11. Sınıf · Trigonometri

Trigonometrik Denklemler

~8 dk okumaZorluk: Zor6 çözümlü soru

Bir trigonometrik denklem, bilinmeyeni bir açının trigonometrik oranının içinde olan denklemdir: $sin x = \frac{1}{2}$ gibi. Trigonometrik fonksiyonlar periyodik olduğundan bu denklemlerin sonsuz çözümü vardır; bu derste temel trigonometrik denklemlerin ( $sin x = a$ , $cos x = a$ , $tan x = a$ ) genel çözümünü ve verilen bir aralıktaki çözüm kümesini bulmayı öğreneceğiz. Birim çember, hangi açıların aynı değeri verdiğini görmemizi sağlayacak.

1. $sin x = a$ Denklemi

$sin x = a$ ( $- 1 \leq a \leq 1$ ) denkleminin birim çemberde ordinatı $a$ olan iki noktası vardır (genelde). Bir özel çözüm $α$ ise, çözümler şöyledir:

$x = α + 2 k π ve x = (π - α) + 2 k π, k \in Z$

$π - α$ ifadesi, aynı ordinatlı ikinci noktayı (II. bölge eşi) verir.

Şekil 1 —

sin x = a

denkleminde, birim çemberde ordinatı

a

olan iki nokta çözüm verir: biri

α

açısı, diğeri

π - α

açısıdır.

Örnek

Soru

$sin x = \frac{1}{2}$ denkleminin genel çözümünü yazınız.

Bir özel çözüm: $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ , yani $α = \frac{π}{6}$ .
Genel çözüm: $x = \frac{π}{6} + 2 k π$ veya $x = π - \frac{π}{6} + 2 k π = \frac{5 π}{6} + 2 k π$ , $k \in Z$ .

Sonuç:

x = \frac{π}{6} + 2 k π

veya

x = \frac{5 π}{6} + 2 k π

2. $cos x = a$ Denklemi

$cos x = a$ denkleminin çözümleri, birim çemberde apsisi $a$ olan noktalardır; bunlar $x$ ekseni etrafında simetriktir ( $α$ ve $- α$ ):

$x = \pm α + 2 k π, k \in Z$

Örnek

Soru

$cos x = \frac{3}{2}$ denkleminin genel çözümünü yazınız.

Bir özel çözüm: $cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}$ , yani $α = \frac{π}{6}$ .
Genel çözüm: $x = \pm \frac{π}{6} + 2 k π$ , $k \in Z$ .

Sonuç:

x = \pm \frac{π}{6} + 2 k π

3. $tan x = a$ Denklemi

Tanjant fonksiyonunun periyodu $π$ olduğundan, bir özel çözüm $α$ ise çözümler $π$ aralıklarla tekrarlanır:

$x = α + k π, k \in Z$

Örnek

Soru

$tan x = 1$ denkleminin genel çözümünü yazınız.

Bir özel çözüm: $tan \frac{π}{4} = 1$ , yani $α = \frac{π}{4}$ .
Periyot $π$ : $x = \frac{π}{4} + k π$ , $k \in Z$ .

Sonuç:

x = \frac{π}{4} + k π

4. Belirli Aralıkta Çözüm Kümesi

Çoğu soruda genel çözüm değil, $[0, 2 π)$ gibi belirli bir aralıktaki çözümler istenir. Genel çözümden $k$ 'ya tam sayı değerleri verip aralığa düşenleri seçeriz.

Örnek

Soru

$cos x = - \frac{1}{2}$ denkleminin $[0, 2 π)$ aralığındaki çözüm kümesini bulunuz.

$cos$ negatif → II. ve III. bölge. Referans açı $\frac{π}{3}$ 'tür ( $cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ ).

Referans açı $\frac{π}{3}$ ; kosinüs II ve III. bölgede negatiftir.
II. bölge: $x = π - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}$ .
III. bölge: $x = π + \frac{π}{3} = \frac{4 π}{3}$ .

Sonuç:

{\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}}

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$2 sin x - 1 = 0$ denkleminin $[0, 2 π)$ aralığındaki çözüm kümesini bulunuz.

Denklemi sadeleştir: $sin x = \frac{1}{2}$ .
Sinüs pozitif → I ve II. bölge; referans açı $\frac{π}{6}$ .
I. bölge: $x = \frac{π}{6}$ ; II. bölge: $x = π - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{6}$ .

