12. Sınıf · Türev

Türev Alma Kuralları

~8 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

Her türevi limit tanımından almak yorucu olurdu. Neyse ki birkaç kural öğrenerek polinom, kesir ve bileşke fonksiyonların türevini saniyeler içinde alabiliriz. Bu derste üs (kuvvet) kuralını, sabitle çarpım, toplam-fark, çarpım, bölüm ve zincir kuralını öğreneceğiz. Bunlar türevin tüm uygulamalarının temelidir; bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Sabit ve Üs (Kuvvet) Kuralı

Sabit bir fonksiyonun türevi sıfırdır; bir kuvvet fonksiyonunun türevinde üs öne iner, kalan üs bir azalır:

$(c)^{'} = 0 (x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$

Bu kural her gerçek $n$ için geçerlidir; örneğin $(x)^{'} = 1$ , $(x^{2})^{'} = 2 x$ , $(x)^{'} = (x^{1/2})^{'} = \frac{1}{2} x^{- 1/2} = \frac{1}{2 x}$ .

Örnek

Soru

$f (x) = x^{5}$ ve $g (x) = x^{- 3}$ fonksiyonlarının türevlerini bulunuz.

$f^{'} (x) = 5 x^{5 - 1} = 5 x^{4}$ .
$g^{'} (x) = - 3 x^{- 3 - 1} = - 3 x^{- 4} = - \frac{3}{x ^{4}}$ .

Sonuç:

f^{'} (x) = 5 x^{4}

g^{'} (x) = - \frac{3}{x ^{4}}

2. Sabitle Çarpım, Toplam ve Fark

Bir sabit, türevin önünde sabit kalır; toplam ve farkın türevi, terimlerin türevlerinin toplamı/farkıdır:

$(c \cdot f)^{'} = c \cdot f^{'} (f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}$

Böylece her polinomun türevini terim terim alabiliriz.

Örnek

Soru

$f (x) = 4 x^{3} - 2 x^{2} + 7 x - 9$ fonksiyonunun türevini bulunuz.

Terim terim: $(4 x^{3})^{'} = 12 x^{2}$ , $(2 x^{2})^{'} = 4 x$ , $(7 x)^{'} = 7$ , $(9)^{'} = 0$ .
Birleştir: $f^{'} (x) = 12 x^{2} - 4 x + 7$ .

Sonuç:

f^{'} (x) = 12 x^{2} - 4 x + 7

3. Çarpım Kuralı

İki fonksiyonun çarpımının türevi, "birinin türevi çarpı diğeri, artı diğerinin türevi çarpı birincisi" biçimindedir:

$(f \cdot g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$

Dikkat: $(f \cdot g)^{'} \neq = f^{'} \cdot g^{'}$ . Çarpımın türevi, türevlerin çarpımı değildir.

Örnek

Soru

$y = (x^{2} + 1) (3 x - 2)$ fonksiyonunun türevini çarpım kuralıyla bulunuz.

$f = x^{2} + 1$ , $g = 3 x - 2$ al; $f^{'} = 2 x$ , $g^{'} = 3$ . Sonra $f^{'} g + f g^{'}$ formülüne yerleştir.

$f = x^{2} + 1 \Rightarrow f^{'} = 2 x$ ; $g = 3 x - 2 \Rightarrow g^{'} = 3$ .
Formül: $y^{'} = f^{'} g + f g^{'} = 2 x (3 x - 2) + (x^{2} + 1) \cdot 3$ .
Aç: $6 x^{2} - 4 x + 3 x^{2} + 3 = 9 x^{2} - 4 x + 3$ .

Sonuç:

y^{'} = 9 x^{2} - 4 x + 3

4. Bölüm Kuralı

İki fonksiyonun bölümünün türevi:

$(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$

Payda kareye gider; paydaki çıkarmanın sırası önemlidir ( $f^{'} g$ önce gelir).

Örnek

Soru

$y = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ fonksiyonunun türevini bulunuz.

