12. Sınıf · Türev

Türevin Uygulamaları

~9 dk okumaZorluk: Zor6 çözümlü soru

Türev, fonksiyonun eğimini verdiği için bir fonksiyonun nerede arttığını, nerede azaldığını ve nerede tepe/çukur (ekstremum) yaptığını okumamızı sağlar. Bu fikir, "en büyük alan", "en küçük maliyet" gibi optimizasyon problemlerinin de anahtarıdır. Bu derste artan-azalan aralıkları, yerel maksimum-minimumu ve optimizasyon kurgusunu öğreneceğiz; bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Artan ve Azalan Aralıklar

Türevin işareti, fonksiyonun gidişini söyler:

$f^{'} (x) > 0 \Rightarrow f artar f^{'} (x) < 0 \Rightarrow f azal ı r$

Yani $f^{'} (x)$ 'i bulup işaretini incelersek, hangi aralıkta grafiğin yükseldiğini, hangisinde alçaldığını buluruz.

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz.

$f^{'} (x)$ 'i bul, $f^{'} (x) = 0$ kökünü işaretle; bu kökün solunda ve sağında türevin işaretine bak.

Türev: $f^{'} (x) = 2 x - 6$ .
Kök: $2 x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$ .
İşaret: $x < 3$ için $f^{'} < 0$ (azalan), $x > 3$ için $f^{'} > 0$ (artan).

Sonuç:

(- \infty, 3)

azalan,

(3, \infty)

artan.

2. Yerel Ekstremum (Maksimum ve Minimum)

Türevin işaret değiştirdiği noktalar tepe veya çukur noktalarıdır. $f^{'} (x) = 0$ olan değerlere kritik nokta denir:

$f^{'}$ , $+$ 'dan $-$ 'ye geçerse → yerel maksimum (tepe),
$f^{'}$ , $-$ 'den $+$ 'ya geçerse → yerel minimum (çukur).

Şekil 1 — Bir fonksiyon ve yerel maksimumundaki yatay teğet. Tepe noktasında

f^{'} (x) = 0

'dır; türev, tepenin solunda pozitif (artan), sağında negatif (azalan) olur. İşaretin

+ \to -

değişmesi noktayı yerel maksimum yapar.

Örnek

Soru

$f (x) = x^{3} - 3 x$ fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarını bulunuz.

$f^{'} (x) = 0$ kritik noktalarını bul; her kökün etrafında türevin işaret değişimine bak.

Türev: $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x^{2} - 1) = 3 (x - 1) (x + 1)$ .
Kritik noktalar: $x = - 1$ ve $x = 1$ .
İşaret: $x < - 1$ 'de $f^{'} > 0$ , $- 1 < x < 1$ 'de $f^{'} < 0$ , $x > 1$ 'de $f^{'} > 0$ .
$x = - 1$ 'de $+ \to -$ → yerel maksimum; $f (- 1) = - 1 + 3 = 2$ .
$x = 1$ 'de $- \to +$ → yerel minimum; $f (1) = 1 - 3 = - 2$ .

Sonuç:

x = - 1

'de yerel maks.

2

;

x = 1

'de yerel min.

- 2

3. İkinci Türev Testi

Kritik noktanın türü, ikinci türevin işaretiyle de belirlenir. $f^{'} (a) = 0$ olan bir $a$ için:

$f^{''} (a) > 0 \Rightarrow yerel minimum f^{''} (a) < 0 \Rightarrow yerel maksimum$

İkinci türev, grafiğin içbükey mi dışbükey mi olduğunu söyler: $f^{''} > 0$ ise yukarı bakan kâse (minimum), $f^{''} < 0$ ise aşağı bakan kubbe (maksimum).

Örnek

Soru

$f (x) = x^{3} - 3 x$ fonksiyonunun kritik noktalarını ikinci türev testiyle sınıflandırınız.

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ , kritik noktalar $x = \pm 1$ .
İkinci türev: $f^{''} (x) = 6 x$ .
$f^{''} (- 1) = - 6 < 0$ → $x = - 1$ yerel maksimum.
$f^{''} (1) = 6 > 0$ → $x = 1$ yerel minimum.

