AYT Matematik · Türev

Türev Alma Kuralları

~10 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soruAYT'de ~4 soru/yıl · Sınavda yüksek ağırlık

Türevin limit tanımını her seferinde uygulamak yorucu ve hataya açıktır. Bu konu, türevi mekanik olarak hesaplamayı sağlayan kuralları işler: kuvvet, sabit, sabitle çarpım, toplam-fark, çarpım, bölüm ve zincir kuralı. AYT türev sorularının büyük çoğunluğu bu kuralların bileşiminden ibarettir; bunları akıcı kullanmak sınavda hız ve doğruluk demektir.

1. Kuvvet (Üs) Kuralı

Her reel $n$ için ( $n$ negatif veya rasyonel de olabilir):

$\frac{d}{d x} (x^{n}) = n x^{n - 1}$

Bu kuralın gücü, kökleri ve kesirleri üslü biçime çevirdiğinizde ortaya çıkar:

İfade	Üslü biçim	Türevi
$x$	$x^{1/2}$	$\frac{1}{2} x^{- 1/2} = \frac{1}{2 x}$
$\frac{1}{x}$	$x^{- 1}$	$- x^{- 2} = - \frac{1}{x ^{2}}$
$\frac{1}{x ^{2}}$	$x^{- 2}$	$- 2 x^{- 3} = - \frac{2}{x ^{3}}$
$3 x$	$x^{1/3}$	$\frac{1}{3} x^{- 2/3} = \frac{1}{3 3 x ^{2}}$

Sık yapılan hata: $x$ ya da $\frac{1}{x}$ gibi ifadeleri üslü biçime çevirmeden türev almaya çalışmak. Önce $x^{1/2}$ , $x^{- 1}$ yazın; sonra kuvvet kuralını uygulayın.

2. Doğrusal Kurallar

Kural	Formül
Sabit	$(c)^{'} = 0$
Sabitle çarpım	$(c \cdot f)^{'} = c \cdot f^{'}$
Toplam – fark	$(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}$

Bu üç kural sayesinde polinomların türevi terim terim alınır. Sabitle çarpımda katsayı türevin dışında kalır.

3. Çarpım ve Bölüm Kuralları

Çarpım ve bölümün türevi, çarpanların türevlerinin çarpımı/bölümü değildir. Doğru formüller:

$(f \cdot g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$

$(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}, g (x) \neq = 0$

Bölüm kuralında pay sırası önemlidir: önce $(pay ı n t \overset{u}{¨} revi) \cdot (payda)$ , sonra eksi $(pay) \cdot (paydan ı n t \overset{u}{¨} revi)$ .

4. Zincir Kuralı

Bileşke fonksiyonun türevi, dıştan içe alınır: dış fonksiyonun türevi çarpı iç fonksiyonun türevi.

$(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$

En sık karşılaşılan özel hâli genelleştirilmiş kuvvet kuralıdır:

$([u (x)]^{n})^{'} = n [u (x)]^{n - 1} \cdot u^{'} (x)$

Buradaki $u^{'} (x)$ çarpanına iç türev denir; zincir kuralında en çok unutulan parçadır.

Bileşik fonksiyon	Türevi
$(a x + b)^{n}$	$n (a x + b)^{n - 1} \cdot a$
$u (x)$	$\frac{u ^{'} ( x )}{2 u ( x )}$
$\frac{1}{u ( x )}$	$- \frac{u ^{'} ( x )}{[ u ( x ) ] ^{2}}$

Örnek

Soru

$f (x) = 3 x^{4} - 2 x + \frac{5}{x}$ fonksiyonunun türevini bulunuz.

$x = x^{1/2}$ ve $\frac{5}{x} = 5 x^{- 1}$ yazıp her terime kuvvet kuralını uygulayın.

Üslü biçime geç: $f (x) = 3 x^{4} - 2 x^{1/2} + 5 x^{- 1}$ .
Terim terim türev al: $f^{'} (x) = 3 \cdot 4 x^{3} - 2 \cdot \frac{1}{2} x^{- 1/2} + 5 \cdot (- 1) x^{- 2}$ .
Sadeleştir: $f^{'} (x) = 12 x^{3} - x^{- 1/2} - 5 x^{- 2}$ .
Kök ve kesir biçimine dön: $f^{'} (x) = 12 x^{3} - \frac{1}{x} - \frac{5}{x ^{2}}$ .

