AYT Matematik · Türev

Türev Formülleri ve Sınav Taktikleri

~7 dk okumaZorluk: Kolay5 çözümlü soruAYT'de ~4 soru/yıl · Sınavda yüksek ağırlık

Bu sayfa tüm türev ünitesinin özetidir: temel kurallar, özel fonksiyon türevleri, türev–grafik ilişkisi, geometrik/fiziksel anlam ve AYT'de en çok çıkan soru tipleri tek bir başvuru tablosunda. Sınavdan önce bir kez baştan sona oku; formülleri ezberle, taktikleri içselleştir. Detaylı işleniş için ilgili konulara bak — burada hız ve doğruluk esastır.

Temel Kurallar

Türevi limit tanımından her seferinde almak yerine doğrudan bu kuralları kullanırız:

Kural	Formül
Sabit	$(c)^{'} = 0$
Kuvvet (üs) kuralı	$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$
Sabitle çarpım	$(c f)^{'} = c f^{'}$
Toplam – fark	$(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}$
Çarpım kuralı	$(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$
Bölüm kuralı	$(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$
Zincir kuralı	$(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$

Sınav refleksi: Önce fonksiyonun yapısını tanı (çarpım mı, bölüm mü, bileşke mi?), sonra kuralı seç. Çoğu hata yanlış kural seçiminden değil, iç türevi unutmaktan çıkar.

Özel Fonksiyonların Türevleri

Fonksiyon	Türevi
$sin x$	$cos x$
$cos x$	$- sin x$
$tan x$	$\frac{1}{cos ^{2} x}$
$cot x$	$- \frac{1}{sin ^{2} x}$
$e^{x}$	$e^{x}$
$a^{x}$	$a^{x} ln a$
$ln x$	$\frac{1}{x}$
$lo g_{a} x$	$\frac{1}{x ln a}$

İç fonksiyonla birleştir: $(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ , $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ , $(sin u)^{'} = u^{'} cos u$ . Tablodaki türevler $x$ yerine $u (x)$ geldiğinde mutlaka $u^{'}$ çarpanıyla gelir.

Türev ve Grafik (Özet)

Birinci türev eğimi/yön, ikinci türev bükülmeyi anlatır:

Koşul	Grafiğin yorumu
$f^{'} (x) > 0$	Fonksiyon o aralıkta artandır
$f^{'} (x) < 0$	Fonksiyon o aralıkta azalandır
$f^{'} (x) = 0$	Kritik nokta (ekstremum adayı)
$f^{''} (x) > 0$	Grafik konkav yukarı (dışbükey)
$f^{''} (x) < 0$	Grafik konkav aşağı (içbükey)
$f^{''}$ işaret değiştirir	Dönüm (büküm) noktası
$f^{'} (c) = 0$ ve $f^{''} (c) > 0$	$c$ 'de yerel minimum (ikinci türev testi)
$f^{'} (c) = 0$ ve $f^{''} (c) < 0$	$c$ 'de yerel maksimum (ikinci türev testi)

İkinci türev testi belirsizse: $f^{'} (c) = 0$ ve $f^{''} (c) = 0$ ise test sonuç vermez; bu durumda $f^{'}$ 'nün işaret değişimine (birinci türev testi) bak.

Anlam (Geometrik & Fiziksel)

Bağlam	Yorum
Geometrik	$f^{'} (a)$ , $(a, f (a))$ noktasındaki teğetin eğimidir
Normal eğimi	Teğete dik doğrunun eğimi $- \frac{1}{f ^{'} ( a )}$
Fiziksel	Konum $s (t) \to$ hız $s^{'} (t) \to$ ivme $s^{''} (t)$
Analitik	$f^{'} (a)$ , $x = a$ civarında anlık değişim hızı

Teğet doğru denklemi: $y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)$ . Normal doğru denklemi: $y - f (a) = - \frac{1}{f ^{'} ( a )} (x - a)$ .

