TYT Matematik · Sayma, Olasılık ve İstatistik

Geometrik Kombinasyon

~24 dk okumaZorluk: Orta21 çözümlü soruTYT'de ~3 soru/yıl · Sınavda yüksek ağırlık

Bir doğru iki noktayla, bir üçgen doğrusal olmayan üç noktayla, ızgaradaki bir dikdörtgen iki yatay ve iki dikey çizgiyle belirlenir. Geometrik kombinasyonun tek fikri budur: bir şekli saymak, onu belirleyen noktaları ya da çizgileri seçmek demektir; sonra şekil oluşturmayan seçimler çıkarılır. Doğru, üçgen ve köşegen sayısından ızgaradaki dikdörtgenlere, küpün köşegenlerinden boyalı küpe kadar bu sayfadaki her soru bu tek fikirle çözülür.

Bu sayfadaki varsayımlar

Noktalar birbirinden farklıdır. Soruda hangi noktaların aynı doğru üzerinde olduğu açıkça yazılır; yazılanlar dışında hiçbir üç nokta doğrusal değildir.

Bir doğru iki noktayla belirlenir; noktaların sırası önemsizdir ( $A B$ doğrusu ile $B A$ doğrusu aynıdır).

Üçgenin köşeleri doğrusal olmayan üç noktadır. Dörtgen sorularında noktalar dışbükey konumdadır (çember üzerinde, dışbükey bir çokgenin köşelerinde ya da iki paralel doğrunun her birinden ikişer nokta olacak biçimde); böyle dört nokta tam olarak bir dörtgen belirler.

Çokgenler dışbükeydir (konveks).

"En çok kesişim noktası" sorularında, soruda paralel olduğu söylenenler dışında hiçbir iki doğru paralel değildir, hiçbir üç çizgi aynı noktadan geçmez ve her kesişim noktası ayrı bir noktadır.

" $r \times c$ ızgara" ya da " $r \times c$ tahta", $r$ satır ve $c$ sütundan oluşan birim karelerdir. Kare de bir dikdörtgendir; aksi söylenmedikçe dikdörtgen sayısına kareler dahildir.

Boyalı küp sorularında büyük küpün altı yüzünün tamamı boyanır, sonra küp eş birim küplere ayrılır.

Ön bilgi: Kombinasyonun anlamı ve $C (n, r)$ hesabı Kombinasyon: Seçme Problemleri sayfasında anlatılır; bu sayfa onu kullanır. Burada $C (n, r) = (r n)$ , $n$ farklı nesneden sırasız $r$ tanesini seçme sayısıdır. Konunun genel haritası için Permütasyon ve Kombinasyon, 10. sınıf düzeyindeki temel anlatım için Kombinasyon (10. sınıf) sayfasına bakabilirsin. Çokgenlerin temel özellikleri Dörtgenler ve Çokgenler sayfasındadır. Maarif programında sayma, permütasyon ve kombinasyon 10. sınıfta işlenir.

1. Geometrik Nesneyi Seçime Çevirmek

Her geometrik sayma sorusunda ilk adım aynıdır: Bu nesneyi ne belirler? Bu sorunun cevabı bulununca problem bir seçme problemine dönüşür.

Sayılan nesne	Neyle belirlenir?	Genel durumda sayı
Doğru (ya da kiriş)	$2$ nokta	$C (n, 2)$
Üçgen	doğrusal olmayan $3$ nokta	$C (n, 3)$
Dörtgen (dışbükey konumda)	$4$ nokta	$C (n, 4)$
İki doğrunun kesişim noktası	$2$ doğru	$C (n, 2)$
Izgarada dikdörtgen	$a$ yatay çizgiden $2$ , $b$ dikey çizgiden $2$ çizgi	$C (a, 2) \cdot C (b, 2)$
Çemberde iki kirişin iç kesişimi	çember üzerindeki $4$ nokta	$C (n, 4)$

Her satırda sıra önemsizdir: $A B C$ üçgeni ile $B C A$ üçgeni aynı üçgendir. Bu yüzden kombinasyon kullanılır.

Tabloda "genel durumda" sözü önemlidir. Bazı seçimler beklenen şekli vermez: aynı doğru üzerindeki üç nokta üçgen oluşturmaz, paralel iki doğru kesişmez. Bu yüzden bu sayfadaki hemen her hesap aynı kalıba uyar:

$\overset{s}{¸} ekil say ı s ı = t \overset{u}{¨} m se \overset{c}{¸} imler - bozulan se \overset{c}{¸} imler (+ gerekirse geri eklenenler)$

2. Doğru Sayısı ve Doğrusal Noktalar

Herhangi üçü doğrusal olmayan $n$ noktadan $C (n, 2)$ doğru geçer, çünkü her nokta çifti ayrı bir doğru belirler. Bazı noktalar aynı doğru üzerindeyse bu sayım artık geçerli değildir. Önce küçük bir örneği listeleyelim.

Şekil 1 —

A

B

C

aynı

d

doğrusu üzerinde;

D

ile

E

bu doğrunun dışında.

A B

A C

B C

çiftlerinin üçü de aynı

d

doğrusunu verir. Doğrular:

d

A D

A E

B D

B E

C D

C E

D E

; toplam

8

Beş noktadan $C (5, 2) = 10$ nokta çifti seçilir. Ama $A B$ , $A C$ ve $B C$ çiftleri aynı doğruyu üç kez saymıştır. Bu $C (3, 2) = 3$ çifti çıkarırız, sonra $d$ doğrusunu bir kez geri ekleriz: $10 - 3 + 1 = 8$ . Liste de $8$ doğru gösteriyor.

Genel kural: $n$ noktanın $k$ tanesi aynı doğru üzerindeyse (başka doğrusal üçlü yoksa)

$do \overset{g}{˘} ru say ı s ı = C (n, 2) - C (k, 2) + 1.$

$- C (k, 2)$ terimi o doğruyu oluşturan bütün çiftleri siler; $+ 1$ ise silinen doğrunun kendisini geri koyar. Birden çok doğrusal grup varsa her grup için ayrı ayrı $- C (k, 2) + 1$ yazılır.

3. Üçgen ve Dörtgen Sayısı: Tümü − Bozulan Seçimler

Üçgen sayısında da tüm üçlüler sayılır, sonra doğrusal üçlüler çıkarılır:

$\overset{u}{¨} \overset{c}{¸} gen say ı s ı = C (n, 3) - C (k, 3) .$

Bu kez geri ekleme yoktur: aynı doğru üzerindeki üç nokta hiçbir üçgen oluşturmaz, geri konacak bir şey kalmaz. Şekil 1'deki beş nokta için $C (5, 3) - C (3, 3) = 10 - 1 = 9$ üçgen vardır; yalnız $A B C$ üçlüsü düşer. Birden çok doğrusal grup varsa her grubun $C (k, 3)$ üçlüsü ayrı ayrı çıkarılır (Örnek 3).

