AYT Matematik · Türev

Ardışık (Yüksek Mertebeden) Türevler

~7 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soruAYT'de ~4 soru/yıl · Sınavda yüksek ağırlık

Bir fonksiyonun türevi yine bir fonksiyondur; onu tekrar türeterek ikinci, üçüncü, … mertebeden türevleri elde ederiz. Bu ardışık türevler, ikinci türevin ekstremum ve konkavlık yorumundan, fizikteki hız–ivme ilişkisine kadar pek çok yerde karşımıza çıkar. MEB 12. sınıf müfredatının doğrudan kazanımıdır.

1. Tanım ve Gösterim

$f$ fonksiyonunun türevi $f^{'}$ 'yü tekrar türetirsek ikinci türevi buluruz; bunu sürdürerek daha yüksek mertebeleri elde ederiz:

$f^{'} (x)^{'} f^{''} (x)^{'} f^{'''} (x)^{'} f^{(4)} (x) \to \dots$

Dördüncü mertebeden itibaren üs gösterimi parantez içinde yazılır. Eşdeğer gösterimler:

$f^{''} (x) = \frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}, f^{(n)} (x) = \frac{d ^{n} y}{d x ^{n}}$

Dikkat: $f^{(n)} (x)$ ile $(f (x))^{n}$ karıştırılmamalıdır. Birincisi $n$ . türev, ikincisi fonksiyonun $n$ . kuvvetidir.

2. Polinomlarda Ardışık Türev

Her türev derecesi $1$ azaltır; bir polinomun derecesinden sonraki türevler sıfırdır.

Fonksiyon	$f^{'}$	$f^{''}$	$f^{'''}$	$f^{(4)}$
$x^{4}$	$4 x^{3}$	$12 x^{2}$	$24 x$	$24$
$x^{3}$	$3 x^{2}$	$6 x$	$6$	$0$

Örnek

Soru

$f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} + 5 x - 1$ fonksiyonunun $f^{''} (x)$ ve $f^{'''} (x)$ türevlerini bulunuz.

Birinci türev: $f^{'} (x) = 8 x^{3} - 6 x + 5$ .
İkinci türev: $f^{''} (x) = 24 x^{2} - 6$ .
Üçüncü türev: $f^{'''} (x) = 48 x$ .

Sonuç:

f^{''} (x) = 24 x^{2} - 6

f^{'''} (x) = 48 x

3. Trigonometrik Fonksiyonlarda Türev Döngüsü

$sin x$ ve $cos x$ 'in türevleri dört adımda başa döner:

$sin x^{'} cos x^{'} - sin x^{'} - cos x^{'} sin x$

Bu yüzden $sin x$ 'in $n$ . türevi yalnızca $n$ 'in $4$ 'e bölümünden kalana bağlıdır.

Örnek

Soru

$f (x) = sin x$ fonksiyonunun $f^{(2026)} (x)$ türevini bulunuz.

Türev $4$ adımda döndüğü için $2026$ 'yı $4$ 'e böl, kalana bak: kalan $0$ ise $sin x$ , $1$ ise $cos x$ , $2$ ise $- sin x$ , $3$ ise $- cos x$ .

Döngü periyodu $4$ : $f^{(n)}$ yalnız $n$ 'in $4$ ile bölümünden kalana bağlıdır.
$2026 = 4 \cdot 506 + 2$ olduğundan kalan $2$ 'dir.
Kalan $2$ , döngüde $- sin x$ 'e karşılık gelir.

Sonuç:

f^{(2026)} (x) = - sin x

4. Fiziksel Anlam: Konum, Hız, İvme

Ardışık türevin en somut uygulaması harekettir. Bir cismin konumu $s (t)$ ise, hız birinci türev, ivme ikinci türevdir:

$v (t) = s^{'} (t), a (t) = s^{''} (t)$

Örnek

Soru

Bir cismin konumu $s (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t$ (metre, $t$ saniye) ile veriliyor. $t = 2$ anındaki hızı ve ivmeyi bulunuz.

