TYT Matematik · Sayma, Olasılık ve İstatistik

Fonksiyon Sayısı

~20 dk okumaZorluk: Orta18 çözümlü soruTYT'de ~3 soru/yıl · Sınavda yüksek ağırlık

Bu sayfanın tek fikri şudur: $A$ 'dan $B$ 'ye bir fonksiyon kurmak, $A$ 'nın her elemanına $B$ 'den bir görüntü seçmek demektir. Bu yüzden fonksiyon saymak, bu seçimleri saymaktır. Bire bir, örten, artan ya da " $f (1) = 2$ olsun" gibi koşullar seçimlere yeni bir kural ekler; hangi seçimin kısıtlandığını görürsek sayım kendiliğinden kurulur.

Bu sayfadaki varsayımlar

$A$ ve $B$ sonlu, boş olmayan kümelerdir. $s (A) = m$ ve $s (B) = n$ yazacağız. " $A$ 'dan $B$ 'ye fonksiyon" ifadesinde tanım kümesi $A$ , değer kümesi $B$ 'dir; yön her soruda açıkça belirtilir.

Tanım kümesindeki her eleman tam olarak bir görüntüye gider. Değer kümesindeki bir eleman birden çok elemanın görüntüsü olabilir ya da hiçbir elemanın görüntüsü olmayabilir.

İki fonksiyon, en az bir elemanın görüntüsü farklıysa farklı sayılır.

"Artan", "azalan" ve "azalmayan" sözcükleri, elemanları sayı olan kümelerde sayıların olağan sıralamasına göre kullanılır.

Bağıntı sayısı bu sayfanın konusu değildir.

Fonksiyon, tanım kümesi, değer kümesi, bire bir ve örten kavramlarını Fonksiyon Kavramı sayfasından hatırlayabilirsin. Burada Sayma Kuralları sayfasındaki çarpma kuralını ve $k^{n}$ modelini, Dahil Etme–Hariç Tutma ilkesini ve Gruplara Ayırma ve Dağıtma sayfasındaki yöntemleri kullanacağız. Sayma konusuna temelden bakmak istersen Sayma ve Permütasyon (10. sınıf) sayfası iyi bir başlangıçtır; Maarif programında sayma, permütasyon ve kombinasyon 10. sınıfta işlenir. Bütün alt konuların haritası Permütasyon ve Kombinasyon sayfasındadır.

1. Her Eleman Bir Görüntü Seçer: s(B)^s(A)

Önce küçük bir örneği eksiksiz listeleyelim. $A = {a, b}$ ve $B = {1, 2, 3}$ olsun. Bir fonksiyon, $f (a)$ ve $f (b)$ değerleri seçilince tamamen belirlenir:

	$f (b) = 1$	$f (b) = 2$	$f (b) = 3$
$f (a) = 1$	$(1, 1)$	$(1, 2)$	$(1, 3)$
$f (a) = 2$	$(2, 1)$	$(2, 2)$	$(2, 3)$
$f (a) = 3$	$(3, 1)$	$(3, 2)$	$(3, 3)$

Tabloda her hücre bir fonksiyondur; $(f (a), f (b))$ biçiminde yazdık. Toplam $9 = 3 \cdot 3 = 3^{2}$ fonksiyon var. $a$ elemanı $3$ görüntüden birini seçer, $b$ elemanı da bu seçimden bağımsız olarak yine $3$ görüntüden birini seçer. Çarpma kuralı $3 \cdot 3$ verir.

Genel durumda $A$ 'nın $m$ elemanının her biri $n$ seçenekten birini seçer:

$A’dan B’ye fonksiyon say ı s ı = m eleman n \cdot n \dots n = n^{m} = s (B)^{s (A)}$

Şekil 1 —

A = {a, b, c}

kümesinin her elemanı

B = {1, 2, 3, 4}

kümesinden bir görüntü seçer. Gri çizgiler bütün seçenekleri, kırmızı oklar bunlardan birini (

f (a) = 2

f (b) = 2

f (c) = 4

) gösterir. Her elemanın

4

seçeneği olduğundan

4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^{3} = 64

fonksiyon vardır.

Bu sayım, Sayma Kuralları sayfasındaki "mektuplar kutulara atılıyor" modelinin aynısıdır: mektuplar tanım kümesinin elemanları, kutular değer kümesinin elemanlarıdır. Orada sorduğumuz "karar veren kim?" sorusunun cevabı burada hep aynıdır: karar veren, tanım kümesinin elemanlarıdır.

Fonksiyon olmayan eşlemeler: Bir elemanı görüntüsüz bırakan ya da bir elemana iki görüntü veren eşleme fonksiyon değildir. Bu yüzden sayımda tanım kümesindeki her elemanın seçimi çarpıma girmelidir. Koşullu sorularda koşulsuz kalan elemanları unutmak bu konudaki en yaygın hatalardan biridir.

2. Yön Tuzağı: A'dan B'ye mi, B'den A'ya mı?

Üs, seçim yapanların sayısıdır; seçim yapanlar da tanım kümesinin elemanlarıdır. Taban, seçenek sayısı, yani değer kümesinin eleman sayısıdır.

Yön	Seçim yapan	Seçenek sayısı	Sayı
$A$ 'dan $B$ 'ye	$A$ 'nın $m$ elemanı	$n$	$n^{m}$
$B$ 'den $A$ 'ya	$B$ 'nin $n$ elemanı	$m$	$m^{n}$

$m \neq = n$ ise bu iki sayı genellikle farklıdır. Yukarıdaki listede $A = {a, b}$ 'den $B = {1, 2, 3}$ 'e $3^{2} = 9$ fonksiyon vardı. Ters yönde $B$ 'nin üç elemanının her biri $a$ ya da $b$ 'yi seçer: $2^{3} = 8$ fonksiyon. Üssü ters yazan öğrenci $A$ 'dan $B$ 'ye sayımda $8$ bulur; oysa tabloda tam $9$ hücre vardır.

3. Sabit ve Sabit Olmayan Fonksiyonlar

Tanım kümesinin bütün elemanlarını aynı görüntüye gönderen fonksiyona sabit fonksiyon denir. Sabit fonksiyonu belirlemek için yalnızca o ortak görüntüyü seçmek yeterlidir:

$A’dan B’ye sabit fonksiyon say ı s ı = n = s (B)$

"Sabit olmayan" fonksiyonları doğrudan saymak zordur: en az iki farklı görüntü kullanılmalıdır ve bunun pek çok biçimi vardır. Tümleyen yolu çok daha kısadır:

$sabit olmayan fonksiyon say ı s ı = n^{m} - n$

Listelediğimiz $9$ fonksiyondan sabit olanlar köşegendeki $(1, 1)$ , $(2, 2)$ , $(3, 3)$ 'tür. Sabit olmayan $9 - 3 = 6$ fonksiyon kalır.

4. Bire Bir Fonksiyon Sayısı: P(n, m)

Bire bir fonksiyonda tanım kümesinin farklı elemanları farklı görüntülere gider. Bu kez seçimler birbirini etkiler: bir görüntü kullanıldıktan sonra sonraki elemanlar onu seçemez.