Sonuç:

f^{'} (x) = 12 x^{3} - \frac{1}{x} - \frac{5}{x ^{2}}

Örnek

Soru

$f (x) = (x^{2} + 1) (x^{3} - x)$ fonksiyonunun türevini çarpım kuralıyla bulup sadeleştiriniz.

Çarpanları ve türevlerini belirle: $f = x^{2} + 1$ , $f^{'} = 2 x$ ; $g = x^{3} - x$ , $g^{'} = 3 x^{2} - 1$ .
Çarpım kuralını uygula: $f^{'} (x) = 2 x (x^{3} - x) + (x^{2} + 1) (3 x^{2} - 1)$ .
Aç: $2 x^{4} - 2 x^{2} + (3 x^{4} - x^{2} + 3 x^{2} - 1) = 2 x^{4} - 2 x^{2} + 3 x^{4} + 2 x^{2} - 1$ .
Benzer terimleri topla: $f^{'} (x) = 5 x^{4} - 1$ .

Sonuç:

f^{'} (x) = 5 x^{4} - 1

Örnek

Soru

$f (x) = \frac{2 x + 1}{x ^{2} - 3}$ fonksiyonunun türevini bulunuz.

Bölüm kuralında sıra: $\frac{( pay ) ^{'} \cdot ( payda ) - ( pay ) \cdot ( payda ) ^{'}}{( payda ) ^{2}}$ .

Parçaları belirle: pay $f = 2 x + 1$ , $f^{'} = 2$ ; payda $g = x^{2} - 3$ , $g^{'} = 2 x$ .
Bölüm kuralını yaz: $f^{'} (x) = \frac{2 ( x ^{2} - 3 ) - ( 2 x + 1 ) ( 2 x )}{( x ^{2} - 3 ) ^{2}}$ .
Payı aç: $2 x^{2} - 6 - (4 x^{2} + 2 x) = 2 x^{2} - 6 - 4 x^{2} - 2 x$ .
Sadeleştir: $f^{'} (x) = \frac{- 2 x ^{2} - 2 x - 6}{( x ^{2} - 3 ) ^{2}}$ .

Sonuç:

f^{'} (x) = \frac{- 2 x ^{2} - 2 x - 6}{( x ^{2} - 3 ) ^{2}}

Örnek

Soru

Türevleri bulunuz: (a) $f (x) = (3 x^{2} - 5)^{4}$ , (b) $g (x) = x^{2} + 1$ .

İki soruda da dış işlem (üs almak / karekök) ile iç fonksiyonu ayırt edin; iç türevi unutmayın.

(a) Genelleştirilmiş kuvvet kuralı: $u = 3 x^{2} - 5$ , $u^{'} = 6 x$ .
$f^{'} (x) = 4 (3 x^{2} - 5)^{3} \cdot 6 x = 24 x (3 x^{2} - 5)^{3}$ .
(b) Karekökü üslü yaz: $g (x) = (x^{2} + 1)^{1/2}$ , iç $u = x^{2} + 1$ , $u^{'} = 2 x$ .
$g^{'} (x) = \frac{1}{2} (x^{2} + 1)^{- 1/2} \cdot 2 x = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ .

Sonuç:

f^{'} (x) = 24 x (3 x^{2} - 5)^{3}

g^{'} (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1}

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2} (2 x - 1)^{3}$ fonksiyonunun türevini bulup çarpanlarına ayırınız.

Bu bir çarpım ( $x^{2}$ ile $(2 x - 1)^{3}$ ); ikinci çarpanın türevi için ayrıca zincir kuralı gerekir.

Çarpanlar: $f = x^{2}$ , $f^{'} = 2 x$ ; $g = (2 x - 1)^{3}$ .
$g$ için zincir kuralı: $g^{'} = 3 (2 x - 1)^{2} \cdot 2 = 6 (2 x - 1)^{2}$ .
Çarpım kuralı: $f^{'} (x) = 2 x (2 x - 1)^{3} + x^{2} \cdot 6 (2 x - 1)^{2}$ .
Ortak çarpan $2 x (2 x - 1)^{2}$ parantezine al: $f^{'} (x) = 2 x (2 x - 1)^{2} [(2 x - 1) + 3 x] = 2 x (2 x - 1)^{2} (5 x - 1)$ .

