AYT Matematik · Türev

Optimizasyon (Maksimum-Minimum) Problemleri

~11 dk okumaZorluk: Zor6 çözümlü soruAYT'de ~4 soru/yıl · Sınavda yüksek ağırlık

Optimizasyon problemleri, bir kısıt altında bir büyüklüğü (alan, hacim, maliyet, uzaklık) en büyük ya da en küçük yapan değeri arar. Türevin gücü tam burada ortaya çıkar: optimize edilecek büyüklük tek değişkenli bir fonksiyona indirildiğinde, $f^{'} = 0$ koşulu kritik noktaları verir, ikinci türev veya işaret incelemesi ise bunun maksimum mı minimum mu olduğunu söyler. AYT'de sözel kurulumuyla sık çıkan, puanı yüksek bir konudur.

1. Yöntem: 5 Adımlı Yol

Hemen hemen her optimizasyon problemi aynı iskelete oturur. Bu beş adımı sırayla uygulamak, sözel karmaşayı mekanik bir hesaba çevirir.

Adım	Yapılan iş
1. Değişken tanımla	Bilinmeyen uzunlukları $x$ , $y$ , $r$ , $h$ gibi harflerle adlandır; bir şekil çiz
2. Kısıt denklemini yaz	Problemin verdiği sabit bağıntı (çevre, hacim, toplam) bir denklem olarak yazılır
3. Tek değişkene indir	Optimize edilecek büyüklüğü, kısıtı kullanarak tek değişkenle ifade et
4. $f^{'} = 0$ çöz	Türevi sıfırlayıp kritik noktaları bul
5. Doğrula	İkinci türev / işaret tablosu ile maks–min ayrımı yap, tanım aralığı ve uç noktaları kontrol et

Püf noktası: 5. adımı atlamak en sık kaybedilen puandır. $f^{'} = 0$ size bir aday verir; o adayın gerçekten istenen uç değer olduğunu mutlaka ikinci türev işaretiyle veya $f^{'}$ işaret değişimiyle gösterin.

İkinci türev testi kısaca şöyledir: $f^{'} (c) = 0$ olan bir $c$ noktasında

$f^{''} (c) > 0 \Rightarrow yerel minimum, f^{''} (c) < 0 \Rightarrow yerel maksimum .$

2. Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

Çevresi $40 m$ olan dikdörtgenler arasında alanı en büyük olanın boyutlarını ve bu en büyük alanı bulunuz.

Kenarlara $x$ ve $y$ de; çevre kısıtından $y$ 'yi $x$ cinsinden yazıp alanı tek değişkenli yap.

Değişken: Kenarlar $x$ ve $y$ olsun, $x > 0$ , $y > 0$ .
Kısıt: Çevre $2 x + 2 y = 40 \Rightarrow x + y = 20 \Rightarrow y = 20 - x$ .
Tek değişken: Alan $A (x) = x y = x (20 - x) = 20 x - x^{2}$ , tanım aralığı $0 < x < 20$ .
Türev sıfır: $A^{'} (x) = 20 - 2 x = 0 \Rightarrow x = 10$ .
Doğrula: $A^{''} (x) = - 2 < 0$ olduğundan $x = 10$ bir maksimumdur. Bu durumda $y = 20 - 10 = 10$ ve $A = 10 \cdot 10 = 100$ .

Sonuç: Kenarlar

10 m \times 10 m

(bir kare); en büyük alan

100 m^{2}

Örnek

Soru

Kenar uzunluğu $12$ birim olan kare bir kartonun dört köşesinden $x \times x$ boyutunda kareler kesilip kenarlar yukarı katlanarak üstü açık bir kutu yapılıyor. Hacmi en büyük yapan $x$ değerini ve bu hacmi bulunuz.

Tabanın bir kenarı $12 - 2 x$ olur, yükseklik ise $x$ 'tir. Hacmi $x$ cinsinden yazıp türevini al.