Listemize dönelim: $A = {a, b}$ , $B = {1, 2, 3}$ . Bire bir olanlar köşegen dışındaki altı hücredir: $(1, 2)$ , $(1, 3)$ , $(2, 1)$ , $(2, 3)$ , $(3, 1)$ , $(3, 2)$ . Çarpma kuralıyla: $a$ için $3$ seçenek, $b$ için $a$ 'nın görüntüsü dışında kalan $2$ seçenek, toplam $3 \cdot 2 = 6$ .

$A’dan B’ye bire bir fonksiyon say ı s ı = n \cdot (n - 1) \dots (n - m + 1) = P (n, m) = \frac{n !}{( n - m )!} (m \leq n)$

Neden kombinasyon değil? $(1, 2)$ ile $(2, 1)$ aynı görüntü kümesini, yani ${1, 2}$ 'yi kullanır; ama ilkinde $f (a) = 1$ , ikincisinde $f (a) = 2$ 'dir. Bunlar iki ayrı fonksiyondur. Hangi elemanın hangi görüntüye gittiği önemli olduğundan sıralı seçim yaparız. $C (3, 2) = 3$ yazmak, bu altı fonksiyonun yarısını kaybetmek demektir.

$m > n$ ise bire bir fonksiyon yoktur. Tanım kümesindeki $m$ elemana, $n$ görüntü arasından birbirinden farklı görüntüler verilemez; en az iki eleman aynı görüntüyü paylaşmak zorunda kalır. Bu durumda bire bir fonksiyon sayısı $0$ 'dır. (Bu, Dahil Etme–Hariç Tutma sayfasındaki güvercin yuvası ilkesinin en basit hâlidir.)

5. Bire Bir ve Örten: n Elemandan n Elemana n!

$s (A) = s (B) = n$ ise bire bir her fonksiyon aynı zamanda örtendir: $n$ farklı görüntü kullanılır ve değer kümesinde de tam $n$ eleman vardır. Tersine, bu durumda örten her fonksiyon da bire birdir: $n$ elemanın $n$ görüntünün hepsine ulaşması için hiçbir görüntünün iki kez kullanılmaması gerekir. $n$ elemanlı bir kümeden $n$ elemanlı bir kümeye tanımlanan bire bir ve örten fonksiyonların sayısı şudur:

$P (n, n) = n!$

Örneğin $A = {1, 2, 3}$ 'ten kendisine bire bir ve örten fonksiyon sayısı $3! = 6$ 'dır. Bu fonksiyonlar, $1, 2, 3$ sayılarının altı farklı sıralanışına karşılık gelir.

6. Koşullu Fonksiyonlar: Sabit Değer, f(a) ≠ a, Tek–Çift Koşulu

Koşullu sorularda yöntem hep aynıdır: her eleman için kaç seçenek kaldığını yaz ve çarp. Koşulun bağladığı elemanları önce, serbest elemanları sonra yerleştir.

Koşul	Etkilenen elemanın seçenek sayısı	Not
$f (1) = 2$	$1$	Diğer elemanlar serbest kalır
$f (1) \in K$ ( $K \subseteq B$ )	$s (K)$	Görüntü bir alt kümeyle sınırlı
Her $a$ için $f (a) \neq = a$ ( $A = B$ )	$n - 1$ (her eleman için)	Sonuç $(n - 1)^{n}$
$f (1) \neq = f (2)$	$f (1)$ için $n$ , $f (2)$ için $n - 1$	Tümleyen: $n^{m} - n^{m - 1}$
$f (1) + f (2)$ çift	Tek–tek ya da çift–çift	İki durum toplanır

Tablodaki bazı satırları ve benzer bir koşulu kısaca açıklayalım:

Her $a$ için $f (a) \neq = a$ : $A = B = {1, 2, 3}$ olsun. $f (1)$ , $1$ dışındaki iki değerden birini; $f (2)$ , $2$ dışındaki iki değerden birini; $f (3)$ de $3$ dışındaki iki değerden birini seçer. Toplam $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ fonksiyon vardır. Burada fonksiyon bire bir olmak zorunda değildir; örneğin $f (1) = 2$ , $f (2) = 1$ , $f (3) = 1$ de sayılır.
$f (1) \neq = f (2)$ : Tümleyen olayda $f (1) = f (2)$ 'dir. Bu ikiliye ortak bir görüntü seçmek $n$ yolla yapılır; diğer $m - 2$ elemanın her biri serbesttir. Tümleyende $n \cdot n^{m - 2} = n^{m - 1}$ fonksiyon olduğundan istenen sayı $n^{m} - n^{m - 1}$ olur.
$f (1) + f (2)$ çift: İki tam sayının toplamı ancak ikisi de tek ya da ikisi de çiftse çifttir. $B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ için $(f (1), f (2))$ ikilisi tek–tek olarak $3 \cdot 3 = 9$ , çift–çift olarak $3 \cdot 3 = 9$ yolla seçilir; toplam $18$ ikili vardır. Diğer elemanlar yine serbesttir.
$f (x) \geq x$ türü koşullar: Küçük kümelerde her eleman için uygun görüntüleri tek tek yaz. $A = B = {1, 2, 3}$ ise $f (1) \geq 1$ için $3$ , $f (2) \geq 2$ için $2$ , $f (3) \geq 3$ için $1$ seçenek vardır; toplam $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ .

7. Kesin Artan Fonksiyonlar: C(n, m)

$A = {1, 2}$ ve $B = {1, 2, 3, 4}$ olsun. $f (1) < f (2)$ olan fonksiyonları listeleyelim:

$(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)$

Altı fonksiyon var. Bu sayı $C (4, 2) = 6$ 'ya eşittir ve bu bir rastlantı değildir. Kesin artan bir fonksiyonda görüntüler birbirinden farklıdır, üstelik sıraları da önceden bellidir: en küçük görüntü $f (1)$ 'e, bir sonraki $f (2)$ 'ye gider. Dolayısıyla yalnızca hangi görüntülerin kullanılacağını seçmek yeterlidir; yerleştirme tek biçimde yapılır.

$A’dan B’ye kesin artan fonksiyon say ı s ı = C (n, m) = (m n)$

Kesin azalan fonksiyonlar için de aynı sayı geçerlidir: seçilen görüntüler bu kez büyükten küçüğe yerleştirilir, yine tek bir yol vardır. Bire bir fonksiyon sayısı $P (n, m) = C (n, m) \cdot m!$ olduğundan, her görüntü kümesinin $m!$ yerleştirmesinden yalnız biri kesin artandır.

8. Azalmayan Fonksiyonlar: Tekrarlı Seçim (Derinleştirme)

Azalmayan fonksiyonda $f (1) \leq f (2) \leq \dots$ olur; yani eşit görüntülere izin verilir. Bu, kesin artandan farklı bir sayımdır. $A = {1, 2}$ , $B = {1, 2, 3}$ için listeleyelim:

$(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)$

Altı fonksiyon var; kesin artan olanlar ise yalnızca $(1, 2)$ , $(1, 3)$ , $(2, 3)$ 'tür.

