12. Sınıf · Türev
Türev Alma Kuralları
Her türevi limit tanımından almak yorucu olurdu. Neyse ki birkaç kural öğrenerek polinom, kesir ve bileşke fonksiyonların türevini saniyeler içinde alabiliriz. Bu derste üs (kuvvet) kuralını, sabitle çarpım, toplam-fark, çarpım, bölüm ve zincir kuralını öğreneceğiz. Bunlar türevin tüm uygulamalarının temelidir; bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.
1. Sabit ve Üs (Kuvvet) Kuralı
Sabit bir fonksiyonun türevi sıfırdır; bir kuvvet fonksiyonunun türevinde üs öne iner, kalan üs bir azalır:
\big(c\big)'=0 \qquad\qquad \big(x^{n}\big)'=n\,x^{\,n-1}
Bu kural her gerçek n için geçerlidir; örneğin (x)'=1, (x^2)'=2x, \left(\sqrt{x}\right)'=\left(x^{1/2}\right)'=\dfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
f(x)=x^5 ve g(x)=x^{-3} fonksiyonlarının türevlerini bulunuz.
f'(x)=5x^{5-1}=5x^4.g'(x)=-3x^{-3-1}=-3x^{-4}=-\dfrac{3}{x^4}.
f'(x)=5x^4, \;g'(x)=-\dfrac{3}{x^4}.2. Sabitle Çarpım, Toplam ve Fark
Bir sabit, türevin önünde sabit kalır; toplam ve farkın türevi, terimlerin türevlerinin toplamı/farkıdır:
\big(c\cdot f\big)'=c\cdot f' \qquad\qquad \big(f\pm g\big)'=f'\pm g'
Böylece her polinomun türevini terim terim alabiliriz.
f(x)=4x^3-2x^2+7x-9 fonksiyonunun türevini bulunuz.
- Terim terim:
(4x^3)'=12x^2,(2x^2)'=4x,(7x)'=7,(9)'=0. - Birleştir:
f'(x)=12x^2-4x+7.
f'(x)=12x^2-4x+7.3. Çarpım Kuralı
İki fonksiyonun çarpımının türevi, "birinin türevi çarpı diğeri, artı diğerinin türevi çarpı birincisi" biçimindedir:
\big(f\cdot g\big)'=f'\,g+f\,g'
Dikkat: (f\cdot g)'\neq f'\cdot g'. Çarpımın türevi, türevlerin çarpımı değildir.
y=(x^2+1)(3x-2) fonksiyonunun türevini çarpım kuralıyla bulunuz.
f=x^2+1, g=3x-2 al; f'=2x, g'=3. Sonra f'g+fg' formülüne yerleştir.
f=x^2+1\Rightarrow f'=2x;\;g=3x-2\Rightarrow g'=3.- Formül:
y'=f'g+fg'=2x(3x-2)+(x^2+1)\cdot 3. - Aç:
6x^2-4x+3x^2+3=9x^2-4x+3.
y'=9x^2-4x+3.4. Bölüm Kuralı
İki fonksiyonun bölümünün türevi:
\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'\,g-f\,g'}{g^2}
Payda kareye gider; paydaki çıkarmanın sırası önemlidir (f'g önce gelir).
y=\dfrac{2x+1}{x-3} fonksiyonunun türevini bulunuz.
f=2x+1, g=x-3; f'=2, g'=1. Pay f'g-fg', payda g^2=(x-3)^2 olur.
f=2x+1\Rightarrow f'=2;\;g=x-3\Rightarrow g'=1.- Pay:
f'g-fg'=2(x-3)-(2x+1)\cdot 1=2x-6-2x-1=-7. - Payda:
g^2=(x-3)^2. - Sonuç:
y'=\dfrac{-7}{(x-3)^2}.