Sonuç:

f^{'} (x) = 2 x (2 x - 1)^{2} (5 x - 1)

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$f (x) = 4 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x - 9$ fonksiyonunun türevini bulunuz.

Her terime kuvvet ve doğrusal kuralları uygula: $f^{'} (x) = 4 \cdot 3 x^{2} - 7 \cdot 2 x + 2 \cdot 1 - 0$ .
Sadeleştir: $f^{'} (x) = 12 x^{2} - 14 x + 2$ .

Sonuç:

f^{'} (x) = 12 x^{2} - 14 x + 2

Örnek

Soru

$f (x) = \frac{3}{x ^{2}} + 4 3 x$ fonksiyonunun türevini bulunuz.

Üslü biçime geç: $f (x) = 3 x^{- 2} + 4 x^{1/3}$ .
Terim terim türev al: $f^{'} (x) = 3 \cdot (- 2) x^{- 3} + 4 \cdot \frac{1}{3} x^{- 2/3}$ .
Sadeleştir: $f^{'} (x) = - 6 x^{- 3} + \frac{4}{3} x^{- 2/3}$ .
Kök ve kesir biçimine dön: $f^{'} (x) = - \frac{6}{x ^{3}} + \frac{4}{3 3 x ^{2}}$ .

Sonuç:

f^{'} (x) = - \frac{6}{x ^{3}} + \frac{4}{3 3 x ^{2}}

Örnek

Soru

$f (x) = (x^{2} - 2 x) (x + 5)$ fonksiyonunun türevini çarpım kuralıyla bulunuz.

Çarpanları belirle: $u = x^{2} - 2 x$ , $u^{'} = 2 x - 2$ ; $v = x + 5$ , $v^{'} = 1$ .
Çarpım kuralını uygula: $f^{'} (x) = (2 x - 2) (x + 5) + (x^{2} - 2 x) \cdot 1$ .
Aç: $(2 x^{2} + 10 x - 2 x - 10) + (x^{2} - 2 x) = 2 x^{2} + 8 x - 10 + x^{2} - 2 x$ .
Benzer terimleri topla: $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x - 10$ .

Sonuç:

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x - 10

Örnek

Soru

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$ fonksiyonunun $x = 1$ noktasındaki türev değerini bulunuz.

Parçaları belirle: pay $u = x$ , $u^{'} = 1$ ; payda $v = x + 1$ , $v^{'} = 1$ .
Bölüm kuralı: $f^{'} (x) = \frac{1 \cdot ( x + 1 ) - x \cdot 1}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{x + 1 - x}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}$ .
$x = 1$ yerine koy: $f^{'} (1) = \frac{1}{( 1 + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{4}$ .

Sonuç:

f^{'} (1) = \frac{1}{4}

Örnek

Soru

$f (x) = (5 x - 3)^{6}$ fonksiyonunun türevini bulunuz.

Genelleştirilmiş kuvvet kuralı: dış üs $6$ , iç $u = 5 x - 3$ , $u^{'} = 5$ .
$f^{'} (x) = 6 (5 x - 3)^{5} \cdot 5$ .
Sadeleştir: $f^{'} (x) = 30 (5 x - 3)^{5}$ .

Sonuç:

f^{'} (x) = 30 (5 x - 3)^{5}

Örnek

Soru

$f (x) = \frac{( x - 1 ) ^{2}}{x}$ fonksiyonunun türevini bulunuz.

Parçaları belirle: pay $u = (x - 1)^{2}$ , zincir kuralıyla $u^{'} = 2 (x - 1)$ ; payda $v = x$ , $v^{'} = 1$ .
Bölüm kuralı: $f^{'} (x) = \frac{2 ( x - 1 ) \cdot x - ( x - 1 ) ^{2} \cdot 1}{x ^{2}}$ .
Payda ortak çarpan $(x - 1)$ parantezine al: $\frac{( x - 1 ) [ 2 x - ( x - 1 ) ]}{x ^{2}} = \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x ^{2}}$ .
Çarpımı aç: $f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2}} = 1 - \frac{1}{x ^{2}}$ .

Sonuç:

f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2}} = 1 - \frac{1}{x ^{2}}

Örnek

Soru

$f (x) = x 2 x + 5$ fonksiyonunun türevini bulup ortak paydada toplayınız.

