çözümebak

AYT Matematik · Türev

Ardışık (Yüksek Mertebeden) Türevler

~7 dk okumaZorluk: Orta16 çözümlü soru

Bir fonksiyonun türevi yine bir fonksiyondur; onu tekrar türeterek ikinci, üçüncü, … mertebeden türevleri elde ederiz. Bu ardışık türevler, ikinci türevin ekstremum ve konkavlık yorumundan, fizikteki hız–ivme ilişkisine kadar pek çok yerde karşımıza çıkar. MEB 12. sınıf müfredatının doğrudan kazanımıdır.

1. Tanım ve Gösterim

f fonksiyonunun türevi f''yü tekrar türetirsek ikinci türevi buluruz; bunu sürdürerek daha yüksek mertebeleri elde ederiz:

f'(x)\;\xrightarrow{\ '\ }\;f''(x)\;\xrightarrow{\ '\ }\;f'''(x)\;\xrightarrow{\ '\ }\;f^{(4)}(x)\;\to\;\cdots

Dördüncü mertebeden itibaren üs gösterimi parantez içinde yazılır. Eşdeğer gösterimler:

f''(x)=\frac{d^{2}y}{dx^{2}},\qquad f^{(n)}(x)=\frac{d^{n}y}{dx^{n}}

Dikkat: f^{(n)}(x) ile \big(f(x)\big)^{n} karıştırılmamalıdır. Birincisi n. türev, ikincisi fonksiyonun n. kuvvetidir.

2. Polinomlarda Ardışık Türev

Her türev derecesi 1 azaltır; bir polinomun derecesinden sonraki türevler sıfırdır.

Fonksiyonf'f''f'''f^{(4)}
x^{4}4x^{3}12x^{2}24x24
x^{3}3x^{2}6x60
Örnek
Soru

f(x)=2x^{4}-3x^{2}+5x-1 fonksiyonunun f''(x) ve f'''(x) türevlerini bulunuz.

  1. Birinci türev: f'(x)=8x^{3}-6x+5.

  2. İkinci türev: f''(x)=24x^{2}-6.

  3. Üçüncü türev: f'''(x)=48x.

Sonuç: f''(x)=24x^{2}-6 ve f'''(x)=48x.

3. Trigonometrik Fonksiyonlarda Türev Döngüsü

\sin x ve \cos x'in türevleri dört adımda başa döner:

\sin x \;\xrightarrow{\ '\ }\; \cos x \;\xrightarrow{\ '\ }\; -\sin x \;\xrightarrow{\ '\ }\; -\cos x \;\xrightarrow{\ '\ }\; \sin x

Bu yüzden \sin x'in n. türevi yalnızca n'in 4'e bölümünden kalana bağlıdır.

Örnek
Soru

f(x)=\sin x fonksiyonunun f^{(2026)}(x) türevini bulunuz.

Türev 4 adımda döndüğü için 2026'yı 4'e böl, kalana bak: kalan 0 ise \sin x, 1 ise \cos x, 2 ise -\sin x, 3 ise -\cos x.

  1. Döngü periyodu 4: f^{(n)} yalnız n'in 4 ile bölümünden kalana bağlıdır.

  2. 2026=4\cdot 506+2 olduğundan kalan 2'dir.

  3. Kalan 2, döngüde -\sin x'e karşılık gelir.

Sonuç: f^{(2026)}(x)=-\sin x.

4. Fiziksel Anlam: Konum, Hız, İvme

Ardışık türevin en somut uygulaması harekettir. Bir cismin konumu s(t) ise, hız birinci türev, ivme ikinci türevdir:

v(t)=s'(t),\qquad a(t)=s''(t)

Örnek
Soru

Bir cismin konumu s(t)=t^{3}-6t^{2}+9t (metre, t saniye) ile veriliyor. t=2 anındaki hızı ve ivmeyi bulunuz.

  1. Hız, konumun türevidir: v(t)=s'(t)=3t^{2}-12t+9.

  2. İvme, hızın türevidir: a(t)=v'(t)=s''(t)=6t-12.

  3. t=2 için hız: v(2)=3\cdot 4-12\cdot 2+9=12-24+9=-3\ \text{m/s}.

  4. t=2 için ivme: a(2)=6\cdot 2-12=0\ \text{m/s}^{2}.

Sonuç: t=2 anında hız -3\ \text{m/s}, ivme 0\ \text{m/s}^{2}.

