11. Sınıf · Trigonometri

Toplam-Fark ve İki Kat Açı Formülleri

~9 dk okumaZorluk: Zor5 çözümlü soru

Bu konu yeni müfredattan (Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli) kaldırıldı; ancak geçiş dönemi nedeniyle ~2027 YKS'ye kadar sınavda çıkmaya devam ediyor.

İki açının toplamının ya da farkının sinüs ve kosinüsü, açıların kendi değerleriyle yazılabilir. Bu derste toplam-fark formüllerini ( $sin (a \pm b)$ , $cos (a \pm b)$ , $tan (a \pm b)$ ), bunların özel bir hali olan iki kat açı formüllerini ( $sin 2 a$ , $cos 2 a$ , $tan 2 a$ ) öğreneceğiz ve bunlarla bilinmeyen açıların değerlerini ( $sin 75°$ gibi) hesaplayacağız. Bu formüller, trigonometrik denklemlerin ve özdeşliklerin de anahtarıdır.

1. Toplam-Fark Formülleri

İki açının toplam ve farkı için temel formüller:

$sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b$ $sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b$ $cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b$ $cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b$

Dikkat: kosinüste işaret terstir (toplamda eksi, farkta artı); sinüste ise aynıdır.

Örnek

Soru

$cos (a - b)$ formülünü kullanarak $cos 30°$ değerini, $a = 90°$ , $b = 60°$ alarak doğrulayınız.

$cos (90° - 60°) = cos 90° cos 60° + sin 90° sin 60°$ .
$= 0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$ .
Gerçekten $cos 30° = \frac{3}{2}$ .

Sonuç:

\frac{3}{2}

, doğrulanır.

2. Bilinmeyen Açı Değerleri

Bir açıyı, değerlerini bildiğimiz iki açının toplam/farkı olarak yazarsak değerini buluruz. Örneğin $75° = 45° + 30°$ , $15° = 45° - 30°$ .

Örnek

Soru

$sin 75°$ değerini bulunuz.

$75° = 45° + 30°$ yaz ve $sin (a + b)$ formülünü uygula.

$sin 75° = sin (45° + 30°) = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°$ .
$= \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6}{4} + \frac{2}{4}$ .
$= \frac{6 + 2}{4}$ .

Sonuç:

\frac{6 + 2}{4}

3. Tanjant Toplam-Fark Formülü

Tanjant için formüller:

$tan (a + b) = \frac{tan a + tan b}{1 - tan a tan b} tan (a - b) = \frac{tan a - tan b}{1 + tan a tan b}$

Örnek

Soru

$tan 75°$ değerini bulunuz.

$75° = 45° + 30°$ ; $tan 45° = 1$ , $tan 30° = \frac{3}{3}$ .

$tan 75° = \frac{tan 45° + tan 30°}{1 - tan 45° tan 30°} = \frac{1 + \frac{3}{3}}{1 - \frac{3}{3}}$ .
Pay ve paydayı $3$ ile çarp: $\frac{3 + 3}{3 - 3}$ .
Paydayı rasyonel yap (eşlenik $3 + 3$ ): $\frac{( 3 + 3 ) ^{2}}{( 3 - 3 ) ( 3 + 3 )} = \frac{9 + 6 3 + 3}{9 - 3} = \frac{12 + 6 3}{6} = 2 + 3$ .

Sonuç:

2 + 3

4. İki Kat Açı Formülleri

Toplam formülünde $b = a$ alırsak iki kat açı formüllerini elde ederiz:

$sin 2 a = 2 sin a cos a$ $cos 2 a = cos^{2} a - sin^{2} a = 2 cos^{2} a - 1 = 1 - 2 sin^{2} a$ $tan 2 a = \frac{2 tan a}{1 - tan ^{2} a}$

$cos 2 a$ 'nın üç biçimi de aynı değeri verir; soruya göre en uygununu seçeriz.

Örnek

Soru

$sin a = \frac{3}{5}$ ve $a$ I. bölgede ise $sin 2 a$ kaçtır?

$cos a = 1 - \frac{9}{25} = \frac{4}{5}$ (I. bölge, pozitif).
$sin 2 a = 2 sin a cos a = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$ .

Sonuç:

\frac{24}{25}

Örnek

Soru

$cos a = \frac{1}{3}$ ise $cos 2 a$ kaçtır?

Yalnız $cos a$ verildiği için $cos 2 a = 2 cos^{2} a - 1$ biçimini seç.

$cos 2 a = 2 cos^{2} a - 1 = 2 \cdot \frac{1}{9} - 1 = \frac{2}{9} - 1 = - \frac{7}{9}$ .

Sonuç:

- \frac{7}{9}

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$cos 15°$ değerini bulunuz.

$15° = 45° - 30°$ ; $cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b$ .
$cos 15° = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° = \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .
$= \frac{6}{4} + \frac{2}{4} = \frac{6 + 2}{4}$ .

Sonuç:

\frac{6 + 2}{4}

Örnek

Soru

$sin 40° cos 20° + cos 40° sin 20°$ ifadesinin değerini bulunuz.

