12. Sınıf · Türev

Türevin Uygulamaları

~9 dk okumaZorluk: Zor18 çözümlü soru

Türev, fonksiyonun eğimini verdiği için bir fonksiyonun nerede arttığını, nerede azaldığını ve nerede tepe/çukur (ekstremum) yaptığını okumamızı sağlar. Bu fikir, "en büyük alan", "en küçük maliyet" gibi optimizasyon problemlerinin de anahtarıdır. Bu derste artan-azalan aralıkları, yerel maksimum-minimumu ve optimizasyon kurgusunu öğreneceğiz; bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Artan ve Azalan Aralıklar

Türevin işareti, fonksiyonun gidişini söyler:

$f'(x)>0 \Rightarrow f \text{ artar} \qquad\qquad f'(x)<0 \Rightarrow f \text{ azalır}$

Yani $f'(x)$ 'i bulup işaretini incelersek, hangi aralıkta grafiğin yükseldiğini, hangisinde alçaldığını buluruz.

Örnek

Soru

$f(x)=x^2-6x+5$ fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz.

$f'(x)$ 'i bul, $f'(x)=0$ kökünü işaretle; bu kökün solunda ve sağında türevin işaretine bak.

Türev: $f'(x)=2x-6$ .
Kök: $2x-6=0\Rightarrow x=3$ .
İşaret: $x<3$ için $f'<0$ (azalan), $x>3$ için $f'>0$ (artan).

Sonuç:

(-\infty,3)

azalan,

(3,\infty)

artan.

2. Yerel Ekstremum (Maksimum ve Minimum)

Türevin işaret değiştirdiği noktalar tepe veya çukur noktalarıdır. $f'(x)=0$ olan değerlere kritik nokta denir:

$f'$ , $+$ 'dan $-$ 'ye geçerse → yerel maksimum (tepe),
$f'$ , $-$ 'den $+$ 'ya geçerse → yerel minimum (çukur).

Şekil 1 — Bir fonksiyon ve yerel maksimumundaki yatay teğet. Tepe noktasında

f'(x)=0

'dır; türev, tepenin solunda pozitif (artan), sağında negatif (azalan) olur. İşaretin

+\to-

değişmesi noktayı yerel maksimum yapar.

Örnek

Soru

$f(x)=x^3-3x$ fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarını bulunuz.

$f'(x)=0$ kritik noktalarını bul; her kökün etrafında türevin işaret değişimine bak.

Türev: $f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$ .
Kritik noktalar: $x=-1$ ve $x=1$ .
İşaret: $x<-1$ 'de $f'>0$ , $-1<x<1$ 'de $f'<0$ , $x>1$ 'de $f'>0$ .
$x=-1$ 'de $+\to-$ → yerel maksimum; $f(-1)=-1+3=2$ .
$x=1$ 'de $-\to+$ → yerel minimum; $f(1)=1-3=-2$ .

Sonuç:

x=-1

'de yerel maks.

2

;

x=1

'de yerel min.

-2

3. İkinci Türev Testi

Kritik noktanın türü, ikinci türevin işaretiyle de belirlenir. $f'(a)=0$ olan bir $a$ için:

$f''(a)>0 \Rightarrow \text{yerel minimum} \qquad\qquad f''(a)<0 \Rightarrow \text{yerel maksimum}$

İkinci türev, grafiğin içbükey mi dışbükey mi olduğunu söyler: $f''>0$ ise yukarı bakan kâse (minimum), $f''<0$ ise aşağı bakan kubbe (maksimum).

Örnek

Soru

$f(x)=x^3-3x$ fonksiyonunun kritik noktalarını ikinci türev testiyle sınıflandırınız.

$f'(x)=3x^2-3$ , kritik noktalar $x=\pm 1$ .
İkinci türev: $f''(x)=6x$ .
$f''(-1)=-6<0$ → $x=-1$ yerel maksimum.
$f''(1)=6>0$ → $x=1$ yerel minimum.

Sonuç:

x=-1

maksimum,

x=1

minimum (işaret testiyle aynı sonuç).

4. Optimizasyon Problemleri

Gerçek hayatta "en büyük/en küçük" değeri ararken şu adımları izleriz:

Optimize edilecek niceliği (alan, hacim, maliyet…) tek değişkenli bir fonksiyon olarak yaz.
Türevini sıfıra eşitle, kritik noktayı bul.
İkinci türev veya işaret testiyle maksimum mu minimum mu olduğunu doğrula; istenen değeri hesapla.

Örnek

Soru

Çevresi $40$ m olan dikdörtgen bir bahçenin alanı en fazla kaç $\text{m}^2$ olabilir?

Kenarlar $x$ ve $y$ olsun; $2x+2y=40$ kısıtından $y=20-x$ . Alanı $A=x\,y$ tek değişkenle yaz.