Azalmayan bir fonksiyon, $B$ 'nin her elemanının kaç kez görüntü olarak kullanıldığı bilinince tamamen belirlenir; sıralama zaten bellidir. $B$ 'nin elemanlarının kullanılma sayıları $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ ise

$x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} = m, x_{i} \geq 0$

denkleminin her doğal sayı çözümü bir azalmayan fonksiyona karşılık gelir. Bu denklemin çözüm sayısı Gruplara Ayırma ve Dağıtma sayfasındaki çubuk–yıldız yöntemiyle bulunur:

$A’dan B’ye azalmayan fonksiyon say ı s ı = C (m + n - 1, m)$

Gruplara Ayırma sayfasındaki $C (m + n - 1, n - 1)$ yazımı da aynı sayıdır, çünkü $C (r, k) = C (r, r - k)$ . Listemizde $m = 2$ , $n = 3$ için $C (4, 2) = 6$ çıkar.

9. Örten Fonksiyon: Gruplayarak Say

Örten fonksiyonda değer kümesinin her elemanı en az bir kez görüntü olur.

$s (A) < s (B)$ ise örten fonksiyon yoktur. $m$ eleman en çok $m$ farklı görüntü üretir; $m < n$ ise değer kümesinin en az bir elemanı görüntü olmadan kalır.

İki elemanlı değer kümesi. $B = {x, y}$ ise $2^{m}$ fonksiyondan yalnız ikisi örten değildir: hepsini $x$ 'e gönderen ve hepsini $y$ 'ye gönderen sabit fonksiyonlar. Bu yüzden örten fonksiyon sayısı $2^{m} - 2$ 'dir. $m = 3$ için $2^{3} - 2 = 6$ olur.

Üç elemanlı değer kümesi: gruplama. Örten bir fonksiyon, tanım kümesini boş olmayan üç bloğa ayırır (aynı görüntüye gidenler bir blok oluşturur) ve bu blokları $B$ 'nin üç elemanıyla eşler. $A = {1, 2, 3, 4}$ 'ten $B = {a, b, c}$ 'ye dört eleman üç bloğa ancak $2$ - $1$ - $1$ biçiminde ayrılabilir:

Aynı görüntüyü paylaşacak ikiliyi seç: $C (4, 2) = 6$ .
Oluşan üç bloğu (ikili ve iki tekli) $a$ , $b$ , $c$ 'ye eşle: $3! = 6$ .

Toplam $6 \cdot 6 = 36$ örten fonksiyon vardır.

Şekil 2 — Dört elemandan üç elemana örten fonksiyonun gruplanarak sayılması. Önce aynı görüntüyü paylaşacak ikili seçilir (

C (4, 2) = 6

yol), sonra üç blok

a

b

c

'ye eşlenir (

3! = 6

yol). Toplam

36

Eşit büyüklükteki bloklar. Aynı büyüklükte iki blok varsa, bloklar sırayla seçildiğinde sonuç bölünmelidir; çünkü hangi bloğun önce seçildiğinin bir önemi yoktur. $A = {1, 2, 3, 4}$ 'ten ${x, y}$ 'ye örten fonksiyonları desenlere ayırarak sayalım:

$3$ - $1$ deseni: üçlü blok $C (4, 3) = 4$ yolla seçilir, iki blok $x$ ve $y$ 'ye $2!$ yolla eşlenir: $4 \cdot 2 = 8$ .
$2$ - $2$ deseni: önce bir ikili, sonra kalan ikili seçilirse $C (4, 2) \cdot C (2, 2) = 6$ bulunur. Ama ${1, 2}, {3, 4}$ ayrımı ile ${3, 4}, {1, 2}$ ayrımı aynı ayrımdır; her ayrım iki kez sayılmıştır. Doğru blok sayısı $\frac{6}{2 !} = 3$ 'tür. Bloklar $x$ ve $y$ 'ye $2!$ yolla eşlenir: $3 \cdot 2 = 6$ .

Toplam $8 + 6 = 14 = 2^{4} - 2$ . İki yöntem aynı sonucu verdi; $2!$ 'ye bölmeseydik $20$ bulurduk.

Aynı sayım, farklı bir dil. " $4$ farklı topu $3$ farklı kutuya, hiçbir kutu boş kalmayacak biçimde yerleştir" sorusu da tam olarak örten fonksiyon sayısını sorar: toplar tanım kümesi, kutular değer kümesidir; "hiçbir kutu boş değil" ise "her kutu bir görüntüdür" demektir. Cevap yine $36$ 'dır.

"Önce her kutuya bir top koy" neden yanlış? Sık görülen bir yol şudur: "Önce her kutuya bir top koyalım, $P (4, 3) = 24$ yol; kalan topu üç kutudan birine atalım, $3$ yol; toplam $72$ ." Bu sayı doğru cevabın tam iki katıdır. Sebep Şekil 3'te görülüyor: $K_{1}$ 'de iki top bulunan her dağılımda, o iki toptan hangisinin "ilk turda" konulduğu seçilebilir. Aynı son dağılıma iki farklı yoldan ulaşılır ve yöntem bunu iki kez sayar.

Şekil 3 — Yol 1'de ilk turda

1

, sonra

4

numaralı top

K_{1}

'e konuyor; Yol 2'de sıra tersine dönüyor. Son dağılım (

K_{1} = {1, 4}

K_{2} = {2}

K_{3} = {3}

) aynıdır. Bu yüzden "önce her kutuya bir top" yöntemi her dağılımı iki kez sayar:

72 = 2 \cdot 36

Dikkat: Özdeş toplarda "önce her kutuya bir top koy" yöntemi doğrudur; çünkü özdeş toplarda hangi topun ilk turda konduğu ayırt edilemez. Toplar farklı olduğunda bu yöntem çift sayar. Özdeş nesnelerin dağıtımı Gruplara Ayırma ve Dağıtma sayfasındadır.

10. Örten Fonksiyon: Dahil Etme–Hariç Tutma ile Doğrula

Aynı $36$ 'yı tümleyen yoluyla da bulalım. $A = {1, 2, 3, 4}$ 'ten $B = {a, b, c}$ 'ye toplam $3^{4} = 81$ fonksiyon vardır. Örten olmayanlar, en az bir değeri hiç kullanmayanlardır.

$a$ 'yı kullanmayan fonksiyonlar her elemanı ${b, c}$ 'ye gönderir: $2^{4} = 16$ . $b$ ya da $c$ için de durum aynıdır. İlk tahmin: $3 \cdot 16 = 48$ örten olmayan fonksiyon.
Ama bu sayımda bazı fonksiyonlar iki kez çıkarıldı. Örneğin her şeyi $c$ 'ye gönderen sabit fonksiyon hem " $a$ 'yı kullanmayanlar" hem " $b$ 'yi kullanmayanlar" arasında sayıldı. Bu türden $3$ sabit fonksiyon vardır ve her biri bir kez geri eklenmelidir.