5. İkinci Türevin Grafik Anlamı

İkinci türev, grafiğin bükülme yönünü belirler ve kritik noktaları sınıflandırır (ayrıntısı İkinci Türev, Konkavlık ve Dönüm Noktaları konusunda):

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

f(x)=x^{5} fonksiyonunun f^{(4)}(x) türevini bulunuz.

  1. Birinci türev: f'(x)=5x^{4}.

  2. İkinci türev: f''(x)=20x^{3}.

  3. Üçüncü türev: f'''(x)=60x^{2}.

  4. Dördüncü türev: f^{(4)}(x)=120x.

Sonuç: f^{(4)}(x)=120x.
Örnek
Soru

f(x)=e^{2x} fonksiyonunun f''(x) türevini bulunuz.

  1. Zincir kuralıyla birinci türev: f'(x)=2e^{2x}.

  2. Tekrar türetelim: f''(x)=2\cdot 2e^{2x}=4e^{2x}.

Sonuç: f''(x)=4e^{2x}.
Örnek
Soru

f(x)=\ln x fonksiyonunun f'''(x) türevini bulunuz.

  1. Birinci türev: f'(x)=\dfrac{1}{x}=x^{-1}.

  2. İkinci türev: f''(x)=-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^{2}}.

  3. Üçüncü türev: f'''(x)=2x^{-3}=\dfrac{2}{x^{3}}.

Sonuç: f'''(x)=\dfrac{2}{x^{3}}.
Örnek
Soru

f(x)=\cos x fonksiyonunun f^{(101)}(x) türevini bulunuz.

  1. Türev 4 adımda döner: \cos x \to -\sin x \to -\cos x \to \sin x \to \cos x.

  2. 101=4\cdot 25+1 olduğundan kalan 1'dir.

  3. Kalan 1, döngüde -\sin x'e karşılık gelir.

Sonuç: f^{(101)}(x)=-\sin x.
Örnek
Soru

Bir cismin konumu s(t)=2t^{3}-3t^{2}+4 (metre, t saniye) ile veriliyor. t=1 anındaki ivmeyi bulunuz.

  1. Hız, konumun türevidir: v(t)=s'(t)=6t^{2}-6t.

  2. İvme, hızın türevidir: a(t)=v'(t)=s''(t)=12t-6.

  3. t=1 için: a(1)=12\cdot 1-6=6\ \text{m/s}^{2}.

Sonuç: t=1 anında ivme 6\ \text{m/s}^{2}.
Örnek
Soru

f(x)=ax^{3}+bx^{2} fonksiyonu için f''(0)=4 ve f''(1)=10 veriliyor. f'''(x) türevini bulunuz.

  1. İkinci türev: f''(x)=6ax+2b.

  2. f''(0)=2b=4 olduğundan b=2.

  3. f''(1)=6a+2b=6a+4=10 olduğundan 6a=6, yani a=1.

  4. Üçüncü türev: f'''(x)=6a=6.

Sonuç: f'''(x)=6.
Örnek
Soru

f(x)=x^{4}-2x^{3} fonksiyonunun grafiği hangi aralıkta konkav yukarıdır?

  1. Birinci türev: f'(x)=4x^{3}-6x^{2}.

  2. İkinci türev: f''(x)=12x^{2}-12x=12x(x-1).

  3. Konkav yukarı için f''(x) > 0, yani 12x(x-1) > 0 olmalı.

  4. Çarpanların işaretine göre çözüm: x < 0 veya x > 1.

Sonuç: x < 0 ya da x > 1 aralıklarında grafik konkav yukarıdır.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

Bir cismin konumu s(t)=t^{3}-9t^{2}+24t (metre, t saniye) bağıntısıyla veriliyor. Cismin hızı, ilki dışında ikinci kez sıfır olduğu anda ivmesi ölçülüyor.

Buna göre bu andaki ivme kaç \text{m/s}^{2} dir?

A) -6 · B) 0 · C) 3 · D) 6 · E) 12

  1. Hız: v(t)=s'(t)=3t^{2}-18t+24=3(t-2)(t-4).

  2. Hız sıfır olur: t=2 (birinci kez) ve t=4 (ikinci kez). İstenen an t=4.

  3. İvme: a(t)=v'(t)=s''(t)=6t-18.

  4. t=4 için: a(4)=6\cdot 4-18=24-18=6\ \text{m/s}^{2}.

