AYT Matematik · Türev

Trigonometrik, Üstel ve Logaritmik Türevler

~10 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soruAYT'de ~4 soru/yıl · Sınavda yüksek ağırlık

Trigonometrik, üstel ve logaritmik fonksiyonların türevleri AYT'de en sık çıkan türev sorularının çekirdeğini oluşturur. Bu konuda önce temel türev tablosunu ezberlenecek netlikte veriyor, ardından her birinin zincir kuralıyla genelleştirilmiş biçimini kuruyoruz. Argüman $x$ 'ten farklıysa zincir kuralı zorunludur; çoğu hata tam bu noktada yapılır.

1. Temel Türev Tablosu

Aşağıdaki türevler doğrudan ezberlenmelidir. Tüm açılar radyan kabul edilir.

Fonksiyon	Türevi
$sin x$	$cos x$
$cos x$	$- sin x$
$tan x$	$sec^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x}$
$cot x$	$- \frac{1}{sin ^{2} x}$
$e^{x}$	$e^{x}$
$a^{x}$	$a^{x} ln a$
$ln x$	$\frac{1}{x}$
$lo g_{a} x$	$\frac{1}{x ln a}$

İki ikiliyi birlikte aklında tut: $sin \to cos$ ile $cos \to - sin$ yalnızca işaret farkıyla simetriktir; aynı şekilde $tan$ ve $cot$ türevleri de işaretle ayrılır.

2. Zincir Kuralıyla Genelleştirilmiş Biçimler

Argüman tek başına $x$ değil de bir $u = u (x)$ ifadesiyse, dıştaki türevi $u^{'}$ ile çarparız:

$(sin u)^{'} = u^{'} cos u (cos u)^{'} = - u^{'} sin u$

$(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u} (a^{u})^{'} = u^{'} a^{u} ln a (ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$

Tabloya da $u$ ekleyerek geçişi netleştirelim:

Genel form	Türevi
$tan u$	$\frac{u ^{'}}{cos ^{2} u}$
$cos u$	$- u^{'} sin u$
$lo g_{a} u$	$\frac{u ^{'}}{u ln a}$

Sık yapılan hata: $\frac{d}{d x} sin (3 x) = cos (3 x)$ yazmak. Doğrusu argümanın türevi olan $3$ ile çarpılmalıdır: $\frac{d}{d x} sin (3 x) = 3 cos (3 x)$ .

Örnek

Soru

$\frac{d}{d x} sin (3 x^{2})$ türevini bulunuz.

Dış fonksiyon $sin u$ , iç fonksiyon $u = 3 x^{2}$ .
İç türev: $u^{'} = 6 x$ .
Genel formülü uygula: $(sin u)^{'} = u^{'} cos u = 6 x cos (3 x^{2})$ .

Sonuç:

\frac{d}{d x} sin (3 x^{2}) = 6 x cos (3 x^{2})

Örnek

Soru

$\frac{d}{d x} (e^{2 x} \cdot x)$ türevini bulunuz.

Burada hem çarpım kuralı hem de $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ gerekir.

Çarpanlar: $f = e^{2 x}$ , $g = x$ . Çarpım kuralı: $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ .
$f^{'} = (e^{2 x})^{'} = 2 e^{2 x}$ (iç türev $2$ ) ve $g^{'} = 1$ .
Yerine koy: $(e^{2 x} \cdot x)^{'} = 2 e^{2 x} \cdot x + e^{2 x} \cdot 1$ .
Ortak çarpan $e^{2 x}$ 'i parantezine al: $e^{2 x} (2 x + 1)$ .

Sonuç:

\frac{d}{d x} (e^{2 x} \cdot x) = e^{2 x} (2 x + 1)

Örnek

Soru

$\frac{d}{d x} ln (x^{2} + 1)$ türevini bulunuz.

$(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ formülünde $u = x^{2} + 1$ .
İç türev: $u^{'} = 2 x$ .
Yerine koy: $\frac{u ^{'}}{u} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ .

Sonuç:

\frac{d}{d x} ln (x^{2} + 1) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}

Örnek

Soru

$\frac{d}{d x} (x tan x)$ türevini bulunuz.

$tan x$ 'in türevinin $sec^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x}$ olduğunu unutma.

Çarpanlar: $f = x$ , $g = tan x$ . Çarpım kuralı: $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ .
Türevler: $f^{'} = 1$ , $g^{'} = sec^{2} x$ .
Yerine koy: $(x tan x)^{'} = 1 \cdot tan x + x \cdot sec^{2} x$ .