İki paralel doğru üzerindeki noktalar. $d_{1}$ üzerinde $3$ , $d_{2}$ üzerinde $4$ nokta olsun. Bir üçgen için bir doğrudan $2$ , öbür doğrudan $1$ nokta gerekir; aynı doğrudan üç nokta üçgen vermez.

Şekil 2 —

d_{1}

üzerinde

3

d_{2}

üzerinde

4

nokta. Boyalı üçgen

d_{1}

'den

2

d_{2}

'den

1

nokta kullanır. Kesikli dörtgen her doğrudan

2

nokta kullanır; böyle dört nokta her zaman tek bir yamuk belirler.

Durumlara ayırarak: $C (3, 2) \cdot 4 + 3 \cdot C (4, 2) = 12 + 18 = 30$ .
Tümleyenle: $C (7, 3) - C (3, 3) - C (4, 3) = 35 - 1 - 4 = 30$ .
Dörtgen: Her doğrudan ikişer nokta seçilir: $C (3, 2) \cdot C (4, 2) = 3 \cdot 6 = 18$ .

Dörtgen sayarken dikkat: Dört noktadan biri öbür üçünün oluşturduğu üçgenin içindeyse bu dört nokta tek bir dörtgen değil, üç farklı içbükey dörtgen oluşturur. $C (n, 4)$ ile dörtgen saymak ancak noktalar dışbükey konumdaysa doğrudur: çember üzerindeki ya da dışbükey bir çokgenin köşelerindeki dört nokta böyledir; iki paralel doğrunun her birinden ikişer alınan dört nokta da böyledir. Bir paralel doğrudan üç, öbüründen bir nokta alınırsa dörtgen oluşmaz. Bu sayfadaki dörtgen soruları yalnız bu durumlarla ilgilidir.

Doğrusal üçlüleri sistemli bulmak: 3×3 nokta ızgarası. Doğrusal noktalar her zaman tek bir doğruda toplanmaz. $3 \times 3$ biçiminde dizilmiş $9$ noktada doğrusal üçlüler $3$ satır, $3$ sütun ve $2$ köşegendir; toplam $8$ tane. Başka doğrusal üçlü yoktur: eğimi bunlardan farklı olan her doğru (örneğin bir adım sağa, iki adım yukarı giden doğru) bu ızgarada en çok iki noktadan geçer. Bu yüzden üçgen sayısı $C (9, 3) - 8 = 84 - 8 = 76$ 'dır.

4. Çokgenin Köşegenleri

Bir çokgenin köşegeni, komşu olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasıdır.

Şekil 3 — Düzgün altıgenin

A

köşesinden

3

köşegen çıkar:

A C

A D

A E

A B

A F

kenardır. Toplam

9

köşegen vardır.

Bir köşeden. $n$ kenarlı bir çokgenin bir köşesi öbür $n - 1$ köşeye bağlanabilir. Bunlardan ikisi komşu köşedir ve onlara giden doğru parçaları kenardır. Geriye $n - 3$ köşegen kalır.

Toplam. Her köşeden $n - 3$ köşegen çıkar; $n$ köşe için $n (n - 3)$ eder. Ama her köşegenin iki ucu vardır ve iki ucundan da sayılmıştır ( $A C$ hem $A$ 'dan hem $C$ 'den). Bu yüzden ikiye böleriz:

$k \overset{o}{¨} \overset{s}{¸} egen say ı s ı = \frac{n ( n - 3 )}{2} = C (n, 2) - n .$

İkinci yazılış aynı sonucu "tümü − bozulan" kalıbıyla verir: köşe çiftlerinin hepsi $C (n, 2)$ , bunların $n$ tanesi kenardır. Altıgende $\frac{6 \cdot 3}{2} = 9 = 15 - 6$ .

Bir köşeden çizilen $n - 3$ köşegen çokgeni $n - 2$ üçgene ayırır; iç açılar toplamının $(n - 2) \cdot 18 0^{\circ}$ olması buradan gelir.

5. Doğruların ve Çemberlerin En Çok Kesişim Noktası

İki farklı doğru en çok $1$ noktada, bir doğru ile bir çember en çok $2$ noktada, iki farklı çember en çok $2$ noktada kesişir. "En çok" sorusunda her çiftin bu sayıda kesiştiğini ve kesişim noktalarının üst üste düşmediğini varsayarız. Bu durumda her çizgi çifti ayrı ayrı sayılır. Örneğin üç doğru en çok $3$ noktada kesişir: üç doğru çifti vardır ve her çift bir nokta verir (aşağıdaki Şekil 4'te bu üç nokta görülür).

Çiftler	Çift sayısı	Çift başına nokta	En çok kesişim
$n$ doğru	$C (n, 2)$	$1$	$C (n, 2)$
$m$ çember	$C (m, 2)$	$2$	$2 \cdot C (m, 2)$
$n$ doğru ile $m$ çember	$n \cdot m$	$2$	$2 \cdot n \cdot m$

Paralel doğrular. Doğrulardan $p$ tanesi birbirine paralelse bu $C (p, 2)$ çift hiç kesişmez ve çıkarılır: $C (n, 2) - C (p, 2)$ . Örneğin $5$ doğru en çok $C (5, 2) = 10$ noktada kesişir; ikisi paralelse $10 - 1 = 9$ noktada. $3$ çember ise en çok $2 \cdot C (3, 2) = 6$ noktada kesişir.

6. Düzlemi Bölen Doğrular: Bölge Sayısı (Örüntü)

Herhangi ikisi paralel olmayan ve herhangi üçü aynı noktadan geçmeyen $n$ doğru düzlemi en çok kaç bölgeye ayırır? Önce küçük durumları sayalım.

Şekil 4 — Üç doğru düzlemi

7

bölgeye ayırır. Üçüncü doğru, önceki iki doğruyu

2

noktada keser; bu noktalar onu

3

parçaya böler ve her parça bir bölgeyi ikiye ayırır.

Doğru sayısı $n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
Bölge sayısı	$1$	$2$	$4$	$7$	$11$
Son doğrunun eklediği bölge	–	$1$	$2$	$3$	$4$

Örüntünün nedeni şudur: $k$ 'ıncı doğru, önceki $k - 1$ doğruyu $k - 1$ farklı noktada keser. Bu noktalar doğruyu $k$ parçaya ayırır ve her parça içinden geçtiği bölgeyi ikiye böler. Yani $k$ 'ıncı doğru tam $k$ yeni bölge ekler:

$b \overset{o}{¨} lge say ı s ı = 1 + (1 + 2 + \dots + n) = 1 + \frac{n ( n + 1 )}{2} = 1 + n + C (n, 2) .$

Son yazılış akılda kolay kalır: $1$ + doğru sayısı + kesişim noktası sayısı. Doğrular paralelse ya da üçü bir noktadan geçiyorsa kesişim sayısı azalır, bölge sayısı da azalır.