Değişken: Kesilen karenin kenarı $x$ ; katlamadan sonra yükseklik $x$ , taban kenarı $12 - 2 x$ .
Tanım aralığı: Taban kenarı pozitif olmalı: $12 - 2 x > 0 \Rightarrow 0 < x < 6$ .
Tek değişken: Hacim $V (x) = x (12 - 2 x)^{2}$ .
Türev sıfır: Çarpım kuralıyla

$V^{'} (x) = (12 - 2 x)^{2} + x \cdot 2 (12 - 2 x) (- 2) = (12 - 2 x) [(12 - 2 x) - 4 x] = (12 - 2 x) (12 - 6 x) .$

$V^{'} (x) = 0 \Rightarrow 12 - 2 x = 0$ (yani $x = 6$ , sınırda elenir) ya da $12 - 6 x = 0 \Rightarrow x = 2$ . 5. Doğrula: $0 < x < 2$ için $V^{'} > 0$ , $2 < x < 6$ için $V^{'} < 0$ ; işaret $+$ 'dan $-$ 'ye döndüğü için $x = 2$ bir maksimumdur. $V (2) = 2 \cdot (12 - 4)^{2} = 2 \cdot 8^{2} = 2 \cdot 64 = 128$ .

Sonuç:

x = 2

birim; en büyük hacim

128

birim küp.

Örnek

Soru

Hacmi sabit $V$ olan, üstü açık silindir biçimli bir kabın en az malzeme ile (en küçük yüzey alanıyla) yapılabilmesi için taban yarıçapı $r$ ne olmalıdır?

Yüzey = taban dairesi + yan yüz. Hacim kısıtından $h$ 'yi çek, yüzeyi yalnız $r$ cinsinden yaz.

Değişken: Taban yarıçapı $r > 0$ , yükseklik $h > 0$ .
Kısıt: Hacim $V = π r^{2} h \Rightarrow h = \frac{V}{π r ^{2}}$ .
Tek değişken: Üstü açık olduğundan yüzey, taban ( $π r^{2}$ ) artı yan yüzdür ( $2 π r h$ ):

$A (r) = π r^{2} + 2 π r h = π r^{2} + 2 π r \cdot \frac{V}{π r ^{2}} = π r^{2} + \frac{2 V}{r} .$

Türev sıfır: $A^{'} (r) = 2 π r - \frac{2 V}{r ^{2}} = 0 \Rightarrow 2 π r = \frac{2 V}{r ^{2}} \Rightarrow r^{3} = \frac{V}{π} \Rightarrow r = 3 \frac{V}{π}$ .
Doğrula: $A^{''} (r) = 2 π + \frac{4 V}{r ^{3}} > 0$ (her $r > 0$ için) olduğundan bu nokta bir minimumdur. Yükseklik ise $h = \frac{V}{π r ^{2}}$ ile bulunur; $r^{3} = \frac{V}{π}$ yerine konursa $h = r$ çıkar (yükseklik yarıçapa eşit).

Sonuç:

r = 3 \frac{V}{π}

ve bu durumda

h = r

. Örneğin

V = π

ise

r = 1

h = 1

Örnek

Soru

$y = x^{2}$ parabolü üzerindeki noktalar arasında $(0, 3)$ noktasına en yakın olanını bulunuz.

Uzaklığın kendisi yerine karesini minimize et; karekök artan fonksiyon olduğundan minimum aynı noktada oluşur ve hesap kolaylaşır.

Değişken: Parabol üzerindeki nokta $(x, x^{2})$ biçimindedir.
Büyüklük: $(0, 3)$ 'e uzaklığın karesi

$D^{2} (x) = (x - 0)^{2} + (x^{2} - 3)^{2} = x^{2} + (x^{2} - 3)^{2} .$

Türev sıfır: Zincir kuralıyla

$\frac{d}{d x} D^{2} = 2 x + 2 (x^{2} - 3) \cdot 2 x = 2 x + 4 x (x^{2} - 3) = 2 x [1 + 2 (x^{2} - 3)] = 2 x (2 x^{2} - 5) .$

$\frac{d}{d x} D^{2} = 0 \Rightarrow x = 0$ ya da $2 x^{2} - 5 = 0 \Rightarrow x^{2} = \frac{5}{2}$ , yani $x = \pm \frac{5}{2}$ . 4. Adayları karşılaştır: $x = 0$ için $D^{2} = 0 + 9 = 9$ . $x^{2} = \frac{5}{2}$ için $D^{2} = \frac{5}{2} + (\frac{5}{2} - 3)^{2} = \frac{5}{2} + \frac{1}{4} = \frac{11}{4}$ . 5. Doğrula: $\frac{11}{4} = 2, 75 < 9$ olduğundan minimum $x = \pm \frac{5}{2}$ noktalarında; $x = 0$ ise yerel maksimum benzeri bir tepe verir. En küçük uzaklık $\frac{11}{4} = \frac{11}{2}$ .