Sonuç:

\frac{d}{d x} (x tan x) = tan x + x sec^{2} x

Örnek

Soru

$\frac{d}{d x} 5^{x}$ ve $\frac{d}{d x} tan (3 x)$ türevlerini bulunuz.

Üstel için $(a^{x})^{'} = a^{x} ln a$ formülünde $a = 5$ : $(5^{x})^{'} = 5^{x} ln 5$ .
İkinci ifadede $(tan u)^{'} = \frac{u ^{'}}{cos ^{2} u}$ , $u = 3 x$ , $u^{'} = 3$ .
Yerine koy: $\frac{3}{cos ^{2} ( 3 x )}$ .

Sonuç:

\frac{d}{d x} 5^{x} = 5^{x} ln 5

\frac{d}{d x} tan (3 x) = \frac{3}{cos ^{2} ( 3 x )}

Örnek

Soru

(Zor) $\frac{d}{d x} ln (cos x)$ türevini bulunuz.

$(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ formülünde $u = cos x$ al; sonra $\frac{sin x}{cos x} = tan x$ sadeleştirmesini kullan.

$u = cos x$ için $u^{'} = - sin x$ .
Genel formül: $(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u} = \frac{- sin x}{cos x}$ .
$\frac{sin x}{cos x} = tan x$ olduğundan ifade $- tan x$ 'e sadeleşir.

Sonuç:

\frac{d}{d x} ln (cos x) = - tan x

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$f (x) = cos (5 x)$ ise $f^{'} (x)$ nedir?

$(cos u)^{'} = - u^{'} sin u$ formülünde $u = 5 x$ .
İç türev: $u^{'} = 5$ .
Yerine koy: $f^{'} (x) = - 5 sin (5 x)$ .

Sonuç:

f^{'} (x) = - 5 sin (5 x)

Örnek

Soru

$y = e^{x^{2}}$ fonksiyonunun türevini bulunuz.

$(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ formülünde $u = x^{2}$ .
İç türev: $u^{'} = 2 x$ .
Yerine koy: $y^{'} = 2 x e^{x^{2}}$ .

Sonuç:

y^{'} = 2 x e^{x^{2}}

Örnek

Soru

$f (x) = sin x cos x$ ise $f^{'} (x)$ nedir?

Çarpım kuralı: $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ , $f = sin x$ , $g = cos x$ .
Türevler: $f^{'} = cos x$ , $g^{'} = - sin x$ .
Yerine koy: $f^{'} (x) = cos x cos x + sin x (- sin x) = cos^{2} x - sin^{2} x$ .
$cos^{2} x - sin^{2} x = cos (2 x)$ özdeşliğiyle sadeleştir.

Sonuç:

f^{'} (x) = cos^{2} x - sin^{2} x = cos (2 x)

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2} ln x$ fonksiyonunun türevini bulunuz.

Çarpım kuralı: $f = x^{2}$ , $g = ln x$ .
Türevler: $f^{'} = 2 x$ , $g^{'} = \frac{1}{x}$ .
Yerine koy: $f^{'} (x) = 2 x ln x + x^{2} \cdot \frac{1}{x} = 2 x ln x + x$ .
Ortak $x$ parantezine al: $x (2 ln x + 1)$ .

Sonuç:

f^{'} (x) = 2 x ln x + x = x (2 ln x + 1)

Örnek

Soru

$f (x) = \frac{e ^{x}}{x}$ fonksiyonunun türevini bulunuz.

Bölüm kuralı: $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ , $u = e^{x}$ , $v = x$ .
Türevler: $u^{'} = e^{x}$ , $v^{'} = 1$ .
Yerine koy: $f^{'} (x) = \frac{e ^{x} \cdot x - e ^{x} \cdot 1}{x ^{2}} = \frac{e ^{x} ( x - 1 )}{x ^{2}}$ .

Sonuç:

f^{'} (x) = \frac{e ^{x} ( x - 1 )}{x ^{2}}

Örnek

Soru

$f (x) = ln (x^{3} x + 1)$ ise $f^{'} (x)$ nedir?

Türev almadan önce logaritma özellikleriyle ifadeyi aç: $ln (ab) = ln a + ln b$ ve $ln a^{n} = n ln a$ .