$3^{4} - 3 \cdot 2^{4} + 3 \cdot 1^{4} = 81 - 48 + 3 = 36$

Gruplama ile aynı sonuç çıktı. Düzeltme terimini ( $+ 3$ ) unutan öğrenci $33$ bulur. Üç elemanlı değer kümesine örten fonksiyon sayısı genel olarak şöyledir:

$3^{m} - 3 \cdot 2^{m} + 3$

Örneğin $m = 6$ için $3^{6} - 3 \cdot 2^{6} + 3 = 729 - 192 + 3 = 540$ bulunur.

Kapsam notu: Değer kümesi üçten fazla elemanlı olduğunda örten fonksiyonlar bu sayfada ele alınmaz. İki ya da üç elemanlı değer kümesinde gruplama ile dahil etme–hariç tutma birbirini denetlemek için yeterlidir.

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$s (A) = 2$ ve $s (B) = 5$ olmak üzere,

a) $A$ 'dan $B$ 'ye kaç fonksiyon tanımlanabilir?

b) $B$ 'den $A$ 'ya kaç fonksiyon tanımlanabilir?

Üs, seçim yapan elemanların sayısıdır. Seçim yapanlar her zaman tanım kümesinin elemanlarıdır.

a) Tanım kümesi $A$ 'dır; $A$ 'nın $2$ elemanının her biri $B$ 'nin $5$ elemanından birini seçer: $5 \cdot 5 = 5^{2} = 25$ .
b) Tanım kümesi bu kez $B$ 'dir; $B$ 'nin $5$ elemanının her biri $A$ 'nın $2$ elemanından birini seçer: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{5} = 32$ .
Yaygın hata: a şıkkına $2^{5} = 32$ yazmak, yani üssü ters kurmak. Daha küçük bir örnekte dene: $A = {a, b}$ 'den $B = {1, 2, 3}$ 'e. Bölüm 1'deki tabloda tam $9 = 3^{2}$ fonksiyon var, $2^{3} = 8$ değil.
Denetim: İki yönün sonuçları farklıdır ( $25 \neq = 32$ ); yön önemlidir. a şıkkında $A$ 'nın birinci elemanının görüntüsü için $5$ satır, ikinci elemanının görüntüsü için $5$ sütun açan bir tablo, Bölüm 1'deki gibi $25$ hücre verir.

Sonuç: a)

25

32

Örnek

Soru

$s (A) = 3$ ve $s (B) = 6$ olmak üzere,

a) $A$ 'dan $B$ 'ye kaç bire bir fonksiyon tanımlanabilir?

b) $B$ 'den $A$ 'ya kaç bire bir fonksiyon tanımlanabilir?

a) $A$ 'nın elemanlarına sırayla görüntü seçelim. Birinci eleman $6$ görüntüden birini, ikinci eleman kalan $5$ görüntüden birini, üçüncü eleman kalan $4$ görüntüden birini seçer: $6 \cdot 5 \cdot 4 = P (6, 3) = 120$ .
Yaygın hata: $C (6, 3) = 20$ yazmak. Kombinasyon yalnızca hangi görüntülerin kullanıldığını sayar, hangi elemanın hangi görüntüye gittiğini saymaz. Küçük bir karşı örnek: $A = {a, b}$ 'den ${1, 2}$ 'ye " $f (a) = 1, f (b) = 2$ " ve " $f (a) = 2, f (b) = 1$ " iki ayrı bire bir fonksiyondur; oysa $C (2, 2) = 1$ 'dir. Doğrusu $P (2, 2) = 2$ 'dir.
b) Tanım kümesi bu kez $6$ elemanlı $B$ , değer kümesi $3$ elemanlı $A$ 'dır. $B$ 'nin $6$ elemanına birbirinden farklı görüntü vermek için en az $6$ farklı görüntü gerekir; $A$ 'da yalnızca $3$ eleman vardır. Dördüncü eleman, ilk üçünün kullandığı bir görüntüyü tekrar kullanmak zorunda kalır. Bu yüzden bire bir fonksiyon yoktur: $0$ .
Yaygın hata: b şıkkına da $P (6, 3) = 120$ yazmak. Bire bir fonksiyon ancak $s (tan ı m k \overset{u}{¨} mesi) \leq s (de \overset{g}{˘} er k \overset{u}{¨} mesi)$ ise vardır.
Denetim: $120 = C (6, 3) \cdot 3! = 20 \cdot 6$ . Her görüntü kümesi $3$ elemana $3!$ biçimde dağıtılır; kombinasyon cevabı bu yüzden $6$ kat küçük çıkar.

Sonuç: a)

120

0

Örnek

Soru

$A = {1, 2, 3, 4}$ ve $B = {1, 2, 3, 4, 5}$ olmak üzere, $A$ 'dan $B$ 'ye tanımlı $f$ fonksiyonlarından kaç tanesinde $f (1) = 2$ ve $f (2)$ tek sayıdır?

Koşul yalnız $f (1)$ ve $f (2)$ 'yi bağlar. $f (3)$ ve $f (4)$ da birer görüntü seçmek zorundadır.

$f (1) = 2$ olduğundan $f (1)$ için $1$ seçenek vardır.
$f (2)$ tek olmalı: $B$ 'deki tek sayılar $1$ , $3$ , $5$ 'tir. $f (2)$ için $3$ seçenek vardır.
$f (3)$ ve $f (4)$ için koşul yoktur; her biri $5$ seçenekten birini seçer.
Çarpma kuralı: $1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 75$ .
Yaygın hata: Yalnız koşullu elemanları sayıp $1 \cdot 3 = 3$ bulmak. Bu, $3$ ve $4$ elemanlarını görüntüsüz bırakmak demektir; görüntüsüz eleman bırakan bir eşleme fonksiyon değildir.
Denetim: Koşulsuz toplam $5^{4} = 625$ 'tir. Bu fonksiyonların $\frac{1}{5}$ 'inde $f (1) = 2$ 'dir; bunların da $\frac{3}{5}$ 'inde $f (2)$ tektir, çünkü iki koşul farklı elemanları bağlar: $625 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{5} = 75$ .

Sonuç:

75

Örnek

Soru

$A = {1, 2, 3}$ ve $B = {1, 2, 3, 4}$ olmak üzere, $A$ 'dan $B$ 'ye tanımlı fonksiyonlardan

a) kaç tanesi sabit fonksiyon değildir?

b) kaç tanesi için $f (1) \neq = f (2)$ olur?

İki şıkta da "olmayanı" saymak kolaydır: sabit fonksiyonları ve $f (1) = f (2)$ olanları say, toplamdan çıkar.