Hız, konumun türevidir: $v (t) = s^{'} (t) = 3 t^{2} - 12 t + 9$ .
İvme, hızın türevidir: $a (t) = v^{'} (t) = s^{''} (t) = 6 t - 12$ .
$t = 2$ için hız: $v (2) = 3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 + 9 = 12 - 24 + 9 = - 3 m/s$ .
$t = 2$ için ivme: $a (2) = 6 \cdot 2 - 12 = 0 m/s^{2}$ .

Sonuç:

t = 2

anında hız

- 3 m/s

, ivme

0 m/s^{2}

5. İkinci Türevin Grafik Anlamı

İkinci türev, grafiğin bükülme yönünü belirler ve kritik noktaları sınıflandırır (ayrıntısı İkinci Türev, Konkavlık ve Dönüm Noktaları konusunda):

$f^{''} (x) > 0$ ise grafik konkav yukarı ( $\cup$ ), $f^{''} (x) < 0$ ise konkav aşağı ( $\cap$ ).
$f^{'} (c) = 0$ ve $f^{''} (c) > 0$ ise $c$ yerel minimum; $f^{''} (c) < 0$ ise yerel maksimumdur.

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$f (x) = x^{5}$ fonksiyonunun $f^{(4)} (x)$ türevini bulunuz.

Birinci türev: $f^{'} (x) = 5 x^{4}$ .
İkinci türev: $f^{''} (x) = 20 x^{3}$ .
Üçüncü türev: $f^{'''} (x) = 60 x^{2}$ .
Dördüncü türev: $f^{(4)} (x) = 120 x$ .

Sonuç:

f^{(4)} (x) = 120 x

Örnek

Soru

$f (x) = e^{2 x}$ fonksiyonunun $f^{''} (x)$ türevini bulunuz.

Zincir kuralıyla birinci türev: $f^{'} (x) = 2 e^{2 x}$ .
Tekrar türetelim: $f^{''} (x) = 2 \cdot 2 e^{2 x} = 4 e^{2 x}$ .

Sonuç:

f^{''} (x) = 4 e^{2 x}

Örnek

Soru

$f (x) = ln x$ fonksiyonunun $f^{'''} (x)$ türevini bulunuz.

Birinci türev: $f^{'} (x) = \frac{1}{x} = x^{- 1}$ .
İkinci türev: $f^{''} (x) = - x^{- 2} = - \frac{1}{x ^{2}}$ .
Üçüncü türev: $f^{'''} (x) = 2 x^{- 3} = \frac{2}{x ^{3}}$ .

Sonuç:

f^{'''} (x) = \frac{2}{x ^{3}}

Örnek

Soru

$f (x) = cos x$ fonksiyonunun $f^{(101)} (x)$ türevini bulunuz.

Türev $4$ adımda döner: $cos x \to - sin x \to - cos x \to sin x \to cos x$ .
$101 = 4 \cdot 25 + 1$ olduğundan kalan $1$ 'dir.
Kalan $1$ , döngüde $- sin x$ 'e karşılık gelir.

Sonuç:

f^{(101)} (x) = - sin x

Örnek

Soru

Bir cismin konumu $s (t) = 2 t^{3} - 3 t^{2} + 4$ (metre, $t$ saniye) ile veriliyor. $t = 1$ anındaki ivmeyi bulunuz.

Hız, konumun türevidir: $v (t) = s^{'} (t) = 6 t^{2} - 6 t$ .
İvme, hızın türevidir: $a (t) = v^{'} (t) = s^{''} (t) = 12 t - 6$ .
$t = 1$ için: $a (1) = 12 \cdot 1 - 6 = 6 m/s^{2}$ .

Sonuç:

t = 1

anında ivme

6 m/s^{2}

Örnek

Soru

$f (x) = a x^{3} + b x^{2}$ fonksiyonu için $f^{''} (0) = 4$ ve $f^{''} (1) = 10$ veriliyor. $f^{'''} (x)$ türevini bulunuz.

İkinci türev: $f^{''} (x) = 6 a x + 2 b$ .
$f^{''} (0) = 2 b = 4$ olduğundan $b = 2$ .
$f^{''} (1) = 6 a + 2 b = 6 a + 4 = 10$ olduğundan $6 a = 6$ , yani $a = 1$ .
Üçüncü türev: $f^{'''} (x) = 6 a = 6$ .