Logaritmayı aç: $ln (x^{3} x + 1) = 3 ln x + \frac{1}{2} ln (x + 1)$ .
$(3 ln x)^{'} = \frac{3}{x}$ .
$(\frac{1}{2} ln (x + 1))^{'} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{2 ( x + 1 )}$ .
Topla: $f^{'} (x) = \frac{3}{x} + \frac{1}{2 ( x + 1 )}$ .

Sonuç:

f^{'} (x) = \frac{3}{x} + \frac{1}{2 ( x + 1 )}

Örnek

Soru

(Zor) $f (x) = e^{s i n x}$ ise $f^{'} (\frac{π}{2})$ değerini bulunuz.

Önce zincir kuralıyla $f^{'} (x)$ 'i bul, sonra $x = \frac{π}{2}$ yerine koy. $sin \frac{π}{2} = 1$ , $cos \frac{π}{2} = 0$ .

$(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ formülünde $u = sin x$ , $u^{'} = cos x$ .
Türev: $f^{'} (x) = cos x e^{s i n x}$ .
$x = \frac{π}{2}$ koy: $f^{'} (\frac{π}{2}) = cos \frac{π}{2} \cdot e^{s i n (π /2)} = 0 \cdot e^{1} = 0$ .

Sonuç:

f^{'} (\frac{π}{2}) = 0

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Temel trigonometrik türevler: (cosx)′ türevini +sinx almak doğru cevaptan işaretçe sapma
Üstel fonksiyon türevi (eˣ, aˣ): (aˣ)′ = x·aˣ⁻¹ (kuvvet kuralı) sanmak tümüyle yanlış, tabanı üsse indiren ifade
Logaritma fonksiyonu türevi (ln x, logₐx): (ln x)′ = ln x veya x·ln x sanmak tümüyle yanlış ifade
Zincir kuralıyla trigonometrik türev: İç türevi unutmak doğru cevabın iç-türev katı kadar küçüğü
Zincir kuralıyla üstel türev: İç türevi unutmak (e^(x²))′ = e^(x²) sanmak 2x katı kadar eksik değer
Zincir kuralıyla logaritmik türev: 1/g(x) yazıp g′(x) ile çarpmayı unutmak iç türev katı kadar eksik değer

Soru 1Orta

f (x) = e^{2 x} sin (3 x)

fonksiyonu veriliyor. Buna göre

f^{'} (0)

değeri kaçtır?

Çarpım kuralı: $f^{'} (x) = (e^{2 x})^{'} sin (3 x) + e^{2 x} (sin (3 x))^{'}$ .
İç türevlerle: $(e^{2 x})^{'} = 2 e^{2 x}$ ve $(sin (3 x))^{'} = 3 cos (3 x)$ .
Birleştir: $f^{'} (x) = 2 e^{2 x} sin (3 x) + 3 e^{2 x} cos (3 x)$ .
$x = 0$ koy: $sin 0 = 0$ , $cos 0 = 1$ , $e^{0} = 1$ olduğundan $f^{'} (0) = 2 \cdot 1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 \cdot 1 = 3$ .

Sonuç:

3

Soru 2Orta

f (x) = \frac{e ^{x}}{1 + ln x}

fonksiyonu

x > 0

için tanımlıdır. Buna göre

f^{'} (1)

değeri kaçtır?

Bölüm kuralı: $f^{'} (x) = \frac{( e ^{x} ) ^{'} ( 1 + ln x ) - e ^{x} ( 1 + ln x ) ^{'}}{( 1 + ln x ) ^{2}}$ .
Türevler: $(e^{x})^{'} = e^{x}$ ve $(1 + ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ .
Yerine koy: $f^{'} (x) = \frac{e ^{x} ( 1 + ln x ) - e ^{x} \cdot \frac{1}{x}}{( 1 + ln x ) ^{2}}$ .
$x = 1$ için $ln 1 = 0$ ve $\frac{1}{x} = 1$ : pay $= e (1 + 0) - e \cdot 1 = 0$ , payda $= (1 + 0)^{2} = 1$ , böylece $f^{'} (1) = 0$ .

Sonuç:

0

Soru 3Orta

f (x) = 2^{x} cos x

fonksiyonu veriliyor. Buna göre

f^{'} (0)

değeri kaçtır?