7. Paralel Doğru Aileleri: Paralelkenar ve Dikdörtgen

Birbirine paralel $m$ doğrudan oluşan bir aile ile, bunları kesen ve kendi aralarında paralel olan $n$ doğrudan oluşan ikinci bir aile düşünelim. Bir paralelkenarın karşılıklı iki kenarı birinci aileden, öbür iki kenarı ikinci aileden gelir. Yani her paralelkenar, birinci aileden $2$ doğru ve ikinci aileden $2$ doğru seçmekle belirlenir:

$paralelkenar say ı s ı = C (m, 2) \cdot C (n, 2) .$

Örneğin $3$ ve $4$ doğrudan oluşan iki aile $C (3, 2) \cdot C (4, 2) = 3 \cdot 6 = 18$ paralelkenar oluşturur. İki aile birbirine dikse bu paralelkenarların hepsi dikdörtgendir; ızgara sayımı tam olarak budur.

8. Izgarada Dikdörtgen, Kare ve Domino Sayma

Önce çizgileri say. $r \times c$ ızgarada $r$ satır birim kare vardır, ama bu kareleri $r + 1$ yatay çizgi sınırlar; benzer biçimde $c + 1$ dikey çizgi vardır. Her dikdörtgen $2$ yatay ve $2$ dikey çizgi seçmekle belirlenir.

Şekil 5 —

2 \times 3

ızgarada

3

yatay ve

4

dikey çizgi vardır.

y_{1}

y_{2}

ile

x_{2}

x_{4}

çizgileri seçilince vurgulu dikdörtgen belirlenir. Dikdörtgen sayısı

C (3, 2) \cdot C (4, 2) = 3 \cdot 6 = 18

'dir.

$dikd \overset{o}{¨} rtgen say ı s ı = C (r + 1, 2) \cdot C (c + 1, 2) .$

Formülü en küçük durumda denetleyelim: $1 \times 2$ şeritte iki birim kare ve ikisini birlikte kaplayan bir dikdörtgen vardır, yani $3$ dikdörtgen. Formül de $C (2, 2) \cdot C (3, 2) = 1 \cdot 3 = 3$ verir.

Kareler: boyutlara göre topla. Kare için iki çizgi çiftinin aralığı eşit olmalıdır; bu yüzden tek bir çarpım yetmez. $k \times k$ bir kare, $r \times c$ ızgarada $(r - k + 1) (c - k + 1)$ farklı konuma oturur. $2 \times 3$ ızgarada $1 \times 1$ kareler $2 \cdot 3 = 6$ , $2 \times 2$ kareler $1 \cdot 2 = 2$ tanedir; toplam $8$ kare. $2 \times 2$ ızgarada ise $4 + 1 = 5$ kare vardır. $n \times n$ ızgarada kare sayısı $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2}$ olur.

Belirli bir birim kareyi içeren dikdörtgenler. Dikdörtgenin sol kenarı o karenin solundaki çizgilerden biri (karenin kendi sol kenarı dahil), sağ kenarı sağındaki çizgilerden biri olmalıdır; üst ve alt kenarlar için de aynısı geçerlidir. Bu dört seçim çarpılır. Şekil 5'te üst satırın ortasındaki kare için sol çizgi $x_{1}$ ya da $x_{2}$ , sağ çizgi $x_{3}$ ya da $x_{4}$ , üst çizgi yalnız $y_{1}$ , alt çizgi $y_{2}$ ya da $y_{3}$ olabilir: $2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 = 8$ dikdörtgen.

Kenarı ortak kareler ve domino. İki birim kareyi kaplayan bir domino taşı, ortak kenarı olan iki kareyi kaplar. Yatay dominolar her satırda $c - 1$ , dikey dominolar her sütunda $r - 1$ konuma oturur:

$domino konumu = r (c - 1) + (r - 1) c .$

$2 \times 3$ ızgarada $2 \cdot 2 + 1 \cdot 3 = 7$ konum vardır. Denetim: her domino konumu, ızgaranın içindeki tek bir birim kenara karşılık gelir; $2 \times 3$ ızgaranın içinde $4$ dikey ve $3$ yatay birim kenar vardır.

9. Çemberde Kirişler ve Düzgün Altıgende Özel Üçgenler

Kirişler. Çember üzerindeki $n$ noktadan $C (n, 2)$ kiriş çizilir. Bir doğru çemberi en çok iki noktada kestiği için çember üzerindeki üç nokta asla doğrusal değildir; bu yüzden üçgen ve dörtgen sayıları da doğrudan $C (n, 3)$ ve $C (n, 4)$ 'tür.

Kirişlerin iç kesişimleri. Çember üzerinde dört nokta seçelim. Bu dört noktanın belirlediği altı kirişten yalnız ikisi (dörtgenin köşegenleri) çemberin içinde kesişir. Tersine, içte kesişen her kiriş çifti dört farklı uç noktaya sahiptir. Yani her iç kesişim noktası bir dörtlü seçimine karşılık gelir:

$kiri \overset{s}{¸} lerin en \overset{c}{¸} ok i \overset{c}{¸} kesi \overset{s}{¸} im say ı s ı = C (n, 4) .$

"En çok" denmesinin nedeni, üç kirişin aynı noktadan geçebilmesidir; o zaman iki kesişim üst üste düşer.

Şekil 6 — Solda dört nokta: dörtgenin iki köşegeni içte tek bir noktada kesişir. Sağda beş nokta:

C (5, 2) = 10

kiriş ve

C (5, 4) = 5

iç kesişim noktası vardır.

Düzgün altıgende dik üçgenler. Düzgün altıgenin köşeleri bir çember üzerindedir. Bir üçgenin bir kenarı çemberin çapıysa, karşısındaki köşedeki açı $9 0^{\circ}$ 'dir: çevre açı, gördüğü yayın ölçüsünün yarısıdır ve çap $18 0^{\circ}$ 'lik yayı görür. Tersine, çembere çizilmiş bir dik üçgenin hipotenüsü her zaman bir çaptır. Altıgende karşılıklı köşeleri birleştiren $3$ çap vardır ( $A D$ , $B E$ , $C F$ ). Her çap, kalan $4$ köşeden herhangi biriyle dik üçgen oluşturur:

$dik \overset{u}{¨} \overset{c}{¸} gen say ı s ı = 3 \cdot 4 = 12.$

Şekil 7 — Solda

A D

çapı üzerinde kurulan

A B D

dik üçgeni. Sağda birer köşe atlanarak çizilen

A C E

eşkenar üçgeni; öbür eşkenar üçgen

B D F

'dir.

Eşkenar üçgende üç kenar eşit olduğundan köşeler eşit aralıklı seçilmelidir: birer köşe atlayarak $A C E$ ve $B D F$ elde edilir, yani $2$ eşkenar üçgen vardır. Üçgenleri sınıflandırmanın kolay yolu, köşeler arasında kaç adım olduğuna bakmaktır: altıgende iki köşe arasında $1$ , $2$ ya da $3$ adım vardır ve bunlar üç farklı uzunluk verir.

