AYT Matematik · Türev

Teğet ve Normal Doğrusu

~8 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soruAYT'de ~4 soru/yıl · Sınavda yüksek ağırlık

Türevin geometrik anlamı, bir eğriye verilen noktada çizilen teğetin eğimidir. Bu konu, teğet ve ona dik olan normal doğrularının denklemlerini, bunların eğim ilişkisini, eğri ile bir doğrunun paralellik/diklik koşullarını ve dış noktadan teğet problemlerini eksiksiz işler. AYT'de bu tip sorular doğrudan türev ile bir noktanın koordinat geometrisini birleştirir.

1. Teğet Doğrusunun Denklemi

$f$ türevlenebilir bir fonksiyon olsun. Eğri üzerindeki $(a, f (a))$ noktasında çizilen teğetin eğimi $f^{'} (a)$ 'dır. Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemiyle:

$y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)$

Teğetin eğimi her zaman türevden gelir: $m_{T} = f^{'} (a)$ .

2. Normal Doğrusunun Denklemi

Normal, teğet doğrusuna değme noktasında dik olan doğrudur. Birbirine dik iki doğrunun eğimleri çarpımı $- 1$ olduğundan, normalin eğimi teğet eğiminin ters-negatifidir:

$m_{N} = - \frac{1}{f ^{'} ( a )} (f^{'} (a) \neq = 0)$

Buradan normalin denklemi:

$y - f (a) = - \frac{1}{f ^{'} ( a )} (x - a)$

3. Teğetin Eksenle Yaptığı Açı

Teğetin $x$ ekseniyle yaptığı (pozitif yönde ölçülen) açı $θ$ ise, eğim bu açının tanjantıdır:

$tan θ = f^{'} (a)$

Durum	Koşul	Sonuç
Yatay teğet	$f^{'} (a) = 0$	Teğet $x$ eksenine paralel; normal düşey
Düşey teğet	$f^{'} (a)$ tanımsız	Teğet $y$ eksenine paralel; normal yatay olur
Paralellik	$f^{'} (a) = m$	Teğet, eğimi $m$ olan doğruya paraleldir
Diklik	$f^{'} (a) = - \frac{1}{m}$	Teğet, eğimi $m$ olan doğruya diktir

Dikkat: "Teğet şu doğruya paralel" demek eğimler eşit demektir; "dik" demek eğimlerin çarpımı $- 1$ demektir. İkisini karıştırmak en sık hatadır.

4. Çözüm Stratejisi

Bir teğet/normal sorusunda izlenecek sıra:

Değme noktasını netleştir. Nokta eğri üzerindeyse $f (a)$ 'yı hesapla; eğri üzerinde değilse değme noktasını $(a, f (a))$ olarak bilinmeyenle al.
Eğimi bul: $m_{T} = f^{'} (a)$ .
Koşulu uygula: paralellik/diklik veya dış noktadan geçme koşulundan $a$ 'yı çöz.
Doğru denklemini yaz.

Örnek

Soru

$y = x^{2} - 4 x + 3$ eğrisine $x = 1$ noktasında çizilen teğetin denklemini bulunuz.

Değme noktasının $y$ değeri: $f (1) = 1 - 4 + 3 = 0$ , yani nokta $(1, 0)$ .
Türev: $f^{'} (x) = 2 x - 4$ .
Eğim: $m_{T} = f^{'} (1) = 2 \cdot 1 - 4 = - 2$ .
Teğet denklemi: $y - 0 = - 2 (x - 1) \Rightarrow y = - 2 x + 2$ .

Sonuç:

y = - 2 x + 2

Örnek

Soru

Aynı $y = x^{2} - 4 x + 3$ eğrisine $(1, 0)$ noktasında çizilen normalin denklemini bulunuz.

Normalin eğimi, teğet eğiminin ters-negatifidir: $m_{N} = - \frac{1}{f ^{'} ( 1 )}$ .

Önceki örnekten teğet eğimi $f^{'} (1) = - 2$ .
Normalin eğimi: $m_{N} = - \frac{1}{- 2} = \frac{1}{2}$ .
Normal denklemi: $y - 0 = \frac{1}{2} (x - 1)$ .
Sadeleştir: $y = \frac{x - 1}{2}$ .