Sonuç: En yakın noktalar

(\pm \frac{5}{2}, \frac{5}{2})

; en küçük uzaklık

\frac{11}{2}

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

Toplamları $20$ olan iki pozitif sayının çarpımı en çok kaçtır?

Sayılar $x$ ve $20 - x$ olsun, $0 < x < 20$ . Çarpım $P (x) = x (20 - x) = 20 x - x^{2}$ .
$P^{'} (x) = 20 - 2 x = 0 \Rightarrow x = 10$ .
$P^{''} (x) = - 2 < 0$ olduğundan $x = 10$ maksimumdur. $P (10) = 10 \cdot 10 = 100$ .

Sonuç: En büyük çarpım

100

(sayılar

10

10

Örnek

Soru

Bir çiftçi, bir kenarı düz bir duvara dayanan dikdörtgen bir tarlayı çevirmek için $60 m$ tel kullanacaktır. Duvar tarafına tel çekilmeyeceğine göre çevrilebilecek en büyük alan kaç $m^{2}$ 'dir?

Duvara dik iki kenar $x$ , duvara paralel kenar $y$ olsun. Tel yalnız üç kenara çekilir: $2 x + y = 60 \Rightarrow y = 60 - 2 x$ .
Alan $A (x) = x y = x (60 - 2 x) = 60 x - 2 x^{2}$ , tanım aralığı $0 < x < 30$ .
$A^{'} (x) = 60 - 4 x = 0 \Rightarrow x = 15$ , dolayısıyla $y = 60 - 30 = 30$ .
$A^{''} (x) = - 4 < 0$ olduğundan maksimumdur. $A = 15 \cdot 30 = 450$ .

Sonuç: En büyük alan

450 m^{2}

(

x = 15 m

y = 30 m

Örnek

Soru

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 5$ fonksiyonunun $[0, 4]$ kapalı aralığındaki en küçük değeri kaçtır?

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 = 3 (x^{2} - 2 x - 3) = 3 (x - 3) (x + 1) = 0 \Rightarrow x = 3$ veya $x = - 1$ .
$x = - 1$ aralık dışındadır; aralık içindeki kritik nokta yalnız $x = 3$ .
Uç noktalar ve kritik nokta karşılaştırılır: $f (0) = 5$ , $f (3) = 27 - 27 - 27 + 5 = - 22$ , $f (4) = 64 - 48 - 36 + 5 = - 15$ .
En küçük değer $x = 3$ 'te oluşur: $- 22$ .

Sonuç: En küçük değer

- 22

(

x = 3

Örnek

Soru

Hacmi $32 π cm^{3}$ olan, üstü ve altı kapalı (tam kapalı) silindir biçimli bir kabın toplam yüzey alanı en az olacak şekilde taban yarıçapı $r$ kaç cm olmalıdır?

Hacim kısıtı: $π r^{2} h = 32 π \Rightarrow h = \frac{32}{r ^{2}}$ .
Tam kapalı yüzey: iki taban artı yan yüz: $A (r) = 2 π r^{2} + 2 π r h = 2 π r^{2} + 2 π r \cdot \frac{32}{r ^{2}} = 2 π r^{2} + \frac{64 π}{r}$ .
$A^{'} (r) = 4 π r - \frac{64 π}{r ^{2}} = 0 \Rightarrow 4 π r^{3} = 64 π \Rightarrow r^{3} = 16 \Rightarrow r = 316 = 232$ .
$A^{''} (r) = 4 π + \frac{128 π}{r ^{3}} > 0$ olduğundan minimumdur.

Sonuç:

r = 316 = 232 cm

Örnek

Soru

Birim çembere (yarıçapı $1$ olan çembere) içten teğet, kenarları eksenlere paralel ve çemberin merkezinden geçen eksenlere göre simetrik bir dikdörtgenin alanı en çok kaçtır? (Köşeleri çember üzerinde olan, $x^{2} + y^{2} = 1$ çemberine iç dikdörtgen.)