Şimdi üç köşeyi çember üzerinde sırayla dolaşalım ve her kenar için, üçüncü köşeyi içermeyen yay üzerindeki adım sayısını yazalım. Bu üç sayının toplamı $6$ 'dır, çünkü çember bir kez dolaşılır. ( $4$ adımlık bir yayın kirişi, öbür yönden $2$ adımdır; uzunluğu $2$ adımlık kenarla aynıdır.) Toplamı $6$ olan üç pozitif tam sayı, sırası önemsenmeden, yalnız üç biçimde yazılır; böylece $C (6, 3) = 20$ üçgenin hepsi sınıflandırılır:

Adımlar	Üçgenin türü	Sayı	Neden?
$1, 1, 4$	geniş açılı ikizkenar	$6$	ardışık üç köşe ( $A B C$ gibi); ortadaki köşe $6$ biçimde seçilir
$1, 2, 3$	dik üçgen (çeşitkenar)	$12$	$3$ adımlık kenar bir çaptır; yukarıdaki $3 \cdot 4$ sayımı
$2, 2, 2$	eşkenar	$2$	$A C E$ ve $B D F$

Denetim: $6 + 12 + 2 = 20$ . Eşkenar üçgenler de ikizkenar sayılırsa ikizkenar üçgen sayısı $6 + 2 = 8$ , sayılmazsa $6$ 'dır. Dik üçgenlerin hiçbiri ikizkenar değildir, çünkü üç kenarı $1$ , $2$ ve $3$ adımlıktır ve üç farklı uzunluktadır.

Aynı tablo, üçgenin altıgenle kaç kenarı paylaştığını da söyler: $1$ adımlık her kenar altıgenin bir kenarıdır. $1, 1, 4$ üçgenleri altıgenle iki kenar, $1, 2, 3$ üçgenleri bir kenar paylaşır; hiçbir kenarı altıgenin kenarı olmayan üçgenler yalnız $2, 2, 2$ satırındaki $2$ eşkenar üçgendir. Daha büyük çokgenlerde de aynı yol izlenir: tüm üçgenlerden iki kenarı ortak olanlar (ardışık üç köşe) ve tam bir kenarı ortak olanlar çıkarılır.

10. Uzayda Sayma: Küp, Prizma ve Piramit

Uzayda da aynı kalıp geçerlidir: köşe çiftleri sayılır, sonra her çiftin ne olduğu (ayrıt, yüz köşegeni, cisim köşegeni) ayrılır.

Ayrıt: iki yüzün ortak kenarı.
Yüz köşegeni: aynı yüzde olup komşu olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçası.
Cisim köşegeni: aynı yüz üzerinde bulunmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçası; cismin içinden geçer.

Şekil 8 — Solda ön yüzdeki

B D

yüz köşegeni ve küpün içinden geçen

A G

cisim köşegeni. Sağda karşılıklı

D C

E F

ayrıtlarından geçen

D C F E

köşegen düzlemi ile

B

köşesinin üç komşusundan geçen

A C F

üçgeni.

Küp. $8$ köşe, $12$ ayrıt, $6$ yüz vardır. Köşe çiftlerinin sayısı $C (8, 2) = 28$ 'dir ve bunlar üç türe ayrılır: $12$ ayrıt, $6 \cdot 2 = 12$ yüz köşegeni ve $4$ cisim köşegeni. Gerçekten $12 + 12 + 4 = 28$ . Cisim köşegeni sayısı şöyle de bulunur: her köşenin tam karşısında tek bir köşe vardır; $8$ köşe çift çift eşleşir, $8 \div 2 = 4$ .

$n$ -gen dik prizma ve piramit. Prizmanın iki tabanı $n$ -gendir, yan yüzleri $n$ tane dikdörtgendir. Piramidin tabanı $n$ -gendir, yan yüzleri tepe noktasında birleşen $n$ üçgendir.

	Köşe	Ayrıt	Yüz	Yüz köşegeni	Cisim köşegeni
$n$ -gen dik prizma	$2 n$	$3 n$	$n + 2$	$2 n + 2 \cdot \frac{n ( n - 3 )}{2} = n (n - 1)$	$n (n - 3)$
$n$ -gen piramit	$n + 1$	$2 n$	$n + 1$	$\frac{n ( n - 3 )}{2}$	$0$

Prizmanın yüz köşegenleri: her dikdörtgen yan yüzde $2$ köşegen vardır ( $2 n$ ), iki tabanın her birinde $\frac{n ( n - 3 )}{2}$ köşegen vardır.
Prizmanın cisim köşegenleri: üst tabandaki bir köşe, alt tabanda kendi altındaki köşe ve onun iki komşusu dışındaki $n - 3$ köşeyle hiçbir yüzü paylaşmaz. Her cisim köşegeninin bir ucu üstte, bir ucu altta olduğundan çift sayım yoktur: $n (n - 3)$ .
Piramitte cisim köşegeni yoktur: tepe noktası her taban köşesiyle bir ayrıtla bağlıdır; iki taban köşesi ise zaten taban yüzündedir.
Denetim: Küp, $n = 4$ olan dik prizmadır: $n (n - 1) = 12$ yüz köşegeni ve $n (n - 3) = 4$ cisim köşegeni, yukarıdaki sayımla aynıdır. Her satırda $k \overset{o}{¨} \overset{s}{¸} e - ayr ı t + y \overset{u}{¨} z = 2$ eşitliği (Euler bağıntısı) de sağlanır.

11. Boyalı Küp: Kaç Birim Küpün Kaç Yüzü Boyalı?

Dış yüzeyinin tamamı boyanmış $n \times n \times n$ bir küp, $n^{3}$ birim küpe ayrılıyor ( $n \geq 2$ ). Bir birim küpün kaç yüzünün boyalı olduğu, büyük küpte nerede durduğuna bağlıdır.

Şekil 9 —

6 \times 6 \times 6

boyalı küp. Köşelerdeki

8

birim küpün

3

yüzü, ayrıtların köşe olmayan kısmındaki

12 \cdot 4 = 48

birim küpün

2

yüzü, yüzlerin ortasındaki

6 \cdot 4^{2} = 96

birim küpün

1

yüzü boyalıdır. İçteki

4^{3} = 64

birim küp hiç boya görmez:

8 + 48 + 96 + 64 = 216

Konum	Boyalı yüz	Sayı	Neden?
Köşe	$3$	$8$	Küpün $8$ köşesi vardır; $n$ 'ye bağlı değildir.
Ayrıt (köşeler hariç)	$2$	$12 (n - 2)$	$12$ ayrıtın her birinde $n$ birim küp vardır; iki ucu köşedir.
Yüz (kenarlar hariç)	$1$	$6 (n - 2)^{2}$	$6$ yüzün her birinde kenar şeridi atılınca $(n - 2) \times (n - 2)$ kare kalır.
İç	$0$	$(n - 2)^{3}$	Dış kabuk soyulunca $(n - 2) \times (n - 2) \times (n - 2)$ küp kalır.

Ayrıtta $n$ değil $n - 2$ yazılmasının nedeni, her ayrıtın iki ucundaki birim küplerin köşe olması ve zaten $3$ yüzü boyalı olarak sayılmasıdır.

