11. Sınıf · Trigonometri

Trigonometrik Fonksiyonlar

~9 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

Dik üçgende tanımladığımız sinüs, kosinüs ve tanjantı birim çember sayesinde her açıya genişletiyoruz: artık $0°$ – $90°$ ile sınırlı değiliz. Bu derste birim çember üzerinde trigonometrik fonksiyonların tanımını, bölgelere göre işaretlerini, $sin x$ ve $cos x$ fonksiyonlarının grafiklerini, periyot kavramını ve temel özdeşlikleri öğreneceğiz. Bu fonksiyonlar; dalga, salınım ve dönme hareketinin matematiksel dilidir.

1. Birim Çemberle Tanım

Standart konumdaki $x$ açısının terminal kenarı, birim çemberi $P (cos x, sin x)$ noktasında keser. Yani:

$cos x = P noktas ı n ı n apsisi, sin x = P noktas ı n ı n ordinat ı$

$tan x = \frac{sin x}{cos x} (cos x \neq = 0)$

Şekil 1 — Birim çemberde

α

açısının terminal kenarı çemberi

P

noktasında keser.

P

'nin apsisi

cos α

, ordinatı

sin α

'dır.

Birim çember $- 1 \leq cos x \leq 1$ ve $- 1 \leq sin x \leq 1$ olduğunu hemen gösterir: bir noktanın koordinatları yarıçapı ( $1$ ) geçemez.

Örnek

Soru

$sin 90°$ ve $cos 180°$ değerlerini birim çemberden bulunuz.

$90°$ 'nin terminal kenarı $(0, 1)$ noktasından geçer; ordinat $sin 90° = 1$ .
$180°$ 'nin terminal kenarı $(- 1, 0)$ noktasından geçer; apsis $cos 180° = - 1$ .

Sonuç:

sin 90° = 1

cos 180° = - 1

2. Bölgelere Göre İşaret

İşaret, $P$ noktasının koordinatlarının işaretinden gelir. I. bölgede her şey pozitiftir; sonra sırayla sin, tan, cos pozitif kalır ("hepsi–sin–tan–cos").

Şekil 2 — Birim çemberde işaretler. I: hepsi

+

; II: yalnız

sin

; III: yalnız

tan

; IV: yalnız

cos

pozitiftir.

Örnek

Soru

$200°$ açısı için $sin 200°$ ve $cos 200°$ 'nin işaretleri nedir?

$200°$ III. bölgededir.
III. bölgede yalnız tanjant pozitiftir; sin ve cos negatiftir.

Sonuç: Her ikisi de negatif.

3. Özel Açıların Değerleri

Birim çember, özel açıların değerlerini bölge bilgisiyle birlikte verir. Temel tablo:

$x$	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$
$sin x$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$
$cos x$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$tan x$	$0$	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$	tanımsız

Diğer bölgelerdeki değerleri, ilgili dar açı (referans açı) ve bölge işareti ile buluruz.

Örnek

Soru

$cos 120°$ değerini bulunuz.

$120°$ II. bölgededir; referans açısı $180° - 120° = 60°$ 'dir. II. bölgede kosinüs negatiftir.

Referans açı: $180° - 120° = 60°$ , $cos 60° = \frac{1}{2}$ .
$120°$ II. bölgede, kosinüs negatif: $cos 120° = - \frac{1}{2}$ .

Sonuç:

- \frac{1}{2}

4. Grafikler ve Periyot

Açıyı sürekli artırınca $P$ noktası çember üzerinde döner; ordinat ve apsis salınır. Bu salınımı bir grafikte gösteririz. Hem $sin x$ hem $cos x$ periyodu $2 π$ olan fonksiyonlardır: her $2 π$ 'de bir aynı değerler tekrarlanır.