Birinci bölgedeki köşe $(x, y)$ ile $x^{2} + y^{2} = 1 \Rightarrow y = 1 - x^{2}$ , $0 < x < 1$ .
Dikdörtgenin kenarları $2 x$ ve $2 y$ olduğundan alan $A = 2 x \cdot 2 y = 4 x 1 - x^{2}$ .
Hesabı kolaylaştırmak için $A^{2} = 16 x^{2} (1 - x^{2}) = 16 (x^{2} - x^{4})$ . $\frac{d}{d x} A^{2} = 16 (2 x - 4 x^{3}) = 32 x (1 - 2 x^{2}) = 0 \Rightarrow x^{2} = \frac{1}{2}$ .
$x = \frac{1}{2}$ için $y = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ . Alan $A = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ .

Sonuç: En büyük alan

2

birim kare (kenarları

2 \times 2

olan kare).

Örnek

Soru

Bir ürünün $x$ adet üretildiğinde toplam maliyeti $M (x) = x^{2} - 40 x + 900$ TL'dir. Birim başına ortalama maliyeti $\frac{M ( x )}{x}$ en küçük yapan üretim miktarı $x$ kaçtır?

Ortalama maliyet $O (x) = \frac{M ( x )}{x} = \frac{x ^{2} - 40 x + 900}{x} = x - 40 + \frac{900}{x}$ , $x > 0$ .
$O^{'} (x) = 1 - \frac{900}{x ^{2}} = 0 \Rightarrow x^{2} = 900 \Rightarrow x = 30$ (pozitif kök).
$O^{''} (x) = \frac{1800}{x ^{3}} > 0$ olduğundan $x = 30$ minimumdur.
En küçük ortalama maliyet $O (30) = 30 - 40 + \frac{900}{30} = 30 - 40 + 30 = 20$ TL.

Sonuç:

x = 30

adet (en küçük ortalama maliyet

20

TL).

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Çevre sabit → alan maksimum (dikdörtgen): Çevre kısıtında 2'leri unutup y=Ç−x almak örnekte a=x(40−x) ⇒ x=20, alan 400 (doğrusu 100)
Toplamı sabit iki sayının çarpımı maksimum: Türev almadan sayıları eşit bölmek (x=y sanmak) örnekte 6²⋅6=216 (doğrusu 256) — eşit bölme yalnız düz çarpımda çalışır
Köşelerden kare kesip kutu katlama (klasik): Her kenardan iki köşe kesildiğini unutup taban kenarını a−x almak örnekte v=x(12−x)² ⇒ x=4, v=256 (doğrusu 128)
Maliyet / gelir / kâr fonksiyonunda maks–min: K′=0 yerine K=0 çözmek (başabaş noktasıyla karıştırmak) örnekte x=10 veya x=50 — kâr değil kök
Kare tabanlı prizma: hacim sabit → yüzey minimum: Üstü açık kutuda kapak alanını da eklemek (2x² yazmak) örnekte x³=32 ⇒ x=2∛4 — tam sayı çıkmayan değer
Eğri üzerindeki noktanın bir noktaya en yakın olması: Eğri denklemini yerine koymayı unutup y'yi sabit gibi türevlemek örnekte x=3 — noktanın kendi apsisi

Soru 1Orta

Bir peyzaj firması, bir kenarı

x

, komşu kenarı

y

metre olan dikdörtgen biçimli bir bahçeyi çevirecektir. Bahçenin alanı

600 m^{2}

olacaktır. Uzunluğu

x

olan iki karşılıklı kenar metresi

4

TL'ye, uzunluğu

y

olan iki karşılıklı kenar ise metresi

6

TL'ye çitle çevrilecektir. Firma, toplam çit maliyetini en küçük yapacak boyutları seçmektedir. Buna göre en küçük toplam çit maliyeti kaç TL'dir?