Sonuç:

x = - 1

maksimum,

x = 1

minimum (işaret testiyle aynı sonuç).

4. Optimizasyon Problemleri

Gerçek hayatta "en büyük/en küçük" değeri ararken şu adımları izleriz:

Optimize edilecek niceliği (alan, hacim, maliyet…) tek değişkenli bir fonksiyon olarak yaz.
Türevini sıfıra eşitle, kritik noktayı bul.
İkinci türev veya işaret testiyle maksimum mu minimum mu olduğunu doğrula; istenen değeri hesapla.

Örnek

Soru

Çevresi $40$ m olan dikdörtgen bir bahçenin alanı en fazla kaç $m^{2}$ olabilir?

Kenarlar $x$ ve $y$ olsun; $2 x + 2 y = 40$ kısıtından $y = 20 - x$ . Alanı $A = x y$ tek değişkenle yaz.

Çevre kısıtı: $2 x + 2 y = 40 \Rightarrow y = 20 - x$ .
Alan: $A (x) = x (20 - x) = 20 x - x^{2}$ .
Türev: $A^{'} (x) = 20 - 2 x$ ; $A^{'} (x) = 0 \Rightarrow x = 10$ .
$A^{''} (x) = - 2 < 0$ → maksimum. $y = 20 - 10 = 10$ .
En büyük alan: $A = 10 \cdot 10 = 100 m^{2}$ (kare olunca alan en büyüktür).

Sonuç:

100 m^{2}

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2} - 8 x + 1$ fonksiyonunun yerel minimum değerini bulunuz.

$f^{'} (x) = 2 x - 8 = 0 \Rightarrow x = 4$ .
$f^{''} (x) = 2 > 0$ → yerel minimum.
Değer: $f (4) = 16 - 32 + 1 = - 15$ .

Sonuç:

x = 4

'te yerel minimum

- 15

Örnek

Soru

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ fonksiyonunun artan olduğu aralıkları bulunuz.

$f^{'} (x)$ ikinci dereceden bir ifade; köklerini bulup parabol işaretiyle ( $a > 0$ , dışta pozitif) artan aralıkları belirle.

Türev: $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 = 3 (x^{2} - 4 x + 3) = 3 (x - 1) (x - 3)$ .
Kökler: $x = 1$ ve $x = 3$ ; $a > 0$ olduğundan ifade kökler dışında pozitiftir.
$f^{'} (x) > 0$ : $x < 1$ veya $x > 3$ .

Sonuç:

(- \infty, 1)

(3, \infty)

aralıklarında artan.

Örnek

Soru

$f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 5$ fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarını bulunuz.

Türev: $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12 = 6 (x^{2} - x - 2) = 6 (x - 2) (x + 1)$ .
Kritik noktalar: $x = 2$ , $x = - 1$ .
İkinci türev: $f^{''} (x) = 12 x - 6$ . $f^{''} (- 1) = - 18 < 0$ → maksimum; $f^{''} (2) = 18 > 0$ → minimum.
Değerler: $f (- 1) = - 2 - 3 + 12 + 5 = 12$ ; $f (2) = 16 - 12 - 24 + 5 = - 15$ .

Sonuç:

x = - 1

'de yerel maks.

12

;

x = 2

'de yerel min.

- 15

Örnek

Soru

Toplamları $20$ olan iki pozitif sayının çarpımı en fazla kaç olabilir?

Sayılar $x$ ve $20 - x$ ; çarpım $P (x) = x (20 - x)$ . Türevini sıfırla.

$P (x) = x (20 - x) = 20 x - x^{2}$ .
$P^{'} (x) = 20 - 2 x = 0 \Rightarrow x = 10$ .
$P^{''} (x) = - 2 < 0$ → maksimum; diğer sayı $20 - 10 = 10$ .
En büyük çarpım: $10 \cdot 10 = 100$ .

Sonuç:

100

Örnek

Soru

Hacmi sabit kalemleri bir kenara bırakalım: $f (x) = x^{3} - 12 x$ fonksiyonu $[- 3, 3]$ aralığında en küçük değerini nerede alır?

