Optimizasyon (Maksimum-Minimum) Problemleri — Soru Tipleri ve Tuzaklar

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

1. 01

   Çevre sabit → alan maksimum (dikdörtgen)

   KolaySık çıkar

   Çevresi verilen dikdörtgenin en büyük alanı istenir. Kısıttan y çekilir, alan tek değişkene iner; cevap her zaman karede çıkar.

   Nasıl çözülür

   1. Kenarlar x ve y; çevre kısıtı 2x+2y=Ç ⇒ y=Ç/2−x.
   2. Alanı tek değişkenle yaz: A(x)=x⋅(Ç/2−x).
   3. A′(x)=0 çöz; A″<0 ile maksimum olduğunu doğrula.
   4. Kontrol: en büyük alan x=y (kare) iken çıkmalı.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Çevre kısıtında 2'leri unutup y=Ç−x almak→örnekte a=x(40−x) ⇒ x=20, alan 400 (doğrusu 100)
   • x=10 bulup alanı hesaplamadan kenarı işaretlemek→alan yerine 10 cevabı

   Örnek

   Çevresi 40 m olan dikdörtgen biçimli bir bahçenin alanı en çok kaç m² olabilir?

   y=20−x, A(x)=x(20−x)=20x−x²; A′=20−2x=0 ⇒ x=10, y=10, A=100 m²

   Sık birleştiği konular: Türev Alma Kuralları

2. 02

   Toplamı sabit iki sayının çarpımı maksimum

   KolaySık çıkar

   Toplamları verilen iki (pozitif) sayının çarpımı ya da x²⋅y gibi ağırlıklı çarpımı en büyük yapılır. Sözel kılıfı en sade optimizasyon kalıbı.

   Nasıl çözülür

   1. Sayılar x ve y; kısıt x+y=S ⇒ y=S−x.
   2. Çarpımı tek değişkenle yaz (ör. f(x)=x²(S−x)).
   3. f′(x)=0 çöz; x=0 gibi uç adayları ele, ikinci türevle doğrula.
   4. İstenen çarpım değerini hesapla — sayıları değil çarpımı işaretle.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Türev almadan sayıları eşit bölmek (x=y sanmak)→örnekte 6²⋅6=216 (doğrusu 256) — eşit bölme yalnız düz çarpımda çalışır
   • f′=0'ın x=0 kökünü aday diye işaretlemek→çarpım 0 — minimum ucu

   Örnek

   Toplamları 12 olan iki pozitif sayıdan birinin karesi ile diğerinin çarpımı en çok kaçtır?

   f(x)=x²(12−x)=12x²−x³; f′=24x−3x²=3x(8−x)=0 ⇒ x=8, y=4; 8²⋅4=256

3. 03

   Köşelerden kare kesip kutu katlama (klasik)

   OrtaSık çıkar

   Kartonun dört köşesinden x×x kare kesilip üstü açık kutu yapılır; hacmi en büyük yapan x veya en büyük hacim istenir. Konunun en klasik sorusu.

   Nasıl çözülür

   1. Boyutları yaz: yükseklik x, taban kenarları (a−2x) ve (b−2x).
   2. Tanım aralığını belirle: taban kenarları pozitif olmalı.
   3. V(x)=x(a−2x)(b−2x) kur, V′(x)=0 çöz.
   4. Tanım aralığı DIŞINDAKİ kökü ele; kalan adayı işaret değişimiyle doğrula.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Her kenardan iki köşe kesildiğini unutup taban kenarını a−x almak→örnekte v=x(12−x)² ⇒ x=4, v=256 (doğrusu 128)
   • Tanım aralığı dışındaki kökü elemeden işleme sokmak→v=0 veren sınır değeri ya da negatif taban

   Örnek

   Kenarı 12 cm olan kare kartonun dört köşesinden x×x kareler kesilip üstü açık kutu yapılıyor. Kutunun hacmi en çok kaç cm³ olur?

   V(x)=x(12−2x)², V′=(12−2x)(12−6x)=0 ⇒ x=2 (x=6 sınırda elenir); V(2)=2⋅8²=128 cm³

   Sık birleştiği konular: Türev Alma Kuralları

4. 04

   Maliyet / gelir / kâr fonksiyonunda maks–min

   OrtaSık çıkar

   Kâr, gelir veya maliyet fonksiyonu doğrudan verilir; en büyük kâr ya da en küçük maliyet istenir. Kurulum hazırdır, iş türev-doğrulama-değer hesabındadır.