**Kısıt:** Alan $x y = 600 \Rightarrow y = \frac{600}{x}$ .
**Maliyet:** $x$ kenarı iki adet ( $2 \cdot 4 x$ ), $y$ kenarı iki adet ( $2 \cdot 6 y$ ): $ $C (x) = 8 x + 12 y = 8 x + 12 \cdot \frac{600}{x} = 8 x + \frac{7200}{x}, x > 0.$ $
**Türev sıfır:** $C^{'} (x) = 8 - \frac{7200}{x ^{2}} = 0 \Rightarrow x^{2} = 900 \Rightarrow x = 30$ .
**Doğrula:** $C^{''} (x) = \frac{14400}{x ^{3}} > 0$ olduğundan $x = 30$ bir **minimumdur**. Bu durumda $y = \frac{600}{30} = 20$ .
**Maliyet:** $C (30) = 8 \cdot 30 + \frac{7200}{30} = 240 + 240 = 480$ TL.

Sonuç:

480

Soru 2Zor

Bir ambalaj atölyesinde, kenarları

9 cm

24 cm

olan dikdörtgen bir mukavvanın dört köşesinden

x \times x

boyutunda birer kare kesilip kenarlar yukarı katlanarak üstü açık bir kutu yapılıyor. Atölye, kutunun hacmini en büyük yapan

x

değerini seçmektedir. Buna göre yapılan kutunun en büyük hacmi kaç

cm^{3}

'tür?

**Boyutlar:** Katlamadan sonra yükseklik $x$ , taban kenarları $9 - 2 x$ ve $24 - 2 x$ olur; taban pozitif olmalı: $0 < x < 4, 5$ .
**Hacim:** $V (x) = x (9 - 2 x) (24 - 2 x) = 4 x^{3} - 66 x^{2} + 216 x$ .
**Türev sıfır:** $V^{'} (x) = 12 x^{2} - 132 x + 216 = 12 (x^{2} - 11 x + 18) = 12 (x - 2) (x - 9) = 0 \Rightarrow x = 2$ veya $x = 9$ .
**Eleme:** $x = 9$ tanım aralığı dışındadır ( $9 > 4, 5$ ); geçerli aday $x = 2$ .
**Doğrula:** $V^{'}$ işareti $x = 2$ 'de $+$ 'dan $-$ 'ye döner, dolayısıyla maksimumdur. $V (2) = 2 \cdot (9 - 4) \cdot (24 - 4) = 2 \cdot 5 \cdot 20 = 200$ .

Sonuç:

200

Soru 3Orta

Bir apart otelin

100

odası vardır. Aylık kira

4000

TL olduğunda bütün odalar doludur. İşletme, kirayı her

200

TL artırdığında ortalama olarak

1

oda boş kalmaktadır. İşletme, aylık toplam kira gelirini en büyük yapacak kirayı belirlemek istemektedir. Buna göre elde edilebilecek en büyük aylık toplam kira geliri kaç TL'dir?

**Değişken:** Kira $200$ TL'lik $x$ artış yapılsın. Kira $4000 + 200 x$ , dolu oda sayısı $100 - x$ olur ( $0 \leq x \leq 100$ ).
**Gelir:** $G (x) = (4000 + 200 x) (100 - x)$ .
**Düzenleme:** $G (x) = 400000 + 16000 x - 200 x^{2}$ .
**Türev sıfır:** $G^{'} (x) = 16000 - 400 x = 0 \Rightarrow x = 40$ .
**Doğrula:** $G^{''} (x) = - 400 < 0$ olduğundan $x = 40$ bir **maksimumdur**. Kira $4000 + 200 \cdot 40 = 12000$ TL, dolu oda $100 - 40 = 60$ . Gelir $G (40) = 12000 \cdot 60 = 720000$ TL.

Sonuç:

720000

Soru 4Orta

Hacmi

500

birim küp olan, tabanı kare ve üstü açık dikdörtgenler prizması biçimli bir kutunun toplam yüzey alanı (taban + dört yan yüz) en küçük olacaktır. Taban kenarı

x

ile gösterilsin. Buna göre yüzey alanını en küçük yapan

x

değeri kaçtır?

**Kısıt:** Taban kare $x \times x$ , yükseklik $h$ ; hacim $x^{2} h = 500 \Rightarrow h = \frac{500}{x ^{2}}$ .
**Yüzey (üstü açık):** taban $x^{2}$ + dört yan yüz $4 x h$ : $A (x) = x^{2} + 4 x \cdot \frac{500}{x ^{2}} = x^{2} + \frac{2000}{x}$ .
**Türev sıfır:** $A^{'} (x) = 2 x - \frac{2000}{x ^{2}} = 0 \Rightarrow 2 x^{3} = 2000 \Rightarrow x^{3} = 1000 \Rightarrow x = 10$ .
**Doğrula:** $A^{''} (x) = 2 + \frac{4000}{x ^{3}} > 0$ olduğundan $x = 10$ bir **minimumdur**.

