, nerede alçaldığını ve tepe/çukur noktalarını belirlemek, türevin en çok soru getiren uygulamasıdır. Anahtar tek bir fikirdir: f''nün işareti f'nin gidişatını, f''nün işaret değiştirmesi de yerel ekstremumları ele verir. Bu konuda kritik nokta, birinci türev testi ve işaret tablosunu eksiksiz işliyoruz.

1. Artanlık ve Azalanlık

Bir aralıkta türevin işareti, fonksiyonun o aralıktaki davranışını tam olarak belirler:

f'(x) > 0 \;\Rightarrow\; f \text{ artandır}, \qquad f'(x) < 0 \;\Rightarrow\; f \text{ azalandır}.

Sezgi: f'(x) teğetin eğimidir. Eğim pozitifse grafik yukarı, negatifse aşağı gider. Bir (a,b) aralığının her noktasında f'(x) > 0 ise f o aralıkta artan; her noktasında f'(x) < 0 ise azalandır.

Dikkat: Artanlık/azalanlık daima bir aralık üzerinde tanımlıdır, tek bir noktada değil. "x=2'de artan" demek anlamsızdır; doğrusu "x=2'yi içeren bir aralıkta artan"dır.

2. Kritik Nokta

f'nin tanım kümesindeki bir x değeri, eğer

f'(x)=0 \quad \text{veya} \quad f'(x) \text{ tanımsız}

ise kritik noktadır. Fonksiyon yön değiştirebileceği için (artandan azalana ya da tersi) ekstremumlar yalnızca kritik noktalarda aranır. Çoğu polinomda kritik noktalar f'(x)=0 denkleminin kökleridir.

3. Birinci Türev Testi

Kritik nokta x=c civarında f''nün işaretine bakılır:

x=c etrafında f' işaretiSonuç
+ \to - (artandan azalana)x=c yerel maksimum
- \to + (azalandan artana)x=c yerel minimum
İşaret değişmiyor (+\to+ veya -\to-)Ekstremum yok

Yani önemli olan f'(c)=0 olması değil, f''nün c'de işaret değiştirmesidir. Pratikte: f''yü çarpanlara ayır, köklerini sayı doğrusuna diz, her aralıkta işaretini belirle. Bu tabloya işaret tablosu denir.

4. İşaret Tablosu Örneği

f(x)=x^{3}-3x için f'(x)=3x^{2}-3=3(x-1)(x+1). Kökler x=-1 ve x=1:

Aralık(-\infty,-1)(-1,1)(1,\infty)
f'(x) işareti+-+
f davranışıartanazalanartan

x=-1'de +\to- olduğundan yerel maksimum, x=1'de -\to+ olduğundan yerel minimum vardır.

Örnek
Soru

f(x)=x^{3}-3x fonksiyonunun artan/azalan aralıklarını ve yerel ekstremum değerlerini bulunuz.

  1. Türevi al ve çarpanlara ayır: f'(x)=3x^{2}-3=3(x-1)(x+1).

  2. Kritik noktalar: f'(x)=0 \Rightarrow x=-1 ve x=1.

  3. İşaret tablosu: (-\infty,-1) ve (1,\infty) aralıklarında f'(x) > 0 (artan); (-1,1) aralığında f'(x) < 0 (azalan).

  4. Ekstremum türü: x=-1'de f' işareti +\to- (yerel maks), x=1'de -\to+ (yerel min).

  5. Değerleri hesapla: f(-1)=(-1)^{3}-3(-1)=-1+3=2 ve f(1)=1-3=-2.

Sonuç: Artan: (-\infty,-1)\cup(1,\infty), azalan: (-1,1). Yerel maksimum f(-1)=2, yerel minimum f(1)=-2.
Örnek
Soru

f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+1 fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum noktalarını bulunuz.

f'(x) ikinci dereceden bir ifade çıkar; ortak çarpan 3'ü ayırıp parantezi çarpanlara ayır.

  1. Türevi al: f'(x)=3x^{2}-12x+9=3(x^{2}-4x+3)=3(x-1)(x-3).

  2. Kritik noktalar: x=1 ve x=3.

  3. İşaret tablosu: (-\infty,1)'de f'(x) > 0, (1,3)'te f'(x) < 0, (3,\infty)'da f'(x) > 0.

  4. x=1'de f' işareti +\to- → yerel maksimum; x=3'te -\to+ → yerel minimum.

