11. Sınıf · Trigonometri

Trigonometrik Denklemler

~8 dk okumaZorluk: Zor17 çözümlü soru

Bir trigonometrik denklem, bilinmeyeni bir açının trigonometrik oranının içinde olan denklemdir: $\sin x=\dfrac12$ gibi. Trigonometrik fonksiyonlar periyodik olduğundan bu denklemlerin sonsuz çözümü vardır; bu derste temel trigonometrik denklemlerin ( $\sin x=a$ , $\cos x=a$ , $\tan x=a$ ) genel çözümünü ve verilen bir aralıktaki çözüm kümesini bulmayı öğreneceğiz. Birim çember, hangi açıların aynı değeri verdiğini görmemizi sağlayacak.

1. $\sin x = a$ Denklemi

$\sin x=a$ ( $-1\le a\le 1$ ) denkleminin birim çemberde ordinatı $a$ olan iki noktası vardır (genelde). Bir özel çözüm $\alpha$ ise, çözümler şöyledir:

$x=\alpha+2k\pi \quad\text{ve}\quad x=(\pi-\alpha)+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}$

$\pi-\alpha$ ifadesi, aynı ordinatlı ikinci noktayı (II. bölge eşi) verir.

Şekil 1 —

\sin x=a

denkleminde, birim çemberde ordinatı

a

olan iki nokta çözüm verir: biri

\alpha

açısı, diğeri

\pi-\alpha

açısıdır.

Örnek

Soru

$\sin x=\dfrac12$ denkleminin genel çözümünü yazınız.

Bir özel çözüm: $\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12$ , yani $\alpha=\dfrac{\pi}{6}$ .
Genel çözüm: $x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$ veya $x=\pi-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ .

Sonuç:

x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi

veya

x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi

2. $\cos x = a$ Denklemi

$\cos x=a$ denkleminin çözümleri, birim çemberde apsisi $a$ olan noktalardır; bunlar $x$ ekseni etrafında simetriktir ( $\alpha$ ve $-\alpha$ ):

$x=\pm\alpha+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}$

Örnek

Soru

$\cos x=\dfrac{\sqrt3}{2}$ denkleminin genel çözümünü yazınız.

Bir özel çözüm: $\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}$ , yani $\alpha=\dfrac{\pi}{6}$ .
Genel çözüm: $x=\pm\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ .

Sonuç:

x=\pm\dfrac{\pi}{6}+2k\pi

3. $\tan x = a$ Denklemi

Tanjant fonksiyonunun periyodu $\pi$ olduğundan, bir özel çözüm $\alpha$ ise çözümler $\pi$ aralıklarla tekrarlanır:

$x=\alpha+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}$

Örnek

Soru

$\tan x=1$ denkleminin genel çözümünü yazınız.

Bir özel çözüm: $\tan\dfrac{\pi}{4}=1$ , yani $\alpha=\dfrac{\pi}{4}$ .
Periyot $\pi$ : $x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ .

Sonuç:

x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi

4. Belirli Aralıkta Çözüm Kümesi

Çoğu soruda genel çözüm değil, $[0,2\pi)$ gibi belirli bir aralıktaki çözümler istenir. Genel çözümden $k$ 'ya tam sayı değerleri verip aralığa düşenleri seçeriz.

Örnek

Soru

$\cos x=-\dfrac12$ denkleminin $[0,2\pi)$ aralığındaki çözüm kümesini bulunuz.

$\cos$ negatif → II. ve III. bölge. Referans açı $\dfrac{\pi}{3}$ 'tür ( $\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12$ ).

Referans açı $\dfrac{\pi}{3}$ ; kosinüs II ve III. bölgede negatiftir.
II. bölge: $x=\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}$ .
III. bölge: $x=\pi+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{4\pi}{3}$ .

Sonuç:

\left\{\dfrac{2\pi}{3},\ \dfrac{4\pi}{3}\right\}

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$2\sin x-1=0$ denkleminin $[0,2\pi)$ aralığındaki çözüm kümesini bulunuz.

Denklemi sadeleştir: $\sin x=\dfrac12$ .
Sinüs pozitif → I ve II. bölge; referans açı $\dfrac{\pi}{6}$ .
I. bölge: $x=\dfrac{\pi}{6}$ ; II. bölge: $x=\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}$ .

Sonuç:

\left\{\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5\pi}{6}\right\}

Örnek

Soru

$\sqrt3\tan x-1=0$ denkleminin $[0,\pi)$ aralığındaki çözümünü bulunuz.