$f = 2 x + 1$ , $g = x - 3$ ; $f^{'} = 2$ , $g^{'} = 1$ . Pay $f^{'} g - f g^{'}$ , payda $g^{2} = (x - 3)^{2}$ olur.

$f = 2 x + 1 \Rightarrow f^{'} = 2$ ; $g = x - 3 \Rightarrow g^{'} = 1$ .
Pay: $f^{'} g - f g^{'} = 2 (x - 3) - (2 x + 1) \cdot 1 = 2 x - 6 - 2 x - 1 = - 7$ .
Payda: $g^{2} = (x - 3)^{2}$ .
Sonuç: $y^{'} = \frac{- 7}{( x - 3 ) ^{2}}$ .

Sonuç:

y^{'} = \frac{- 7}{( x - 3 ) ^{2}}

5. Zincir Kuralı (Bileşke Fonksiyon)

Bir fonksiyonun içinde başka bir fonksiyon varsa ( $y = f (g (x))$ ), dışın türevi çarpı için türevi alınır:

$(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$

Örneğin $(g (x)^{n})^{'} = n g (x)^{n - 1} \cdot g^{'} (x)$ . "Önce dış kabuğu türetip içi olduğu gibi bırak, sonra için türeviyle çarp" diye düşün.

Şekil 1 —

y = x^{2} - 4 x + 3

parabolü. Türevi

y^{'} = 2 x - 4

olup tepe noktası

T (2, - 1)

'de

y^{'} = 0

(yatay teğet). Tepenin solunda

y^{'} < 0

(azalan), sağında

y^{'} > 0

(artan) olması, türevin grafik davranışını nasıl okuduğunu gösterir.

Örnek

Soru

$y = (3 x + 1)^{4}$ fonksiyonunun türevini zincir kuralıyla bulunuz.

Dış fonksiyon $u^{4}$ , iç fonksiyon $u = 3 x + 1$ . Dışın türevi $4 u^{3}$ , için türevi $3$ .

İç: $u = 3 x + 1$ , $u^{'} = 3$ . Dış: $u^{4}$ , türevi $4 u^{3}$ .
Zincir: $y^{'} = 4 (3 x + 1)^{3} \cdot 3 = 12 (3 x + 1)^{3}$ .

Sonuç:

y^{'} = 12 (3 x + 1)^{3}

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$f (x) = x^{4} - 5 x^{2} + 6$ fonksiyonunun türevini ve $f^{'} (1)$ değerini bulunuz.

Türev: $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 10 x$ .
$x = 1$ : $f^{'} (1) = 4 - 10 = - 6$ .

Sonuç:

f^{'} (x) = 4 x^{3} - 10 x

f^{'} (1) = - 6

Örnek

Soru

$f (x) = x + \frac{1}{x}$ fonksiyonunun türevini bulunuz.

Üslü yaz: $x = x^{1/2}$ , $\frac{1}{x} = x^{- 1}$ . Sonra her terime üs kuralını uygula.

Üslü biçim: $f (x) = x^{1/2} + x^{- 1}$ .
Türev: $f^{'} (x) = \frac{1}{2} x^{- 1/2} + (- 1) x^{- 2} = \frac{1}{2 x} - \frac{1}{x ^{2}}$ .

Sonuç:

f^{'} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{1}{x ^{2}}

Örnek

Soru

$y = x^{2} (x^{3} - 1)$ fonksiyonunun türevini çarpım kuralıyla bulunuz.

$f = x^{2} \Rightarrow f^{'} = 2 x$ ; $g = x^{3} - 1 \Rightarrow g^{'} = 3 x^{2}$ .
$y^{'} = f^{'} g + f g^{'} = 2 x (x^{3} - 1) + x^{2} \cdot 3 x^{2}$ .
Aç: $2 x^{4} - 2 x + 3 x^{4} = 5 x^{4} - 2 x$ .

Sonuç:

y^{'} = 5 x^{4} - 2 x

Örnek

Soru

$y = \frac{x ^{2}}{x + 1}$ fonksiyonunun türevini bulunuz.