y'=\dfrac{-7}{(x-3)^2}.5. Zincir Kuralı (Bileşke Fonksiyon)
Bir fonksiyonun içinde başka bir fonksiyon varsa (y=f\big(g(x)\big)), dışın türevi çarpı için türevi alınır:
\Big(f\big(g(x)\big)\Big)'=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)
Örneğin \big(g(x)^n\big)'=n\,g(x)^{n-1}\cdot g'(x). "Önce dış kabuğu türetip içi olduğu gibi bırak, sonra için türeviyle çarp" diye düşün.
y=x^2-4x+3 parabolü. Türevi y'=2x-4 olup tepe noktası T(2,-1)'de y'=0 (yatay teğet). Tepenin solunda y'<0 (azalan), sağında y'>0 (artan) olması, türevin grafik davranışını nasıl okuduğunu gösterir.y=(3x+1)^4 fonksiyonunun türevini zincir kuralıyla bulunuz.
Dış fonksiyon u^4, iç fonksiyon u=3x+1. Dışın türevi 4u^3, için türevi 3.
- İç:
u=3x+1,u'=3. Dış:u^4, türevi4u^3. - Zincir:
y'=4(3x+1)^3\cdot 3=12(3x+1)^3.
y'=12(3x+1)^3.Çözümlü Örnekler
f(x)=x^4-5x^2+6 fonksiyonunun türevini ve f'(1) değerini bulunuz.
- Türev:
f'(x)=4x^3-10x. x=1:f'(1)=4-10=-6.
f'(x)=4x^3-10x, \;f'(1)=-6.f(x)=\sqrt{x}+\dfrac{1}{x} fonksiyonunun türevini bulunuz.
Üslü yaz: \sqrt{x}=x^{1/2}, \dfrac{1}{x}=x^{-1}. Sonra her terime üs kuralını uygula.
- Üslü biçim:
f(x)=x^{1/2}+x^{-1}. - Türev:
f'(x)=\dfrac{1}{2}x^{-1/2}+(-1)x^{-2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{1}{x^2}.
f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{1}{x^2}.y=x^2(x^3-1) fonksiyonunun türevini çarpım kuralıyla bulunuz.
f=x^2\Rightarrow f'=2x;\;g=x^3-1\Rightarrow g'=3x^2.y'=f'g+fg'=2x(x^3-1)+x^2\cdot 3x^2.- Aç:
2x^4-2x+3x^4=5x^4-2x.
y'=5x^4-2x.y=\dfrac{x^2}{x+1} fonksiyonunun türevini bulunuz.
f=x^2\Rightarrow f'=2x;\;g=x+1\Rightarrow g'=1.- Pay:
f'g-fg'=2x(x+1)-x^2\cdot 1=2x^2+2x-x^2=x^2+2x. - Sonuç:
y'=\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}=\dfrac{x(x+2)}{(x+1)^2}.
y'=\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}.y=\sqrt{x^2+9} fonksiyonunun türevini zincir kuralıyla bulunuz.
Dış fonksiyon \sqrt{u}, türevi \dfrac{1}{2\sqrt{u}}; iç u=x^2+9, türevi 2x.
- İç:
u=x^2+9,u'=2x. Dış:\sqrt{u}, türevi\dfrac{1}{2\sqrt{u}}. - Zincir:
y'=\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+9}}\cdot 2x=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+9}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}.
y'=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}.Alıştırmalar — Sıra Sende
Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.
f(x)=3x^4-2x^3+x fonksiyonunun türevini bul.
- Terim terim:
f'(x)=12x^3-6x^2+1.
f'(x)=12x^3-6x^2+1.f(x)=x^6 fonksiyonu için f'(2) kaçtır?
f'(x)=6x^5.f'(2)=6\cdot 2^5=6\cdot 32=192.
192.y=(x-1)(x+4) fonksiyonunun türevini çarpım kuralıyla bul.
f=x-1\Rightarrow f'=1;\;g=x+4\Rightarrow g'=1.y'=1\cdot(x+4)+(x-1)\cdot 1=x+4+x-1=2x+3.
y'=2x+3.y=\dfrac{1}{x^2+1} fonksiyonunun türevini bul.
f=1\Rightarrow f'=0;\;g=x^2+1\Rightarrow g'=2x.- Pay:
f'g-fg'=0-1\cdot 2x=-2x. - Sonuç:
y'=\dfrac{-2x}{(x^2+1)^2}.
y'=\dfrac{-2x}{(x^2+1)^2}.y=(2x^2-x)^3 fonksiyonunun türevini zincir kuralıyla bul.