Çarpım kuralı: $f^{'} (x) = (2^{x})^{'} cos x + 2^{x} (cos x)^{'}$ .
Türevler: $(2^{x})^{'} = 2^{x} ln 2$ ve $(cos x)^{'} = - sin x$ .
Birleştir: $f^{'} (x) = 2^{x} ln 2 cos x - 2^{x} sin x$ .
$x = 0$ koy: $2^{0} = 1$ , $cos 0 = 1$ , $sin 0 = 0$ olduğundan $f^{'} (0) = 1 \cdot ln 2 \cdot 1 - 1 \cdot 0 = ln 2$ .

Sonuç:

ln 2

Soru 4Orta

f (x) = ln (sin x)

fonksiyonu veriliyor. Buna göre

f^{'} (\frac{π}{6})

değeri kaçtır?

$(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ formülünde $u = sin x$ , $u^{'} = cos x$ : $f^{'} (x) = \frac{cos x}{sin x} = cot x$ .
$x = \frac{π}{6}$ koy: $cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}$ , $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ .
Oran: $f^{'} (\frac{π}{6}) = \frac{3 /2}{1/2} = 3$ .

Sonuç:

3

Soru 5Orta

f (x) = e^{a x} cos x

fonksiyonunun grafiğine

x = 0

noktasında çizilen teğetin eğimi

3

'tür. Buna göre

a

kaçtır?

Teğetin eğimi $f^{'} (0)$ 'dır. Çarpım kuralı: $f^{'} (x) = (e^{a x})^{'} cos x + e^{a x} (cos x)^{'} = a e^{a x} cos x - e^{a x} sin x$ .
$x = 0$ koy: $e^{0} = 1$ , $cos 0 = 1$ , $sin 0 = 0$ , dolayısıyla $f^{'} (0) = a \cdot 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0 = a$ .
Koşul $f^{'} (0) = 3$ olduğundan $a = 3$ .

Sonuç:

3

Soru 6Zor

f (x) = \frac{ln x}{x}

fonksiyonu

x > 0

için tanımlıdır ve yalnızca bir kritik noktası vardır. Bu kritik noktadaki fonksiyon değeri

f (c)

kaçtır?

Bölüm kuralı: $f^{'} (x) = \frac{( ln x ) ^{'} \cdot x - ln x \cdot 1}{x ^{2}} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - ln x}{x ^{2}} = \frac{1 - ln x}{x ^{2}}$ .
Kritik nokta: $f^{'} (x) = 0 \Rightarrow 1 - ln x = 0 \Rightarrow ln x = 1 \Rightarrow x = e$ , yani $c = e$ .
Değer: $f (e) = \frac{ln e}{e} = \frac{1}{e}$ .

Sonuç:

\frac{1}{e}

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

$(ln u)^{'}$ 'i $\frac{1}{u}$ sanmak: doğrusu $\frac{u ^{'}}{u}$ 'dur; iç türev $u^{'}$ ile çarpılmalıdır. Örneğin $(ln (x^{2} + 1))^{'} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ , $\frac{1}{x ^{2} + 1}$ değil.
$a^{x}$ ile $x^{a}$ 'yı karıştırmak: $(x^{a})^{'} = a x^{a - 1}$ (kuvvet kuralı) iken $(a^{x})^{'} = a^{x} ln a$ (üstel kural). Taban mı yoksa üs mü değişken, ona bak.
Trigonometrik argümanda zincir kuralını unutmak: $(sin (3 x))^{'} = 3 cos (3 x)$ , $cos (3 x)$ değil.
$tan x$ 'in türevini yanlış hatırlamak: doğrusu $sec^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x}$ 'tir.

Sınav İpucu

Argüman saf $x$ değilse (örn. $3 x^{2}$ , $cos x$ , $x^{2} + 1$ ) mutlaka zincir kuralı uygula: dış türev $\times$ iç türev.
Logaritmik türevden önce sadeleştir: $ln$ özellikleriyle ( $ln (ab) = ln a + ln b$ , $ln a^{n} = n ln a$ ) ifadeyi aç; örneğin $ln (x^{3} x + 1)$ 'i türev almadan önce $3 ln x + \frac{1}{2} ln (x + 1)$ 'e çevirmek işi kısaltır.
$e^{k x}$ tipindeki ifadelerde iç türev sabit $k$ olur: $(e^{k x})^{'} = k e^{k x}$ . Bunu refleks hâline getir.

1. Temel Türev Tablosu

2. Zincir Kuralıyla Genelleştirilmiş Biçimler

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Türev — diğer konular