$f = x^{2} \Rightarrow f^{'} = 2 x$ ; $g = x + 1 \Rightarrow g^{'} = 1$ .
Pay: $f^{'} g - f g^{'} = 2 x (x + 1) - x^{2} \cdot 1 = 2 x^{2} + 2 x - x^{2} = x^{2} + 2 x$ .
Sonuç: $y^{'} = \frac{x ^{2} + 2 x}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{x ( x + 2 )}{( x + 1 ) ^{2}}$ .

Sonuç:

y^{'} = \frac{x ^{2} + 2 x}{( x + 1 ) ^{2}}

Örnek

Soru

$y = x^{2} + 9$ fonksiyonunun türevini zincir kuralıyla bulunuz.

Dış fonksiyon $u$ , türevi $\frac{1}{2 u}$ ; iç $u = x^{2} + 9$ , türevi $2 x$ .

İç: $u = x^{2} + 9$ , $u^{'} = 2 x$ . Dış: $u$ , türevi $\frac{1}{2 u}$ .
Zincir: $y^{'} = \frac{1}{2 x ^{2} + 9} \cdot 2 x = \frac{2 x}{2 x ^{2} + 9} = \frac{x}{x ^{2} + 9}$ .

Sonuç:

y^{'} = \frac{x}{x ^{2} + 9}

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$f (x) = 3 x^{4} - 2 x^{3} + x$ fonksiyonunun türevini bul.

Terim terim: $f^{'} (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} + 1$ .

Sonuç:

f^{'} (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} + 1

Örnek

Soru

$f (x) = x^{6}$ fonksiyonu için $f^{'} (2)$ kaçtır?

$f^{'} (x) = 6 x^{5}$ .
$f^{'} (2) = 6 \cdot 2^{5} = 6 \cdot 32 = 192$ .

Sonuç:

192

Örnek

Soru

$y = (x - 1) (x + 4)$ fonksiyonunun türevini çarpım kuralıyla bul.

$f = x - 1 \Rightarrow f^{'} = 1$ ; $g = x + 4 \Rightarrow g^{'} = 1$ .
$y^{'} = 1 \cdot (x + 4) + (x - 1) \cdot 1 = x + 4 + x - 1 = 2 x + 3$ .

Sonuç:

y^{'} = 2 x + 3

Örnek

Soru

$y = \frac{1}{x ^{2} + 1}$ fonksiyonunun türevini bul.

$f = 1 \Rightarrow f^{'} = 0$ ; $g = x^{2} + 1 \Rightarrow g^{'} = 2 x$ .
Pay: $f^{'} g - f g^{'} = 0 - 1 \cdot 2 x = - 2 x$ .
Sonuç: $y^{'} = \frac{- 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ .

Sonuç:

y^{'} = \frac{- 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}

Örnek

Soru

$y = (2 x^{2} - x)^{3}$ fonksiyonunun türevini zincir kuralıyla bul.

İç: $u = 2 x^{2} - x$ , $u^{'} = 4 x - 1$ . Dış: $u^{3}$ , türevi $3 u^{2}$ .
Zincir: $y^{'} = 3 (2 x^{2} - x)^{2} (4 x - 1)$ .

Sonuç:

y^{'} = 3 (2 x^{2} - x)^{2} (4 x - 1)

Örnek

Soru

$f (x) = \frac{2}{x ^{3}}$ fonksiyonunun türevini bul.

Üslü yaz: $\frac{2}{x ^{3}} = 2 x^{- 3}$ ; sonra üs kuralını uygula.

$f (x) = 2 x^{- 3}$ .
$f^{'} (x) = 2 \cdot (- 3) x^{- 4} = - 6 x^{- 4} = - \frac{6}{x ^{4}}$ .

Sonuç:

f^{'} (x) = - \frac{6}{x ^{4}}

Örnek

Soru

$y = x^{2} x$ fonksiyonunun türevini bul.

Çarpım kuralı yerine üsleri birleştir: $x^{2} \cdot x^{1/2} = x^{5/2}$ . Tek üs kuralı yeterli.

