çözümebak

AYT Matematik · Türev

Teğet ve Normal Doğrusu

~8 dk okumaZorluk: Orta18 çözümlü soru

Türevin geometrik anlamı, bir eğriye verilen noktada çizilen teğetin eğimidir. Bu konu, teğet ve ona dik olan normal doğrularının denklemlerini, bunların eğim ilişkisini, eğri ile bir doğrunun paralellik/diklik koşullarını ve dış noktadan teğet problemlerini eksiksiz işler. AYT'de bu tip sorular doğrudan türev ile bir noktanın koordinat geometrisini birleştirir.

1. Teğet Doğrusunun Denklemi

f türevlenebilir bir fonksiyon olsun. Eğri üzerindeki \big(a,f(a)\big) noktasında çizilen teğetin eğimi f'(a)'dır. Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemiyle:

y-f(a)=f'(a)\,(x-a)

Teğetin eğimi her zaman türevden gelir: m_T=f'(a).

2. Normal Doğrusunun Denklemi

Normal, teğet doğrusuna değme noktasında dik olan doğrudur. Birbirine dik iki doğrunun eğimleri çarpımı -1 olduğundan, normalin eğimi teğet eğiminin ters-negatifidir:

m_{N}=-\frac{1}{f'(a)}\qquad(f'(a)\neq 0)

Buradan normalin denklemi:

y-f(a)=-\frac{1}{f'(a)}\,(x-a)

3. Teğetin Eksenle Yaptığı Açı

Teğetin x ekseniyle yaptığı (pozitif yönde ölçülen) açı \theta ise, eğim bu açının tanjantıdır:

\tan\theta=f'(a)

DurumKoşulSonuç
Yatay teğetf'(a)=0Teğet x eksenine paralel; normal düşey
Düşey teğetf'(a) tanımsızTeğet y eksenine paralel; normal yatay olur
Paralellikf'(a)=mTeğet, eğimi m olan doğruya paraleldir
Diklikf'(a)=-\dfrac{1}{m}Teğet, eğimi m olan doğruya diktir

Dikkat: "Teğet şu doğruya paralel" demek eğimler eşit demektir; "dik" demek eğimlerin çarpımı -1 demektir. İkisini karıştırmak en sık hatadır.

4. Çözüm Stratejisi

Bir teğet/normal sorusunda izlenecek sıra:

  1. Değme noktasını netleştir. Nokta eğri üzerindeyse f(a)'yı hesapla; eğri üzerinde değilse değme noktasını \big(a,f(a)\big) olarak bilinmeyenle al.
  2. Eğimi bul: m_T=f'(a).
  3. Koşulu uygula: paralellik/diklik veya dış noktadan geçme koşulundan a'yı çöz.
  4. Doğru denklemini yaz.
Örnek
Soru

y=x^{2}-4x+3 eğrisine x=1 noktasında çizilen teğetin denklemini bulunuz.

  1. Değme noktasının y değeri: f(1)=1-4+3=0, yani nokta (1,0).

  2. Türev: f'(x)=2x-4.

  3. Eğim: m_T=f'(1)=2\cdot 1-4=-2.

  4. Teğet denklemi: y-0=-2(x-1)\Rightarrow y=-2x+2.

Sonuç: y=-2x+2.
Örnek
Soru

Aynı y=x^{2}-4x+3 eğrisine (1,0) noktasında çizilen normalin denklemini bulunuz.

Normalin eğimi, teğet eğiminin ters-negatifidir: m_N=-\dfrac{1}{f'(1)}.

  1. Önceki örnekten teğet eğimi f'(1)=-2.

  2. Normalin eğimi: m_N=-\dfrac{1}{-2}=\dfrac{1}{2}.

  3. Normal denklemi: y-0=\dfrac{1}{2}(x-1).

  4. Sadeleştir: y=\dfrac{x-1}{2}.

Sonuç: y=\dfrac{x-1}{2}.
Örnek
Soru

y=x^{3} eğrisinin y=3x+5 doğrusuna paralel olan teğetlerinin denklemlerini bulunuz.