Sonuç:

10

Soru 5Orta

Bir cisim

A (0, 4)

noktasından harekete başlayıp

x

ekseni üzerindeki

P (x, 0)

noktasına, oradan da

B (6, 2)

noktasına gidecektir. Yol,

A

ile

P

arası ve

P

ile

B

arası uzunlukların **karelerinin toplamını** (

∣ A P ∣^{2} + ∣ P B ∣^{2}

) en küçük yapacak biçimde seçilmektedir. Buna göre

P

noktasının apsisi

x

kaçtır?

Uzaklık kareleri: $∣ A P ∣^{2} = (x - 0)^{2} + (0 - 4)^{2} = x^{2} + 16$ ve $∣ P B ∣^{2} = (x - 6)^{2} + (0 - 2)^{2} = (x - 6)^{2} + 4$ .
Toplam: $f (x) = x^{2} + 16 + (x - 6)^{2} + 4 = x^{2} + (x - 6)^{2} + 20$ .
Türev sıfır: $f^{'} (x) = 2 x + 2 (x - 6) = 4 x - 12 = 0 \Rightarrow x = 3$ .
$f^{''} (x) = 4 > 0$ olduğundan $x = 3$ bir **minimumdur**.

Sonuç:

3

Soru 6Orta

y = 12 - x^{2}

parabolü ile

x

ekseni arasında, tabanı

x

ekseni üzerinde ve üst köşeleri parabol üzerinde olan,

y

eksenine göre simetrik bir dikdörtgen çiziliyor. Birinci bölgedeki üst köşe

(x, 12 - x^{2})

ile gösteriliyor. Bu dikdörtgenin alanı en çok kaç birim karedir?

Dikdörtgenin tabanı $2 x$ , yüksekliği $12 - x^{2}$ ( $0 < x < 23$ ). Alan $A (x) = 2 x (12 - x^{2}) = 24 x - 2 x^{3}$ .
Türev sıfır: $A^{'} (x) = 24 - 6 x^{2} = 0 \Rightarrow x^{2} = 4 \Rightarrow x = 2$ .
$A^{''} (x) = - 12 x < 0$ olduğundan $x = 2$ maksimumdur. Yükseklik $12 - 2^{2} = 8$ .
Alan $A = 2 \cdot 2 \cdot 8 = 32$ .

Sonuç:

32

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Kısıtı kullanmadan iki değişkenle kalmak: Türev tek değişkene göre alınır. Kısıt denklemini ( $2 x + 2 y = 40$ , $π r^{2} h = V$ gibi) mutlaka kullanıp ikinci değişkeni yok et.
Maks–min doğrulamasını atlamak: $f^{'} = 0$ yalnızca aday verir. İkinci türev işareti ya da $f^{'}$ 'in işaret değişimiyle maksimum mu minimum mu olduğunu göster.
Tanım aralığını ve uç noktaları gözardı etmek: $0 < x < 6$ gibi fiziksel kısıtların dışındaki kökleri (örneğin $x = 6$ ) eleyin; kapalı aralıklarda uç noktaların değerlerini de karşılaştırın.
Uzaklığın kendisini minimize etmeye çalışmak: Karekökle uğraşmak yerine $D^{2}$ 'yi minimize et; karekök artan olduğundan minimum yeri değişmez.

Sınav İpucu

Sözel bir soruda "en büyük / en küçük / en az / en çok" ifadelerini gördüğün an refleksin şu olsun: önce kısıtı yaz, ardından optimize edilecek büyüklüğü tek değişkene indir. Şekil çizmek, hangi uzunluğun değişken hangisinin sabit olduğunu netleştirir ve kısıtı kurmayı kolaylaştırır. Çoğu AYT sorusunda hesap kısa, asıl iş doğru kurulumdadır.

1. Yöntem: 5 Adımlı Yol

2. Çözümlü Örnekler

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

İlgili yazılar

Türev — diğer konular