12. Sınıf · Türev

Türevin Tanımı ve Anlamı

~8 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

Türev, bir fonksiyonun bir noktadaki anlık değişim hızını ölçer. Önce iki nokta arasındaki ortalama değişim oranını (kesenin eğimini) buluruz; sonra ikinci noktayı birinciye yaklaştırıp limit alırız. Bu limit, o noktadaki teğetin eğimi ve fonksiyonun o noktadaki türevidir. Bu derste türevin limitle tanımını, anlık değişim oranını ve teğet eğimi yorumunu öğreneceğiz; bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Ortalama Değişim Oranı

$y = f (x)$ fonksiyonunda $x$ , $a$ 'dan $b$ 'ye değişirken ortalama değişim oranı, grafiğin $A (a, f (a))$ ve $B (b, f (b))$ noktalarından geçen kesenin eğimidir:

$Ortalama de \overset{g}{˘} i \overset{s}{¸} im oran ı = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} = \frac{Δ y}{Δ x}$

Bu, " $x$ bir birim arttığında $y$ ortalama ne kadar değişir" sorusunun yanıtıdır.

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2}$ fonksiyonunun $x = 1$ ile $x = 3$ arasındaki ortalama değişim oranını bulunuz.

Uç değerleri hesapla: $f (1) = 1$ , $f (3) = 9$ .
Orana koy: $\frac{f ( 3 ) - f ( 1 )}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{3 - 1} = \frac{8}{2} = 4$ .

Sonuç:

4

(kesenin eğimi).

2. Anlık Değişim Oranı ve Türevin Tanımı

İkinci noktayı birinciye yaklaştırırsak ( $b \to a$ ), kesen yavaş yavaş teğete dönüşür. Kesenin eğiminin bu limitine anlık değişim oranı veya $f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki türevi denir ve $f^{'} (a)$ ile gösterilir:

$f^{'} (a) = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$

Burada $h = b - a$ ikinci noktanın birinciye uzaklığıdır; $h \to 0$ olunca $B \to A$ olur. Bu limit varsa $f$ , $a$ noktasında türevlenebilir denir.

Şekil 1 —

f (x) = x^{2}

eğrisinde

A (1, 1)

B (3, 9)

noktalarından geçen kesenin eğimi

4

'tür.

B

noktası

A

'ya yaklaştıkça kesen,

A

noktasındaki teğete dönüşür; teğetin eğimi (yani

f^{'} (1)

)

2

'dir.

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2}$ fonksiyonunun $x = 1$ noktasındaki türevini tanımı kullanarak bulunuz.

$f (1 + h) = (1 + h)^{2}$ açılımını yaz; payda $h$ ortak çarpanını sadeleştirdikten sonra $h \to 0$ koy.

Tanımı yaz: $f^{'} (1) = lim_{h \to 0} \frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h}$ .
$f (1 + h) = (1 + h)^{2} = 1 + 2 h + h^{2}$ , $f (1) = 1$ .
Pay: $(1 + 2 h + h^{2}) - 1 = 2 h + h^{2} = h (2 + h)$ .
Sadeleştir: $\frac{h ( 2 + h )}{h} = 2 + h$ .
Limit: $lim_{h \to 0} (2 + h) = 2$ .

Sonuç:

f^{'} (1) = 2

3. Teğetin Eğimi ve Teğet Denklemi

Bir noktadaki türev, grafiğe o noktada çizilen teğet doğrusunun eğimidir. Eğimi $m = f^{'} (a)$ olan ve $(a, f (a))$ noktasından geçen teğetin denklemi:

$y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)$

Türev pozitifse fonksiyon o noktada artıyor, negatifse azalıyor, sıfırsa teğet yataydır.

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2}$ eğrisine $x = 1$ noktasında çizilen teğetin denklemini yazınız. ( $f^{'} (1) = 2$ bulunmuştu.)

Değme noktası: $a = 1$ , $f (1) = 1$ , eğim $m = f^{'} (1) = 2$ .
Teğet denklemi: $y - 1 = 2 (x - 1)$ .
Düzenle: $y = 2 x - 1$ .

Sonuç:

y = 2 x - 1

4. Türev Fonksiyonu

Her $x$ için türevi hesaplarsak yeni bir fonksiyon elde ederiz; buna türev fonksiyonu $f^{'} (x)$ denir:

$f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$

Bir kez $f^{'} (x)$ 'i bulunca, herhangi bir noktadaki türevi yerine koyarak ( $f^{'} (a)$ ) okuruz.

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2}$ fonksiyonunun türev fonksiyonu $f^{'} (x)$ 'i tanımdan bulunuz.