Denetim: Dört sayının toplamı bütün birim küpleri vermelidir. $m = n - 2$ dersek $8 + 12 m + 6 m^{2} + m^{3} = (m + 2)^{3} = n^{3}$ olur. Her boyalı küp sorusunu bu toplamla kontrol etmek, $12 n$ gibi hataları hemen yakalar.

Rastgele seçilen bir birim küpün belirli sayıda boyalı yüzü olma olasılığı Geometrik Olasılık sayfasının konusudur; orada bu sayılar hazır olarak kullanılır.

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

Bir çemberin üzerinde $11$ farklı nokta işaretleniyor.

a) Bu noktaların ikişer ikişer birleştirilmesiyle kaç farklı kiriş çizilebilir?

b) Köşeleri bu noktalardan seçilen kaç farklı üçgen çizilebilir?

c) Köşeleri bu noktalardan seçilen kaç farklı dörtgen çizilebilir?

Önce çember üzerinde yalnız $4$ nokta alıp kirişleri, üçgenleri ve dörtgenleri tek tek listele.

Listele, sonra say. Çember üzerinde $A$ , $B$ , $C$ , $D$ noktaları olsun. Kirişler: $A B$ , $A C$ , $A D$ , $B C$ , $B D$ , $C D$ ; yani $6 = C (4, 2)$ . Üçgenler: $A B C$ , $A B D$ , $A C D$ , $B C D$ ; yani $4 = C (4, 3)$ . Her üçgen bir noktayı dışarıda bırakır. Dörtgen: yalnız $A B C D$ ; yani $1 = C (4, 4)$ .
Bir kiriş iki noktayla, bir üçgen üç noktayla belirlenir ve sıra önemsizdir ( $A B = B A$ ). Bir doğru çemberi en çok iki noktada kestiği için çember üzerindeki hiçbir üç nokta doğrusal değildir; düşülecek bozuk seçim yoktur.
a) $C (11, 2) = \frac{11 \cdot 10}{2} = 55$ .
b) $C (11, 3) = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{6} = 165$ .
c) Çember üzerindeki dört nokta dışbükey konumdadır; çember üzerindeki sıralarıyla birleştirildiklerinde tek bir dörtgen verirler. $C (11, 4) = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{24} = 330$ .
Kontrol: Her üçgene kalan $8$ noktadan biri eklenirse bir dörtgen elde edilir; bu yolla $165 \cdot 8$ ekleme yapılır. Her dörtgen, dört köşesinden hangisinin sonradan eklendiğine göre $4$ kez ortaya çıkar. Dörtgen sayısı $\frac{165 \cdot 8}{4} = 330$ ; c) şıkkıyla aynı.

Sonuç: a)

55

165

330

Örnek

Soru

Bir düzlemde $12$ farklı nokta veriliyor. Bu noktaların $5$ 'i aynı $d$ doğrusu üzerindedir; bunlar dışında hiçbir üç nokta doğrusal değildir.

a) Bu noktaların en az ikisinden geçen kaç farklı doğru vardır?

b) Köşeleri bu noktalardan seçilen kaç farklı üçgen vardır?

$d$ üzerindeki $5$ noktadan seçilen her çift aynı doğruyu verir. Silip geri eklemen gereken bir şey var mı?

Yaygın yanlış 1: " $C (12, 2) = 66$ doğru." Bu sayım $d$ doğrusunu, $d$ üzerindeki $C (5, 2) = 10$ nokta çiftinin her biri için ayrı ayrı, yani $10$ kez saymıştır.
Yaygın yanlış 2: " $66 - 10 = 56$ ." Bu kez $d$ tamamen silinmiştir, oysa $d$ de bu noktalardan geçen bir doğrudur.
Küçük karşı örnek: $4$ noktadan $3$ 'ü doğrusal olsun. Doğrular: üç noktadan geçen doğru ve dördüncü noktayı öbür üçüne bağlayan $3$ doğru, toplam $4$ . Formül $C (4, 2) - C (3, 2) + 1 = 6 - 3 + 1 = 4$ verir; $+ 1$ olmadan $3$ bulunurdu.
a) Doğru sayısı $C (12, 2) - C (5, 2) + 1 = 66 - 10 + 1 = 57$ .
b) Tüm üçlüler $C (12, 3) = 220$ . $d$ üzerindeki noktalardan seçilen $C (5, 3) = 10$ üçlü doğrusaldır ve üçgen oluşturmaz: $220 - 10 = 210$ . Burada $+ 1$ yoktur, çünkü doğrusal bir üçlü hiçbir üçgen vermez.
Kontrol (durumlara ayırarak): $d$ dışında $7$ nokta vardır. Doğrular: iki dış nokta $C (7, 2) = 21$ , bir dış bir $d$ noktası $7 \cdot 5 = 35$ , ve $d$ 'nin kendisi $1$ ; toplam $57$ . Üçgenler, $d$ 'den alınan nokta sayısına göre: $0$ nokta $C (7, 3) = 35$ , $1$ nokta $5 \cdot C (7, 2) = 105$ , $2$ nokta $C (5, 2) \cdot 7 = 70$ ; toplam $210$ .

Sonuç: a)

57

210

Örnek

Soru

Bir $A B C$ üçgeninin köşelerinden farklı olmak üzere $[A B]$ kenarı üzerinde $3$ , $[B C]$ kenarı üzerinde $4$ , $[A C]$ kenarı üzerinde $5$ nokta işaretleniyor.

a) Köşeleri işaretlenen bu $12$ noktadan seçilen kaç farklı üçgen vardır?

b) $A$ , $B$ , $C$ köşeleri de kullanılabilirse, köşeleri bu $15$ noktadan seçilen kaç farklı üçgen vardır?

Üç nokta ancak aynı kenar üzerindeyse doğrusaldır. b) şıkkında her köşenin iki kenarın üzerinde olduğunu unutma.