Sonuç: D) 6
Örnek
Soru

f(x)=x^{4}+ax^{3}+bx^{2} fonksiyonunun ikinci türevi f''(x), x=1 ve x=3 değerlerinde sıfır olmaktadır.

Buna göre f'''(2) kaçtır?

A) -12 · B) 0 · C) 6 · D) 12 · E) 24

  1. İkinci türev: f''(x)=12x^{2}+6ax+2b.

  2. Kökleri 1 ve 3 olan bu ifade için kökler toplamı: 1+3=-\dfrac{6a}{12}=-\dfrac{a}{2}, yani 4=-\dfrac{a}{2}\Rightarrow a=-8.

  3. Kökler çarpımı: 1\cdot 3=\dfrac{2b}{12}=\dfrac{b}{6}, yani 3=\dfrac{b}{6}\Rightarrow b=18.

  4. Üçüncü türev: f'''(x)=24x+6a=24x-48.

  5. f'''(2)=24\cdot 2-48=48-48=0.

Sonuç: B) 0
Örnek
Soru

f(x)=\sin(2x) fonksiyonu veriliyor.

Buna göre \dfrac{f^{(2026)}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)}{2^{2025}} ifadesinin değeri kaçtır?

A) -2 · B) -1 · C) 0 · D) 1 · E) 2

  1. Her türevde zincir kuralından 2 çarpanı çıkar ve faza \frac{\pi}{2} eklenir: f^{(n)}(x)=2^{n}\sin\!\left(2x+\dfrac{n\pi}{2}\right).

  2. n=2026 için faz: 2x+\dfrac{2026\pi}{2}=2x+1013\pi.

  3. 1013 tek sayı olduğundan \sin(2x+1013\pi)=-\sin(2x). Böylece f^{(2026)}(x)=-2^{2026}\sin(2x).

  4. x=\dfrac{\pi}{4} için \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1 olduğundan f^{(2026)}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=-2^{2026}.

  5. İstenen oran: \dfrac{-2^{2026}}{2^{2025}}=-2.

Sonuç: A) -2
Örnek
Soru

f(x)=e^{3x} fonksiyonu veriliyor.

Buna göre \dfrac{f^{(5)}(x)}{f''(x)} ifadesinin değeri kaçtır?

A) 9 · B) 18 · C) 27 · D) 54 · E) 81

  1. Her türevde iç türev 3 çarpan olarak çıkar: f^{(n)}(x)=3^{n}e^{3x}.
  2. Beşinci türev: f^{(5)}(x)=3^{5}e^{3x}=243\,e^{3x}.
  3. İkinci türev: f''(x)=3^{2}e^{3x}=9\,e^{3x}.
  4. Oran: \dfrac{243\,e^{3x}}{9\,e^{3x}}=\dfrac{243}{9}=27.
Sonuç: C) 27
Örnek
Soru

Bir cismin konumu s(t)=t^{3}-6t^{2}+5 (metre, t saniye) ile veriliyor. Cisim, ivmesinin sıfır olduğu anda hangi hızla hareket etmektedir?

A) -15 · B) -12 · C) -9 · D) -6 · E) 0

  1. Hız: v(t)=s'(t)=3t^{2}-12t.
  2. İvme: a(t)=v'(t)=s''(t)=6t-12.
  3. İvme sıfır: 6t-12=0\Rightarrow t=2.
  4. Bu andaki hız: v(2)=3\cdot 4-12\cdot 2=12-24=-12\ \text{m/s}.
Sonuç: B) -12
Örnek
Soru

f(x)=x^{n} (n pozitif tam sayı) fonksiyonu için f^{(3)}(1)=60 olduğu biliniyor.

Buna göre n kaçtır?

A) 4 · B) 5 · C) 6 · D) 7 · E) 8

  1. Ardışık türevler: f'(x)=n x^{n-1}, f''(x)=n(n-1)x^{n-2}, f'''(x)=n(n-1)(n-2)x^{n-3}.
  2. x=1 için f'''(1)=n(n-1)(n-2).
  3. Koşul: n(n-1)(n-2)=60. Ardışık üç tam sayının çarpımı 60=5\cdot 4\cdot 3 olduğundan n=5.
  4. Doğrulama: 5\cdot 4\cdot 3=60 ✓.
Sonuç: B) 5

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Türev — diğer konular