$f (x + h) = (x + h)^{2} = x^{2} + 2 x h + h^{2}$ .
Pay: $(x^{2} + 2 x h + h^{2}) - x^{2} = 2 x h + h^{2} = h (2 x + h)$ .
Sadeleştir: $\frac{h ( 2 x + h )}{h} = 2 x + h$ .
Limit: $lim_{h \to 0} (2 x + h) = 2 x$ .

Sonuç:

f^{'} (x) = 2 x

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$f (x) = 3 x + 2$ fonksiyonunun türevini tanımdan bulunuz.

$f (x + h) = 3 (x + h) + 2 = 3 x + 3 h + 2$ .
Pay: $(3 x + 3 h + 2) - (3 x + 2) = 3 h$ .
Sadeleştir: $\frac{3 h}{h} = 3$ .
Limit: $lim_{h \to 0} 3 = 3$ .

Sonuç:

f^{'} (x) = 3

(doğrusal fonksiyonun türevi, eğimine eşittir).

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2} - 4 x$ fonksiyonunun $x = 3$ ile $x = 5$ arasındaki ortalama değişim oranını bulunuz.

$f (3) = 9 - 12 = - 3$ , $f (5) = 25 - 20 = 5$ .
Oran: $\frac{5 - ( - 3 )}{5 - 3} = \frac{8}{2} = 4$ .

Sonuç:

4

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2} + 1$ fonksiyonunun $x = 2$ noktasındaki türevini tanımdan bulunuz.

$f (2 + h) = (2 + h)^{2} + 1$ açılımında sabit terimler sadeleşir; pay $h$ 'li terimlerden oluşur.

$f (2 + h) = (2 + h)^{2} + 1 = 4 + 4 h + h^{2} + 1 = 5 + 4 h + h^{2}$ , $f (2) = 5$ .
Pay: $(5 + 4 h + h^{2}) - 5 = 4 h + h^{2} = h (4 + h)$ .
Sadeleştir: $\frac{h ( 4 + h )}{h} = 4 + h$ .
Limit: $lim_{h \to 0} (4 + h) = 4$ .

Sonuç:

f^{'} (2) = 4

Örnek

Soru

$f (x) = \frac{1}{x}$ fonksiyonunun $x = 2$ noktasındaki türevini tanımdan bulunuz.

Payı tek kesir hâline getir: $\frac{1}{2 + h} - \frac{1}{2}$ ortak paydada birleşir; sonra $h$ ile sadeleşir.

Pay: $\frac{1}{2 + h} - \frac{1}{2} = \frac{2 - ( 2 + h )}{2 ( 2 + h )} = \frac{- h}{2 ( 2 + h )}$ .
Tüm ifade: $\frac{1}{h} \cdot \frac{- h}{2 ( 2 + h )} = \frac{- 1}{2 ( 2 + h )}$ .
Limit: $lim_{h \to 0} \frac{- 1}{2 ( 2 + h )} = \frac{- 1}{2 \cdot 2} = - \frac{1}{4}$ .

Sonuç:

f^{'} (2) = - \frac{1}{4}

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2}$ eğrisine $x = - 2$ noktasında çizilen teğetin denklemini yazınız.

Türev fonksiyonu $f^{'} (x) = 2 x$ olduğundan eğim $m = f^{'} (- 2) = - 4$ .
Değme noktası: $(- 2, f (- 2)) = (- 2, 4)$ .
Teğet: $y - 4 = - 4 (x - (- 2)) = - 4 (x + 2)$ .
Düzenle: $y = - 4 x - 4$ .

Sonuç:

y = - 4 x - 4

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2}$ fonksiyonunun $x = 2$ ile $x = 4$ arasındaki ortalama değişim oranını bul.

$f (2) = 4$ , $f (4) = 16$ .
Oran: $\frac{16 - 4}{4 - 2} = \frac{12}{2} = 6$ .

Sonuç:

6

Örnek

Soru

$f (x) = 5 x - 7$ fonksiyonunun türevini tanımdan bul.

$f (x + h) = 5 (x + h) - 7 = 5 x + 5 h - 7$ .
Pay: $5 h$ , sadeleştir: $\frac{5 h}{h} = 5$ .
Limit: $5$ .

Sonuç:

f^{'} (x) = 5

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2} + 3$ fonksiyonunun $x = 1$ noktasındaki türevini tanımdan bul.

$f (1 + h) = (1 + h)^{2} + 3 = 1 + 2 h + h^{2} + 3 = 4 + 2 h + h^{2}$ , $f (1) = 4$ .
Pay: $2 h + h^{2} = h (2 + h)$ , sadeleştir: $2 + h$ .
Limit: $2$ .

Sonuç:

f^{'} (1) = 2

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2} - 2 x$ fonksiyonunun türev fonksiyonu $f^{'} (x)$ 'i tanımdan bul.