Paralellik eğimlerin eşitliğidir. Önce f'(x)'i verilen doğrunun eğimine eşitleyip değme noktasını bul.

  1. Verilen doğrunun eğimi m=3. Paralellik için teğetin eğimi de 3 olmalı.

  2. Türev: f'(x)=3x^{2}. Koşul: 3x^{2}=3\Rightarrow x^{2}=1\Rightarrow x=\pm 1.

  3. Değme noktaları: x=1 için (1,1); x=-1 için (-1,-1).

  4. (1,1) teğeti: y-1=3(x-1)\Rightarrow y=3x-2.

  5. (-1,-1) teğeti: y-(-1)=3\big(x-(-1)\big)\Rightarrow y=3x+2.

Sonuç: y=3x-2 ve y=3x+2.
Örnek
Soru

y=x^{2} eğrisine, eğri üzerinde olmayan (0,-1) noktasından çizilen teğet doğrularının denklemlerini bulunuz.

Nokta eğri üzerinde değil; doğrudan formüle koyma. Değme noktasını \big(a,a^{2}\big) al, teğet eğimini iki yoldan yazıp eşitle.

  1. Değme noktası eğri üzerinde olsun: \big(a,a^{2}\big). Türev f'(x)=2x olduğundan bu noktadaki teğet eğimi 2a'dır.

  2. Aynı eğim, teğetin geçtiği (0,-1) ile değme noktası arasındaki eğime de eşit olmalı: \dfrac{a^{2}-(-1)}{a-0}=\dfrac{a^{2}+1}{a}.

  3. İki ifadeyi eşitle: 2a=\dfrac{a^{2}+1}{a}\Rightarrow 2a^{2}=a^{2}+1\Rightarrow a^{2}=1\Rightarrow a=\pm 1.

  4. a=1: değme noktası (1,1), eğim 2, teğet y-1=2(x-1)\Rightarrow y=2x-1.

  5. a=-1: değme noktası (-1,1), eğim -2, teğet y-1=-2(x+1)\Rightarrow y=-2x-1.

  6. Kontrol: her iki doğru da x=0 için y=-1 verir; (0,-1)'den geçerler.

Sonuç: y=2x-1 ve y=-2x-1.
Örnek
Soru

y=x^{3}-3x eğrisinin yatay teğetinin olduğu noktaları ve bu noktalardaki normal doğrularını bulunuz.

  1. Yatay teğet koşulu: f'(x)=0. Türev: f'(x)=3x^{2}-3.

  2. 3x^{2}-3=0\Rightarrow x^{2}=1\Rightarrow x=\pm 1.

  3. Noktalar: f(1)=1-3=-2\Rightarrow(1,-2); f(-1)=-1+3=2\Rightarrow(-1,2).

  4. Teğet yatay (m_T=0) olduğundan normal düşeydir; düşey doğrunun denklemi x= sabittir.

  5. (1,-2) noktasındaki normal: x=1. (-1,2) noktasındaki normal: x=-1.

Sonuç: Yatay teğet noktaları (1,-2) ve (-1,2); normaller sırasıyla x=1 ve x=-1.

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

y=x^{2}-2x+5 eğrisine x=3 noktasında çizilen teğetin eğimi kaçtır?

  1. Türev: f'(x)=2x-2.

  2. Eğim: m_T=f'(3)=2\cdot 3-2=4.

Sonuç: 4.
Örnek
Soru

y=\dfrac{1}{x} eğrisine x=2 noktasında çizilen teğetin denklemini bulunuz.

  1. Değme noktası: f(2)=\dfrac{1}{2}, yani \left(2,\dfrac{1}{2}\right).

  2. Türev: f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}, eğim f'(2)=-\dfrac{1}{4}.

  3. Teğet denklemi: y-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}(x-2).

  4. Sadeleştir: y=-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}x+1.

Sonuç: y=-\dfrac{1}{4}x+1.
Örnek
Soru

y=x^{2}+bx+1 eğrisine x=1 noktasında çizilen teğetin eğimi 5 ise b kaçtır?