Sonuç:

{\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}}

Örnek

Soru

$3 tan x - 1 = 0$ denkleminin $[0, π)$ aralığındaki çözümünü bulunuz.

$tan x = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}$ .
Bu değeri $tan \frac{π}{6}$ verir, yani $x = \frac{π}{6}$ .
$[0, π)$ aralığında periyot $π$ olduğundan tek çözüm bu.

Sonuç:

x = \frac{π}{6}

Örnek

Soru

$cos x = 1$ denkleminin $[0, 2 π)$ aralığındaki çözümünü bulunuz.

Birim çemberde apsisi $1$ olan tek nokta hangisidir?

Apsisi $1$ olan nokta $(1, 0)$ 'dır; bu $x = 0$ açısına karşılık gelir.
$[0, 2 π)$ aralığında tek çözüm $x = 0$ .

Sonuç:

x = 0

Örnek

Soru

$2 cos^{2} x - 1 = 0$ denkleminin $[0, 2 π)$ aralığındaki çözüm kümesini bulunuz.

$cos^{2} x$ 'i yalnız bırak: $cos^{2} x = \frac{1}{2} \Rightarrow cos x = \pm \frac{2}{2}$ . Dört bölgenin tamamına bak.

$cos^{2} x = \frac{1}{2} \Rightarrow cos x = \pm \frac{2}{2}$ ; referans açı $\frac{π}{4}$ .
$cos x = \frac{2}{2}$ : $x = \frac{π}{4}$ (I), $x = \frac{7 π}{4}$ (IV).
$cos x = - \frac{2}{2}$ : $x = \frac{3 π}{4}$ (II), $x = \frac{5 π}{4}$ (III).

Sonuç:

{\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}}

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$sin x = 0$ denkleminin $[0, 2 π)$ aralığındaki çözüm kümesini bul.

Ordinatı $0$ olan noktalar: $(1, 0)$ ve $(- 1, 0)$ .
Açılar: $x = 0$ ve $x = π$ .

Sonuç:

{0, π}

Örnek

Soru

$cos x = 0$ denkleminin $[0, 2 π)$ aralığındaki çözüm kümesini bul.

Apsisi $0$ olan noktalar: $(0, 1)$ ve $(0, - 1)$ .
Açılar: $x = \frac{π}{2}$ ve $x = \frac{3 π}{2}$ .

Sonuç:

{\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}}

Örnek

Soru

$tan x = 3$ denkleminin $[0, 2 π)$ aralığındaki çözüm kümesini bul.

$tan \frac{π}{3} = 3$ , yani referans açı $\frac{π}{3}$ .
Tanjant I ve III. bölgede pozitiftir: $x = \frac{π}{3}$ ve $x = π + \frac{π}{3} = \frac{4 π}{3}$ .

Sonuç:

{\frac{π}{3}, \frac{4 π}{3}}

Örnek

Soru

$sin x = \frac{3}{2}$ denkleminin $[0, 2 π)$ aralığındaki çözüm kümesini bul.

Referans açı $\frac{π}{3}$ ; sinüs I ve II. bölgede pozitif.
$x = \frac{π}{3}$ ve $x = π - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}$ .

Sonuç:

{\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}}

Örnek

Soru

$2 cos x + 3 = 0$ denkleminin $[0, 2 π)$ aralığındaki çözüm kümesini bul.

$cos x = - \frac{3}{2}$ ; referans açı $\frac{π}{6}$ , kosinüs II ve III. bölgede negatif.
$x = π - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{6}$ ve $x = π + \frac{π}{6} = \frac{7 π}{6}$ .

Sonuç:

{\frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}}

Örnek

Soru

$tan x = - 1$ denkleminin $[0, 2 π)$ aralığındaki çözüm kümesini bul.

Referans açı $\frac{π}{4}$ ; tanjant II ve IV. bölgede negatif.
$x = π - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$ ve $x = 2 π - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4}$ .

Sonuç:

{\frac{3 π}{4}, \frac{7 π}{4}}

Örnek

Soru

$sin 2 x = \frac{2}{2}$ denkleminin $[0, 2 π)$ aralığındaki çözüm kümesini bul.