Sık Yapılan 10 Hata

Zincir kuralında iç türevi unutmak. $(sin 2 x)^{'} = 2 cos 2 x$ , sadece $cos 2 x$ değil.
Çarpımın türevini ayrı ayrı almak. $(f g)^{'} \neq = f^{'} g^{'}$ ; doğrusu $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ .
Bölüm kuralında işaret/sıra hatası. Pay $f^{'} g - f g^{'}$ olmalı; $f g^{'} - f^{'} g$ yazmak işareti ters çevirir.
$ln u$ türevini yanlış almak. $(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ 'dur; sadece $\frac{1}{u}$ değil.
$a^{x}$ ile $x^{a}$ 'yı karıştırmak. $(a^{x})^{'} = a^{x} ln a$ (üstel), ama $(x^{a})^{'} = a x^{a - 1}$ (kuvvet).
Süreklilikten türevlenebilirliği çıkarmak. Süreklilik $\neq \Rightarrow$ türevlenebilirlik; $∣ x ∣$ fonksiyonu $x = 0$ 'da sürekli ama türevsizdir.
$f^{'} (c) = 0$ 'ı her zaman ekstremum sanmak. $f (x) = x^{3}$ 'te $f^{'} (0) = 0$ ama $x = 0$ ekstremum değil, dönüm noktasıdır.
$f^{''} (c) = 0$ 'ı her zaman dönüm noktası sanmak. $f (x) = x^{4}$ 'te $f^{''} (0) = 0$ ama işaret değişmediği için dönüm yok; nokta minimumdur.
Normal eğimini yanlış yazmak. Normal eğimi teğet eğiminin ters-negatifidir: $- \frac{1}{f ^{'} ( a )}$ , sadece $- f^{'} (a)$ değil.
$f^{(n)}$ ile $f^{n}$ 'i karıştırmak. $f^{(n)}$ ardışık türev mertebesidir; ivme $s^{''} (t)$ , hız değil ikinci türevdir.

AYT'de Türev Soru Tipleri

Soru tipi	Hızlı yaklaşım
Limit tanımı	$h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$ yaz, payı çarpanla, $h$ ile sadeleştir
Kural uygulama	Yapıyı tanı (çarpım/bölüm/bileşke), uygun kuralı uygula, iç türevi unutma
Teğet / normal	$m = f^{'} (a)$ bul; teğet $y - f (a) = m (x - a)$ , normal eğimi $- \frac{1}{m}$
Artan-azalan & ekstremum	$f^{'} (x) = 0$ köklerini bul, işaret tablosu kur, işaret değişimine bak
İkinci türev / konkavlık	$f^{''} (x)$ 'in işaretine bak; $f^{''}$ 'nün işaret değiştirdiği yer dönüm noktası
Optimizasyon	Değişkeni tek harfe indir, kısıtı yerine koy, $f^{'} = 0$ ile uç değeri bul
Ardışık türev & fizik	Hız $= s^{'} (t)$ , ivme $= s^{''} (t)$ ; $f^{''}$ işaretiyle konkavlık yorumla

Hızlı Örnekler

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2} e^{x}$ fonksiyonunun türevini bulunuz.

Bu bir çarpım; $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ kuralını uygula. $(e^{x})^{'} = e^{x}$ olduğunu hatırla.

Çarpanları seç: $u = x^{2}$ , $v = e^{x}$ .
Türevleri al: $u^{'} = 2 x$ , $v^{'} = e^{x}$ .
Çarpım kuralı: $f^{'} (x) = u^{'} v + u v^{'} = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x}$ .
Ortak çarpan $e^{x}$ 'i paranteze al: $f^{'} (x) = e^{x} (x^{2} + 2 x)$ .

Sonuç:

f^{'} (x) = e^{x} (x^{2} + 2 x)

Örnek

Soru

$f (x) = x^{3} - 3 x$ fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarını ikinci türev testiyle belirleyiniz.

Önce $f^{'} (x) = 0$ ile kritik noktaları bul, sonra her birinde $f^{''}$ 'nün işaretine bak.

Birinci türev: $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)$ .
Kritik noktalar: $f^{'} (x) = 0 \Rightarrow x = - 1$ ve $x = 1$ .
İkinci türev: $f^{''} (x) = 6 x$ .
Test: $f^{''} (- 1) = - 6 < 0 \Rightarrow x = - 1$ yerel maksimum; $f^{''} (1) = 6 > 0 \Rightarrow x = 1$ yerel minimum.