Çevre kısıtı: $2x+2y=40\Rightarrow y=20-x$ .
Alan: $A(x)=x(20-x)=20x-x^2$ .
Türev: $A'(x)=20-2x$ ; $\;A'(x)=0\Rightarrow x=10$ .
$A''(x)=-2<0$ → maksimum. $y=20-10=10$ .
En büyük alan: $A=10\cdot 10=100\ \text{m}^2$ (kare olunca alan en büyüktür).

Sonuç:

100\ \text{m}^2

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$f(x)=x^2-8x+1$ fonksiyonunun yerel minimum değerini bulunuz.

$f'(x)=2x-8=0\Rightarrow x=4$ .
$f''(x)=2>0$ → yerel minimum.
Değer: $f(4)=16-32+1=-15$ .

Sonuç:

x=4

'te yerel minimum

-15

Örnek

Soru

$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$ fonksiyonunun artan olduğu aralıkları bulunuz.

$f'(x)$ ikinci dereceden bir ifade; köklerini bulup parabol işaretiyle ( $a>0$ , dışta pozitif) artan aralıkları belirle.

Türev: $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)$ .
Kökler: $x=1$ ve $x=3$ ; $a>0$ olduğundan ifade kökler dışında pozitiftir.
$f'(x)>0$ : $x<1$ veya $x>3$ .

Sonuç:

(-\infty,1)

(3,\infty)

aralıklarında artan.

Örnek

Soru

$f(x)=2x^3-3x^2-12x+5$ fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarını bulunuz.

Türev: $f'(x)=6x^2-6x-12=6(x^2-x-2)=6(x-2)(x+1)$ .
Kritik noktalar: $x=2$ , $x=-1$ .
İkinci türev: $f''(x)=12x-6$ . $f''(-1)=-18<0$ → maksimum; $f''(2)=18>0$ → minimum.
Değerler: $f(-1)=-2-3+12+5=12$ ; $\;f(2)=16-12-24+5=-15$ .

Sonuç:

x=-1

'de yerel maks.

12

;

x=2

'de yerel min.

-15

Örnek

Soru

Toplamları $20$ olan iki pozitif sayının çarpımı en fazla kaç olabilir?

Sayılar $x$ ve $20-x$ ; çarpım $P(x)=x(20-x)$ . Türevini sıfırla.

$P(x)=x(20-x)=20x-x^2$ .
$P'(x)=20-2x=0\Rightarrow x=10$ .
$P''(x)=-2<0$ → maksimum; diğer sayı $20-10=10$ .
En büyük çarpım: $10\cdot 10=100$ .

Sonuç:

100

Örnek

Soru

Hacmi sabit kalemleri bir kenara bırakalım: $f(x)=x^3-12x$ fonksiyonu $[-3,3]$ aralığında en küçük değerini nerede alır?

Kapalı aralıkta mutlak ekstremum, ya kritik noktalarda ya da uç noktalarda olur. Her ikisini de hesapla, en küçüğünü seç.

Türev: $f'(x)=3x^2-12=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2)$ ; kritik noktalar $x=\pm 2$ (ikisi de aralıkta).
Aday değerler: uçlar $x=-3,\ 3$ ve kritik $x=-2,\ 2$ .
$f(-3)=-27+36=9$ ; $\;f(-2)=-8+24=16$ ; $\;f(2)=8-24=-16$ ; $\;f(3)=27-36=-9$ .
En küçük: $f(2)=-16$ .

Sonuç:

x=2

'de en küçük değer

-16

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$f(x)=x^2-10x+3$ fonksiyonu hangi aralıkta azalandır?

$f'(x)=2x-10=0\Rightarrow x=5$ .
$x<5$ için $f'<0$ → azalan.

Sonuç:

(-\infty,5)

Örnek

Soru

$f(x)=x^2+4x+7$ fonksiyonunun yerel minimum değeri kaçtır?

$f'(x)=2x+4=0\Rightarrow x=-2$ .
$f(-2)=4-8+7=3$ .

Sonuç:

3

(en küçük değer,

x=-2

Örnek

Soru

$f(x)=x^3-3x^2$ fonksiyonunun kritik noktalarının apsislerini bul.

$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)=0$ .
$x=0$ ve $x=2$ .

Sonuç:

x=0

x=2

Örnek

Soru

$f(x)=x^3-3x^2$ fonksiyonunda $x=0$ ve $x=2$ kritik noktalarını ikinci türev testiyle sınıflandır.

$f''(x)=6x-6$ .
$f''(0)=-6<0$ → $x=0$ yerel maksimum.
$f''(2)=6>0$ → $x=2$ yerel minimum.

Sonuç:

x=0

maks.,

x=2

min.

Örnek

Soru

Toplamları $12$ olan iki pozitif sayının kareleri toplamı en az kaç olabilir?