$f (x + h) = (x + h)^{2} - 2 (x + h) = x^{2} + 2 x h + h^{2} - 2 x - 2 h$ .
Pay: $f (x + h) - f (x) = 2 x h + h^{2} - 2 h = h (2 x + h - 2)$ .
Sadeleştir: $2 x + h - 2$ , limit: $2 x - 2$ .

Sonuç:

f^{'} (x) = 2 x - 2

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2}$ eğrisine $x = 3$ noktasında çizilen teğetin eğimini bul.

$f^{'} (x) = 2 x$ olduğundan eğim $f^{'} (3) = 2 \cdot 3 = 6$ .

Sonuç:

6

Örnek

Soru

$f (x) = 4$ (sabit fonksiyon) için $f^{'} (x)$ 'i tanımdan bul.

$f (x + h) = 4$ , $f (x) = 4$ .
Pay: $4 - 4 = 0$ , oran: $\frac{0}{h} = 0$ .
Limit: $0$ .

Sonuç:

f^{'} (x) = 0

(sabit fonksiyonun türevi sıfırdır).

Örnek

Soru

$f (x) = x^{3}$ fonksiyonunun $x = 2$ noktasındaki türevini tanımdan bul.

$(2 + h)^{3} = 8 + 12 h + 6 h^{2} + h^{3}$ açılımını kullan; sabit terim $8$ , $f (2) = 8$ ile sadeleşir.

$f (2 + h) = (2 + h)^{3} = 8 + 12 h + 6 h^{2} + h^{3}$ , $f (2) = 8$ .
Pay: $12 h + 6 h^{2} + h^{3} = h (12 + 6 h + h^{2})$ .
Sadeleştir: $12 + 6 h + h^{2}$ , limit: $12$ .

Sonuç:

f^{'} (2) = 12

Örnek

Soru

$f (x) = x$ fonksiyonunun $x = 4$ noktasındaki türevini tanımdan bul.

Payı eşlenikle ( $4 + h + 2$ ) çarp: $4 + h - 2$ ifadesi $\frac{h}{4 + h + 2}$ 'ye dönüşür.

Pay: $4 + h - 4 = 4 + h - 2$ .
Eşlenikle çarp: $\frac{4 + h - 2}{h} \cdot \frac{4 + h + 2}{4 + h + 2} = \frac{( 4 + h ) - 4}{h ( 4 + h + 2 )} = \frac{h}{h ( 4 + h + 2 )}$ .
Sadeleştir: $\frac{1}{4 + h + 2}$ .
Limit: $\frac{1}{4 + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$ .

Sonuç:

f^{'} (4) = \frac{1}{4}

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ eğrisine, teğeti yatay olan noktanın apsisini bul.

Teğet yatay ise eğim $0$ 'dır. Türev fonksiyonunu bulup $f^{'} (x) = 0$ denklemini çöz.

Türev fonksiyonu (tanımdan): $f (x + h) - f (x) = 2 x h + h^{2} - 4 h = h (2 x + h - 4)$ , sadeleştir ve limit al: $f^{'} (x) = 2 x - 4$ .
Yatay teğet: $f^{'} (x) = 0 \Rightarrow 2 x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$ .

Sonuç:

x = 2

Sık Yapılan Hatalar

Ortalama ile anlık değişim oranını karıştırmak. İki nokta arası ortalama (kesen eğimi); tek nokta için anlık değişim ( $h \to 0$ limiti, teğet eğimi) hesaplanır.
$h$ ile sadeleştirmeden $h = 0$ koymak. Limitte doğrudan $h = 0$ yazarsan $\frac{0}{0}$ belirsizliği çıkar; önce payda $h$ ortak çarpanını sadeleştir.
$(a + h)^{2} = a^{2} + h^{2}$ sanmak. Doğrusu $(a + h)^{2} = a^{2} + 2 ah + h^{2}$ 'dir; orta terimi unutmak türevi yanlış yapar.
Teğet denkleminde eğimi noktayla karıştırmak. Teğet $y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)$ ; eğim türev değeri $f^{'} (a)$ , geçtiği nokta $(a, f (a))$ 'dır.

Not: Türevin özü tek cümlede: kesenin eğiminin, iki nokta birbirine yaklaşırken aldığı limit. Tanımdan türev alırken refleksin "pay aç → $h$ parantezine al → sadeleştir → $h \to 0$ " olsun.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

f (x) = x^{2} + 2 x

fonksiyonunun

x = - 1

ile

x = 2

arasındaki ortalama değişim oranı kaçtır?