Bu ifade tam olarak $sin (a + b)$ açılımıdır; $a = 40°$ , $b = 20°$ .

Kalıp $sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b$ ile aynı.
$= sin (40° + 20°) = sin 60° = \frac{3}{2}$ .

Sonuç:

\frac{3}{2}

Örnek

Soru

$cos 50° cos 10° - sin 50° sin 10°$ ifadesinin değerini bulunuz.

Kalıp $cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b$ ile aynı.
$= cos (50° + 10°) = cos 60° = \frac{1}{2}$ .

Sonuç:

\frac{1}{2}

Örnek

Soru

$sin a = \frac{4}{5}$ ve $a$ II. bölgede ise $cos 2 a$ kaçtır?

Yalnız $sin a$ ile çalışmak için $cos 2 a = 1 - 2 sin^{2} a$ biçimini seç; II. bölge bilgisi bu formülde gerekmez.

$cos 2 a = 1 - 2 sin^{2} a = 1 - 2 \cdot \frac{16}{25} = 1 - \frac{32}{25} = - \frac{7}{25}$ .

Sonuç:

- \frac{7}{25}

Örnek

Soru

$2 sin 15° cos 15°$ ifadesinin değerini bulunuz.

$2 sin a cos a = sin 2 a$ formülünü tersten kullan.

$2 sin 15° cos 15° = sin (2 \cdot 15°) = sin 30°$ .
$sin 30° = \frac{1}{2}$ .

Sonuç:

\frac{1}{2}

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$sin 25° cos 5° + cos 25° sin 5°$ değerini bul.

$= sin (25° + 5°) = sin 30° = \frac{1}{2}$ .

Sonuç:

\frac{1}{2}

Örnek

Soru

$cos 70° cos 10° + sin 70° sin 10°$ değerini bul.

Kalıp $cos (a - b)$ : $= cos (70° - 10°) = cos 60° = \frac{1}{2}$ .

Sonuç:

\frac{1}{2}

Örnek

Soru

$sin a = \frac{5}{13}$ ve $a$ I. bölgede ise $sin 2 a$ kaçtır?

$cos a = \frac{12}{13}$ (I. bölge).
$sin 2 a = 2 \cdot \frac{5}{13} \cdot \frac{12}{13} = \frac{120}{169}$ .

Sonuç:

\frac{120}{169}

Örnek

Soru

$\frac{2 tan 22 , 5°}{1 - tan ^{2} 22 , 5°}$ ifadesinin değerini bul.

Kalıp $tan 2 a$ : $a = 22, 5°$ .
$= tan (2 \cdot 22, 5°) = tan 45° = 1$ .

Sonuç:

1

Örnek

Soru

$cos^{2} 15° - sin^{2} 15°$ ifadesinin değerini bul.

Kalıp $cos 2 a = cos^{2} a - sin^{2} a$ : $a = 15°$ .
$= cos 30° = \frac{3}{2}$ .

Sonuç:

\frac{3}{2}

Örnek

Soru

$sin 105°$ değerini bul.

$105° = 60° + 45°$ ; $sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b$ .
$= sin 60° cos 45° + cos 60° sin 45° = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$ .
$= \frac{6}{4} + \frac{2}{4} = \frac{6 + 2}{4}$ .

Sonuç:

\frac{6 + 2}{4}

Örnek

Soru

$cos a = \frac{3}{5}$ ve $a$ IV. bölgede ise $sin 2 a$ kaçtır?

$sin 2 a = 2 sin a cos a$ için önce $sin a$ 'yı bul; IV. bölgede sinüs negatiftir.

$sin^{2} a = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ ; IV. bölgede $sin a = - \frac{4}{5}$ .
$sin 2 a = 2 \cdot (- \frac{4}{5}) \cdot \frac{3}{5} = - \frac{24}{25}$ .

Sonuç:

- \frac{24}{25}

Örnek

Soru

$tan a = 2$ ise $tan 2 a$ kaçtır?

$tan 2 a = \frac{2 tan a}{1 - tan ^{2} a}$ formülüne $tan a = 2$ koy.

$tan 2 a = \frac{2 \cdot 2}{1 - 2 ^{2}} = \frac{4}{1 - 4} = \frac{4}{- 3} = - \frac{4}{3}$ .

Sonuç:

- \frac{4}{3}

Örnek

Soru

$sin a = \frac{3}{5}$ , $a$ I. bölgede ve $cos b = \frac{5}{13}$ , $b$ I. bölgede ise $cos (a + b)$ kaçtır?

$cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b$ . Önce $cos a$ ve $sin b$ 'yi özdeşlikle bul (her ikisi de I. bölge, pozitif).

$cos a = \frac{4}{5}$ (I. bölge); $sin b = 1 - \frac{25}{169} = \frac{12}{13}$ (I. bölge).
$cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} - \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13}$ .
$= \frac{20}{65} - \frac{36}{65} = - \frac{16}{65}$ .

Sonuç:

- \frac{16}{65}

Örnek

Soru

$8 sin 15° cos 15° cos 30°$ ifadesinin değerini bul.