Sonuç:

y = \frac{x - 1}{2}

Örnek

Soru

$y = x^{3}$ eğrisinin $y = 3 x + 5$ doğrusuna paralel olan teğetlerinin denklemlerini bulunuz.

Paralellik eğimlerin eşitliğidir. Önce $f^{'} (x)$ 'i verilen doğrunun eğimine eşitleyip değme noktasını bul.

Verilen doğrunun eğimi $m = 3$ . Paralellik için teğetin eğimi de $3$ olmalı.
Türev: $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ . Koşul: $3 x^{2} = 3 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1$ .
Değme noktaları: $x = 1$ için $(1, 1)$ ; $x = - 1$ için $(- 1, - 1)$ .
$(1, 1)$ teğeti: $y - 1 = 3 (x - 1) \Rightarrow y = 3 x - 2$ .
$(- 1, - 1)$ teğeti: $y - (- 1) = 3 (x - (- 1)) \Rightarrow y = 3 x + 2$ .

Sonuç:

y = 3 x - 2

y = 3 x + 2

Örnek

Soru

$y = x^{2}$ eğrisine, eğri üzerinde olmayan $(0, - 1)$ noktasından çizilen teğet doğrularının denklemlerini bulunuz.

Nokta eğri üzerinde değil; doğrudan formüle koyma. Değme noktasını $(a, a^{2})$ al, teğet eğimini iki yoldan yazıp eşitle.

Değme noktası eğri üzerinde olsun: $(a, a^{2})$ . Türev $f^{'} (x) = 2 x$ olduğundan bu noktadaki teğet eğimi $2 a$ 'dır.
Aynı eğim, teğetin geçtiği $(0, - 1)$ ile değme noktası arasındaki eğime de eşit olmalı: $\frac{a ^{2} - ( - 1 )}{a - 0} = \frac{a ^{2} + 1}{a}$ .
İki ifadeyi eşitle: $2 a = \frac{a ^{2} + 1}{a} \Rightarrow 2 a^{2} = a^{2} + 1 \Rightarrow a^{2} = 1 \Rightarrow a = \pm 1$ .
$a = 1$ : değme noktası $(1, 1)$ , eğim $2$ , teğet $y - 1 = 2 (x - 1) \Rightarrow y = 2 x - 1$ .
$a = - 1$ : değme noktası $(- 1, 1)$ , eğim $- 2$ , teğet $y - 1 = - 2 (x + 1) \Rightarrow y = - 2 x - 1$ .
Kontrol: her iki doğru da $x = 0$ için $y = - 1$ verir; $(0, - 1)$ 'den geçerler.

Sonuç:

y = 2 x - 1

y = - 2 x - 1

Örnek

Soru

$y = x^{3} - 3 x$ eğrisinin yatay teğetinin olduğu noktaları ve bu noktalardaki normal doğrularını bulunuz.

Yatay teğet koşulu: $f^{'} (x) = 0$ . Türev: $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ .
$3 x^{2} - 3 = 0 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1$ .
Noktalar: $f (1) = 1 - 3 = - 2 \Rightarrow (1, - 2)$ ; $f (- 1) = - 1 + 3 = 2 \Rightarrow (- 1, 2)$ .
Teğet yatay ( $m_{T} = 0$ ) olduğundan normal düşeydir; düşey doğrunun denklemi $x =$ sabittir.
$(1, - 2)$ noktasındaki normal: $x = 1$ . $(- 1, 2)$ noktasındaki normal: $x = - 1$ .

Sonuç: Yatay teğet noktaları

(1, - 2)

(- 1, 2)

; normaller sırasıyla

x = 1

x = - 1

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$y = x^{2} - 2 x + 5$ eğrisine $x = 3$ noktasında çizilen teğetin eğimi kaçtır?

Türev: $f^{'} (x) = 2 x - 2$ .
Eğim: $m_{T} = f^{'} (3) = 2 \cdot 3 - 2 = 4$ .

