Türev Alma Kuralları — Soru Tipleri ve Tuzaklar

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

1. 01

   Kuvvet kuralı (polinom türevi)

   KolaySık çıkar

   Polinom veya kuvvet toplamının türevi ve bir noktada değeri. Konunun ısınma sorusu.

   Nasıl çözülür

   1. Her terim için üssü katsayıyla çarp, üssü bir azalt: (x^n)' = n·x^(n-1).
   2. Sabit terimin türevi 0; x'in katsayısı sabit terime iner.
   3. İstenen noktayı türevde yerine koy.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Sabit terimi türevde koruyup eklemek→doğru cevaptan sabit kadar sapma
   • Üssü azaltmadan yalnızca katsayıyla çarpmak→bir derece yüksek yanlış ifade

   Örnek

   f(x)=2x³−4x+1 ise f′(2) kaçtır?

   f′(x)=6x²−4, f′(2)=20

2. 02

   Negatif ve kesirli üslü (köklü / 1÷x) türev

   OrtaSık çıkar

   İfadeyi önce üslü biçime çevirmeyi gerektiren köklü ve paydada değişkenli türevler.

   Nasıl çözülür

   1. √x = x^(1/2), 1/x = x^(−1), 1/x² = x^(−2) biçiminde yaz.
   2. Kuvvet kuralını uygula; kesirli/negatif üste dikkat.
   3. Sonucu tekrar kök/kesir biçimine döndür.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Negatif üsün türevinde işareti yanlış almak→doğru terimin işaretçe tersi
   • Kesirli üsü 1 azaltmak yerine sabit bırakmak→yanlış üslü ifade

   Örnek

   f(x)=√x + 1/x ise f′(1) kaçtır?

   f′(x)=1/(2√x) − 1/x², f′(1)=−1/2

3. 03

   Çarpım kuralı

   OrtaSık çıkar

   İki çarpanın çarpımının türevi. En sık çeldirici: türevleri ayrı ayrı çarpmak.

   Nasıl çözülür

   1. (f·g)′ = f′·g + f·g′.
   2. Çarpanları ve türevlerini ayrı yaz, formüle yerleştir.
   3. Sadeleştir, sonra noktayı koy.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • (f·g)′ = f′·g′ sanmak→çarpanların türevlerinin çarpımı — çoğunlukla düşük dereceli, hatalı ifade
   • İkinci terimde f·g′ yerine f′·g′ yazmak→tek terimi yanlış toplam

   Örnek

   f(x)=(x²+1)(x−3) ise f′(1) kaçtır?

   f′(x)=2x(x−3)+(x²+1)=3x²−6x+1, f′(1)=−2

4. 04

   Bölüm kuralı

   OrtaSık çıkar

   Rasyonel ifadenin türevi. Pay sırası ve payda karesi kritik.

   Nasıl çözülür

   1. (f/g)′ = (f′·g − f·g′) / g².
   2. Payda kesinlikle KARE alınır.
   3. Payı düzenle; işaret hatasına karşı iki kez kontrol et.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Payı f·g′ − f′·g (ters sıra) yazmak→doğru cevabın işaretçe tersi
   • Paydanın karesini almayı unutmak→yanlış ölçekli değer

   Örnek

   f(x)=(x+1)/(x−1) ise f′(3) kaçtır?

   f′(x)=−2/(x−1)², f′(3)=−1/2

5. 05

   Zincir kuralı (bileşke fonksiyon)

   OrtaSık çıkar

   Dıştaki fonksiyonun türevi çarpı içteki fonksiyonun türevi. İç türevi unutmak konunun bir numaralı hatası.

   Nasıl çözülür

   1. Dış fonksiyonun türevini al, içi olduğu gibi bırak.
   2. İçteki fonksiyonun türeviyle çarp: [g(h(x))]′ = g′(h(x))·h′(x).
   3. İç türevi ASLA unutma.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • İç türevi (h′(x)) unutmak→doğru cevabın iç türev katı kadar küçüğü
   • Üsü bir azaltmayı unutmak→bir derece yüksek yanlış ifade

   Örnek

   f(x)=(2x−1)⁴ ise f′(1) kaçtır?

   f′(x)=4(2x−1)³·2=8(2x−1)³, f′(1)=8

6. 06

   Çarpım + zincir birleşimi (sınav ayarı)

   ZorSık çıkar

   Bir çarpanı bileşke olan çarpım. Gerçek sınav zorluğu burada; iki kuralın sırası şaşırılır.

   Nasıl çözülür

   1. Önce çarpım kuralını kur: (u·v)′ = u′v + uv′.
   2. Bileşke olan çarpanın türevini zincir kuralıyla al.
   3. Ortak çarpan parantezine alıp sadeleştir.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Bileşke çarpanda iç türevi unutmak→ikinci terimi eksik hesaplanmış toplam
   • Yalnız çarpım ya da yalnız zincir uygulamak→iki terimden biri eksik

   Örnek

   f(x)=x·(2x−1)³ ise f′(1) kaçtır?

   f′(x)=(2x−1)³+6x(2x−1)², f′(1)=1+6=7

   Sık birleştiği konular: Trigonometrik, Üstel ve Logaritmik Türevler, Türevin Uygulamaları

7. 07

   Türevden katsayı bulma (ters problem)

   Orta

   f′ ile ilgili bir koşul verilip fonksiyondaki bilinmeyen katsayı istenir. Kuralı ters yönde kullandırır.

   Nasıl çözülür

   1. Fonksiyonun türevini bilinmeyen katsayı cinsinden al.
   2. Verilen koşulu (ör. f′(x₀)=k) türevde yerine koy.
   3. Oluşan denklemi katsayı için çöz.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Koşulu türev yerine fonksiyonda kullanmak→ilgisiz bir katsayı değeri
   • Türev alırken katsayının üssünü yanlış indirmek→ölçekçe kaymış katsayı

   Örnek

   f(x)=x³+ax ve f′(2)=15 ise a kaçtır?

   f′(x)=3x²+a, 12+a=15 ⇒ a=3