Bu bir çarpım: $u = x$ , $u^{'} = 1$ ; $v = 2 x + 5 = (2 x + 5)^{1/2}$ .
$v$ için zincir kuralı: $v^{'} = \frac{1}{2} (2 x + 5)^{- 1/2} \cdot 2 = \frac{1}{2 x + 5}$ .
Çarpım kuralı: $f^{'} (x) = 1 \cdot 2 x + 5 + x \cdot \frac{1}{2 x + 5}$ .
Ortak paydada topla: $f^{'} (x) = \frac{( 2 x + 5 ) + x}{2 x + 5} = \frac{3 x + 5}{2 x + 5}$ .

Sonuç:

f^{'} (x) = \frac{3 x + 5}{2 x + 5}

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Kuvvet kuralı (polinom türevi): Sabit terimi türevde koruyup eklemek doğru cevaptan sabit kadar sapma
Negatif ve kesirli üslü (köklü / 1÷x) türev: Negatif üsün türevinde işareti yanlış almak doğru terimin işaretçe tersi
Çarpım kuralı: (f·g)′ = f′·g′ sanmak çarpanların türevlerinin çarpımı — çoğunlukla düşük dereceli, hatalı ifade
Bölüm kuralı: Payı f·g′ − f′·g (ters sıra) yazmak doğru cevabın işaretçe tersi
Zincir kuralı (bileşke fonksiyon): İç türevi (h′(x)) unutmak doğru cevabın iç türev katı kadar küçüğü
Çarpım + zincir birleşimi (sınav ayarı): Bileşke çarpanda iç türevi unutmak ikinci terimi eksik hesaplanmış toplam

Soru 1Zor

f (x) = (x^{2} - 3 x) (2 x + 1)^{4}

fonksiyonu veriliyor. Buna göre

f^{'} (1)

kaçtır?

Bu bir çarpım; ikinci çarpan için zincir kuralı gerekir: $u = x^{2} - 3 x$ , $u^{'} = 2 x - 3$ ; $v = (2 x + 1)^{4}$ , $v^{'} = 4 (2 x + 1)^{3} \cdot 2 = 8 (2 x + 1)^{3}$ .
Çarpım kuralı: $f^{'} (x) = (2 x - 3) (2 x + 1)^{4} + (x^{2} - 3 x) \cdot 8 (2 x + 1)^{3}$ .
$x = 1$ yerine koy: $2 x + 1 = 3$ , $x^{2} - 3 x = - 2$ , $2 x - 3 = - 1$ .
$f^{'} (1) = (- 1) \cdot 3^{4} + (- 2) \cdot 8 \cdot 3^{3} = - 81 + (- 16) \cdot 27 = - 81 - 432 = - 513$ .

Sonuç:

f^{'} (1) = - 513

Soru 2Orta

g (x) = x^{2} + 1

ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

f^{'} (2) = 3

veriliyor.

h (x) = f (g (x))

olsun. Buna göre

h^{'} (1)

kaçtır?

Zincir kuralı: $h^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ .
İç türev: $g^{'} (x) = 2 x$ , dolayısıyla $g^{'} (1) = 2$ .
İç fonksiyonun değeri: $g (1) = 1^{2} + 1 = 2$ , böylece $f^{'} (g (1)) = f^{'} (2) = 3$ .
$h^{'} (1) = f^{'} (2) \cdot g^{'} (1) = 3 \cdot 2 = 6$ .

Sonuç:

h^{'} (1) = 6

Soru 3Zor

f (x) = \frac{3 x + 1}{x}

fonksiyonu veriliyor. Buna göre

f^{'} (1)

kaçtır?

Pay için zincir kuralı: $u = (3 x + 1)^{1/2}$ , $u^{'} = \frac{1}{2} (3 x + 1)^{- 1/2} \cdot 3 = \frac{3}{2 3 x + 1}$ ; payda $v = x$ , $v^{'} = 1$ .
Bölüm kuralı: $f^{'} (x) = \frac{\frac{3}{2 3 x + 1} \cdot x - 3 x + 1}{x ^{2}}$ .
$x = 1$ yerine koy: $3 \cdot 1 + 1 = 4 = 2$ , dolayısıyla $u^{'} (1) = \frac{3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$ .
$f^{'} (1) = \frac{\frac{3}{4} \cdot 1 - 2}{1 ^{2}} = \frac{3}{4} - 2 = - \frac{5}{4}$ .