Sonuç:

4

Örnek

Soru

$y = \frac{1}{x}$ eğrisine $x = 2$ noktasında çizilen teğetin denklemini bulunuz.

Değme noktası: $f (2) = \frac{1}{2}$ , yani $(2, \frac{1}{2})$ .
Türev: $f^{'} (x) = - \frac{1}{x ^{2}}$ , eğim $f^{'} (2) = - \frac{1}{4}$ .
Teğet denklemi: $y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{4} (x - 2)$ .
Sadeleştir: $y = - \frac{1}{4} x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = - \frac{1}{4} x + 1$ .

Sonuç:

y = - \frac{1}{4} x + 1

Örnek

Soru

$y = x^{2} + b x + 1$ eğrisine $x = 1$ noktasında çizilen teğetin eğimi $5$ ise $b$ kaçtır?

Türev: $f^{'} (x) = 2 x + b$ .
Koşul: $f^{'} (1) = 2 \cdot 1 + b = 5$ .
Buradan $2 + b = 5 \Rightarrow b = 3$ .

Sonuç:

b = 3

Örnek

Soru

$y = x^{2} - 6 x + 10$ eğrisinin teğeti $x$ eksenine paralel ise değme noktası nedir?

$x$ eksenine paralel teğet yatay teğettir: $f^{'} (x) = 0$ .
Türev: $f^{'} (x) = 2 x - 6$ , yani $2 x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$ .
$y$ değeri: $f (3) = 9 - 18 + 10 = 1$ .

Sonuç:

(3, 1)

Örnek

Soru

$y = x^{2} - 3$ eğrisine $(2, 1)$ noktasında çizilen normalin denklemini bulunuz.

Nokta eğri üzerinde mi? $f (2) = 4 - 3 = 1$ , evet $(2, 1)$ eğri üzerinde.
Türev: $f^{'} (x) = 2 x$ , teğet eğimi $f^{'} (2) = 4$ .
Normal eğimi: $m_{N} = - \frac{1}{4}$ .
Normal denklemi: $y - 1 = - \frac{1}{4} (x - 2) \Rightarrow y = - \frac{1}{4} x + \frac{1}{2} + 1 = - \frac{1}{4} x + \frac{3}{2}$ .

Sonuç:

y = - \frac{1}{4} x + \frac{3}{2}

Örnek

Soru

$y = x^{3} - 2 x^{2} + x$ eğrisine $x = 2$ noktasında çizilen teğetin $x$ ekseniyle yaptığı açının tanjantı kaçtır?

Türev: $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1$ .
$tan θ = f^{'} (2) = 3 \cdot 4 - 4 \cdot 2 + 1 = 12 - 8 + 1 = 5$ .

Sonuç:

tan θ = 5

Örnek

Soru

$y = x^{2}$ eğrisine $x = 2$ noktasında çizilen teğet, $y = x^{2} - 4 x + c$ eğrisine bir noktada teğet ise $c$ kaçtır?

İlk eğrinin teğeti: $f (x) = x^{2}$ , $f^{'} (x) = 2 x$ , $x = 2$ için değme noktası $(2, 4)$ , eğim $4$ .
Teğet denklemi: $y - 4 = 4 (x - 2) \Rightarrow y = 4 x - 4$ .
Bu doğrunun $g (x) = x^{2} - 4 x + c$ eğrisine teğet olması için $g^{'} (x) = 2 x - 4$ eğiminin $4$ olduğu noktada değmesi gerekir: $2 x - 4 = 4 \Rightarrow x = 4$ .
Değme noktasında doğru ile eğri eşit: $g (4) = 16 - 16 + c = c$ ve doğru $y = 4 \cdot 4 - 4 = 12$ .
Buradan $c = 12$ .