$\tan x=\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}$ .
Bu değeri $\tan\dfrac{\pi}{6}$ verir, yani $x=\dfrac{\pi}{6}$ .
$[0,\pi)$ aralığında periyot $\pi$ olduğundan tek çözüm bu.

Sonuç:

x=\dfrac{\pi}{6}

Örnek

Soru

$\cos x=1$ denkleminin $[0,2\pi)$ aralığındaki çözümünü bulunuz.

Birim çemberde apsisi $1$ olan tek nokta hangisidir?

Apsisi $1$ olan nokta $(1,0)$ 'dır; bu $x=0$ açısına karşılık gelir.
$[0,2\pi)$ aralığında tek çözüm $x=0$ .

Sonuç:

x=0

Örnek

Soru

$2\cos^2 x-1=0$ denkleminin $[0,2\pi)$ aralığındaki çözüm kümesini bulunuz.

$\cos^2 x$ 'i yalnız bırak: $\cos^2 x=\dfrac12\Rightarrow \cos x=\pm\dfrac{\sqrt2}{2}$ . Dört bölgenin tamamına bak.

$\cos^2 x=\dfrac12\Rightarrow \cos x=\pm\dfrac{\sqrt2}{2}$ ; referans açı $\dfrac{\pi}{4}$ .
$\cos x=\dfrac{\sqrt2}{2}$ : $x=\dfrac{\pi}{4}$ (I), $x=\dfrac{7\pi}{4}$ (IV).
$\cos x=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ : $x=\dfrac{3\pi}{4}$ (II), $x=\dfrac{5\pi}{4}$ (III).

Sonuç:

\left\{\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{3\pi}{4},\ \dfrac{5\pi}{4},\ \dfrac{7\pi}{4}\right\}

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$\sin x=0$ denkleminin $[0,2\pi)$ aralığındaki çözüm kümesini bul.

Ordinatı $0$ olan noktalar: $(1,0)$ ve $(-1,0)$ .
Açılar: $x=0$ ve $x=\pi$ .

Sonuç:

\{0,\ \pi\}

Örnek

Soru

$\cos x=0$ denkleminin $[0,2\pi)$ aralığındaki çözüm kümesini bul.

Apsisi $0$ olan noktalar: $(0,1)$ ve $(0,-1)$ .
Açılar: $x=\dfrac{\pi}{2}$ ve $x=\dfrac{3\pi}{2}$ .

Sonuç:

\left\{\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{3\pi}{2}\right\}

Örnek

Soru

$\tan x=\sqrt3$ denkleminin $[0,2\pi)$ aralığındaki çözüm kümesini bul.

$\tan\dfrac{\pi}{3}=\sqrt3$ , yani referans açı $\dfrac{\pi}{3}$ .
Tanjant I ve III. bölgede pozitiftir: $x=\dfrac{\pi}{3}$ ve $x=\pi+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{4\pi}{3}$ .

Sonuç:

\left\{\dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{4\pi}{3}\right\}

Örnek

Soru

$\sin x=\dfrac{\sqrt3}{2}$ denkleminin $[0,2\pi)$ aralığındaki çözüm kümesini bul.

Referans açı $\dfrac{\pi}{3}$ ; sinüs I ve II. bölgede pozitif.
$x=\dfrac{\pi}{3}$ ve $x=\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}$ .

Sonuç:

\left\{\dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{2\pi}{3}\right\}

Örnek

Soru

$2\cos x+\sqrt3=0$ denkleminin $[0,2\pi)$ aralığındaki çözüm kümesini bul.

$\cos x=-\dfrac{\sqrt3}{2}$ ; referans açı $\dfrac{\pi}{6}$ , kosinüs II ve III. bölgede negatif.
$x=\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}$ ve $x=\pi+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{7\pi}{6}$ .

Sonuç:

\left\{\dfrac{5\pi}{6},\ \dfrac{7\pi}{6}\right\}

Örnek

Soru

$\tan x=-1$ denkleminin $[0,2\pi)$ aralığındaki çözüm kümesini bul.

Referans açı $\dfrac{\pi}{4}$ ; tanjant II ve IV. bölgede negatif.
$x=\pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}$ ve $x=2\pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{7\pi}{4}$ .

Sonuç:

\left\{\dfrac{3\pi}{4},\ \dfrac{7\pi}{4}\right\}

Örnek

Soru

$\sin 2x=\dfrac{\sqrt2}{2}$ denkleminin $[0,2\pi)$ aralığındaki çözüm kümesini bul.