Sonuç:

f^{'''} (x) = 6

Örnek

Soru

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3}$ fonksiyonunun grafiği hangi aralıkta konkav yukarıdır?

Birinci türev: $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2}$ .
İkinci türev: $f^{''} (x) = 12 x^{2} - 12 x = 12 x (x - 1)$ .
Konkav yukarı için $f^{''} (x) > 0$ , yani $12 x (x - 1) > 0$ olmalı.
Çarpanların işaretine göre çözüm: $x < 0$ veya $x > 1$ .

Sonuç:

x < 0

ya da

x > 1

aralıklarında grafik konkav yukarıdır.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

İkinci türev hesabı ve f″(a) değeri: Birinci türevde durup f′(a) vermek f′(a) değeri
Polinomda yüksek mertebe türev ve sıfırlanma: Katsayı zincirinden bir çarpanı atlamak (ör. 120x yerine 60x) doğru cevabın tam böleni olan değer
Konum–hız–ivme (fiziksel yorum): İvmeyi birinci türev sanmak v(t) değeri — bir mertebe eksik
Trigonometrik türev döngüsü (n mod 4): n mod 4'ü yanlış hesaplamak (bir adım kaymak) döngüde komşu fonksiyon (ör. −cos x yerine −sin x)
Rasyonel/köklü ifadede ardışık türev: Negatif üsten gelen işaret değişimini bir adımda kaçırmak doğru cevabın işaretçe tersi
İkinci türev koşulundan katsayı bulma (ters problem): f″ koşulunu f veya f′'de kullanmak ilgisiz katsayı çifti

Soru 1Orta

Bir cismin konumu

s (t) = t^{3} - 9 t^{2} + 24 t

(metre,

t

saniye) bağıntısıyla veriliyor. Cismin hızı, ilki dışında ikinci kez sıfır olduğu anda ivmesi ölçülüyor. Buna göre bu andaki ivme kaç

m/s^{2}

dir?

Hız: $v (t) = s^{'} (t) = 3 t^{2} - 18 t + 24 = 3 (t - 2) (t - 4)$ .
Hız sıfır olur: $t = 2$ (birinci kez) ve $t = 4$ (ikinci kez). İstenen an $t = 4$ .
İvme: $a (t) = v^{'} (t) = s^{''} (t) = 6 t - 18$ .
$t = 4$ için: $a (4) = 6 \cdot 4 - 18 = 24 - 18 = 6 m/s^{2}$ .

Sonuç:

6

Soru 2Orta

f (x) = x^{4} + a x^{3} + b x^{2}

fonksiyonunun ikinci türevi

f^{''} (x)

x = 1

x = 3

değerlerinde sıfır olmaktadır. Buna göre

f^{'''} (2)

kaçtır?

İkinci türev: $f^{''} (x) = 12 x^{2} + 6 a x + 2 b$ .
Kökleri $1$ ve $3$ olan bu ifade için kökler toplamı: $1 + 3 = - \frac{6 a}{12} = - \frac{a}{2}$ , yani $4 = - \frac{a}{2} \Rightarrow a = - 8$ .
Kökler çarpımı: $1 \cdot 3 = \frac{2 b}{12} = \frac{b}{6}$ , yani $3 = \frac{b}{6} \Rightarrow b = 18$ .
Üçüncü türev: $f^{'''} (x) = 24 x + 6 a = 24 x - 48$ .
$f^{'''} (2) = 24 \cdot 2 - 48 = 48 - 48 = 0$ .

Sonuç:

0

Soru 3Zor

f (x) = sin (2 x)

fonksiyonu veriliyor. Buna göre

\frac{f ^{(2026)} ( \frac{π}{4} )}{2 ^{2025}}

ifadesinin değeri kaçtır?