Sonuç:

c = 12

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Noktası verilen teğet denklemi: Eğim diye f′(a) yerine f(a) kullanmak fonksiyon değeriyle yazılmış yanlış eğimli doğru
Eğimi verilen teğet — değme noktası bulma: m'yi f′ yerine f(x)'e eşitlemek eğri üzerinde ilgisiz bir kesişim noktası
Normal doğrusunun denklemi: Normal eğimini −1/m yerine 1/m almak (işareti unutmak) işaretçe ters eğimli doğru
x eksenine paralel (yatay) teğet: Koşulu f(x)=0 sanmak (eğrinin kökünü aramak) x eksenini kestiği nokta — değme noktası değil
Verilen doğruya paralel / dik teğet: Dik istenirken paralel koşulu (f′=m) kullanmak yanlış apsiste değme noktası
Eğri üzerinde olmayan noktadan çizilen teğet: Dış noktayı değme noktası sanıp doğrudan f′(x₀) hesaplamak eğriye hiç değmeyen sahte teğet

Soru 1Orta

f (x) = x^{2} + a x + b

eğrisine

x = 1

apsisli noktada çizilen teğet hem

y = 4 x

doğrusuna **paralel** hem de

(0, - 3)

noktasından geçmektedir. Buna göre

a + b

kaçtır?

Türev: $f^{'} (x) = 2 x + a$ . Teğet $y = 4 x$ doğrusuna paralel olduğundan eğimi $4$ 'tür: $f^{'} (1) = 2 + a = 4 \Rightarrow a = 2$ .
Değme noktası $(1, f (1))$ ve $f (1) = 1 + a + b = 1 + 2 + b = 3 + b$ .
Teğet denklemi: $y - (3 + b) = 4 (x - 1)$ . Bu doğru $(0, - 3)$ noktasından geçer: $- 3 - (3 + b) = 4 (0 - 1)$ .
Düzenle: $- 6 - b = - 4 \Rightarrow b = - 2$ .
Buna göre $a + b = 2 + (- 2) = 0$ .

Sonuç:

0

Soru 2Orta

y = x^{2} - 2 x

eğrisinin teğeti

y = 2 x + 7

doğrusuna **paralel** olduğu değme noktasında, bu noktadan geçen **normal** doğrusu

y

eksenini

K

noktasında kesmektedir. Buna göre

K

noktasının ordinatı kaçtır?

Türev: $f^{'} (x) = 2 x - 2$ . Teğet, eğimi $2$ olan doğruya paralel olduğundan $2 x - 2 = 2 \Rightarrow x = 2$ .
Değme noktası: $f (2) = 4 - 4 = 0$ , yani $(2, 0)$ . Teğet eğimi $m_{T} = 2$ .
Normalin eğimi: $m_{N} = - \frac{1}{2}$ . Normal denklemi: $y - 0 = - \frac{1}{2} (x - 2)$ .
$y$ eksenini kestiği nokta için $x = 0$ : $y = - \frac{1}{2} (0 - 2) = 1$ .
Demek ki $K = (0, 1)$ ve ordinatı $1$ 'dir.

Sonuç:

1

Soru 3Zor

y = x^{3}

eğrisine

x = 1

apsisli noktasında çizilen teğet, eğriyi değme noktasından **farklı** bir

P

noktasında daha kesmektedir. Buna göre eğrinin

P

noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?

$f (x) = x^{3}$ , $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ . $x = 1$ için değme noktası $(1, 1)$ , eğim $f^{'} (1) = 3$ .
Teğet denklemi: $y - 1 = 3 (x - 1) \Rightarrow y = 3 x - 2$ .
Teğetin eğriyle kesişimi: $x^{3} = 3 x - 2 \Rightarrow x^{3} - 3 x + 2 = 0$ .
Çarpanlara ayır: $x^{3} - 3 x + 2 = (x - 1)^{2} (x + 2)$ . Çift kök $x = 1$ değme noktasıdır; farklı kök $x = - 2$ , yani $P$ noktasının apsisi $- 2$ 'dir.
$P$ noktasındaki teğetin eğimi: $f^{'} (- 2) = 3 \cdot (- 2)^{2} = 12$ .

Sonuç:

12

Soru 4Orta

f (x) = ln x

eğrisine

x = e

apsisli noktada çizilen teğet,

x

eksenini

A

noktasında kesmektedir. Buna göre

A

noktasının apsisi kaçtır?