- İç:
u=2x^2-x,u'=4x-1. Dış:u^3, türevi3u^2. - Zincir:
y'=3(2x^2-x)^2(4x-1).
y'=3(2x^2-x)^2(4x-1).f(x)=\dfrac{2}{x^3} fonksiyonunun türevini bul.
Üslü yaz: \dfrac{2}{x^3}=2x^{-3}; sonra üs kuralını uygula.
f(x)=2x^{-3}.f'(x)=2\cdot(-3)x^{-4}=-6x^{-4}=-\dfrac{6}{x^4}.
f'(x)=-\dfrac{6}{x^4}.y=x^2\sqrt{x} fonksiyonunun türevini bul.
Çarpım kuralı yerine üsleri birleştir: x^2\cdot x^{1/2}=x^{5/2}. Tek üs kuralı yeterli.
- Üsleri topla:
y=x^2\cdot x^{1/2}=x^{5/2}. - Türev:
y'=\dfrac{5}{2}x^{3/2}=\dfrac{5}{2}x\sqrt{x}.
y'=\dfrac{5}{2}x\sqrt{x}.y=\dfrac{x-1}{x+1} fonksiyonu için y'(0) değerini bul.
Önce bölüm kuralıyla y'(x)'i bul, sonra x=0 yerine koy.
f=x-1\Rightarrow f'=1;\;g=x+1\Rightarrow g'=1.- Pay:
1\cdot(x+1)-(x-1)\cdot 1=x+1-x+1=2. y'(x)=\dfrac{2}{(x+1)^2};\;y'(0)=\dfrac{2}{1^2}=2.
y'(0)=2.y=x\sqrt{x^2+1} fonksiyonunun türevini bul.
Hem çarpım hem zincir kuralı gerekir: f=x, g=\sqrt{x^2+1}. g''yü zincir kuralıyla al.
f=x\Rightarrow f'=1;\;g=\sqrt{x^2+1}.- Zincirle:
g'=\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}. - Çarpım kuralı:
y'=f'g+fg'=\sqrt{x^2+1}+x\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{x^2+1}+\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}. - Ortak paydada birleştir:
y'=\dfrac{(x^2+1)+x^2}{\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{2x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}.
y'=\dfrac{2x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}.f(x)=x^3-3x eğrisine x=2 noktasında çizilen teğetin denklemini bul.
Teğet için iki şey gerekir: değme noktası \big(2,f(2)\big) ve eğim f'(2). Sonra nokta-eğim formülü.
- Değme noktası:
f(2)=8-6=2, yani(2,2). - Eğim:
f'(x)=3x^2-3\Rightarrow f'(2)=12-3=9. - Teğet:
y-2=9(x-2)\Rightarrow y=9x-16.
y=9x-16.Sık Yapılan Hatalar
- Çarpımın türevini, türevlerin çarpımı sanmak.
(f\cdot g)'\neq f'g'; doğrusuf'g+fg''dir. - Bölüm kuralında payın sırasını şaşırmak. Pay
f'g-fg'(öncef'g); sırayı ters çevirmek işareti bozar. - Zincir kuralında iç türevi unutmak.
\big(g(x)^n\big)'=n\,g(x)^{n-1}\cdot g'(x); sondakig'(x)çarpanı atlanmamalı. - Negatif/kesirli üste kuralı yanlış uygulamak.
\big(x^{-3}\big)'=-3x^{-4},\left(x^{1/2}\right)'=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}; üs bir azalır, işaret olduğu gibi taşınır.
Not: Türev alırken önce fonksiyonu en sade biçime getir: kökleri/kesirleri üslü yaz, mümkünse çarpımı dağıt. Çoğu zaman çarpım/bölüm kuralına gerek kalmadan tek üs kuralı işi bitirir.