Toplam fonksiyon sayısı $4^{3} = 64$ 'tür.
a) Sabit fonksiyon, üç elemanı da aynı görüntüye gönderir; ortak görüntü $4$ yolla seçilir. Sabit olmayan fonksiyon sayısı $64 - 4 = 60$ 'tır.
b) Tümleyen yolu: $f (1) = f (2)$ olanları sayalım. Ortak görüntü $4$ yolla, $f (3)$ de $4$ yolla seçilir: $4 \cdot 4 = 16$ . İstenen: $64 - 16 = 48$ .
b) Doğrudan yol: $f (1)$ için $4$ , $f (2)$ için $f (1)$ 'den farklı $3$ , $f (3)$ için yine serbest $4$ seçenek vardır: $4 \cdot 3 \cdot 4 = 48$ . İki yol aynı sonucu verdi.
Dikkat: b şıkkında fonksiyon bire bir olmak zorunda değildir; yalnızca $f (1)$ ile $f (2)$ farklıdır. $f (3)$ , $f (1)$ ya da $f (2)$ ile aynı olabilir. Bu yüzden cevap $P (4, 3) = 24$ değildir.
Denetim: $48 < 60 < 64$ olmalıdır, çünkü $f (1) \neq = f (2)$ olan her fonksiyon sabit olmayan bir fonksiyondur; tersi doğru değildir. Örneğin $f (1) = f (2) = 1$ , $f (3) = 2$ sabit değildir ama b koşulunu sağlamaz.

Sonuç: a)

60

48

Örnek

Soru

$A = {1, 2, 3}$ ve $B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ olmak üzere, $A$ 'dan $B$ 'ye tanımlı fonksiyonlardan

a) kaç tanesi için $f (1) < f (2) < f (3)$ olur?

b) kaç tanesi için $f (1) \leq f (2) \leq f (3)$ olur?

a şıkkında görüntüler farklı ve sıraları belli; yalnız hangi üç görüntünün kullanılacağını seç. b şıkkında eşitliğe izin var; her değerin kaç kez kullanıldığını düşün.

a) Kesin artan fonksiyonda üç görüntü birbirinden farklıdır. $B$ 'den üç sayı seçildiğinde bunları $f (1) < f (2) < f (3)$ olacak biçimde yerleştirmenin tek yolu vardır: en küçüğü $f (1)$ 'e, ortancayı $f (2)$ 'ye, en büyüğü $f (3)$ 'e. Sayı: $C (6, 3) = 20$ .
b) Bu kez eşit görüntülere izin var; örneğin $(2, 2, 5)$ ve $(4, 4, 4)$ de sayılır. $B$ 'nin altı elemanının kullanılma sayıları $x_{1}, \dots, x_{6}$ olsun. Her azalmayan fonksiyon $x_{1} + x_{2} + \dots + x_{6} = 3$ , $x_{i} \geq 0$ denkleminin bir çözümüne karşılık gelir. Çubuk–yıldız ile çözüm sayısı $C (3 + 6 - 1, 3) = C (8, 3) = 56$ 'dır.
İkinci yol (durumlara ayırma): Üç görüntünün farklı olduğu durumlar a şıkkındaki $20$ fonksiyondur. Tam iki görüntünün eşit olduğu durumlarda kullanılan iki farklı değer $C (6, 2) = 15$ yolla seçilir ve hangisinin iki kez kullanılacağı $2$ yolla belirlenir: $15 \cdot 2 = 30$ . Üçünün eşit olduğu durumlar sabit fonksiyonlardır: $6$ . Toplam $20 + 30 + 6 = 56$ .
Yaygın hata: b şıkkına da $C (6, 3) = 20$ yazmak. Kesin artan ile azalmayan farklı koşullardır; azalmayanda eşit görüntülere izin verildiği için sayı daha büyüktür.
Denetim (küçük örnek): $A = {1, 2}$ , $B = {1, 2, 3}$ için formül $C (4, 2) = 6$ verir ve Bölüm 8'deki listede tam altı fonksiyon vardır.

Sonuç: a)

20

56

Örnek

Soru

Birbirinden farklı $5$ kitap Ayşe, Burak ve Ceren'e dağıtılacaktır. Kitapların tamamı dağıtılacak ve her öğrenci en az bir kitap alacaktır. Bu dağıtım kaç farklı biçimde yapılabilir?

Her kitap bir öğrenci "seçer": bu, kitaplardan öğrencilere bir fonksiyondur. "Her öğrenci en az bir kitap alır" koşulu fonksiyonun örten olması demektir.

Model: Kitaplar tanım kümesi ( $5$ eleman), öğrenciler değer kümesi ( $3$ eleman). İstenen, $5$ elemanlı kümeden $3$ elemanlı kümeye örten fonksiyon sayısıdır.
Desenler: $5$ kitap boş olmayan üç bloğa ancak $3$ - $1$ - $1$ ya da $2$ - $2$ - $1$ biçiminde ayrılır.
$3$ - $1$ - $1$ deseni: Üçlü blok $C (5, 3) = 10$ yolla seçilir; kalan iki kitap zaten birer kitaplık iki blok oluşturur. Üç blok üç öğrenciye $3! = 6$ yolla verilir: $10 \cdot 6 = 60$ .
$2$ - $2$ - $1$ deseni: Tek kalacak kitap $5$ yolla seçilir. Kalan $4$ kitap iki ikiliye $\frac{C ( 4 , 2 ) \cdot C ( 2 , 2 )}{2 !} = \frac{6}{2} = 3$ yolla ayrılır; iki ikili aynı büyüklükte olduğu için $2!$ 'ye bölünür. Bloklar öğrencilere $3! = 6$ yolla verilir: $5 \cdot 3 \cdot 6 = 90$ .
Toplam: $60 + 90 = 150$ .
Dahil etme–hariç tutma ile denetim: Toplam $3^{5} = 243$ dağıtım var. Bir öğrencinin kitapsız kaldığı dağıtımlar $3 \cdot 2^{5} = 96$ ; iki öğrencinin kitapsız kaldığı (bütün kitapların tek öğrenciye gittiği) $3$ dağıtım iki kez çıkarıldığı için geri eklenir: $243 - 96 + 3 = 150$ . İki yöntem aynı sonucu verdi.
Yaygın hatalar:
- $2$ - $2$ - $1$ deseninde $2!$ 'ye bölmeyi unutmak: o desen $180$ , toplam $240$ çıkar.
- Dahil etme–hariç tutmada $+ 3$ düzeltmesini unutmak: $243 - 96 = 147$ .
- "Önce her öğrenciye birer kitap ver ( $P (5, 3) = 60$ ), kalan iki kitabı serbestçe dağıt ( $3^{2} = 9$ )" demek: $540$ . Bölüm 9'daki Şekil 3'te görüldüğü gibi aynı dağılım birden çok yoldan elde edilir ve bu yöntem onu tekrar tekrar sayar.

Sonuç:

150

Örnek

Soru

$A = {1, 2, 3, 4, 5}$ ve $B = {a, b, c}$ olmak üzere, $A$ 'dan $B$ 'ye tanımlı örten fonksiyonlardan kaç tanesi için $f (1) = a$ olur?

$f (1) = a$ sabitlendi. Geriye $2, 3, 4, 5$ elemanları kalıyor. Fonksiyonun örten olması için hangi değerlerin hâlâ kullanılması gerekiyor? $a$ yeniden kullanılabilir mi?