Her türevde zincir kuralından $2$ çarpanı çıkar ve faza $\frac{π}{2}$ eklenir: $f^{(n)} (x) = 2^{n} sin (2 x + \frac{nπ}{2})$ .
$n = 2026$ için faz: $2 x + \frac{2026 π}{2} = 2 x + 1013 π$ .
$1013$ tek sayı olduğundan $sin (2 x + 1013 π) = - sin (2 x)$ . Böylece $f^{(2026)} (x) = - 2^{2026} sin (2 x)$ .
$x = \frac{π}{4}$ için $sin (\frac{π}{2}) = 1$ olduğundan $f^{(2026)} (\frac{π}{4}) = - 2^{2026}$ .
İstenen oran: $\frac{- 2 ^{2026}}{2 ^{2025}} = - 2$ .

Sonuç:

- 2

Soru 4Kolay

f (x) = e^{3 x}

fonksiyonu veriliyor. Buna göre

\frac{f ^{(5)} ( x )}{f ^{''} ( x )}

ifadesinin değeri kaçtır?

Her türevde iç türev $3$ çarpan olarak çıkar: $f^{(n)} (x) = 3^{n} e^{3 x}$ .
Beşinci türev: $f^{(5)} (x) = 3^{5} e^{3 x} = 243 e^{3 x}$ .
İkinci türev: $f^{''} (x) = 3^{2} e^{3 x} = 9 e^{3 x}$ .
Oran: $\frac{243 e ^{3 x}}{9 e ^{3 x}} = \frac{243}{9} = 27$ .

Sonuç:

27

Soru 5Kolay

Bir cismin konumu

s (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 5

(metre,

t

saniye) ile veriliyor. Cisim, ivmesinin sıfır olduğu anda hangi hızla hareket etmektedir?

Hız: $v (t) = s^{'} (t) = 3 t^{2} - 12 t$ .
İvme: $a (t) = v^{'} (t) = s^{''} (t) = 6 t - 12$ .
İvme sıfır: $6 t - 12 = 0 \Rightarrow t = 2$ .
Bu andaki hız: $v (2) = 3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 = 12 - 24 = - 12 m/s$ .

Sonuç:

- 12

Soru 6Orta

f (x) = x^{n}

(

n

pozitif tam sayı) fonksiyonu için

f^{(3)} (1) = 60

olduğu biliniyor. Buna göre

n

kaçtır?

Ardışık türevler: $f^{'} (x) = n x^{n - 1}$ , $f^{''} (x) = n (n - 1) x^{n - 2}$ , $f^{'''} (x) = n (n - 1) (n - 2) x^{n - 3}$ .
$x = 1$ için $f^{'''} (1) = n (n - 1) (n - 2)$ .
Koşul: $n (n - 1) (n - 2) = 60$ . Ardışık üç tam sayının çarpımı $60 = 5 \cdot 4 \cdot 3$ olduğundan $n = 5$ .
Doğrulama: $5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ ✓.

Sonuç:

5

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

$f^{(n)}$ ile $f^{n}$ 'i karıştırmak. $f^{(2026)}$ türev mertebesidir, kuvvet değil.
Yüksek mertebe trig türevinde işaret döngüsünü yanlış saymak. Döngü $cos, - sin, - cos, sin$ sırasıyla ilerler; $n mod 4$ 'ü dikkatli hesapla.
İvmeyi konumun birinci türevi sanmak. Hız birinci, ivme ikinci türevdir.

Sınav İpucu

$sin x$ , $cos x$ gibi periyodik türevlerde büyük mertebeleri tek tek almak yerine önce $n mod 4$ 'ü hesapla.
Polinomlarda her türev derecesi $1$ azaltır; $n$ . dereceden bir polinomun $(n + 1)$ . türevi sıfırdır.
Hareket problemlerinde "hız" deyince birinci, "ivme" deyince ikinci türeve geç; işaret yorumunu (yavaşlama/hızlanma) gözden kaçırma.

1. Tanım ve Gösterim

2. Polinomlarda Ardışık Türev

3. Trigonometrik Fonksiyonlarda Türev Döngüsü

4. Fiziksel Anlam: Konum, Hız, İvme

5. İkinci Türevin Grafik Anlamı

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Türev — diğer konular