Üsleri topla: $y = x^{2} \cdot x^{1/2} = x^{5/2}$ .
Türev: $y^{'} = \frac{5}{2} x^{3/2} = \frac{5}{2} x x$ .

Sonuç:

y^{'} = \frac{5}{2} x x

Örnek

Soru

$y = \frac{x - 1}{x + 1}$ fonksiyonu için $y^{'} (0)$ değerini bul.

Önce bölüm kuralıyla $y^{'} (x)$ 'i bul, sonra $x = 0$ yerine koy.

$f = x - 1 \Rightarrow f^{'} = 1$ ; $g = x + 1 \Rightarrow g^{'} = 1$ .
Pay: $1 \cdot (x + 1) - (x - 1) \cdot 1 = x + 1 - x + 1 = 2$ .
$y^{'} (x) = \frac{2}{( x + 1 ) ^{2}}$ ; $y^{'} (0) = \frac{2}{1 ^{2}} = 2$ .

Sonuç:

y^{'} (0) = 2

Örnek

Soru

$y = x x^{2} + 1$ fonksiyonunun türevini bul.

Hem çarpım hem zincir kuralı gerekir: $f = x$ , $g = x^{2} + 1$ . $g^{'}$ 'yü zincir kuralıyla al.

$f = x \Rightarrow f^{'} = 1$ ; $g = x^{2} + 1$ .
Zincirle: $g^{'} = \frac{1}{2 x ^{2} + 1} \cdot 2 x = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ .
Çarpım kuralı: $y^{'} = f^{'} g + f g^{'} = x^{2} + 1 + x \cdot \frac{x}{x ^{2} + 1} = x^{2} + 1 + \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 1}$ .
Ortak paydada birleştir: $y^{'} = \frac{( x ^{2} + 1 ) + x ^{2}}{x ^{2} + 1} = \frac{2 x ^{2} + 1}{x ^{2} + 1}$ .

Sonuç:

y^{'} = \frac{2 x ^{2} + 1}{x ^{2} + 1}

Örnek

Soru

$f (x) = x^{3} - 3 x$ eğrisine $x = 2$ noktasında çizilen teğetin denklemini bul.

Teğet için iki şey gerekir: değme noktası $(2, f (2))$ ve eğim $f^{'} (2)$ . Sonra nokta-eğim formülü.

Değme noktası: $f (2) = 8 - 6 = 2$ , yani $(2, 2)$ .
Eğim: $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 \Rightarrow f^{'} (2) = 12 - 3 = 9$ .
Teğet: $y - 2 = 9 (x - 2) \Rightarrow y = 9 x - 16$ .

Sonuç:

y = 9 x - 16

Sık Yapılan Hatalar

Çarpımın türevini, türevlerin çarpımı sanmak. $(f \cdot g)^{'} \neq = f^{'} g^{'}$ ; doğrusu $f^{'} g + f g^{'}$ 'dir.
Bölüm kuralında payın sırasını şaşırmak. Pay $f^{'} g - f g^{'}$ (önce $f^{'} g$ ); sırayı ters çevirmek işareti bozar.
Zincir kuralında iç türevi unutmak. $(g (x)^{n})^{'} = n g (x)^{n - 1} \cdot g^{'} (x)$ ; sondaki $g^{'} (x)$ çarpanı atlanmamalı.
Negatif/kesirli üste kuralı yanlış uygulamak. $(x^{- 3})^{'} = - 3 x^{- 4}$ , $(x^{1/2})^{'} = \frac{1}{2} x^{- 1/2}$ ; üs bir azalır, işaret olduğu gibi taşınır.

Not: Türev alırken önce fonksiyonu en sade biçime getir: kökleri/kesirleri üslü yaz, mümkünse çarpımı dağıt. Çoğu zaman çarpım/bölüm kuralına gerek kalmadan tek üs kuralı işi bitirir.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} + 5 x - 7

fonksiyonunun türevi

f^{'} (x)

aşağıdakilerden hangisidir?