  5. Değerler: f(1)=1-6+9+1=5 ve f(3)=27-54+27+1=1.

Sonuç: Yerel maksimum (1,5); yerel minimum (3,1). (Bu eğri, "Türevin Tanımı" konusundaki şekille aynıdır.)
Örnek
Soru

f(x)=x^{4}-2x^{2} fonksiyonunun bütün yerel ekstremumlarını sınıflandırınız.

f'(x)'te ortak çarpan 4x'i ayır; geriye iki kareler farkı kalır.

  1. Türevi al ve çarpanlara ayır: f'(x)=4x^{3}-4x=4x(x^{2}-1)=4x(x-1)(x+1).

  2. Kritik noktalar: x=-1, x=0, x=1.

  3. İşaret tablosu (soldan sağa): (-\infty,-1)'de -, (-1,0)'da +, (0,1)'de -, (1,\infty)'da +.

Aralık(-\infty,-1)(-1,0)(0,1)(1,\infty)
f'(x)-+-+
fazalanartanazalanartan

  1. x=-1: -\to+ → yerel min; x=0: +\to- → yerel maks; x=1: -\to+ → yerel min.

  2. Değerler: f(\pm 1)=1-2=-1 ve f(0)=0.

Sonuç: Yerel minimum f(\pm 1)=-1; yerel maksimum f(0)=0.
Örnek
Soru

f(x)=x^{3} fonksiyonunun x=0 noktasında yerel ekstremumu var mıdır?

f'(0)=0 olması ekstremum için yeterli değildir; işaret değişimine bak.

  1. Türev: f'(x)=3x^{2}.

  2. Kritik nokta: f'(x)=0 \Rightarrow x=0.

  3. İşaret incele: x\neq 0 için 3x^{2} > 0. Yani hem (-\infty,0) hem (0,\infty) aralığında f'(x) > 0.

  4. f' işaret değiştirmediğinden (+\to+) x=0 ekstremum değildir; f her yerde artandır. x=0 bir yatay büküm (dönüm) noktasıdır.

Sonuç: Ekstremum yoktur; x=0 yatay büküm noktasıdır.
Örnek
Soru

a hangi değerler için f(x)=x^{3}+ax^{2}+3x-5 fonksiyonu tüm gerçek sayılarda artandır?

Her yerde artan olması için her x için f'(x)\ge 0 olmalı. Bu, ikinci dereceden f''nün diskriminantına bağlıdır.

  1. Türev: f'(x)=3x^{2}+2ax+3.

  2. f'nin her yerde artan olması için her x için f'(x)\ge 0 gerekir. Baş katsayı 3 > 0 olduğundan parabol yukarı açılır; koşul diskriminantın pozitif olmamasıdır.

  3. Diskriminant: \Delta=(2a)^{2}-4\cdot 3\cdot 3=4a^{2}-36.

  4. \Delta\le 0 \Rightarrow 4a^{2}\le 36 \Rightarrow a^{2}\le 9 \Rightarrow -3\le a\le 3.

Sonuç: -3\le a\le 3.

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

f(x)=2x^{3}-9x^{2}+12x-4 fonksiyonunun azalan olduğu aralığı bulunuz.

  1. Türevi al: f'(x)=6x^{2}-18x+12=6(x^{2}-3x+2)=6(x-1)(x-2).

  2. Kritik noktalar: x=1 ve x=2.

  3. İşaret tablosu: (-\infty,1) ve (2,\infty) aralıklarında f'(x) > 0 (artan); (1,2) aralığında f'(x) < 0 (azalan).

  4. Azalan olduğu yer kökler arasındaki aralıktır.

Sonuç: f yalnızca (1,2) aralığında azalandır.
Örnek
Soru

f(x)=x^{3}-12x+5 fonksiyonunun yerel maksimum değeri ile yerel minimum değerinin farkını bulunuz.

  1. Türevi al: f'(x)=3x^{2}-12=3(x-2)(x+2).

  2. Kritik noktalar: x=-2 ve x=2.

  3. İşaret: (-\infty,-2)'de +, (-2,2)'de -, (2,\infty)'da +. Demek ki x=-2 yerel maks, x=2 yerel min.

  4. Değerler: f(-2)=(-8)-12(-2)+5=-8+24+5=21 ve f(2)=8-24+5=-11.

  5. Fark: 21-(-11)=32.

Sonuç: Yerel maksimum ile yerel minimum değerlerinin farkı 32'dir.
Örnek
Soru

f(x)=x^{3}+kx^{2}+15x-7 fonksiyonunun x=1 noktasında yerel ekstremumu olduğuna göre k kaçtır?