Değme noktası: $f (e) = ln e = 1$ , yani $(e, 1)$ . Türev $f^{'} (x) = \frac{1}{x}$ , eğim $f^{'} (e) = \frac{1}{e}$ .
Teğet denklemi: $y - 1 = \frac{1}{e} (x - e) \Rightarrow y = \frac{x}{e} - 1 + 1 = \frac{x}{e}$ .
$x$ eksenini kestiği nokta için $y = 0$ : $\frac{x}{e} = 0 \Rightarrow x = 0$ .
Demek ki teğet orijinden geçer; $A$ noktasının apsisi $0$ 'dır.

Sonuç:

0

Soru 5Orta

f (x) = x^{2} + 3

g (x) = - x^{2} + a x + b

eğrileri

x = 1

apsisli ortak bir noktada **ortak teğete** sahiptir (birbirlerine teğettir). Buna göre

a + b

kaçtır?

Ortak teğet için $x = 1$ 'de hem fonksiyon değerleri hem de eğimler eşit olmalı.
**Eğim eşitliği:** $f^{'} (x) = 2 x$ , $g^{'} (x) = - 2 x + a$ . $x = 1$ 'de $2 = - 2 + a \Rightarrow a = 4$ .
**Değer eşitliği:** $f (1) = 1 + 3 = 4$ ve $g (1) = - 1 + a + b = - 1 + 4 + b = 3 + b$ . Eşitle: $4 = 3 + b \Rightarrow b = 1$ .
İstenen: $a + b = 4 + 1 = 5$ .

Sonuç:

5

Soru 6Orta

f (x) = x^{2} - 2 x + 5

eğrisinin bir noktasındaki **normal** doğrusu, eğimi

\frac{1}{2}

olan bir doğruya paraleldir. Buna göre bu normalin değme noktasının apsisi kaçtır?

Normalin eğimi $\frac{1}{2}$ olacak. Normal eğimi $m_{N} = - \frac{1}{f ^{'} ( a )}$ olduğundan $- \frac{1}{f ^{'} ( a )} = \frac{1}{2} \Rightarrow f^{'} (a) = - 2$ .
Türev: $f^{'} (x) = 2 x - 2$ . Koşul: $2 a - 2 = - 2 \Rightarrow 2 a = 0 \Rightarrow a = 0$ .
Değme noktasının apsisi $0$ 'dır.

Sonuç:

0

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Noktayı eğri üzerinde sanıp koordinatını doğrudan formüle koymak. Önce $f (a)$ hesaplanmalı; nokta eğri üzerinde değilse değme noktası bilinmeyenle alınır.
Normal eğiminde ters işareti unutmak. $m_{N} = - \frac{1}{f ^{'} ( a )}$ ; yalnızca $\frac{1}{f ^{'} ( a )}$ yazmak yanlıştır.
"Paralel" ile "dik" koşulunu karıştırmak. Paralel: $f^{'} (a) = m$ . Dik: $f^{'} (a) \cdot m = - 1$ .
Yatay teğette normali eğimli yazmaya çalışmak. $f^{'} (a) = 0$ ise normal düşeydir ( $x = a$ ); $m_{N} = - \frac{1}{0}$ tanımsızdır.

Sınav İpucu

"Teğet şu doğruya paralel/dik" tipindeki sorularda önce eğim koşulundan değme noktasını bul: paralellikte $f^{'} (a) = m$ , diklikte $f^{'} (a) = - \frac{1}{m}$ . Eğri üzerinde olmayan bir noktadan teğet isteniyorsa değme noktasını $(a, f (a))$ alıp "türevden gelen eğim = iki nokta eğimi" denklemini kur. Yatay/düşey teğet anahtar kelimeleri sırasıyla $f^{'} (a) = 0$ ve $f^{'} (a)$ tanımsız koşullarına çevrilir.

1. Teğet Doğrusunun Denklemi

2. Normal Doğrusunun Denklemi

3. Teğetin Eksenle Yaptığı Açı

4. Çözüm Stratejisi

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

İlgili yazılar

Türev — diğer konular