Sonuç:

f^{'} (1) = - \frac{5}{4}

Soru 4Orta

f

türevlenebilir bir fonksiyon olup

g (x) = f (x^{2} + 1)

biçiminde tanımlanıyor.

f^{'} (5) = 4

olduğu biliniyor. Buna göre

g^{'} (2)

kaçtır?

Zincir kuralı: $g^{'} (x) = f^{'} (x^{2} + 1) \cdot (x^{2} + 1)^{'} = f^{'} (x^{2} + 1) \cdot 2 x$ .
İç fonksiyonun $x = 2$ 'deki değeri: $2^{2} + 1 = 5$ , dolayısıyla $f^{'} (x^{2} + 1) = f^{'} (5) = 4$ .
İç türev: $2 x = 2 \cdot 2 = 4$ .
Çarp: $g^{'} (2) = 4 \cdot 4 = 16$ .

Sonuç:

g^{'} (2) = 16

Soru 5Orta

f (x) = \frac{a x + 1}{x ^{2} + 1}

fonksiyonunun

x = 0

noktasındaki türev değeri

3

'tür. Buna göre

a

kaçtır?

Bölüm kuralı: $f^{'} (x) = \frac{a ( x ^{2} + 1 ) - ( a x + 1 ) \cdot 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ .
$x = 0$ koy: pay $= a \cdot 1 - (0 + 1) \cdot 0 = a$ , payda $= (0 + 1)^{2} = 1$ .
Böylece $f^{'} (0) = a$ .
Koşul $f^{'} (0) = 3$ olduğundan $a = 3$ .

Sonuç:

a = 3

Soru 6Orta

f (x) = (x^{3} - 2 x + 1)^{5}

fonksiyonunun grafiğine

x = 1

apsisli noktada çizilen teğetin eğimi kaçtır?

Teğetin eğimi $f^{'} (1)$ 'dir. Genelleştirilmiş kuvvet kuralı: $f^{'} (x) = 5 (x^{3} - 2 x + 1)^{4} \cdot (3 x^{2} - 2)$ .
İç fonksiyonun $x = 1$ 'deki değeri: $1 - 2 + 1 = 0$ , dolayısıyla $(x^{3} - 2 x + 1)^{4} = 0^{4} = 0$ .
Dış çarpan sıfır olduğundan iç türevin değerine bakmaya gerek kalmadan $f^{'} (1) = 5 \cdot 0 \cdot (3 - 2) = 0$ .
Eğim sıfırdır; teğet yataydır.

Sonuç: eğim

= 0

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Çarpımın türevini ayrı ayrı çarpmak: $(f g)^{'} \neq = f^{'} g^{'}$ . Doğrusu $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ — iki terimli.
Zincir kuralında iç türevi unutmak: $((3 x^{2} - 5)^{4})^{'}$ yalnızca $4 (3 x^{2} - 5)^{3}$ değildir; $\cdot 6 x$ çarpanı şarttır.
Bölüm kuralında pay sırası ve işaret: Pay $f^{'} g - f g^{'}$ şeklindedir, $f g^{'} - f^{'} g$ değil. Sırayı karıştırmak işareti ters çevirir.
Kök/kesir ifadelerini üslü biçime çevirmemek: $x$ ve $\frac{1}{x}$ doğrudan türevlenmez; önce $x^{1/2}$ , $x^{- 1}$ yazın.

Sınav İpucu

AYT türev sorularının çoğu, zincir kuralının çarpım veya bölümle bileşimidir. Karmaşık bir ifadeyle karşılaşınca önce en dıştaki işlemi belirleyin: "Bu bir çarpım mı, bölüm mü, yoksa bir kuvvet mi?" Buna göre dış kuralı seçin, iç parçaları sonra türevleyin. Çıkan sonucu çoğunlukla ortak çarpan parantezine alabilirsiniz; şıklar genellikle çarpanlanmış biçimde verilir.

1. Kuvvet (Üs) Kuralı

2. Doğrusal Kurallar

3. Çarpım ve Bölüm Kuralları

4. Zincir Kuralı

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

İlgili yazılar

Türev — diğer konular