Kapalı aralıkta mutlak ekstremum, ya kritik noktalarda ya da uç noktalarda olur. Her ikisini de hesapla, en küçüğünü seç.

Türev: $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 = 3 (x^{2} - 4) = 3 (x - 2) (x + 2)$ ; kritik noktalar $x = \pm 2$ (ikisi de aralıkta).
Aday değerler: uçlar $x = - 3, 3$ ve kritik $x = - 2, 2$ .
$f (- 3) = - 27 + 36 = 9$ ; $f (- 2) = - 8 + 24 = 16$ ; $f (2) = 8 - 24 = - 16$ ; $f (3) = 27 - 36 = - 9$ .
En küçük: $f (2) = - 16$ .

Sonuç:

x = 2

'de en küçük değer

- 16

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2} - 10 x + 3$ fonksiyonu hangi aralıkta azalandır?

$f^{'} (x) = 2 x - 10 = 0 \Rightarrow x = 5$ .
$x < 5$ için $f^{'} < 0$ → azalan.

Sonuç:

(- \infty, 5)

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2} + 4 x + 7$ fonksiyonunun yerel minimum değeri kaçtır?

$f^{'} (x) = 2 x + 4 = 0 \Rightarrow x = - 2$ .
$f (- 2) = 4 - 8 + 7 = 3$ .

Sonuç:

3

(en küçük değer,

x = - 2

Örnek

Soru

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ fonksiyonunun kritik noktalarının apsislerini bul.

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2) = 0$ .
$x = 0$ ve $x = 2$ .

Sonuç:

x = 0

x = 2

Örnek

Soru

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ fonksiyonunda $x = 0$ ve $x = 2$ kritik noktalarını ikinci türev testiyle sınıflandır.

$f^{''} (x) = 6 x - 6$ .
$f^{''} (0) = - 6 < 0$ → $x = 0$ yerel maksimum.
$f^{''} (2) = 6 > 0$ → $x = 2$ yerel minimum.

Sonuç:

x = 0

maks.,

x = 2

min.

Örnek

Soru

Toplamları $12$ olan iki pozitif sayının kareleri toplamı en az kaç olabilir?

Sayılar $x$ ve $12 - x$ ; $S (x) = x^{2} + (12 - x)^{2}$ . Türevini sıfırla.

$S (x) = x^{2} + (12 - x)^{2} = x^{2} + 144 - 24 x + x^{2} = 2 x^{2} - 24 x + 144$ .
$S^{'} (x) = 4 x - 24 = 0 \Rightarrow x = 6$ .
$S^{''} (x) = 4 > 0$ → minimum; diğer sayı $6$ .
En küçük değer: $S (6) = 2 \cdot 36 - 144 + 144 = 72$ .

Sonuç:

72

(iki sayı da

6

iken).

Örnek

Soru

$f (x) = x^{3} + 1$ fonksiyonu artan mıdır? Türev işaretiyle açıkla.

$f^{'} (x) = 3 x^{2}$ .
$3 x^{2} \geq 0$ her $x$ için; yalnız $x = 0$ 'da sıfır.
Türev hiç negatif olmadığından fonksiyon her yerde artandır.

Sonuç: Evet,

R

üzerinde artandır.

Örnek

Soru

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x$ fonksiyonunun yerel maksimum değerini bul.

$f^{'} (x) = x^{2} - 4$ ; köklerini bul, ikinci türevle hangisinin maksimum olduğunu belirle.

$f^{'} (x) = x^{2} - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$ .
$f^{''} (x) = 2 x$ ; $f^{''} (- 2) = - 4 < 0$ → $x = - 2$ yerel maksimum.
Değer: $f (- 2) = \frac{1}{3} (- 8) - 4 (- 2) = - \frac{8}{3} + 8 = \frac{16}{3}$ .

Sonuç:

x = - 2

'de yerel maksimum

\frac{16}{3}

Örnek

Soru

Bir karton, kenarı $12$ cm olan kare biçimindedir. Dört köşesinden kenarı $x$ cm olan kareler kesilip kenarlar yukarı katlanarak üstü açık bir kutu yapılıyor. Hacmi en büyük yapan $x$ değerini bul.