Önce hangi üçlülerin bozuk olduğunu belirleyelim. Bir doğru, bir üçgenin kenarlarını (bir kenarın üzerinde uzanmıyorsa) en çok iki noktada keser. Bu yüzden farklı kenarlardaki üç nokta asla doğrusal olmaz; doğrusal üçlüler yalnız aynı kenar üzerindeki noktalardan gelir.
a) Tümleyenle: Tüm üçlüler $C (12, 3) = 220$ . Aynı kenardan gelen üçlüler $C (3, 3) + C (4, 3) + C (5, 3) = 1 + 4 + 10 = 15$ . Üçgen sayısı $220 - 15 = 205$ .
a) Durumlara ayırarak: Her kenardan bir nokta: $3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$ . Bir kenardan iki, kalan noktalardan bir nokta: $C (3, 2) \cdot 9 + C (4, 2) \cdot 8 + C (5, 2) \cdot 7 = 27 + 48 + 70 = 145$ . Toplam $60 + 145 = 205$ . İki yol aynı sonucu verdi.
b) Yaygın yanlış: " $15$ nokta var: $C (15, 3) - 15 = 455 - 15 = 440$ ." Bu hesap köşeleri eklerken kenarlardaki doğrusal nokta sayılarını güncellememiştir. $A$ köşesi hem $[A B]$ hem $[A C]$ üzerindedir.
b) Köşeler eklenince her kenarda iç noktalar ve iki uç köşe vardır: $[A B]$ üzerinde $3 + 2 = 5$ , $[B C]$ üzerinde $4 + 2 = 6$ , $[A C]$ üzerinde $5 + 2 = 7$ nokta. Doğrusal üçlüler $C (5, 3) + C (6, 3) + C (7, 3) = 10 + 20 + 35 = 65$ . Üçgen sayısı $C (15, 3) - 65 = 455 - 65 = 390$ .
Kontrol: Kenarlardaki nokta sayılarının toplamı $5 + 6 + 7 = 18$ 'dir. Bu, $12$ iç noktaya her köşenin iki kez (iki kenarda) sayılmasıyla gelen $2 \cdot 3 = 6$ eklenerek bulunur: $12 + 6 = 18$ . Ayrıca köşeler dahil edildiğinde üçgen sayısının artması beklenir: $390 \geq 205$ .

Sonuç: a)

205

390

Örnek

Soru

a) Dışbükey bir $12$ -genin bir köşesinden kaç köşegen çizilebilir? Bu çokgenin toplam köşegen sayısı kaçtır?

b) Köşegen sayısı kenar sayısının $4$ katı olan dışbükey çokgen kaç kenarlıdır?

Bir köşe kendisine ve iki komşusuna köşegen çizemez. Her köşegenin iki ucu olduğunu unutma.

a) Bir köşe öbür $11$ köşeye bağlanabilir. Bunlardan ikisi komşudur ve o bağlantılar kenardır. Bir köşeden $12 - 3 = 9$ köşegen çizilir.
a) $12$ köşenin her birinden $9$ köşegen çıkar: $12 \cdot 9 = 108$ . Her köşegen iki ucundan birer kez sayıldığı için ikiye böleriz: $\frac{108}{2} = 54$ .
Yaygın yanlış: "Köşegen iki köşeyle belirlenir, $C (12, 2) = 66$ ." Bu sayıya çokgenin $12$ kenarı da girmiştir: $66 - 12 = 54$ . Küçük karşı örnek: beşgende $C (5, 2) = 10$ köşe çifti vardır, ama köşegenler yalnız $A C$ , $A D$ , $B D$ , $B E$ , $C E$ 'dir; $10 - 5 = 5$ ve $\frac{5 \cdot 2}{2} = 5$ .
b) $n$ kenarlı çokgende köşegen sayısı $\frac{n ( n - 3 )}{2}$ 'dir. Koşul: $\frac{n ( n - 3 )}{2} = 4 n$ .
$n \neq = 0$ olduğundan iki taraf $n$ 'ye bölünür: $\frac{n - 3}{2} = 4$ , yani $n - 3 = 8$ ve $n = 11$ .
Kontrol: $11$ -genin köşegen sayısı $\frac{11 \cdot 8}{2} = 44$ , kenar sayısının $4$ katı da $4 \cdot 11 = 44$ .

Sonuç: a) Bir köşeden

9

, toplam

54

11

Örnek

Soru

Bir düzlemde $7$ farklı doğru ve $4$ farklı çember çiziliyor. Doğrulardan tam $3$ 'ü birbirine paraleldir; başka paralel doğru yoktur. Bu doğruların ve çemberlerin kesişim noktalarının sayısı en çok kaçtır?

Çizgi çiftlerini üç türe ayır: doğru–doğru, çember–çember, doğru–çember. Her türde bir çiftin en çok kaç noktada kesiştiğini yaz.

Doğru–doğru: $7$ doğrudan $C (7, 2) = 21$ çift seçilir. Paralel $3$ doğrudan oluşan $C (3, 2) = 3$ çift kesişmez. Her kalan çift en çok $1$ noktada kesişir: $21 - 3 = 18$ .
Çember–çember: $C (4, 2) = 6$ çift vardır ve iki çember en çok $2$ noktada kesişir: $2 \cdot 6 = 12$ .
Doğru–çember: Her doğru her çemberi en çok $2$ noktada keser. Paralel doğrular da çemberleri keser: $7 \cdot 4 \cdot 2 = 56$ .
Kesişim noktaları üst üste düşmediğinde toplam: $18 + 12 + 56 = 86$ .
Yaygın yanlışlar: Paralel doğruları unutmak doğru–doğru sayısını $21$ yapar ve toplam $89$ çıkar. İki çemberin tek noktada kesiştiğini sanmak çember–çember sayısını $6$ yapar ve toplam $80$ çıkar. Doğru–çember çiftlerini tek noktadan saymak ise bu terimi $56$ yerine $28$ yapar.
Kontrol: Bu sayı gerçekten elde edilebilir. Yarıçapları birbirine yakın, merkezleri farklı ama birbirine yakın $4$ çember her çiftte $2$ noktada kesişir; bu çemberlerin ortak bölgesinden geçen her doğru, paralel olanlar dahil, her çemberi $2$ noktada keser.

Sonuç:

86

Örnek

Soru

$4$ satır ve $6$ sütundan oluşan, birim karelerle bölünmüş bir dikdörtgen tahta veriliyor.

a) Kenarları tahtanın çizgileri üzerinde olan kaç dikdörtgen vardır? (Kareler dahil.)

b) Bu dikdörtgenlerden kaç tanesi karedir?

c) İki birim kareyi tam kaplayan bir domino taşı, tahtanın çizgilerine oturacak biçimde kaç farklı konuma yerleştirilebilir?

a) şıkkında kareleri değil çizgileri say. b) şıkkında kare boyutlarını tek tek dene. c) şıkkında yatay ve dikey konumları ayrı say.