$f (1) = a$ olduğundan $a$ zaten görüntü kümesindedir. Fonksiyonun örten olması için ${2, 3, 4, 5}$ elemanlarının görüntüleri arasında $b$ ve $c$ mutlaka bulunmalıdır. $a$ ise bu elemanlar için de serbest bir seçenektir.
Tümleyen ile: ${2, 3, 4, 5}$ 'ten ${a, b, c}$ 'ye $3^{4} = 81$ fonksiyon var. $b$ 'yi kullanmayanlar $2^{4} = 16$ , $c$ 'yi kullanmayanlar $2^{4} = 16$ . İkisini de kullanmayanlar (hepsini $a$ 'ya gönderen) $1$ tanedir ve iki kez çıkarılmıştır: $81 - 16 - 16 + 1 = 50$ .
Durumlara ayırarak (ikinci yol): ${2, 3, 4, 5}$ 'in görüntü kümesi ya ${b, c}$ ya da ${a, b, c}$ olabilir.
- Görüntü kümesi tam olarak ${b, c}$ : dört elemandan iki elemanlı kümeye örten fonksiyon, $2^{4} - 2 = 14$ .
- Görüntü kümesi ${a, b, c}$ : dört elemandan üç elemanlı kümeye örten fonksiyon, Bölüm 9'daki gibi $36$ .
Toplam: $14 + 36 = 50$ .
Yaygın hatalar:
- $a$ 'nın yeniden kullanılabileceğini unutup yalnız birinci durumu saymak: $14$ .
- Kalan dört elemanın da ${a, b, c}$ 'ye örten olması gerektiğini sanıp yalnız ikinci durumu saymak: $36$ .
Denetim: $5$ elemandan $3$ elemana $150$ örten fonksiyon vardır (Örnek 6). $B$ 'nin elemanlarının adlarını değiştirmek örten bir fonksiyonu yine örten bir fonksiyona dönüştürdüğünden $f (1) = a$ , $f (1) = b$ ve $f (1) = c$ olan örten fonksiyonların sayıları eşittir; $\frac{150}{3} = 50$ . Sonuç tutuyor.

Sonuç:

50

Örnek

Soru

$s (A) = 3$ olmak üzere, $A$ 'dan $B$ 'ye tanımlanabilen bire bir fonksiyonların sayısı $210$ 'dur. Buna göre $A$ 'dan $B$ 'ye tanımlanabilen sabit olmayan fonksiyonların sayısı kaçtır?

Önce $s (B) = n$ için bire bir fonksiyon sayısını $n$ cinsinden yaz ve $210$ 'a eşitle.

$s (B) = n$ olsun. $A$ 'nın üç elemanına farklı görüntüler seçmenin sayısı $P (n, 3) = n (n - 1) (n - 2)$ 'dir.
$n (n - 1) (n - 2) = 210$ denkleminin sol tarafı ardışık üç tam sayının çarpımıdır. $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 7 \cdot 6 \cdot 5$ olduğundan $n = 7$ bulunur. ( $6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ ve $8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$ olduğundan başka çözüm yoktur; çarpım $n$ büyüdükçe artar.)
$A$ 'dan $B$ 'ye fonksiyon sayısı $7^{3} = 343$ , sabit fonksiyon sayısı $7$ 'dir.
Sabit olmayan fonksiyon sayısı: $343 - 7 = 336$ .
Yaygın hata: Bire bir fonksiyon sayısını $C (n, 3)$ ile kurmak. $C (10, 3) = 120$ , $C (11, 3) = 165$ , $C (12, 3) = 220$ olduğundan $C (n, 3) = 210$ denkleminin doğal sayı çözümü bile yoktur. Denklemin çözümsüz çıkması, modelin yanlış kurulduğunu gösterir.
Denetim: $n = 7$ için $7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$ . Ayrıca sonuç $343$ 'ten küçük olmalıdır: $336 < 343$ .

Sonuç:

336

Pekiştirme Soruları

Konuyu pekiştirmek için hazırlanmış özgün sorular.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

A = {a, b, c, d, e}

olmak üzere,

A

'dan

A

'ya tanımlanabilen bire bir ve örten fonksiyonların sayısı kaçtır?

Tanım kümesi ile değer kümesi aynı ve $5$ elemanlıdır. Bu durumda bire bir her fonksiyon aynı zamanda örtendir; bire bir fonksiyonları saymak yeterlidir.
$a$ için $5$ , $b$ için kalan $4$ , $c$ için $3$ , $d$ için $2$ , $e$ için $1$ seçenek vardır.
Çarpma kuralı: $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5! = 120$ .
Dikkat: $5^{5} = 3125$ bütün fonksiyonların sayısıdır; bire bir olma koşulu orada kullanılmaz. $3125 - 5 = 3120$ ise sabit olmayan fonksiyonların sayısıdır.

Sonuç:

120

Soru 2Kolay

s (B) = 3

olmak üzere,

A

'dan

B

'ye tanımlanabilen fonksiyonların sayısı

81

'dir. Buna göre

A

'dan

B

'ye tanımlanabilen bire bir fonksiyonların sayısı kaçtır?

$s (A) = m$ olsun. $A$ 'dan $B$ 'ye fonksiyon sayısı $s (B)^{s (A)} = 3^{m}$ 'dir.
$3^{m} = 81 = 3^{4}$ olduğundan $m = 4$ bulunur.
Bire bir fonksiyonda $A$ 'nın $4$ elemanının görüntüleri birbirinden farklı olmalıdır. $B$ 'de yalnızca $3$ eleman vardır; dördüncü eleman ilk üçünden birinin görüntüsünü kullanmak zorundadır.
Bu yüzden $A$ 'dan $B$ 'ye bire bir fonksiyon yoktur: $0$ .
Dikkat: $P (4, 3) = 24$ , $B$ 'den $A$ 'ya bire bir fonksiyon sayısıdır; yön ters kurulmuş olur.

Sonuç:

0

Soru 3Kolay

A = {1, 2, 3, 4}

olmak üzere,

A

'dan

A

'ya tanımlı

f

fonksiyonlarından kaç tanesinde her

x \in A

için

f (x) \neq = x

olur?

Her eleman yalnızca kendisini görüntü olarak seçemez: $f (1) \in {2, 3, 4}$ , $f (2) \in {1, 3, 4}$ , $f (3) \in {1, 2, 4}$ , $f (4) \in {1, 2, 3}$ .
Her elemanın $3$ seçeneği vardır ve seçimler birbirini etkilemez.
Çarpma kuralı: $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^{4} = 81$ .
Dikkat: Fonksiyonun bire bir olması istenmiyor; örneğin $f (1) = f (2) = 3$ olabilir. Bire bir olsaydı $9$ (düzensiz permütasyon) bulunurdu. Üssü ters kurup $4^{3} = 64$ yazmak da yanlıştır: üs, seçim yapan eleman sayısı olan $4$ 'tür. $3 \cdot 4 = 12$ yazan, aynı $3$ seçeneğin dört kez çarpılması gerektiğini atlamış olur. $4! = 24$ ise koşulsuz bire bir fonksiyonların sayısıdır.

Sonuç:

81

Soru 4Orta

Birbirinden farklı

5

oyuncak, Ali ve Can adlı iki kardeşe dağıtılacaktır. Oyuncakların tamamı dağıtılacak ve her kardeş en az bir oyuncak alacaktır. Bu dağıtım kaç farklı biçimde yapılabilir?