Uç değerleri hesapla: $f (- 1) = (- 1)^{2} + 2 \cdot (- 1) = 1 - 2 = - 1$ ve $f (2) = 2^{2} + 2 \cdot 2 = 4 + 4 = 8$ .
Ortalama değişim oranı kesenin eğimidir: $\frac{f ( 2 ) - f ( - 1 )}{2 - ( - 1 )}$ .
Yerine koy: $\frac{8 - ( - 1 )}{2 - ( - 1 )} = \frac{9}{3} = 3$ .
Not: Paydada $2 - (- 1) = 3$ olur; $2 - 1 = 1$ almak (sonuç $9$ ) veya $f (- 1) = 1$ sanmak (sonuç $\frac{7}{3}$ ) sık yapılan hatadır.

Sonuç: Ortalama değişim oranı

\frac{9}{3} = 3

'tür.

Soru 2Kolay

f (x) = x^{2} - 6 x

eğrisine

x = 1

noktasında çizilen teğetin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

Türev fonksiyonu $f^{'} (x) = 2 x - 6$ 'dır (tanımdan da bulunabilir).
Teğetin eğimi: $m = f^{'} (1) = 2 \cdot 1 - 6 = - 4$ .
Değme noktası: $f (1) = 1 - 6 = - 5$ , yani nokta $(1, - 5)$ .
Teğet denklemi: $y - (- 5) = - 4 (x - 1) \Rightarrow y + 5 = - 4 x + 4$ .
Düzenle: $y = - 4 x + 4 - 5 = - 4 x - 1$ .

Sonuç: Teğet doğrusu

y = - 4 x - 1

'dir.

Soru 3Orta

f (x) = \frac{2}{x}

fonksiyonunun

x = 1

noktasındaki türevi (tanımdan) kaçtır?

Tanım: $f^{'} (1) = lim_{h \to 0} \frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h}$ .
Payı tek kesir yap: $\frac{2}{1 + h} - \frac{2}{1} = \frac{2 - 2 ( 1 + h )}{1 + h} = \frac{- 2 h}{1 + h}$ .
Tüm ifade: $\frac{1}{h} \cdot \frac{- 2 h}{1 + h} = \frac{- 2}{1 + h}$ .
Limit: $lim_{h \to 0} \frac{- 2}{1 + h} = \frac{- 2}{1} = - 2$ .

Sonuç:

f^{'} (1) = - 2

Soru 4Orta

f (x) = x^{2} + 10 x - 4

eğrisine çizilen teğetin yatay olduğu noktanın apsisi kaçtır?

Yatay teğet, eğimin sıfır olması demektir: $f^{'} (x) = 0$ .
Türev fonksiyonu (tanımdan): $f (x + h) - f (x) = 2 x h + h^{2} + 10 h = h (2 x + h + 10)$ ; sadeleştirip $h \to 0$ alınca $f^{'} (x) = 2 x + 10$ .
Denklemi çöz: $2 x + 10 = 0 \Rightarrow x = - 5$ .
Not: $2 x + 10 = 0$ 'da $x = + 5$ almak işaret hatasıdır.

Sonuç: Yatay teğetin apsisi

x = - 5

'tir.

Soru 5Zor

Yukarı doğru atılan bir cismin

t

saniye sonraki yüksekliği metre cinsinden

h (t) = 40 t - 5 t^{2}

ile veriliyor. Cismin

t = 3

saniyedeki anlık hızı kaç m/s'dir?

Anlık hız, konum fonksiyonunun türevidir: $h^{'} (t) = lim_{k \to 0} \frac{h ( t + k ) - h ( t )}{k}$ .
Türev fonksiyonu: $h^{'} (t) = 40 - 10 t$ .
$t = 3$ için: $h^{'} (3) = 40 - 10 \cdot 3 = 40 - 30 = 10$ .
Not: Türev yerine ortalama hızı ( $\frac{h ( 3 )}{3} = \frac{75}{3} = 25$ ) hesaplamak yaygın bir hatadır; soru anlık hızı ister.

Sonuç: Anlık hız

h^{'} (3) = 10

m/s'dir.

Soru 6Orta

f (x) = x

fonksiyonunun

x = 9

noktasındaki türevi (tanımdan) kaçtır?

Tanım: $f^{'} (9) = lim_{h \to 0} \frac{9 + h - 9}{h} = lim_{h \to 0} \frac{9 + h - 3}{h}$ .
Eşlenikle çarp: $\frac{9 + h - 3}{h} \cdot \frac{9 + h + 3}{9 + h + 3} = \frac{( 9 + h ) - 9}{h ( 9 + h + 3 )} = \frac{h}{h ( 9 + h + 3 )}$ .
Sadeleştir: $\frac{1}{9 + h + 3}$ .
Limit: $\frac{1}{9 + 3} = \frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}$ .

Sonuç:

f^{'} (9) = \frac{1}{6}

0/6 soru cevaplandı

1. Ortalama Değişim Oranı

2. Anlık Değişim Oranı ve Türevin Tanımı

3. Teğetin Eğimi ve Teğet Denklemi

4. Türev Fonksiyonu

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Türev — diğer konular