$u = 2 x$ koy; $x \in [0, 2 π)$ iken $u \in [0, 4 π)$ olur. $sin u = \frac{2}{2}$ 'yi bu genişletilmiş aralıkta çöz, sonra $x = \frac{u}{2}$ al.

$u = 2 x$ , $u \in [0, 4 π)$ . $sin u = \frac{2}{2}$ , referans açı $\frac{π}{4}$ .
$[0, 2 π)$ içinde: $u = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$ . Bir tam tur ekle: $u = \frac{9 π}{4}, \frac{11 π}{4}$ .
$x = \frac{u}{2}$ : $x = \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8}, \frac{9 π}{8}, \frac{11 π}{8}$ .

Sonuç:

{\frac{π}{8}, \frac{3 π}{8}, \frac{9 π}{8}, \frac{11 π}{8}}

Örnek

Soru

$2 sin^{2} x - 3 sin x + 1 = 0$ denkleminin $[0, 2 π)$ aralığındaki çözüm kümesini bul.

$t = sin x$ koy; ikinci dereceden $2 t^{2} - 3 t + 1 = 0$ denklemini çöz. Her $t$ kökü için $sin x = t$ 'yi geri çöz ve $- 1 \leq t \leq 1$ koşulunu kontrol et.

$t = sin x$ : $2 t^{2} - 3 t + 1 = 0 \Rightarrow (2 t - 1) (t - 1) = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{2}$ veya $t = 1$ .
$sin x = 1$ : $x = \frac{π}{2}$ .
$sin x = \frac{1}{2}$ : $x = \frac{π}{6}$ ve $x = \frac{5 π}{6}$ .

Sonuç:

{\frac{π}{6}, \frac{π}{2}, \frac{5 π}{6}}

Örnek

Soru

$cos 2 x = sin x$ denkleminin $[0, 2 π)$ aralığındaki çözüm kümesini bul.

$cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x$ özdeşliğiyle her şeyi $sin x$ cinsine çevir; $t = sin x$ ile ikinci dereceden denklem elde et.

$cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x$ koy: $1 - 2 sin^{2} x = sin x$ .
Düzenle: $2 sin^{2} x + sin x - 1 = 0$ . $t = sin x$ : $2 t^{2} + t - 1 = 0 \Rightarrow (2 t - 1) (t + 1) = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{2}$ veya $t = - 1$ .
$sin x = \frac{1}{2}$ : $x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$ . $sin x = - 1$ : $x = \frac{3 π}{2}$ .

Sonuç:

{\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}}

Sık Yapılan Hatalar

Tek çözümle yetinmek. $sin x = a$ ve $cos x = a$ denklemlerinin bir periyotta genelde iki çözümü vardır; ikinci bölgeyi unutma.
Genel çözümde periyodu karıştırmak. $sin$ ve $cos$ için $2 k π$ , $tan$ için $k π$ eklenir; tanjantın periyodu $π$ 'dir.
Aralık dönüşümünü atlamak. $sin 2 x = a$ türü denklemlerde $u = 2 x$ koyunca aralık da $[0, 4 π)$ 'ye genişler; bu aralıktaki tüm çözümleri al, sonra ikiye böl.
Değer aralığını aşan kökü kabul etmek. $sin x = t$ ya da $cos x = t$ 'de $t$ ancak $[- 1, 1]$ içindeyse çözüm verir; ikinci derece denklemden çıkan $∣ t ∣ > 1$ kökünü ele.

Not: Her trigonometrik denklemde önce birim çemberde hangi bölgeler o değeri veriyor diye düşün; işaret sana bölgeleri, referans açı da o bölgelerdeki tam açıları söyler. Karmaşık denklemleri $t = sin x$ gibi bir değişken değiştirmeyle cebirsel bir denkleme indir, sonra geri çöz.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

2 cos x + 1 = 0

denkleminin

[0, 2 π)

aralığındaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Denklemi düzenle: $2 cos x = - 1 \Rightarrow cos x = - \frac{1}{2}$ .
Referans açı $\frac{π}{3}$ 'tür ( $cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ ).
$cos x$ negatif olduğundan çözümler II. ve III. bölgededir.
II. bölge: $x = π - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}$ ; III. bölge: $x = π + \frac{π}{3} = \frac{4 π}{3}$ .