   Nasıl çözülür

   1. Fonksiyonun türevini al, sıfırla: kritik üretim/satış miktarını bul.
   2. İkinci türevin işaretiyle maks mı min mi olduğunu doğrula.
   3. Kritik miktarı fonksiyonda YERİNE KOY — soru miktarı değil, en büyük/küçük DEĞERİ ister.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • K′=0 yerine K=0 çözmek (başabaş noktasıyla karıştırmak)→örnekte x=10 veya x=50 — kâr değil kök
   • Kârı en büyük yapan miktarı (x) en büyük kâr sanmak→örnekte 800 yerine 30 cevabı

   Örnek

   Bir ürünün x adet satılmasından elde edilen kâr K(x)=−2x²+120x−1000 TL'dir. En büyük kâr kaç TL'dir?

   K′(x)=−4x+120=0 ⇒ x=30; K″=−4<0 (maks); K(30)=−1800+3600−1000=800 TL

5. 05

   Kare tabanlı prizma: hacim sabit → yüzey minimum

   Orta

   Hacmi verilen kare tabanlı (çoğunlukla üstü açık) kutunun en az malzemeyle yapılması istenir. Kısıttan h çekilir, yüzey x'e bağlanır; x³=sabit denklemi çıkar.

   Nasıl çözülür

   1. Taban kenarı x, yükseklik h; hacim kısıtı x²h=V ⇒ h=V/x².
   2. Yüzeyi doğru kur: üstü açıksa A=x²+4xh; kapalıysa A=2x²+4xh — soruyu iki kez oku.
   3. h'yi yerine koy, A(x)'i tek değişkene indir; A′(x)=0'dan x³ değerini çöz.
   4. A″>0 ile minimum olduğunu doğrula; istenirse h'yi de hesapla.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Üstü açık kutuda kapak alanını da eklemek (2x² yazmak)→örnekte x³=32 ⇒ x=2∛4 — tam sayı çıkmayan değer
   • Yan yüz sayısını 4 yerine 2 almak→x³=2v'den şişkin bir x değeri

   Örnek

   Hacmi 32 birim küp olan, kare tabanlı ve üstü açık bir kutunun yüzey alanını en küçük yapan taban kenarı x kaçtır?

   h=32/x², A(x)=x²+4x⋅32/x²=x²+128/x; A′=2x−128/x²=0 ⇒ x³=64 ⇒ x=4 (h=2)

   Sık birleştiği konular: İkinci Türev, Konkavlık ve Dönüm Noktaları

6. 06

   Eğri üzerindeki noktanın bir noktaya en yakın olması

   Zor

   Eğri üzerinde, verilen bir noktaya en yakın noktanın apsisi/ordinatı ya da en kısa uzaklık istenir. Kök türevinden kaçmak için uzaklığın KARESİ minimize edilir.

   Nasıl çözülür

   1. Eğri üzerindeki nokta (x, f(x)); uzaklık karesini yaz: d²=(x−a)²+(f(x)−b)².
   2. Eğri denklemini yerine koyup d²'yi tek değişkenli polinoma indir — kök almadan çalış.
   3. (d²)′=0 çöz; ikinci türevle minimum olduğunu doğrula.
   4. İstenene dikkat: apsis mi, nokta mı, uzaklığın kendisi mi? Uzaklık istenirse EN SONDA kök al.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Eğri denklemini yerine koymayı unutup y'yi sabit gibi türevlemek→örnekte x=3 — noktanın kendi apsisi
   • d² yerine köklü d ile uğraşıp iç türevde hata yapmak→kritik nokta aynı ama işlem hatasıyla kayan değer

   Örnek

   y=√x eğrisi üzerinde A(3, 0) noktasına en yakın olan noktanın apsisi kaçtır?

   d²=(x−3)²+(√x)²=x²−5x+9; (d²)′=2x−5=0 ⇒ x=5/2; (d²)″=2>0 (min)

   Sık birleştiği konular: Türev Alma Kuralları, İkinci Türev, Konkavlık ve Dönüm Noktaları