Şekil 3 —

y = sin x

grafiği.

x = 0

'da

0

'dan başlar,

x = \frac{π}{2}

'de en büyük değeri

1

'e,

x = \frac{3 π}{2}

'de en küçük değeri

- 1

'e ulaşır. Değer aralığı

[- 1, 1]

, periyodu

2 π

Şekil 4 —

y = cos x

grafiği.

x = 0

'da en büyük değeri

1

'den başlar; aynı dalga, sinüse göre

\frac{π}{2}

"kaymıştır". Değer aralığı

[- 1, 1]

, periyodu

2 π

Genel olarak $y = sin (b x)$ ve $y = cos (b x)$ fonksiyonlarının periyodu $\frac{2 π}{∣ b ∣}$ 'dir. $tan x$ fonksiyonunun periyodu ise $π$ 'dir.

Örnek

Soru

$y = sin 2 x$ fonksiyonunun periyodu kaçtır?

$y = sin (b x)$ için periyot $\frac{2 π}{∣ b ∣}$ .
$b = 2$ : periyot $\frac{2 π}{2} = π$ .

Sonuç:

π

5. Temel Özdeşlik

$P (cos x, sin x)$ birim çember üzerinde olduğundan, koordinatları çemberin denklemini sağlar ( $x^{2} + y^{2} = 1$ ):

$sin^{2} x + cos^{2} x = 1$

Bu, bir oran biliniyorken diğerini (işaretiyle birlikte) bulmaya yarar.

Örnek

Soru

II. bölgede bir açı için $sin x = \frac{3}{5}$ ise $cos x$ kaçtır?

Önce $cos^{2} x = 1 - sin^{2} x$ ; sonra bölge işaretine karar ver. II. bölgede kosinüs negatiftir.

$cos^{2} x = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ , yani $cos x = \pm \frac{4}{5}$ .
II. bölgede kosinüs negatif: $cos x = - \frac{4}{5}$ .

Sonuç:

- \frac{4}{5}

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$sin 150°$ değerini bulunuz.

$150°$ II. bölgede; referans açı $180° - 150° = 30°$ .
II. bölgede sinüs pozitif: $sin 150° = sin 30° = \frac{1}{2}$ .

Sonuç:

\frac{1}{2}

Örnek

Soru

$cos 270° + sin 270°$ değerini bulunuz.

$270°$ 'nin terminal kenarı $(0, - 1)$ noktasından geçer.
$cos 270° = 0$ (apsis), $sin 270° = - 1$ (ordinat).
Topla: $0 + (- 1) = - 1$ .

Sonuç:

- 1

Örnek

Soru

$tan 135°$ değerini bulunuz.

$tan x = \frac{sin x}{cos x}$ . $135°$ II. bölgede; referans açı $45°$ . II. bölgede tanjant negatiftir.

Referans açı $180° - 135° = 45°$ , $tan 45° = 1$ .
II. bölgede tanjant negatif: $tan 135° = - 1$ .

Sonuç:

- 1

Örnek

Soru

$y = 3 sin x$ fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerini bulunuz.

$sin x$ değer aralığı $[- 1, 1]$ 'dir; $3$ ile çarpınca aralık nasıl değişir?

$- 1 \leq sin x \leq 1$ .
$3$ ile çarp: $- 3 \leq 3 sin x \leq 3$ .
En büyük değer $3$ , en küçük değer $- 3$ .

Sonuç: En büyük

3

, en küçük

- 3

Örnek

Soru

$sin x = \frac{12}{13}$ ve $x$ I. bölgede ise $tan x$ kaçtır?

$cos^{2} x = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$ ; I. bölgede $cos x = \frac{5}{13}$ .
$tan x = \frac{sin x}{cos x} = \frac{12/13}{5/13} = \frac{12}{5}$ .

Sonuç:

\frac{12}{5}

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$sin 0° + cos 0°$ değerini bul.

$sin 0° = 0$ , $cos 0° = 1$ .
Topla: $0 + 1 = 1$ .

Sonuç:

1

Örnek

Soru

$cos 90° \cdot sin 90°$ değerini bul.

$cos 90° = 0$ , $sin 90° = 1$ .
Çarp: $0 \cdot 1 = 0$ .

Sonuç:

0

Örnek

Soru

$sin 210°$ değerini bul.