  1. Türev: f'(x)=2x+b.

  2. Koşul: f'(1)=2\cdot 1+b=5.

  3. Buradan 2+b=5\Rightarrow b=3.

Sonuç: b=3.
Örnek
Soru

y=x^{2}-6x+10 eğrisinin teğeti x eksenine paralel ise değme noktası nedir?

  1. x eksenine paralel teğet yatay teğettir: f'(x)=0.

  2. Türev: f'(x)=2x-6, yani 2x-6=0\Rightarrow x=3.

  3. y değeri: f(3)=9-18+10=1.

Sonuç: (3,1).
Örnek
Soru

y=x^{2}-3 eğrisine (2,1) noktasında çizilen normalin denklemini bulunuz.

  1. Nokta eğri üzerinde mi? f(2)=4-3=1, evet (2,1) eğri üzerinde.

  2. Türev: f'(x)=2x, teğet eğimi f'(2)=4.

  3. Normal eğimi: m_N=-\dfrac{1}{4}.

  4. Normal denklemi: y-1=-\dfrac{1}{4}(x-2)\Rightarrow y=-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}+1=-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{3}{2}.

Sonuç: y=-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{3}{2}.
Örnek
Soru

y=x^{3}-2x^{2}+x eğrisine x=2 noktasında çizilen teğetin x ekseniyle yaptığı açının tanjantı kaçtır?

  1. Türev: f'(x)=3x^{2}-4x+1.

  2. \tan\theta=f'(2)=3\cdot 4-4\cdot 2+1=12-8+1=5.

Sonuç: \tan\theta=5.
Örnek
Soru

y=x^{2} eğrisine x=2 noktasında çizilen teğet, y=x^{2}-4x+c eğrisine bir noktada teğet ise c kaçtır?

  1. İlk eğrinin teğeti: f(x)=x^{2}, f'(x)=2x, x=2 için değme noktası (2,4), eğim 4.

  2. Teğet denklemi: y-4=4(x-2)\Rightarrow y=4x-4.

  3. Bu doğrunun g(x)=x^{2}-4x+c eğrisine teğet olması için g'(x)=2x-4 eğiminin 4 olduğu noktada değmesi gerekir: 2x-4=4\Rightarrow x=4.

  4. Değme noktasında doğru ile eğri eşit: g(4)=16-16+c=c ve doğru y=4\cdot 4-4=12.

  5. Buradan c=12.

Sonuç: c=12.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

f(x)=x^{2}+ax+b eğrisine x=1 apsisli noktada çizilen teğet hem y=4x doğrusuna paralel hem de (0,-3) noktasından geçmektedir.

Buna göre a+b kaçtır?

A) -2 · B) -1 · C) 0 · D) 1 · E) 2

  1. Türev: f'(x)=2x+a. Teğet y=4x doğrusuna paralel olduğundan eğimi 4'tür: f'(1)=2+a=4\Rightarrow a=2.

  2. Değme noktası \big(1,f(1)\big) ve f(1)=1+a+b=1+2+b=3+b.

  3. Teğet denklemi: y-(3+b)=4(x-1). Bu doğru (0,-3) noktasından geçer: -3-(3+b)=4(0-1).

  4. Düzenle: -6-b=-4\Rightarrow b=-2.

  5. Buna göre a+b=2+(-2)=0.

Sonuç: C) 0
Örnek
Soru

y=x^{2}-2x eğrisinin teğeti y=2x+7 doğrusuna paralel olduğu değme noktasında, bu noktadan geçen normal doğrusu y eksenini K noktasında kesmektedir.

Buna göre K noktasının ordinatı kaçtır?

A) 1 · B) 0 · C) -1 · D) 2 · E) -2

  1. Türev: f'(x)=2x-2. Teğet, eğimi 2 olan doğruya paralel olduğundan 2x-2=2\Rightarrow x=2.

  2. Değme noktası: f(2)=4-4=0, yani (2,0). Teğet eğimi m_T=2.

  3. Normalin eğimi: m_N=-\dfrac{1}{2}. Normal denklemi: y-0=-\dfrac{1}{2}(x-2).

  4. y eksenini kestiği nokta için x=0: y=-\dfrac{1}{2}(0-2)=1.