Sonuç:

x = - 1

'de yerel maksimum,

x = 1

'de yerel minimum.

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$f (x) = 3 x^{4} - 2 x^{2} + 5$ fonksiyonunun türevini bulunuz.

Kuvvet kuralını her terime uygula: $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ .
$(3 x^{4})^{'} = 12 x^{3}$ , $(- 2 x^{2})^{'} = - 4 x$ , $(5)^{'} = 0$ .

Sonuç:

f^{'} (x) = 12 x^{3} - 4 x

Örnek

Soru

$f (x) = (2 x^{2} + 1)^{3}$ fonksiyonunun türevini zincir kuralıyla bulunuz.

Dış fonksiyon $u^{3}$ , iç fonksiyon $u = 2 x^{2} + 1$ .
Dış türev: $3 u^{2}$ , iç türev: $u^{'} = 4 x$ .
Zincir kuralı: $f^{'} (x) = 3 (2 x^{2} + 1)^{2} \cdot 4 x = 12 x (2 x^{2} + 1)^{2}$ .

Sonuç:

f^{'} (x) = 12 x (2 x^{2} + 1)^{2}

Örnek

Soru

$f (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ fonksiyonunun türevini bulunuz.

Bölüm kuralı: $(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$ ile $f = x$ , $g = x^{2} + 1$ .
$f^{'} = 1$ , $g^{'} = 2 x$ .
Pay: $1 \cdot (x^{2} + 1) - x \cdot 2 x = x^{2} + 1 - 2 x^{2} = 1 - x^{2}$ .

Sonuç:

f^{'} (x) = \frac{1 - x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}

Örnek

Soru

$f (x) = ln (x^{2} + 1)$ fonksiyonunun $x = 1$ noktasındaki türev değerini bulunuz.

$(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ ile $u = x^{2} + 1$ , $u^{'} = 2 x$ .
$f^{'} (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ .
$x = 1$ koy: $f^{'} (1) = \frac{2}{2} = 1$ .

Sonuç:

f^{'} (1) = 1

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ eğrisine $x = 3$ noktasında çizilen teğet doğrusunun denklemini bulunuz.

Değme noktası: $f (3) = 9 - 12 + 1 = - 2$ .
Eğim: $f^{'} (x) = 2 x - 4$ , $f^{'} (3) = 2$ .
Teğet denklemi: $y - (- 2) = 2 (x - 3) \Rightarrow y = 2 x - 8$ .

Sonuç:

y = 2 x - 8

Örnek

Soru

Bir cismin konumu $s (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t$ ile verilmiştir. Hızın sıfır olduğu $t$ değerlerini ve $t = 2$ anındaki ivmeyi bulunuz.

Hız: $s^{'} (t) = 3 t^{2} - 12 t + 9 = 3 (t - 1) (t - 3)$ .
$s^{'} (t) = 0 \Rightarrow t = 1$ ve $t = 3$ .
İvme: $s^{''} (t) = 6 t - 12$ , $s^{''} (2) = 12 - 12 = 0$ .

Sonuç: Hız

t = 1

t = 3

anlarında sıfırdır;

t = 2

anında ivme

0

'dır.

Örnek

Soru

$f (x) = x e^{2 x}$ fonksiyonunun türevini bulunuz.

Çarpım kuralı: $u = x$ , $v = e^{2 x}$ .
Türevler: $u^{'} = 1$ , $v^{'} = 2 e^{2 x}$ (zincir kuralı, iç türev $2$ ).
$f^{'} (x) = 1 \cdot e^{2 x} + x \cdot 2 e^{2 x} = e^{2 x} + 2 x e^{2 x}$ .
Ortak çarpan: $f^{'} (x) = e^{2 x} (1 + 2 x)$ .

