Trigonometrik, Üstel ve Logaritmik Türevler — Soru Tipleri ve Tuzaklar

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

1. 01

   Temel trigonometrik türevler

   KolaySık çıkar

   sin, cos, tan, cot temel türevleri ve toplamları. (sinx)′=cosx, (cosx)′=−sinx, (tanx)′=1/cos²x, (cotx)′=−1/sin²x.

   Nasıl çözülür

   1. Her terimin türevini tablodan al; işaretlere dikkat: (cosx)′ negatiftir.
   2. tan ve cot türevlerinde payda karesi (1/cos²x, 1/sin²x).
   3. İstenen açıyı yerine koy (radyan).

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • (cosx)′ türevini +sinx almak→doğru cevaptan işaretçe sapma
   • (tanx)′ = 1/cosx sanmak (kare unutmak)→ölçekçe yanlış değer

   Örnek

   f(x)=2sinx+cosx ise f′(0) kaçtır?

   f′(x)=2cosx−sinx, f′(0)=2

2. 02

   Üstel fonksiyon türevi (eˣ, aˣ)

   OrtaSık çıkar

   (eˣ)′=eˣ, (aˣ)′=aˣ·ln a. En sık hata: üstel ile kuvvet kuralını karıştırmak.

   Nasıl çözülür

   1. eˣ'in türevi kendisidir.
   2. aˣ'in türevi aˣ·ln a — ln a çarpanını unutma.
   3. Noktayı yerine koy (a⁰=1).

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • (aˣ)′ = x·aˣ⁻¹ (kuvvet kuralı) sanmak→tümüyle yanlış, tabanı üsse indiren ifade
   • (aˣ)′'de ln a çarpanını unutmak→ln a katı kadar hatalı değer

   Örnek

   f(x)=eˣ+2ˣ ise f′(0) kaçtır?

   f′(x)=eˣ+2ˣ·ln2, f′(0)=1+ln2

3. 03

   Logaritma fonksiyonu türevi (ln x, logₐx)

   OrtaSık çıkar

   (ln x)′=1/x, (logₐx)′=1/(x·ln a).

   Nasıl çözülür

   1. ln x'in türevi 1/x.
   2. logₐx için paydaya ln a ekle: 1/(x·ln a).
   3. Noktayı yerine koy.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • (ln x)′ = ln x veya x·ln x sanmak→tümüyle yanlış ifade
   • logₐx türevinde ln a'yı unutmak→ln a katı kadar hatalı

   Örnek

   f(x)=ln x + x ise f′(1) kaçtır?

   f′(x)=1/x+1, f′(1)=2

4. 04

   Zincir kuralıyla trigonometrik türev

   OrtaSık çıkar

   İçi fonksiyon olan trigonometrik ifade: sin(g(x)) gibi. İç türev şart.

   Nasıl çözülür

   1. Dış türevi al: [sin(g)]′ = cos(g)·g′.
   2. İç fonksiyonun türeviyle çarp.
   3. İç türevi asla unutma.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • İç türevi unutmak→doğru cevabın iç-türev katı kadar küçüğü
   • cos(3x) yerine cos(x) yazmak→yanlış argümanlı değer

   Örnek

   f(x)=sin(3x) ise f′(0) kaçtır?

   f′(x)=3cos(3x), f′(0)=3

   Sık birleştiği konular: Toplam-Fark ve İki Kat Açı Formülleri

5. 05

   Zincir kuralıyla üstel türev

   ZorSık çıkar

   e^(g(x)) veya a^(g(x)). [e^g]′ = e^g·g′.

   Nasıl çözülür

   1. e^(g(x))'in türevi kendisi çarpı iç türev: e^(g(x))·g′(x).
   2. İç fonksiyonun türevini ayrı hesapla.
   3. Noktayı yerine koy.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • İç türevi unutmak (e^(x²))′ = e^(x²) sanmak→2x katı kadar eksik değer
   • Üsü kuvvet kuralıyla indirmek→yanlış polinomsal ifade

   Örnek

   f(x)=e^(x²) ise f′(1) kaçtır?

   f′(x)=2x·e^(x²), f′(1)=2e

6. 06

   Zincir kuralıyla logaritmik türev

   ZorSık çıkar

   ln(g(x)) türevi = g′(x)/g(x). Sık hata: bölme yapısını g′ ile çarpmayı unutmak.

   Nasıl çözülür

   1. [ln(g(x))]′ = 1/g(x) · g′(x) = g′(x)/g(x).
   2. Pay iç türev, payda iç fonksiyon.
   3. Sadeleştir, noktayı koy.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • 1/g(x) yazıp g′(x) ile çarpmayı unutmak→iç türev katı kadar eksik değer
   • Payı/paydayı ters yazmak→tersine çevrilmiş hatalı ifade

   Örnek

   f(x)=ln(x²+1) ise f′(1) kaçtır?

   f′(x)=2x/(x²+1), f′(1)=1

7. 07

   Çarpım/bölüm ile özel fonksiyon birleşimi

   Zor

   Bir çarpanı özel fonksiyon olan çarpım (ör. x²·eˣ). Çarpım kuralı + özel fonksiyon türevi birlikte.

   Nasıl çözülür

   1. Çarpım kuralını kur: (u·v)′ = u′v + uv′.
   2. Özel fonksiyon çarpanının türevini doğru al (eˣ→eˣ, sinx→cosx…).
   3. Ortak çarpan parantezine al, noktayı koy.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Özel fonksiyon çarpanının türevini yanlış almak→ikinci terimi hatalı toplam
   • Çarpım yerine türevleri ayrı çarpmak→yapısal olarak yanlış, küçük değer

   Örnek

   f(x)=x²·eˣ ise f′(1) kaçtır?

   f′(x)=eˣ(x²+2x), f′(1)=3e

   Sık birleştiği konular: Türev Alma Kuralları