Sayılar $x$ ve $12-x$ ; $S(x)=x^2+(12-x)^2$ . Türevini sıfırla.

$S(x)=x^2+(12-x)^2=x^2+144-24x+x^2=2x^2-24x+144$ .
$S'(x)=4x-24=0\Rightarrow x=6$ .
$S''(x)=4>0$ → minimum; diğer sayı $6$ .
En küçük değer: $S(6)=2\cdot 36-144+144=72$ .

Sonuç:

72

(iki sayı da

6

iken).

Örnek

Soru

$f(x)=x^3+1$ fonksiyonu artan mıdır? Türev işaretiyle açıkla.

$f'(x)=3x^2$ .
$3x^2\ge 0$ her $x$ için; yalnız $x=0$ 'da sıfır.
Türev hiç negatif olmadığından fonksiyon her yerde artandır.

Sonuç: Evet,

\mathbb{R}

üzerinde artandır.

Örnek

Soru

$f(x)=\dfrac{1}{3}x^3-4x$ fonksiyonunun yerel maksimum değerini bul.

$f'(x)=x^2-4$ ; köklerini bul, ikinci türevle hangisinin maksimum olduğunu belirle.

$f'(x)=x^2-4=0\Rightarrow x=\pm 2$ .
$f''(x)=2x$ ; $f''(-2)=-4<0$ → $x=-2$ yerel maksimum.
Değer: $f(-2)=\dfrac{1}{3}(-8)-4(-2)=-\dfrac{8}{3}+8=\dfrac{16}{3}$ .

Sonuç:

x=-2

'de yerel maksimum

\dfrac{16}{3}

Örnek

Soru

Bir karton, kenarı $12$ cm olan kare biçimindedir. Dört köşesinden kenarı $x$ cm olan kareler kesilip kenarlar yukarı katlanarak üstü açık bir kutu yapılıyor. Hacmi en büyük yapan $x$ değerini bul.

Taban kenarı $12-2x$ , yükseklik $x$ . Hacim $V(x)=(12-2x)^2\,x$ . Türevini sıfırla; $0<x<6$ aralığında geçerli kökü seç.

Hacim: $V(x)=(12-2x)^2\,x=(144-48x+4x^2)x=4x^3-48x^2+144x$ .
Türev: $V'(x)=12x^2-96x+144=12(x^2-8x+12)=12(x-2)(x-6)$ .
Kökler: $x=2$ ve $x=6$ . Ama $x=6$ olunca taban $12-12=0$ olur (kutu kalmaz); geçerli kök $x=2$ .
İşaret: $0<x<2$ 'de $V'>0$ , $2<x<6$ 'da $V'<0$ → $x=2$ maksimum.

Sonuç:

x=2

cm.

Örnek

Soru

Çevresi $24$ cm olan dikdörtgenlerden hangisinin alanı en büyüktür ve bu alan kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

$2x+2y=24\Rightarrow y=12-x$ ; alan $A(x)=x(12-x)$ . $0<x<12$ aralığında türevi sıfırla.

Kısıt: $y=12-x$ ; alan $A(x)=x(12-x)=12x-x^2$ .
$A'(x)=12-2x=0\Rightarrow x=6$ .
$A''(x)=-2<0$ → maksimum; $y=12-6=6$ (kare).
En büyük alan: $A=6\cdot 6=36\ \text{cm}^2$ .

Sonuç: Kenarları

6

cm olan kare; alan

36\ \text{cm}^2

Sık Yapılan Hatalar

$f'(x)=0$ olan her noktayı ekstremum sanmak. Türev sıfır olsa da işaret değişmiyorsa orada ekstremum yoktur (örneğin $f(x)=x^3$ , $x=0$ ).
Artan-azalanı türev işareti yerine fonksiyon işaretiyle karıştırmak. Gidişi $f'(x)$ 'in işareti belirler, $f(x)$ 'in işareti değil.
Kapalı aralıkta uç noktaları unutmak. $[a,b]$ üzerinde en büyük/küçük değer, kritik noktalar ve uçlardan ( $a$ , $b$ ) birinde olur; hepsini kıyasla.
Optimizasyonda kısıtı kullanmadan iki değişkenle kalmak. Önce kısıttan bir değişkeni yok edip fonksiyonu tek değişkenli yap; ancak o zaman türev alınır.

Not: Uygulama sorularının iskeleti hep aynı: fonksiyonu kur → türevini sıfırla → kritik noktayı sınıflandır. Optimizasyonda geometrik kısıtla değişkeni teke indirmeyi ve $x$ 'in geçerli aralığını kontrol etmeyi unutma.

1. Artan ve Azalan Aralıklar

2. Yerel Ekstremum (Maksimum ve Minimum)

3. İkinci Türev Testi

4. Optimizasyon Problemleri

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Türev — diğer konular