Her oyuncak bir kardeşi "seçer": bu, $5$ elemanlı oyuncak kümesinden ${Ali, Can}$ kümesine bir fonksiyondur. "Her kardeş en az bir oyuncak alır" koşulu, fonksiyonun örten olması demektir.
Bütün dağıtımlar: $2^{5} = 32$ .
Örten olmayanlar, bütün oyuncakları tek kardeşe veren $2$ dağıtımdır.
İstenen: $32 - 2 = 30$ .
Yaygın hatalar: "Önce her kardeşe birer oyuncak ver ( $P (5, 2) = 20$ ), kalan $3$ oyuncağı serbestçe dağıt ( $2^{3} = 8$ )" demek $160$ verir; aynı dağıtım birden çok kez sayılır. Yalnızca ilk adımı yapıp $P (5, 2) = 20$ yazmak, kalan $3$ oyuncağı dağıtmayı unutmaktır. $32$ yazmak, "her kardeş en az bir oyuncak alır" koşulunu hiç kullanmamak demektir. Kardeşlerin adları olduğu için $2$ 'ye bölüp $15$ yazmak da yanlıştır. $4$ ise oyuncaklar özdeş olsaydı doğru cevap olurdu.

Sonuç:

30

Soru 5Orta

A = {1, 2, 3}

B = {1, 2, 3, 4, 5}

olmak üzere,

A

'dan

B

'ye tanımlı

f

fonksiyonlarından kaç tanesi için

f (1) + f (2)

toplamı bir çift sayıdır?

İki tam sayının toplamı ancak ikisi de tek ya da ikisi de çiftse çifttir.
$B$ 'deki tek sayılar $1, 3, 5$ ( $3$ tane), çift sayılar $2, 4$ ( $2$ tane).
Tek–tek: $3 \cdot 3 = 9$ ikili. Çift–çift: $2 \cdot 2 = 4$ ikili. $(f (1), f (2))$ için toplam $9 + 4 = 13$ ikili vardır.
$f (3)$ için koşul yoktur; $5$ seçenek vardır. İstenen: $13 \cdot 5 = 65$ .
Denetim: Toplamın tek olduğu fonksiyonlar $(3 \cdot 2 + 2 \cdot 3) \cdot 5 = 60$ tanedir ve $65 + 60 = 125 = 5^{3}$ eder.
Yaygın hatalar: $f (3)$ 'ü unutup $13$ yazmak; yalnız tek–tek durumunu sayıp $45$ bulmak; tek ve çift karışık ikilileri sayıp $60$ bulmak.

Sonuç:

65

Soru 6Orta

A = {1, 2, 3}

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

olmak üzere,

A

'dan

B

'ye tanımlı kesin azalan fonksiyonlardan, yani

f (1) > f (2) > f (3)

olanlardan, kaç tanesi için

f (2) = 4

olur?

$f (2) = 4$ olarak verilmiştir. $f (1) > 4$ olmalıdır: $f (1) \in {5, 6, 7}$ , $3$ seçenek.
$f (3) < 4$ olmalıdır: $f (3) \in {1, 2, 3}$ , $3$ seçenek.
İki seçim birbirinden bağımsızdır ve ikisi birlikte yapılır; çarpma kuralı: $3 \cdot 3 = 9$ .
Yaygın hatalar: Seçenekleri toplayıp $3 + 3 = 6$ yazmak; $4$ dışındaki altı sayıdan herhangi ikisini seçip $C (6, 2) = 15$ bulmak (oysa biri $4$ 'ten büyük, diğeri küçük olmalı); $f (2) = 4$ koşulunu atlayıp bütün kesin azalan fonksiyonları sayarak $C (7, 3) = 35$ bulmak.

Sonuç:

9

Soru 7Orta

A = {1, 2, 3}

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

olmak üzere,

A

'dan

B

'ye tanımlı bire bir fonksiyonlardan kaç tanesi için

f (1) \neq = 1

olur?

Bütün bire bir fonksiyonlar: $P (6, 3) = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ .
Tümleyen: $f (1) = 1$ olan bire bir fonksiyonlar. $f (2)$ için $1$ dışındaki $5$ , $f (3)$ için kalan $4$ seçenek vardır: $5 \cdot 4 = 20$ .
İstenen: $120 - 20 = 100$ .
Doğrudan yol: $f (1)$ için $1$ dışındaki $5$ seçenek, $f (2)$ için $f (1)$ dışındaki $5$ seçenek ( $1$ artık kullanılabilir), $f (3)$ için $4$ seçenek: $5 \cdot 5 \cdot 4 = 100$ .
Yaygın hatalar: $1$ 'i bütün elemanlardan silip $P (5, 3) = 60$ yazmak; oysa yalnız $f (1)$ için yasaktır. Bire bir koşulunu unutup $5 \cdot 6 \cdot 6 = 180$ bulmak.

Sonuç:

100

Soru 8Zor

s (A) = 2

s (B) = 4

olmak üzere,

A

'dan

B

'ye tanımlanabilen bire bir fonksiyonların sayısı

x

A

'dan

B

'ye tanımlanabilen örten fonksiyonların sayısı

y

B

'den

A

'ya tanımlanabilen örten fonksiyonların sayısı

z

olduğuna göre,

x + y + z

toplamı kaçtır?

$x = P (4, 2) = 4 \cdot 3 = 12$ .
$y$ : $A$ 'nın yalnız $2$ elemanı vardır; en çok $2$ farklı görüntü oluşur. $B$ 'nin $4$ elemanının hepsi görüntü olamaz, bu yüzden $y = 0$ .
$z$ : $4$ elemandan $2$ elemana örten fonksiyon. Bütün fonksiyonlar $2^{4} = 16$ tanedir; örten olmayanlar, bütün elemanları aynı değere gönderen $2$ sabit fonksiyondur: $z = 16 - 2 = 14$ .
$x + y + z = 12 + 0 + 14 = 26$ .
Yaygın hatalar: $y$ 'yi de $12$ sanmak ( $38$ ); sabit fonksiyonları çıkarmayıp $z = 16$ almak ( $28$ ); iki sabit fonksiyondan yalnız birini çıkarıp $z = 15$ almak ( $27$ ); $z$ 'yi "önce $A$ 'nın her elemanına birer eleman ver ( $P (4, 2) = 12$ ), kalan iki elemanı serbest bırak ( $2^{2} = 4$ )" diyerek $48$ saymak ( $60$ ).

Sonuç:

26

Soru 9Zor

Birbirinden farklı

5

top,

K_{1}

K_{2}

K_{3}

olarak numaralandırılmış üç kutuya yerleştirilecektir. Topların tamamı kullanılacak, kutu içindeki sıra önemsizdir.

K_{1}

kutusuna tam olarak bir top konulacak,

K_{2}

K_{3}

kutularından hiçbiri boş kalmayacaktır. Bu yerleştirme kaç farklı biçimde yapılabilir?