$u=2x$ koy; $x\in[0,2\pi)$ iken $u\in[0,4\pi)$ olur. $\sin u=\dfrac{\sqrt2}{2}$ 'yi bu genişletilmiş aralıkta çöz, sonra $x=\dfrac{u}{2}$ al.

$u=2x$ , $u\in[0,4\pi)$ . $\sin u=\dfrac{\sqrt2}{2}$ , referans açı $\dfrac{\pi}{4}$ .
$[0,2\pi)$ içinde: $u=\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{3\pi}{4}$ . Bir tam tur ekle: $u=\dfrac{9\pi}{4},\ \dfrac{11\pi}{4}$ .
$x=\dfrac{u}{2}$ : $x=\dfrac{\pi}{8},\ \dfrac{3\pi}{8},\ \dfrac{9\pi}{8},\ \dfrac{11\pi}{8}$ .

Sonuç:

\left\{\dfrac{\pi}{8},\ \dfrac{3\pi}{8},\ \dfrac{9\pi}{8},\ \dfrac{11\pi}{8}\right\}

Örnek

Soru

$2\sin^2 x-3\sin x+1=0$ denkleminin $[0,2\pi)$ aralığındaki çözüm kümesini bul.

$t=\sin x$ koy; ikinci dereceden $2t^2-3t+1=0$ denklemini çöz. Her $t$ kökü için $\sin x=t$ 'yi geri çöz ve $-1\le t\le 1$ koşulunu kontrol et.

$t=\sin x$ : $2t^2-3t+1=0\Rightarrow (2t-1)(t-1)=0\Rightarrow t=\dfrac12$ veya $t=1$ .
$\sin x=1$ : $x=\dfrac{\pi}{2}$ .
$\sin x=\dfrac12$ : $x=\dfrac{\pi}{6}$ ve $x=\dfrac{5\pi}{6}$ .

Sonuç:

\left\{\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{5\pi}{6}\right\}

Örnek

Soru

$\cos 2x=\sin x$ denkleminin $[0,2\pi)$ aralığındaki çözüm kümesini bul.

$\cos 2x=1-2\sin^2 x$ özdeşliğiyle her şeyi $\sin x$ cinsine çevir; $t=\sin x$ ile ikinci dereceden denklem elde et.

$\cos 2x=1-2\sin^2 x$ koy: $1-2\sin^2 x=\sin x$ .
Düzenle: $2\sin^2 x+\sin x-1=0$ . $t=\sin x$ : $2t^2+t-1=0\Rightarrow (2t-1)(t+1)=0\Rightarrow t=\dfrac12$ veya $t=-1$ .
$\sin x=\dfrac12$ : $x=\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5\pi}{6}$ . $\sin x=-1$ : $x=\dfrac{3\pi}{2}$ .

Sonuç:

\left\{\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5\pi}{6},\ \dfrac{3\pi}{2}\right\}

Sık Yapılan Hatalar

Tek çözümle yetinmek. $\sin x=a$ ve $\cos x=a$ denklemlerinin bir periyotta genelde iki çözümü vardır; ikinci bölgeyi unutma.
Genel çözümde periyodu karıştırmak. $\sin$ ve $\cos$ için $2k\pi$ , $\tan$ için $k\pi$ eklenir; tanjantın periyodu $\pi$ 'dir.
Aralık dönüşümünü atlamak. $\sin 2x=a$ türü denklemlerde $u=2x$ koyunca aralık da $[0,4\pi)$ 'ye genişler; bu aralıktaki tüm çözümleri al, sonra ikiye böl.
Değer aralığını aşan kökü kabul etmek. $\sin x=t$ ya da $\cos x=t$ 'de $t$ ancak $[-1,1]$ içindeyse çözüm verir; ikinci derece denklemden çıkan $|t|>1$ kökünü ele.

Not: Her trigonometrik denklemde önce birim çemberde hangi bölgeler o değeri veriyor diye düşün; işaret sana bölgeleri, referans açı da o bölgelerdeki tam açıları söyler. Karmaşık denklemleri $t=\sin x$ gibi bir değişken değiştirmeyle cebirsel bir denkleme indir, sonra geri çöz.

1. \sin x = a Denklemi

2. \cos x = a Denklemi

3. \tan x = a Denklemi

4. Belirli Aralıkta Çözüm Kümesi

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Trigonometri — diğer konular

1. $\sin x = a$ Denklemi

2. $\cos x = a$ Denklemi

3. $\tan x = a$ Denklemi