  1. Türevi al: f'(x)=3x^{2}+2kx+15.

  2. x=1 kritik nokta olduğundan f'(1)=0: 3+2k+15=0.

  3. Çöz: 2k+18=0 \Rightarrow k=-9.

  4. Doğrulama: f'(x)=3x^{2}-18x+15=3(x-1)(x-5); x=1'de işaret +\to-, gerçekten yerel maksimum.

Sonuç: k=-9.
Örnek
Soru

f(x)=\dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{5}{2}x^{2}+6x+1 fonksiyonunun kaç tane yerel ekstremum noktası vardır?

  1. Türevi al: f'(x)=x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).

  2. Kritik noktalar: x=2 ve x=3 (iki farklı kök).

  3. İşaret: (-\infty,2)'de +, (2,3)'te -, (3,\infty)'da +. Her iki kökte de işaret değişir.

  4. x=2'de +\to- (yerel maks), x=3'te -\to+ (yerel min). Toplam iki ekstremum.

Sonuç: 2 tane yerel ekstremum noktası vardır.
Örnek
Soru

f(x)=x^{2}e^{x} fonksiyonunun azalan olduğu aralığı bulunuz.

  1. Çarpım kuralıyla türevi al: f'(x)=2x\,e^{x}+x^{2}e^{x}=e^{x}(x^{2}+2x)=e^{x}\cdot x(x+2).

  2. e^{x} > 0 her zaman, dolayısıyla işaret x(x+2) çarpanından gelir. Kökler: x=0 ve x=-2.

  3. İşaret: (-\infty,-2)'de +, (-2,0)'da -, (0,\infty)'da +.

  4. f'(x) < 0 olan tek aralık (-2,0)'dır.

Sonuç: f yalnızca (-2,0) aralığında azalandır.
Örnek
Soru

f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+2 fonksiyonunun [-2,4] kapalı aralığındaki mutlak (en küçük) minimum değerini bulunuz.

  1. Türevi al: f'(x)=3x^{2}-6x-9=3(x^{2}-2x-3)=3(x-3)(x+1).

  2. Aralık içindeki kritik noktalar: x=-1 ve x=3 (ikisi de [-2,4] içinde).

  3. Uç noktalar ve kritik noktalarda değerleri hesapla:

    • f(-2)=-8-12+18+2=0
    • f(-1)=-1-3+9+2=7
    • f(3)=27-27-27+2=-25
    • f(4)=64-48-36+2=-18

  4. En küçük değer x=3'te elde edilir.

Sonuç: Mutlak minimum değeri f(3)=-25'tir.
Örnek
Soru

f(x)=x^{3}-3mx+4 fonksiyonunun yerel ekstremumunun olmaması için m hangi değerleri almalıdır?

  1. Türevi al: f'(x)=3x^{2}-3m=3(x^{2}-m).

  2. Ekstremumun olmaması için f''nün işaret değiştirmemesi, yani f'(x)\ge 0'ın her x için sağlanması gerekir.

  3. 3x^{2}-3m\ge 0 \Rightarrow x^{2}\ge m her x için doğru olmalı. x^{2}'nin en küçük değeri 0 olduğundan koşul m\le 0'dır.

  4. m > 0 olsaydı f''nün iki farklı kökü (x=\pm\sqrt{m}) olur ve işaret değişip ekstremum doğardı.

Sonuç: m\le 0.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

f(x)=x^{3}+(m-1)x^{2}+(m+5)x+2 fonksiyonu tüm gerçek sayılarda artandır.

Buna göre m'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

A) 5 · B) 6 · C) 7 · D) 8 · E) 9

  1. Türevi al: f'(x)=3x^{2}+2(m-1)x+(m+5).

  2. Fonksiyonun her yerde artan olması için her x için f'(x)\ge 0 gerekir. Baş katsayı 3 > 0 olduğundan parabol yukarı açılır; koşul \Delta\le 0 olmasıdır.

  3. Diskriminant: \Delta=\bigl(2(m-1)\bigr)^{2}-4\cdot 3\cdot (m+5)=4(m-1)^{2}-12(m+5).

  4. Düzenle: 4(m^{2}-2m+1)-12m-60=4m^{2}-20m-56.

  5. \Delta\le 0 \Rightarrow 4m^{2}-20m-56\le 0 \Rightarrow m^{2}-5m-14\le 0 \Rightarrow (m-7)(m+2)\le 0.

  6. Çözüm aralığı -2\le m\le 7 olduğundan en büyük tam sayı değeri 7'dir.