$210°$ III. bölgede; referans açı $210° - 180° = 30°$ .
III. bölgede sinüs negatif: $sin 210° = - sin 30° = - \frac{1}{2}$ .

Sonuç:

- \frac{1}{2}

Örnek

Soru

$y = cos 3 x$ fonksiyonunun periyodu kaçtır?

Periyot $\frac{2 π}{∣ b ∣} = \frac{2 π}{3}$ .

Sonuç:

\frac{2 π}{3}

Örnek

Soru

IV. bölgede $cos x = \frac{4}{5}$ ise $sin x$ kaçtır?

$sin^{2} x = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$ , $sin x = \pm \frac{3}{5}$ .
IV. bölgede sinüs negatif: $sin x = - \frac{3}{5}$ .

Sonuç:

- \frac{3}{5}

Örnek

Soru

$cos 300°$ değerini bul.

$300°$ IV. bölgede; referans açı $360° - 300° = 60°$ .
IV. bölgede kosinüs pozitif: $cos 300° = cos 60° = \frac{1}{2}$ .

Sonuç:

\frac{1}{2}

Örnek

Soru

$\frac{sin ^{2} 40° + cos ^{2} 40°}{cos 0°}$ ifadesinin değerini bul.

Pay her açı için $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ 'e eşittir; $cos 0° = 1$ .

Pay: $sin^{2} 40° + cos^{2} 40° = 1$ .
Payda: $cos 0° = 1$ .
Bölüm: $\frac{1}{1} = 1$ .

Sonuç:

1

Örnek

Soru

$y = 2 cos x - 1$ fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerini bul.

$cos x \in [- 1, 1]$ ; önce $2 cos x$ aralığını, sonra $- 1$ kaydırmasını uygula.

$- 1 \leq cos x \leq 1 \Rightarrow - 2 \leq 2 cos x \leq 2$ .
Her tarafa $- 1$ ekle: $- 3 \leq 2 cos x - 1 \leq 1$ .
En büyük $1$ , en küçük $- 3$ .

Sonuç: En büyük

1

, en küçük

- 3

Örnek

Soru

III. bölgede bir $x$ açısı için $tan x = \frac{3}{4}$ ise $sin x$ kaçtır?

$tan x = \frac{sin x}{cos x} = \frac{3}{4}$ olduğundan $sin x = 3 k$ , $cos x = 4 k$ kur; $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ ile $k$ 'yı bul, sonra bölge işaretini uygula.

$sin x = 3 k$ , $cos x = 4 k$ alalım; $sin^{2} x + cos^{2} x = 9 k^{2} + 16 k^{2} = 25 k^{2} = 1 \Rightarrow k = \pm \frac{1}{5}$ .
III. bölgede sinüs negatiftir, dolayısıyla $sin x = 3 k < 0 \Rightarrow k = - \frac{1}{5}$ .
$sin x = 3 \cdot (- \frac{1}{5}) = - \frac{3}{5}$ .

Sonuç:

- \frac{3}{5}

Örnek

Soru

$f (x) = sin x$ fonksiyonu için $f (x) = f (x + 2 π)$ olduğunu kullanarak $sin \frac{13 π}{6}$ değerini bul.

$2 π$ periyodunu at: $\frac{13 π}{6} - 2 π = \frac{13 π}{6} - \frac{12 π}{6}$ .

$\frac{13 π}{6} - \frac{12 π}{6} = \frac{π}{6}$ (esas ölçü, I. bölge).
$sin \frac{13 π}{6} = sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ .

Sonuç:

\frac{1}{2}

Sık Yapılan Hatalar

Sinüs ile kosinüsü koordinatta karıştırmak. $P (cos x, sin x)$ 'te apsis kosinüs, ordinat sinüstür; sırayı ters yazma.
Bölge işaretini unutmak. $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ 'den çekilen kök $\pm$ 'lidir; açının bölgesine bakıp doğru işareti seç.
Periyot formülünü yanlış kurmak. $y = sin (b x)$ periyodu $\frac{2 π}{∣ b ∣}$ 'dir; $b$ ile çarpmak değil, $2 π$ 'yi $∣ b ∣$ 'ye bölmek gerekir.
$1$ 'i aşan değer bulmak. $sin x$ ve $cos x$ asla $[- 1, 1]$ dışına çıkamaz; sonucun bu aralıkta olduğunu kontrol et.