$K_{1}$ 'e girecek top $5$ yolla seçilir.
Kalan $4$ top $K_{2}$ ve $K_{3}$ 'e konulacak ve iki kutu da dolu olacak. Bu, $4$ elemanlı bir kümeden $2$ elemanlı bir kümeye örten fonksiyondur: $2^{4} - 2 = 14$ .
Çarpma kuralı: $5 \cdot 14 = 70$ .
Yaygın hatalar: $K_{1}$ 'e girecek topun seçimini unutup yalnız $14$ yazmak; $K_{2}$ ile $K_{3}$ 'ü aynı kutu gibi düşünüp $14$ 'ü $2$ 'ye bölerek $5 \cdot 7 = 35$ bulmak (kutular numaralı olduğu için bu yanlıştır); "boş kalmama" koşulunu kalan topların ikişer ikişer dağıtılması sanıp $5 \cdot C (4, 2) = 30$ yazmak; hiçbir kutunun boş kalmadığı $150$ yerleşimin üçte birini alıp $50$ yazmak. Son yol yanlıştır: $150/3 = 50$ , belirli bir topun $K_{1}$ 'e gittiği örten yerleşimlerin sayısıdır; $K_{1}$ 'de tam bir top olması bundan farklı bir koşuldur, çünkü $K_{1}$ 'de $1$ , $2$ ya da $3$ top bulunabilir.

Sonuç:

70

Soru 10Zor

A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = {a, b, c}

olmak üzere,

A

'dan

B

'ye tanımlı örten fonksiyonlardan kaç tanesi için

f (1) = f (2)

olur?

$f (1) = f (2)$ olduğundan $1$ ve $2$ her zaman aynı görüntüye gider; bu iki elemanı tek bir " ${1, 2}$ " elemanı gibi düşünebiliriz.
Böylece ${{1, 2}, 3, 4, 5}$ gibi $4$ "elemanlı" bir kümeden ${a, b, c}$ 'ye örten fonksiyon sayılır.
Gruplama: dört "eleman" üç bloğa yalnız $2$ - $1$ - $1$ biçiminde ayrılır; $C (4, 2) \cdot 3! = 6 \cdot 6 = 36$ .
Denetim (dahil etme–hariç tutma): $3^{4} - 3 \cdot 2^{4} + 3 = 81 - 48 + 3 = 36$ .
Yaygın hatalar: Örten koşulunu unutup $3^{4} = 81$ yazmak; $+ 3$ düzeltmesini unutup $33$ bulmak; "önce her görüntüye bir eleman ver" diyerek $P (4, 3) \cdot 3 = 72$ saymak; $150$ örten fonksiyonun üçte birinde $f (1) = f (2)$ olduğunu varsayıp $50$ yazmak.

Sonuç:

36

0/10 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Fonksiyon sayısında üssü ters yazmak ( $s (A)^{s (B)}$ ). Üs, seçim yapan tanım kümesi elemanlarının sayısıdır: $A$ 'dan $B$ 'ye $s (B)^{s (A)}$ (Örnek 1).
Bire bir fonksiyonda kombinasyon kullanmak. Hangi elemanın hangi görüntüye gittiği önemlidir; sayı $P (n, m)$ 'dir, $C (n, m)$ değil (Örnek 2, Örnek 8).
$s (A) > s (B)$ iken bire bir fonksiyon olduğunu sanmak. Bu durumda en az iki eleman aynı görüntüyü paylaşır; bire bir fonksiyon sayısı $0$ 'dır (Örnek 2b).
Koşulsuz elemanları görüntüsüz bırakmak. Koşul yalnız birkaç elemanı bağlasa da diğer elemanların seçimleri çarpıma girer (Örnek 3).
Kesin artan ile azalmayanı karıştırmak. Kesin artan $C (n, m)$ , azalmayan $C (m + n - 1, m)$ verir; azalmayanda eşit görüntülere izin vardır (Bölüm 8, Örnek 5).
Örten sayımında eşit büyüklükteki blokları bölmemek. $2$ - $2$ - $1$ deseninde iki ikili için $2!$ 'ye bölünür (Bölüm 9, Örnek 6).
Dahil etme–hariç tutmada düzeltme terimini unutmak. Üç elemanlı değer kümesinde $3^{m} - 3 \cdot 2^{m} + 3$ ; son $+ 3$ olmadan sonuç eksik çıkar (Bölüm 10, Örnek 6).
Farklı nesnelerde "önce her kutuya birer tane koy, kalanı dağıt" demek. Bu yöntem aynı dağılımı birden çok kez sayar (Bölüm 9, Şekil 3, Örnek 6).
Bir eleman sabitlenince kalan değerlerin yeniden kullanılabileceğini unutmak. $f (1) = a$ olsa da diğer elemanlar da $a$ 'ya gidebilir (Örnek 7).

Özet

Ne sayılıyor? ( $s (A) = m$ , $s (B) = n$ )	Sayı
$A$ 'dan $B$ 'ye bütün fonksiyonlar	$n^{m}$
Sabit fonksiyonlar / sabit olmayanlar	$n$ / $n^{m} - n$
Bire bir fonksiyonlar	$P (n, m)$ ; $m > n$ ise $0$
$n$ elemandan $n$ elemana bire bir ve örten	$n!$
Kesin artan (ya da kesin azalan)	$C (n, m)$
Azalmayan (Derinleştirme)	$C (m + n - 1, m)$
İki elemanlı kümeye örten	$2^{m} - 2$
Üç elemanlı kümeye örten	$3^{m} - 3 \cdot 2^{m} + 3$ (gruplama ile denetle)
$m < n$ iken örten	$0$

Pratik İpucu

Her soruda önce yönü yaz: tanım kümesi kim, değer kümesi kim? Seçim yapan taraf tanım kümesidir.
Koşullu sorularda her eleman için bir kutu çiz, içine o elemanın seçenek sayısını yaz; koşulsuz kutuları boş bırakma.
Örten sayımını her zaman iki yolla yap: gruplama ve dahil etme–hariç tutma. İki sonuç uyuşmuyorsa ya bir bölme ya da düzeltme terimi eksiktir.

Sonraki adım (AYT): Seçim sayılarının bir toplam içinde nasıl göründüğünü Binom Açılımı sayfasında görebilirsin.

1. Her Eleman Bir Görüntü Seçer: s(B)^s(A)

2. Yön Tuzağı: A'dan B'ye mi, B'den A'ya mı?

3. Sabit ve Sabit Olmayan Fonksiyonlar

4. Bire Bir Fonksiyon Sayısı: P(n, m)

5. Bire Bir ve Örten: n Elemandan n Elemana n!

6. Koşullu Fonksiyonlar: Sabit Değer, f(a) ≠ a, Tek–Çift Koşulu

7. Kesin Artan Fonksiyonlar: C(n, m)

8. Azalmayan Fonksiyonlar: Tekrarlı Seçim (Derinleştirme)

9. Örten Fonksiyon: Gruplayarak Say

10. Örten Fonksiyon: Dahil Etme–Hariç Tutma ile Doğrula

Çözümlü Sorular

Pekiştirme Soruları

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Özet

Pratik İpucu

Sayma, Olasılık ve İstatistik — diğer konular