Taban kenarı $12 - 2 x$ , yükseklik $x$ . Hacim $V (x) = (12 - 2 x)^{2} x$ . Türevini sıfırla; $0 < x < 6$ aralığında geçerli kökü seç.

Hacim: $V (x) = (12 - 2 x)^{2} x = (144 - 48 x + 4 x^{2}) x = 4 x^{3} - 48 x^{2} + 144 x$ .
Türev: $V^{'} (x) = 12 x^{2} - 96 x + 144 = 12 (x^{2} - 8 x + 12) = 12 (x - 2) (x - 6)$ .
Kökler: $x = 2$ ve $x = 6$ . Ama $x = 6$ olunca taban $12 - 12 = 0$ olur (kutu kalmaz); geçerli kök $x = 2$ .
İşaret: $0 < x < 2$ 'de $V^{'} > 0$ , $2 < x < 6$ 'da $V^{'} < 0$ → $x = 2$ maksimum.

Sonuç:

x = 2

cm.

Örnek

Soru

Çevresi $24$ cm olan dikdörtgenlerden hangisinin alanı en büyüktür ve bu alan kaç $cm^{2}$ 'dir?

$2 x + 2 y = 24 \Rightarrow y = 12 - x$ ; alan $A (x) = x (12 - x)$ . $0 < x < 12$ aralığında türevi sıfırla.

Kısıt: $y = 12 - x$ ; alan $A (x) = x (12 - x) = 12 x - x^{2}$ .
$A^{'} (x) = 12 - 2 x = 0 \Rightarrow x = 6$ .
$A^{''} (x) = - 2 < 0$ → maksimum; $y = 12 - 6 = 6$ (kare).
En büyük alan: $A = 6 \cdot 6 = 36 cm^{2}$ .

Sonuç: Kenarları

6

cm olan kare; alan

36 cm^{2}

Sık Yapılan Hatalar

$f^{'} (x) = 0$ olan her noktayı ekstremum sanmak. Türev sıfır olsa da işaret değişmiyorsa orada ekstremum yoktur (örneğin $f (x) = x^{3}$ , $x = 0$ ).
Artan-azalanı türev işareti yerine fonksiyon işaretiyle karıştırmak. Gidişi $f^{'} (x)$ 'in işareti belirler, $f (x)$ 'in işareti değil.
Kapalı aralıkta uç noktaları unutmak. $[a, b]$ üzerinde en büyük/küçük değer, kritik noktalar ve uçlardan ( $a$ , $b$ ) birinde olur; hepsini kıyasla.
Optimizasyonda kısıtı kullanmadan iki değişkenle kalmak. Önce kısıttan bir değişkeni yok edip fonksiyonu tek değişkenli yap; ancak o zaman türev alınır.

Not: Uygulama sorularının iskeleti hep aynı: fonksiyonu kur → türevini sıfırla → kritik noktayı sınıflandır. Optimizasyonda geometrik kısıtla değişkeni teke indirmeyi ve $x$ 'in geçerli aralığını kontrol etmeyi unutma.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

f (x) = x^{2} - 12 x + 7

fonksiyonu aşağıdaki aralıkların hangisinde azalandır?

Türevi al: $f^{'} (x) = 2 x - 12$ .
Kritik noktayı bul: $2 x - 12 = 0 \Rightarrow x = 6$ .
$a > 0$ olan parabolde türev, kökün solunda negatiftir: $x < 6$ için $f^{'} (x) < 0$ , yani $f$ azalandır.
Dolayısıyla azalan aralık $(- \infty, 6)$ 'dır.

Sonuç:

(- \infty, 6)

Soru 2Orta

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 2

fonksiyonunun yerel maksimum değeri kaçtır?

Türevi al: $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 = 3 (x^{2} - 2 x - 3) = 3 (x - 3) (x + 1)$ .
Kritik noktalar: $x = - 1$ ve $x = 3$ .
İkinci türev: $f^{''} (x) = 6 x - 6$ . $f^{''} (- 1) = - 12 < 0$ olduğundan $x = - 1$ yerel maksimumdur.
Değeri hesapla: $f (- 1) = (- 1)^{3} - 3 (- 1)^{2} - 9 (- 1) + 2 = - 1 - 3 + 9 + 2 = 7$ .