Önce $2 sin 15° cos 15° = sin 30°$ topla; sonra kalan çarpanları işle. $sin 30° cos 30°$ için tekrar iki kat açı kullan.

$8 sin 15° cos 15° cos 30° = 4 \cdot (2 sin 15° cos 15°) \cdot cos 30° = 4 sin 30° cos 30°$ .
$4 sin 30° cos 30° = 2 \cdot (2 sin 30° cos 30°) = 2 sin 60°$ .
$2 sin 60° = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$ .

Sonuç:

3

Sık Yapılan Hatalar

Kosinüs formülünde işareti karıştırmak. $cos (a + b)$ 'de ortada eksi, $cos (a - b)$ 'de artı vardır — sinüsün tam tersi.
$sin (a + b) = sin a + sin b$ sanmak. Sinüs ve kosinüs toplama üzerine dağılmaz; mutlaka formülü kullan.
$cos 2 a$ biçimini gereksiz zorlaştırmak. Elde yalnız $sin a$ varsa $1 - 2 sin^{2} a$ , yalnız $cos a$ varsa $2 cos^{2} a - 1$ biçimini seç; gereksiz hesap yapma.
İki kat açıda bölge işaretini atlamak. $sin 2 a$ için $cos a$ 'yı özdeşlikten çekerken açının bölgesine göre işaret seç.

Not: $75°$ , $15°$ , $105°$ gibi açıları gördüğünde refleksin onları $45° \pm 30°$ ya da $60° \pm 45°$ olarak yazmak olsun. $2 sin a cos a$ , $cos^{2} a - sin^{2} a$ , $\frac{2 tan a}{1 - tan ^{2} a}$ kalıplarını gördüğünde ise hemen iki kat açıyı tanı — bu kalıpları tersten okumak çoğu soruyu tek satıra indirir.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

cos 105°

değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$105° = 60° + 45°$ yaz ve $cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b$ formülünü uygula.
$cos 105° = cos 60° cos 45° - sin 60° sin 45° = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$ .
$= \frac{2}{4} - \frac{6}{4} = \frac{2 - 6}{4}$ .
Bu değer negatiftir; $105°$ II. bölgede olduğundan kosinüsün negatif çıkması tutarlıdır.

Sonuç:

\frac{2 - 6}{4}

Soru 2Kolay

sin 85° cos 25° - cos 85° sin 25°

ifadesinin değeri kaçtır?

İfade $sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b$ açılımının aynısıdır; $a = 85°$ , $b = 25°$ .
$= sin (85° - 25°) = sin 60°$ .
$sin 60° = \frac{3}{2}$ .

Sonuç:

\frac{3}{2}

Soru 3Orta

cos a = - \frac{4}{5}

a

II. bölgede ise

cos 2 a

kaçtır?

Yalnız $cos a$ verildiği için $cos 2 a = 2 cos^{2} a - 1$ biçimini seç; bu biçimde bölge işareti $cos^{2} a$ içinde kaybolur.
$cos 2 a = 2 (- \frac{4}{5})^{2} - 1 = 2 \cdot \frac{16}{25} - 1 = \frac{32}{25} - 1$ .
$= \frac{32 - 25}{25} = \frac{7}{25}$ .

Sonuç:

\frac{7}{25}

Soru 4Orta

Bir gözlem kulesinin tepesinden yatayla

θ

açısı yapacak biçimde bir kamera yerleştiriliyor.

θ

dar bir açı olup

sin θ = \frac{7}{25}

olduğu biliniyor. Kameranın görüş açısı iki katına çıkarıldığında yeni açı

2 θ

olur. Buna göre

sin 2 θ

değeri kaçtır?

$θ$ dar açı (I. bölge) olduğundan $cos θ > 0$ . $cos θ = 1 - (\frac{7}{25})^{2} = 1 - \frac{49}{625} = \frac{576}{625} = \frac{24}{25}$ .
$sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = 2 \cdot \frac{7}{25} \cdot \frac{24}{25}$ .
$= \frac{2 \cdot 7 \cdot 24}{625} = \frac{336}{625}$ .

Sonuç:

\frac{336}{625}

Soru 5Zor

sin a = \frac{3}{5}

a

II. bölgede;

cos b = \frac{5}{13}

b

IV. bölgede olduğuna göre

sin (a - b)

kaçtır?

II. bölgede kosinüs negatif: $cos a = - 1 - \frac{9}{25} = - \frac{4}{5}$ .
IV. bölgede sinüs negatif: $sin b = - 1 - \frac{25}{169} = - \frac{12}{13}$ .
$sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{13} - (- \frac{4}{5}) (- \frac{12}{13})$ .
$= \frac{15}{65} - \frac{48}{65} = - \frac{33}{65}$ .

Sonuç:

- \frac{33}{65}

0/5 soru cevaplandı

1. Toplam-Fark Formülleri

2. Bilinmeyen Açı Değerleri

3. Tanjant Toplam-Fark Formülü

4. İki Kat Açı Formülleri

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Trigonometri — diğer konular