  5. Demek ki K=(0,1) ve ordinatı 1'dir.

Sonuç: A) 1
Örnek
Soru

y=x^{3} eğrisine x=1 apsisli noktasında çizilen teğet, eğriyi değme noktasından farklı bir P noktasında daha kesmektedir.

Buna göre eğrinin P noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?

A) 3 · B) 6 · C) -3 · D) 9 · E) 12

  1. f(x)=x^{3}, f'(x)=3x^{2}. x=1 için değme noktası (1,1), eğim f'(1)=3.

  2. Teğet denklemi: y-1=3(x-1)\Rightarrow y=3x-2.

  3. Teğetin eğriyle kesişimi: x^{3}=3x-2\Rightarrow x^{3}-3x+2=0.

  4. Çarpanlara ayır: x^{3}-3x+2=(x-1)^{2}(x+2). Çift kök x=1 değme noktasıdır; farklı kök x=-2, yani P noktasının apsisi -2'dir.

  5. P noktasındaki teğetin eğimi: f'(-2)=3\cdot(-2)^{2}=12.

Sonuç: E) 12
Örnek
Soru

f(x)=\ln x eğrisine x=e apsisli noktada çizilen teğet, x eksenini A noktasında kesmektedir.

Buna göre A noktasının apsisi kaçtır?

A) 0 · B) 1 · C) e-1 · D) \dfrac{e}{2} · E) 2-e

  1. Değme noktası: f(e)=\ln e=1, yani (e,1). Türev f'(x)=\dfrac{1}{x}, eğim f'(e)=\dfrac{1}{e}.
  2. Teğet denklemi: y-1=\dfrac{1}{e}(x-e)\Rightarrow y=\dfrac{x}{e}-1+1=\dfrac{x}{e}.
  3. x eksenini kestiği nokta için y=0: \dfrac{x}{e}=0\Rightarrow x=0.
  4. Demek ki teğet orijinden geçer; A noktasının apsisi 0'dır.
Sonuç: A) 0
Örnek
Soru

f(x)=x^{2}+3 ve g(x)=-x^{2}+ax+b eğrileri x=1 apsisli ortak bir noktada ortak teğete sahiptir (birbirlerine teğettir).

Buna göre a+b kaçtır?

A) 5 · B) 6 · C) 7 · D) 8 · E) 9

  1. Ortak teğet için x=1'de hem fonksiyon değerleri hem de eğimler eşit olmalı.
  2. Eğim eşitliği: f'(x)=2x, g'(x)=-2x+a. x=1'de 2=-2+a\Rightarrow a=4.
  3. Değer eşitliği: f(1)=1+3=4 ve g(1)=-1+a+b=-1+4+b=3+b. Eşitle: 4=3+b\Rightarrow b=1.
  4. İstenen: a+b=4+1=5.
Sonuç: A) 5
Örnek
Soru

f(x)=x^{2}-2x+5 eğrisinin bir noktasındaki normal doğrusu, eğimi \dfrac{1}{2} olan bir doğruya paraleldir.

Buna göre bu normalin değme noktasının apsisi kaçtır?

A) -1 · B) 0 · C) 1 · D) 2 · E) 3

  1. Normalin eğimi \dfrac{1}{2} olacak. Normal eğimi m_N=-\dfrac{1}{f'(a)} olduğundan -\dfrac{1}{f'(a)}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow f'(a)=-2.
  2. Türev: f'(x)=2x-2. Koşul: 2a-2=-2\Rightarrow 2a=0\Rightarrow a=0.
  3. Değme noktasının apsisi 0'dır.
Sonuç: B) 0

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

"Teğet şu doğruya paralel/dik" tipindeki sorularda önce eğim koşulundan değme noktasını bul: paralellikte f'(a)=m, diklikte f'(a)=-\dfrac{1}{m}. Eğri üzerinde olmayan bir noktadan teğet isteniyorsa değme noktasını \big(a,f(a)\big) alıp "türevden gelen eğim = iki nokta eğimi" denklemini kur. Yatay/düşey teğet anahtar kelimeleri sırasıyla f'(a)=0 ve f'(a) tanımsız koşullarına çevrilir.

Türev — diğer konular