Toplam-fark ve üs kuralıyla terim terim türev alınır.
$(2 x^{4})^{'} = 2 \cdot 4 x^{3} = 8 x^{3}$ .
$(3 x^{2})^{'} = 3 \cdot 2 x = 6 x$ , önündeki işaretle $- 6 x$ .
$(5 x)^{'} = 5$ ; sabit terim $(- 7)^{'} = 0$ .
Birleştir: $f^{'} (x) = 8 x^{3} - 6 x + 5$ .

Sonuç:

f^{'} (x) = 8 x^{3} - 6 x + 5

(C).

Soru 2Kolay

f (x) = x^{5}

fonksiyonu için

f^{'} (- 1)

değeri kaçtır?

Üs kuralı: $f^{'} (x) = 5 x^{5 - 1} = 5 x^{4}$ .
$x = - 1$ yerine koy: $f^{'} (- 1) = 5 \cdot (- 1)^{4}$ .
$(- 1)^{4} = 1$ olduğundan $f^{'} (- 1) = 5 \cdot 1 = 5$ .

Sonuç:

f^{'} (- 1) = 5

(A).

Soru 3Orta

y = (x^{2} - 2) (2 x + 3)

fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisidir?

Çarpım kuralı: $y^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ .
$f = x^{2} - 2 \Rightarrow f^{'} = 2 x$ ; $g = 2 x + 3 \Rightarrow g^{'} = 2$ .
$y^{'} = 2 x (2 x + 3) + (x^{2} - 2) \cdot 2$ .
Aç: $4 x^{2} + 6 x + 2 x^{2} - 4$ .
Birleştir: $y^{'} = 6 x^{2} + 6 x - 4$ .

Sonuç:

y^{'} = 6 x^{2} + 6 x - 4

(E).

Soru 4Orta

y = \frac{3 x - 1}{x + 2}

fonksiyonu için

y^{'} (1)

değeri kaçtır?

Bölüm kuralı: $y^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$ .
$f = 3 x - 1 \Rightarrow f^{'} = 3$ ; $g = x + 2 \Rightarrow g^{'} = 1$ .
Pay: $3 (x + 2) - (3 x - 1) \cdot 1 = 3 x + 6 - 3 x + 1 = 7$ .
$y^{'} (x) = \frac{7}{( x + 2 ) ^{2}}$ .
$x = 1$ : $y^{'} (1) = \frac{7}{( 1 + 2 ) ^{2}} = \frac{7}{9}$ .

Sonuç:

y^{'} (1) = \frac{7}{9}

(B).

Soru 5Orta

f (x) = 2 x + 7

fonksiyonu için

f^{'} (1)

değeri kaçtır?

Zincir kuralı: dış $u$ türevi $\frac{1}{2 u}$ , iç $u = 2 x + 7$ , $u^{'} = 2$ .
$f^{'} (x) = \frac{1}{2 2 x + 7} \cdot 2 = \frac{1}{2 x + 7}$ .
$x = 1$ : $2 x + 7 = 9$ , $9 = 3$ .
$f^{'} (1) = \frac{1}{3}$ .

Sonuç:

f^{'} (1) = \frac{1}{3}

(D).

Soru 6Zor

Bir cismin

t

saniyedeki konumu

s (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t

metre ile veriliyor. Cismin

t = 2

saniyedeki anlık hızı (

v = s^{'} (t)

) kaç m/s'dir?

Anlık hız konumun türevidir: $v (t) = s^{'} (t)$ .
Terim terim türev: $s^{'} (t) = 3 t^{2} - 12 t + 9$ .
$t = 2$ yerine koy: $s^{'} (2) = 3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 + 9$ .
$= 12 - 24 + 9 = - 3$ .
Sonuç negatif olduğundan cisim ters yönde ilerlemektedir; hız $- 3$ m/s.

Sonuç:

v (2) = - 3

m/s (A).

0/6 soru cevaplandı

1. Sabit ve Üs (Kuvvet) Kuralı

2. Sabitle Çarpım, Toplam ve Fark

3. Çarpım Kuralı

4. Bölüm Kuralı

5. Zincir Kuralı (Bileşke Fonksiyon)

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Türev — diğer konular