Sonuç:

f^{'} (x) = e^{2 x} (1 + 2 x)

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Orta

f (x) = x^{3} + a x

fonksiyonunun grafiğine

x = 1

noktasında çizilen teğet,

y = 5 x - 3

doğrusuna paraleldir. Buna göre

f (2)

kaçtır?

Teğet eğimi türevle bulunur: $f^{'} (x) = 3 x^{2} + a$ .
Paralellik, eğimlerin eşitliğidir; $y = 5 x - 3$ doğrusunun eğimi $5$ olduğundan $f^{'} (1) = 5$ .
$f^{'} (1) = 3 \cdot 1 + a = 3 + a = 5 \Rightarrow a = 2$ .
Böylece $f (x) = x^{3} + 2 x$ ve $f (2) = 8 + 4 = 12$ .

Sonuç:

12

Soru 2Orta

f (x) = x^{3} - 3 a x^{2} + 4

fonksiyonunun

x = 2

noktasında yerel minimumu vardır. Buna göre bu yerel minimum değeri kaçtır?

Türev: $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 a x = 3 x (x - 2 a)$ .
Kritik noktalar $x = 0$ ve $x = 2 a$ 'dır; $x = 2$ ekstremum olduğundan $2 a = 2 \Rightarrow a = 1$ .
İkinci türev testi: $f^{''} (x) = 6 x - 6$ , $f^{''} (2) = 6 > 0$ olduğundan $x = 2$ gerçekten yerel minimumdur.
Minimum değer: $f (2) = 2^{3} - 3 \cdot 1 \cdot 2^{2} + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$ .

Sonuç:

0

Soru 3Zor

f (x) = \frac{x ^{2}}{e ^{x}}

fonksiyonunun

x = 0

dışındaki kritik noktası

x = c

'dir. Buna göre

f (c)

kaçtır?

Bölüm (veya çarpım) kuralıyla türev: $f^{'} (x) = \frac{2 x e ^{x} - x ^{2} e ^{x}}{e ^{2 x}} = \frac{x ( 2 - x )}{e ^{x}}$ .
$f^{'} (x) = 0 \Rightarrow x (2 - x) = 0$ ; kökler $x = 0$ ve $x = 2$ 'dir.
$x = 0$ dışındaki kritik nokta $c = 2$ 'dir.
Değer: $f (2) = \frac{2 ^{2}}{e ^{2}} = \frac{4}{e ^{2}}$ .

Sonuç:

\frac{4}{e ^{2}}

Soru 4Zor

f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2

fonksiyonunun dönüm noktasındaki teğeti

y

eksenini hangi noktada keser?

Türevler: $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9$ , $f^{''} (x) = 6 x - 12$ .
Dönüm noktası: $f^{''} (x) = 0 \Rightarrow x = 2$ . Değer: $f (2) = 8 - 24 + 18 + 2 = 4$ , nokta $(2, 4)$ .
Teğet eğimi: $f^{'} (2) = 12 - 24 + 9 = - 3$ . Teğet denklemi: $y - 4 = - 3 (x - 2) \Rightarrow y = - 3 x + 10$ .
$y$ eksenini kestiği nokta ( $x = 0$ ): $y = - 3 \cdot 0 + 10 = 10$ , yani $(0, 10)$ .

Sonuç:

(0, 10)

Soru 5Orta

f (x) = ln (x^{2} + 1)

fonksiyonu veriliyor. Buna göre

f^{''} (0)

değeri kaçtır?

Birinci türev: $f^{'} (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ .
İkinci türev (bölüm kuralı): $f^{''} (x) = \frac{2 ( x ^{2} + 1 ) - 2 x \cdot 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{2 x ^{2} + 2 - 4 x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{2 - 2 x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ .
$x = 0$ koy: $f^{''} (0) = \frac{2 - 0}{( 0 + 1 ) ^{2}} = \frac{2}{1} = 2$ .

Sonuç:

2

0/5 soru cevaplandı

Temel Kurallar

Özel Fonksiyonların Türevleri

Türev ve Grafik (Özet)

Anlam (Geometrik & Fiziksel)

Sık Yapılan 10 Hata

AYT'de Türev Soru Tipleri

Hızlı Örnekler

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Türev — diğer konular