Sonuç:

{\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}}

Soru 2Kolay

tan x = - 3

denkleminin genel çözümü aşağıdakilerden hangisidir?

Referans açı $\frac{π}{3}$ 'tür ( $tan \frac{π}{3} = 3$ ).
$tan x$ negatif; bir özel çözüm II. bölgede $x = π - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}$ 'tür.
Tanjantın periyodu $π$ olduğundan genel çözümde $k π$ eklenir: $x = \frac{2 π}{3} + k π$ .
(Tanjant denkleminde $2 k π$ değil, $k π$ kullanılır.)

Sonuç:

x = \frac{2 π}{3} + k π, k \in Z

Soru 3Orta

2 sin x - 1 = 0

denkleminin

[0, 2 π)

aralığındaki köklerinin toplamı kaçtır?

Denklemi düzenle: $sin x = \frac{1}{2} = \frac{2}{2}$ .
Referans açı $\frac{π}{4}$ ; sinüs pozitif olduğundan I. ve II. bölgede çözüm vardır.
$x = \frac{π}{4}$ ve $x = π - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$ .
Köklerin toplamı: $\frac{π}{4} + \frac{3 π}{4} = π$ .

Sonuç:

π

Soru 4Orta

2 sin^{2} x + sin x - 1 = 0

denkleminin

[0, 2 π)

aralığında kaç farklı kökü vardır?

$t = sin x$ diyelim: $2 t^{2} + t - 1 = 0 \Rightarrow (2 t - 1) (t + 1) = 0$ .
Kökler: $t = \frac{1}{2}$ veya $t = - 1$ (ikisi de $[- 1, 1]$ aralığında, geçerli).
$sin x = \frac{1}{2}$ : $x = \frac{π}{6}$ ve $x = \frac{5 π}{6}$ (iki çözüm).
$sin x = - 1$ : $x = \frac{3 π}{2}$ (tek çözüm). Toplam $2 + 1 = 3$ kök.

Sonuç:

3

kök

Soru 5Orta

cos 3 x = \frac{1}{2}

denkleminin

[0, π)

aralığındaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

$u = 3 x$ koyalım; $x \in [0, π)$ iken $u \in [0, 3 π)$ olur.
$cos u = \frac{1}{2}$ ; referans açı $\frac{π}{3}$ , kosinüs I ve IV. bölgede pozitif: $u = \frac{π}{3}$ ve $u = 2 π - \frac{π}{3} = \frac{5 π}{3}$ .
Bir tam tur ekle: $u = \frac{π}{3} + 2 π = \frac{7 π}{3}$ (bu da $[0, 3 π)$ içinde). $\frac{5 π}{3} + 2 π = \frac{11 π}{3} > 3 π$ olduğundan alınmaz.
$u = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}, \frac{7 π}{3}$ ; $x = \frac{u}{3}$ : $x = \frac{π}{9}, \frac{5 π}{9}, \frac{7 π}{9}$ .

Sonuç:

{\frac{π}{9}, \frac{5 π}{9}, \frac{7 π}{9}}

Soru 6Zor

Bir dönme dolabındaki bir sepetin yerden yüksekliği

t

saniye cinsinden

h (t) = 6 - 5 cos (\frac{π}{15} t)

metre ile veriliyor. Sepet,

t = 0

anından itibaren yüksekliği ilk kez

8, 5

metre olduğunda

t

kaç saniyedir?

$h (t) = 8, 5$ yaz: $6 - 5 cos (\frac{π}{15} t) = 8, 5$ .
Düzenle: $- 5 cos (\frac{π}{15} t) = 2, 5 \Rightarrow cos (\frac{π}{15} t) = - \frac{1}{2}$ .
$\frac{π}{15} t > 0$ için en küçük çözüm: $\frac{π}{15} t = \frac{2 π}{3}$ (kosinüsün $- \frac{1}{2}$ olduğu ilk pozitif açı).
$t = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{15}{π} = 10$ saniye.

Sonuç:

10

saniye

0/6 soru cevaplandı

1. sinx=a Denklemi

2. cosx=a Denklemi

3. tanx=a Denklemi

4. Belirli Aralıkta Çözüm Kümesi

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Trigonometri — diğer konular

1. $sin x = a$ Denklemi

2. $cos x = a$ Denklemi

3. $tan x = a$ Denklemi