a) $4$ satırı $5$ yatay çizgi, $6$ sütunu $7$ dikey çizgi sınırlar. Her dikdörtgen $2$ yatay ve $2$ dikey çizgi seçmekle belirlenir: $C (5, 2) \cdot C (7, 2) = 10 \cdot 21 = 210$ .
Yaygın yanlış: Satır ve sütun sayılarını çizgi sayısı sanıp $C (4, 2) \cdot C (6, 2) = 6 \cdot 15 = 90$ yazmak. Küçük karşı örnek: $1 \times 2$ şeritte $3$ dikdörtgen vardır (iki birim kare ve ikisinin birleşimi). Yanlış yöntem $C (1, 2) \cdot C (2, 2) = 0$ verir; doğru yöntem $C (2, 2) \cdot C (3, 2) = 3$ verir.
b) $k \times k$ bir kare $(5 - k) (7 - k)$ konuma oturur: $1 \times 1$ için $4 \cdot 6 = 24$ , $2 \times 2$ için $3 \cdot 5 = 15$ , $3 \times 3$ için $2 \cdot 4 = 8$ , $4 \times 4$ için $1 \cdot 3 = 3$ . Toplam $24 + 15 + 8 + 3 = 50$ .
Yaygın yanlış: Yalnız birim kareleri sayıp $24$ demek, ya da kareyi dikdörtgen formülüyle bulmaya çalışmak. Kare için iki çizgi çiftinin aralığı eşit olmalıdır; bu koşul tek bir çarpımla yazılamaz, bu yüzden boyutlara göre toplanır.
c) Yatay domino bir satırda yan yana iki kareyi kaplar: her satırda $5$ konum, $4$ satırda $20$ konum. Dikey domino bir sütunda alt alta iki kareyi kaplar: her sütunda $3$ konum, $6$ sütunda $18$ konum. Toplam $20 + 18 = 38$ .
Yaygın yanlış: Yalnız yatay konumları sayıp $20$ demek, ya da her kare için komşularını sayıp $76$ bulmak. İkinci yöntemde her domino, kapladığı iki kareden birer kez, yani iki kez sayılır.
Kontrol: Her domino konumu, tahtanın içindeki tek bir birim kenara (iki karenin ortak kenarına) karşılık gelir. İç dikey çizgiler $5$ tanedir ve her biri $4$ birim kenardan oluşur: $20$ . İç yatay çizgiler $3$ tanedir ve her biri $6$ birim kenardan oluşur: $18$ . Toplam yine $38$ .

Sonuç: a)

210

50

38

Örnek

Soru

$A B C D E F G H$ bir küptür (Şekil 8'deki gibi adlandırılmıştır).

a) Küpün köşelerinden en az ikisinden geçen kaç farklı doğru vardır?

b) Köşeleri küpün köşelerinden seçilen kaç farklı üçgen vardır?

c) Küpün köşelerinden en az üçünden geçen kaç farklı düzlem vardır?

c) şıkkında, dört köşesi aynı düzlemde olan dörtlüleri bul. Her biri, o düzlemi kaç kez saydırır?

a) Küpün iki köşesinden geçen her doğru, bir ayrıtın, bir yüz köşegeninin ya da bir cisim köşegeninin üzerinden geçer. Bu doğruların hiçbiri üçüncü bir köşeden geçmez: bir ayrıtın ya da yüz köşegeninin üzerindeki doğru bir yüzün düzleminde kalır; küpün bu düzlemdeki köşeleri yalnız o yüzün dört köşesidir ve doğru bunlardan ikisinden geçer. Bir cisim köşegeninin doğrusu ise küpün içinden geçer ve küpe yalnız iki uç köşesinde değer. Bu yüzden her köşe çifti farklı bir doğru verir: $C (8, 2) = 28$ . Türlerine göre: $12$ ayrıt $+ 12$ yüz köşegeni $+ 4$ cisim köşegeni $= 28$ .
b) Hiçbir üç köşe doğrusal olmadığından her üçlü bir üçgen verir: $C (8, 3) = 56$ .
c) Yaygın yanlış: "Her üçgen bir düzlem belirler, $56$ düzlem vardır." Ama bazı düzlemlerde dört köşe vardır ve bu dört köşeden seçilen her üçlü aynı düzlemi verir.
Dört köşesi aynı düzlemde olan dörtlüler: küpün $6$ yüzü ve karşılıklı iki ayrıttan geçen köşegen düzlemleri. $12$ ayrıt, birbirine paralel olup aynı yüzde bulunmayan $6$ çift oluşturur ( $D C$ ile $E F$ gibi, Şekil 8); her çiftin dört ucu bir dikdörtgenin köşeleridir ve bir düzlem belirler. Toplam $6 + 6 = 12$ düzlemde dörder köşe vardır.
Bu $12$ düzlemin her biri, içindeki dört köşeden seçilen $C (4, 3) = 4$ üçgenle sayılmıştır: $12 \cdot 4 = 48$ üçgen. Bu üçgenlerin hepsi farklıdır, çünkü iki farklı düzlem doğrusal olmayan üç noktayı birlikte içeremez.
Şimdi bir köşenin üç komşusundan geçen üçgenlere bakalım ( $B$ için $A C F$ gibi). Ayrıt uzunluğunu $1$ alıp $B$ 'yi başlangıç noktasına, $B A$ , $B C$ , $B F$ ayrıtlarını eksenlere yerleştirelim. Bu durumda $A$ , $C$ , $F$ noktaları $(1, 0, 0)$ , $(0, 1, 0)$ , $(0, 0, 1)$ olur ve $x + y + z = 1$ düzleminde bulunur. Küpün öbür köşelerinde koordinatlar toplamı $0$ ( $B$ ), $2$ ya da $3$ 'tür; bu yüzden hiçbiri bu düzlemde değildir. Demek ki $A C F$ düzleminde yalnız üç köşe vardır ve bu üçgen yukarıdaki $48$ üçgenin arasında yer almaz. Her köşe için böyle bir üçgen vardır. Üçgenin üç köşesine birden komşu olan tek köşe, onu veren köşedir; bu yüzden $8$ köşe $8$ farklı üçgen verir.
Böylece $48 + 8 = 56$ üçgenin hepsi sınıflandırıldı: $48$ 'i dört köşeli $12$ düzlemde, $8$ 'i yalnız üç köşe içeren $8$ düzlemde. Dört köşe içeren başka bir düzlem olsaydı, onun üçgenleri bu iki gruptan hiçbirine girmezdi. Oysa $56$ üçgenin hepsi bu iki grupta yer aldı; demek ki dört köşe içeren başka düzlem yoktur.
Farklı düzlem sayısı $12 + 8 = 20$ . Bu, doğru sayısındaki "sil, sonra bir kez geri ekle" kalıbının uzaydaki karşılığıdır: $56 - 12 \cdot 4 + 12 = 20$ .
Kontrol: Kalan üçgen sayısı ( $8$ ) ile köşe sayısı ( $8$ ) aynı çıktı; her köşenin üç komşusu tam bir üçgen belirlediği için beklenen de budur.

Sonuç: a)

28

56

20

Örnek

Soru

Dış yüzeyinin tamamı boyanmış $n \times n \times n$ boyutlarındaki bir küp, $n^{3}$ tane eş birim küpe ayrılıyor. Yalnız bir yüzü boyalı olan birim küplerin sayısı $150$ 'dir.

a) $n$ kaçtır?

b) Tam iki yüzü boyalı kaç birim küp vardır?

c) En az bir yüzü boyalı kaç birim küp vardır?