Sonuç: Yerel maksimum değeri

7

'dir (

x = - 1

Soru 3Orta

f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 5

fonksiyonunun kritik noktaları ikinci türev testiyle sınıflandırıldığında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Türevi al: $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x = 3 x (x - 4)$ .
Kritik noktalar: $x = 0$ ve $x = 4$ .
İkinci türev: $f^{''} (x) = 6 x - 12$ .
$f^{''} (0) = - 12 < 0$ olduğundan $x = 0$ yerel maksimumdur.
$f^{''} (4) = 24 - 12 = 12 > 0$ olduğundan $x = 4$ yerel minimumdur.

Sonuç:

x = 0

yerel maksimum,

x = 4

yerel minimum.

Soru 4Orta

f (x) = x^{3} - 3 x

fonksiyonunun

[0, 3]

kapalı aralığındaki en küçük değeri kaçtır?

Türevi al: $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)$ ; kritik noktalar $x = 1$ ve $x = - 1$ .
Yalnızca $x = 1$ aralık içindedir ( $x = - 1$ aralık dışıdır).
Kapalı aralıkta adaylar: uçlar $x = 0, 3$ ve kritik $x = 1$ .
Değerleri hesapla: $f (0) = 0$ , $f (1) = 1 - 3 = - 2$ , $f (3) = 27 - 9 = 18$ .
En küçüğü $f (1) = - 2$ 'dir.

Sonuç: En küçük değer

- 2

'dir (

x = 1

Soru 5Orta

Bir duvarın önüne, duvara dayalı dikdörtgen bir bahçe çevrilecektir. Duvar tarafına tel çekilmeyecek; kalan üç kenar için toplam

60

m tel kullanılacaktır. Bu bahçenin alanı en fazla kaç

m^{2}

olabilir?

Duvara dik iki kenar $x$ , duvara paralel kenar $y$ olsun. Tel kısıtı: $2 x + y = 60$ , buradan $y = 60 - 2 x$ .
Alan: $A (x) = x \cdot y = x (60 - 2 x) = 60 x - 2 x^{2}$ .
Türev: $A^{'} (x) = 60 - 4 x = 0 \Rightarrow x = 15$ .
İkinci türev: $A^{''} (x) = - 4 < 0$ olduğundan bu bir maksimumdur; $y = 60 - 2 \cdot 15 = 30$ .
En büyük alan: $A = 15 \cdot 30 = 450 m^{2}$ .

Sonuç:

450 m^{2}

Soru 6Zor

Kare tabanlı, üstü açık bir kutunun hacmi

32 cm^{3}

olacaktır. Kutunun toplam yüzey alanının (taban + dört yan yüz) en küçük olması için gereken malzeme kaç

cm^{2}

'dir?

Taban kenarı $x$ , yükseklik $h$ olsun. Hacim kısıtı: $x^{2} h = 32 \Rightarrow h = \frac{32}{x ^{2}}$ .
Üstü açık kutunun yüzey alanı: $S = x^{2} + 4 x h = x^{2} + 4 x \cdot \frac{32}{x ^{2}} = x^{2} + \frac{128}{x}$ .
Türev: $S^{'} (x) = 2 x - \frac{128}{x ^{2}} = 0 \Rightarrow 2 x^{3} = 128 \Rightarrow x^{3} = 64 \Rightarrow x = 4$ .
İkinci türev $S^{''} (x) = 2 + \frac{256}{x ^{3}} > 0$ olduğundan bu bir minimumdur.
Yüzey alanı: $S = 4^{2} + \frac{128}{4} = 16 + 32 = 48 cm^{2}$ .

Sonuç:

48 cm^{2}

0/6 soru cevaplandı

1. Artan ve Azalan Aralıklar

2. Yerel Ekstremum (Maksimum ve Minimum)

3. İkinci Türev Testi

4. Optimizasyon Problemleri

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Türev — diğer konular