Sonuç: C) 7
Örnek
Soru

f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum noktalarının apsisleri sırasıyla 1 ve 3'tür.

Buna göre fonksiyonun yerel maksimum değeri ile yerel minimum değerinin toplamı kaçtır?

A) -4 · B) -2 · C) 0 · D) 2 · E) 4

  1. Türevi al: f'(x)=3x^{2}+2ax+b. Apsisler 1 ve 3 kritik noktalar olduğundan bunlar f'(x)=0'ın kökleridir.

  2. Kökler toplamı: 1+3=-\dfrac{2a}{3} \Rightarrow 4=-\dfrac{2a}{3} \Rightarrow a=-6.

  3. Kökler çarpımı: 1\cdot 3=\dfrac{b}{3} \Rightarrow b=9. Yani f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x.

  4. Yerel maksimum değeri (x=1): f(1)=1-6+9=4.

  5. Yerel minimum değeri (x=3): f(3)=27-54+27=0.

  6. Toplam: 4+0=4.

Sonuç: E) 4
Örnek
Soru

f(x)=x^{3}-3x^{2}+k fonksiyonunun yerel minimum değeri -3'tür.

Buna göre fonksiyonun yerel maksimum değeri kaçtır?

A) 0 · B) 1 · C) 2 · D) 3 · E) 4

  1. Türevi al: f'(x)=3x^{2}-6x=3x(x-2). Kritik noktalar x=0 ve x=2.

  2. İşaret tablosu: (-\infty,0)'da +, (0,2)'de -, (2,\infty)'da +. Buna göre x=0 yerel maksimum, x=2 yerel minimumdur.

  3. Yerel minimum değeri: f(2)=8-12+k=k-4.

  4. k-4=-3 \Rightarrow k=1.

  5. Yerel maksimum değeri (x=0): f(0)=k=1.

Sonuç: B) 1
Örnek
Soru

f(x)=\dfrac{x^{2}+3}{x-1} fonksiyonu x>1 aralığında yalnızca bir yerel ekstremuma sahiptir.

Buna göre bu yerel ekstremum değeri kaçtır?

A) 4 · B) 5 · C) 6 · D) 8 · E) 9

  1. Bölüm kuralı: f'(x)=\dfrac{2x(x-1)-(x^{2}+3)\cdot 1}{(x-1)^{2}}=\dfrac{2x^{2}-2x-x^{2}-3}{(x-1)^{2}}=\dfrac{x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}}.
  2. Pay çarpanla: x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1). Kritik noktalar x=3 ve x=-1 (payda x=1 tanımsız).
  3. x>1 aralığındaki kritik nokta x=3'tür. Çevresinde işaret: 1<x<3 için pay <0, x>3 için pay >0; -\to+, yani yerel minimum.
  4. Değer: f(3)=\dfrac{9+3}{3-1}=\dfrac{12}{2}=6.
Sonuç: C) 6
Örnek
Soru

f(x)=2x^{3}-3x^{2}-12x+m fonksiyonunun yerel maksimum değeri 20'dir.

Buna göre m kaçtır?

A) 5 · B) 7 · C) 10 · D) 13 · E) 15

  1. Türev: f'(x)=6x^{2}-6x-12=6(x^{2}-x-2)=6(x-2)(x+1). Kritik noktalar x=-1 ve x=2.
  2. İşaret tablosu: (-\infty,-1)'de +, (-1,2)'de -, (2,\infty)'da +. Buna göre x=-1 yerel maksimum, x=2 yerel minimumdur.
  3. Yerel maksimum değeri: f(-1)=2(-1)-3(1)-12(-1)+m=-2-3+12+m=7+m.
  4. Koşul: 7+m=20\Rightarrow m=13.
Sonuç: D) 13
Örnek
Soru

f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+1 fonksiyonu [-2,2] kapalı aralığında tanımlıdır.

Buna göre bu aralıktaki mutlak maksimum değeri kaçtır?

A) 1 · B) 4 · C) 6 · D) 8 · E) 11

  1. Türev: f'(x)=3x^{2}-6x-9=3(x-3)(x+1). Kritik noktalar x=3 ve x=-1.
  2. Aralık [-2,2] içindeki kritik nokta yalnız x=-1 (x=3 aralık dışı).
  3. Uç noktalar ve kritik noktada değer:
    • f(-2)=-8-12+18+1=-1
    • f(-1)=-1-3+9+1=6
    • f(2)=8-12-18+1=-21
  4. En büyük değer x=-1'de: 6.
Sonuç: C) 6

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Türev — diğer konular