Not: Birim çember, trigonometrinin "haritasıdır": her özel açı değeri ve her işaret kararı oradan okunur. Bilmediğin bir açıyı önce referans açı + bölge işareti ikilisine indir; grafikler ise bu değerlerin zaman içinde nasıl salındığını gösterir.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

cos 240°

değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$240°$ açısı III. bölgededir.
Referans açı: $240° - 180° = 60°$ , $cos 60° = \frac{1}{2}$ .
III. bölgede kosinüs negatiftir: $cos 240° = - \frac{1}{2}$ .

Sonuç:

- \frac{1}{2}

Soru 2Kolay

sin 90° + cos 360° - sin 180°

ifadesinin değeri kaçtır?

$sin 90° = 1$ (terminal kenar $(0, 1)$ ).
$cos 360° = cos 0° = 1$ (terminal kenar $(1, 0)$ ).
$sin 180° = 0$ (terminal kenar $(- 1, 0)$ ).
Topla: $1 + 1 - 0 = 2$ .

Sonuç:

2

Soru 3Orta

IV. bölgede bulunan bir

x

açısı için

sin x = - \frac{5}{13}

ise

tan x

kaçtır?

$cos^{2} x = 1 - sin^{2} x = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$ , yani $cos x = \pm \frac{12}{13}$ .
IV. bölgede kosinüs pozitiftir: $cos x = \frac{12}{13}$ .
$tan x = \frac{sin x}{cos x} = \frac{- 5/13}{12/13} = - \frac{5}{12}$ .

Sonuç:

- \frac{5}{12}

Soru 4Orta

y = 3 cos \frac{x}{2}

fonksiyonunun periyodu kaçtır?

$y = cos (b x)$ fonksiyonunun periyodu $\frac{2 π}{∣ b ∣}$ 'dir.
Baştaki $3$ katsayısı yalnızca genliği etkiler, periyodu değiştirmez.
Burada $b = \frac{1}{2}$ : periyot $\frac{2 π}{1/2} = 4 π$ .

Sonuç:

4 π

Soru 5Orta

Bir dönme dolabındaki bir sepetin yerden yüksekliği

t

saniye sonra

h (t) = 8 - 6 cos (\frac{π}{15} t)

metre ile veriliyor. Sepetin ulaşabileceği en büyük yükseklik kaç metredir?

$- 1 \leq cos (\frac{π}{15} t) \leq 1$ 'dir.
$h (t)$ en büyük olur ki $- 6 cos (\dots)$ en büyük olsun; bu da $cos (\dots) = - 1$ iken gerçekleşir.
$h = 8 - 6 \cdot (- 1) = 8 + 6 = 14$ metre.

Sonuç:

14

metre

Soru 6Zor

sin 150° \cdot cos 300° + sin 210°

ifadesinin değeri kaçtır?

$sin 150°$ : II. bölge, referans $30°$ , sinüs pozitif $\Rightarrow sin 150° = \frac{1}{2}$ .
$cos 300°$ : IV. bölge, referans $60°$ , kosinüs pozitif $\Rightarrow cos 300° = \frac{1}{2}$ .
$sin 210°$ : III. bölge, referans $30°$ , sinüs negatif $\Rightarrow sin 210° = - \frac{1}{2}$ .
İfade: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = - \frac{1}{4}$ .

Sonuç:

- \frac{1}{4}

0/6 soru cevaplandı

1. Birim Çemberle Tanım

2. Bölgelere Göre İşaret

3. Özel Açıların Değerleri

4. Grafikler ve Periyot

5. Temel Özdeşlik

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

İlgili yazılar

Trigonometri — diğer konular