Yalnız bir yüzü boyalı birim küpler, büyük küpün yüzlerinin kenar şeridi atılmış ortasındadır.

a) Her yüzde kenar şeridi atılınca $(n - 2) \times (n - 2)$ birim kare kalır; $6$ yüz için $6 (n - 2)^{2} = 150$ . Buradan $(n - 2)^{2} = 25$ ve $n - 2 \geq 0$ olduğundan $n - 2 = 5$ , yani $n = 7$ .
Yaygın yanlış: $6 n^{2} = 150$ yazıp $n = 5$ bulmak. Bu, yüzdeki bütün birim kareleri sayar; oysa kenar şeridindeki birim küplerin birden çok yüzü boyalıdır. Gerçekten $n = 5$ alınırsa yalnız bir yüzü boyalı küp sayısı $6 \cdot 3^{2} = 54$ olur, $150$ değil.
b) Tam iki yüzü boyalı birim küpler ayrıtların üzerindedir, ama ayrıtların iki ucundaki köşe küpleri hariçtir: $12 (n - 2) = 12 \cdot 5 = 60$ .
Yaygın yanlış: $12 n = 84$ yazmak. Bu sayım her köşe küpünü üç ayrıtta birden saymış ve $3$ yüzü boyalı küpleri $2$ yüzü boyalı gibi göstermiştir.
c) Tümleyenle: Hiç boyanmamış birim küpler içteki $(n - 2)^{3} = 5^{3} = 125$ küptür. En az bir yüzü boyalı olanlar $7^{3} - 125 = 343 - 125 = 218$ .
Kontrol (doğrudan toplam): $3$ yüzü boyalı $8$ , $2$ yüzü boyalı $60$ , $1$ yüzü boyalı $150$ ; toplam $8 + 60 + 150 = 218$ . Boyasızlarla birlikte $218 + 125 = 343 = 7^{3}$ .

Sonuç: a)

7

60

218

Pekiştirme Soruları

Konuyu pekiştirmek için hazırlanmış özgün sorular.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

Bir düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan

n

farklı nokta veriliyor. Bu noktalar ikişer ikişer birleştirildiğinde

78

farklı doğru elde ediliyor. Köşeleri bu noktalardan seçilen kaç farklı üçgen vardır?

Hiçbir üç nokta doğrusal olmadığından her nokta çifti ayrı bir doğru verir: $C (n, 2) = \frac{n ( n - 1 )}{2} = 78$ .
$n (n - 1) = 156 = 13 \cdot 12$ , yani $n = 13$ .
Her üçlü bir üçgen verir ve köşelerin sırası önemsizdir: $C (13, 3) = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 286$ .
Çeldiriciler: $78$ doğru sayısının kendisidir; $715 = C (13, 4)$ dörtlü seçimidir; $1716 = 13 \cdot 12 \cdot 11$ köşeleri sıralı saymaktır, $858$ ise bu sayıyı yalnız $2$ 'ye bölmektir. Aynı üçgen $3! = 6$ farklı sırayla yazılabildiği için $6$ 'ya bölünür.

Sonuç:

286

Soru 2Kolay

Dışbükey bir çokgenin bir köşesinden

7

köşegen çizilebiliyor. Bu çokgenin toplam köşegen sayısı kaçtır?

$n$ kenarlı çokgenin bir köşesi kendisine ve iki komşusuna köşegen çizemez; bir köşeden $n - 3$ köşegen çıkar.
$n - 3 = 7$ , yani çokgen $n = 10$ kenarlıdır.
Her köşeden $7$ köşegen: $10 \cdot 7 = 70$ . Her köşegen iki ucundan birer kez sayıldığı için ikiye bölünür: $\frac{70}{2} = 35$ .
Kontrol: köşe çiftleri $C (10, 2) = 45$ , bunların $10$ 'u kenardır: $45 - 10 = 35$ .
Çeldiriciler: $70$ ikiye bölmeyi unutmaktır, $45$ kenarları da saymaktır. Bir köşeden $n - 1$ ya da $n - 2$ köşegen çıktığını sanmak $n = 8$ ya da $n = 9$ verir; bunların köşegen sayıları $20$ ve $27$ 'dir.

Sonuç:

35

Soru 3Kolay

Bir düzlemde birbirine paralel

4

doğrudan oluşan bir aile ile, bu doğruları kesen ve kendi aralarında paralel olan

5

doğrudan oluşan ikinci bir aile çiziliyor. Kenarları bu doğruların üzerinde olan kaç farklı paralelkenar vardır?

Bir paralelkenarın karşılıklı iki kenarı birinci aileden, öbür iki kenarı ikinci aileden gelir.
Birinci aileden $2$ doğru: $C (4, 2) = 6$ yol. İkinci aileden $2$ doğru: $C (5, 2) = 10$ yol.
Bu iki seçim birbirinden bağımsızdır ve her ikili seçim tam bir paralelkenar belirler: $6 \cdot 10 = 60$ .
Çeldiriciler: $6 + 10 = 16$ çarpmak yerine toplamaktır; $4 \cdot 5 = 20$ kesişim noktalarının sayısıdır; $C (3, 2) \cdot C (4, 2) = 18$ doğru sayılarını birer eksik almaktır (aradaki şeritleri saymak); $30$ ise her paralelkenarın iki kez sayıldığını sanıp gereksiz yere ikiye bölmektir.
Küçük kontrol: $2$ ve $2$ doğrudan oluşan ailelerde $C (2, 2) \cdot C (2, 2) = 1$ paralelkenar vardır; gerçekten dört doğru tek bir paralelkenar sınırlar.

Sonuç:

60

Soru 4Kolay

3

satır ve

n

sütundan oluşan, birim karelerle bölünmüş bir tahta veriliyor. İki birim kareyi tam kaplayan bir domino taşı, tahtanın çizgilerine oturacak biçimde toplam

47

farklı konuma yerleştirilebiliyor. Bu konumlardan kaç tanesinde domino yatay durur?

Yatay domino bir satırda yan yana iki kareyi kaplar. $n$ karelik bir satırda $n - 1$ konum vardır; $3$ satırda $3 (n - 1)$ yatay konum olur.
Dikey domino bir sütunda alt alta iki kareyi kaplar. $3$ karelik bir sütunda $2$ konum vardır; $n$ sütunda $2 n$ dikey konum olur.
Toplam: $3 (n - 1) + 2 n = 5 n - 3 = 47$ , yani $n = 10$ .
Yatay konumlar: $3 \cdot 9 = 27$ . Kontrol: dikey konumlar $2 \cdot 10 = 20$ ve $27 + 20 = 47$ .
Çeldiriciler: $20$ dikey konumların sayısıdır; $47$ toplamın kendisidir; $30 = 3 \cdot 10$ bir satırda $n - 1$ yerine $n$ konum saymaktır; $18 = 2 \cdot 9$ ise satır sayısını yatay sayımda da bir eksik almaktır.

Sonuç:

27

Soru 5Orta

Bir düzlemde

8

farklı doğru çiziliyor. Bu doğrulardan tam

3

'ü birbirine paraleldir; başka paralel doğru yoktur ve hiçbir üç doğru aynı noktadan geçmez. Bu doğrular düzlemi kaç bölgeye ayırır?

Yeni çizilen bir doğru, önceki doğruları $k$ farklı noktada kesiyorsa $k + 1$ parçaya ayrılır ve her parça bir bölgeyi ikiye böler; yani $k + 1$ yeni bölge ekler.
Önce paralel $3$ doğruyu çizelim: düzlem $4$ şeride ayrılır.
Kalan $5$ doğruyu sırayla ekleyelim. $4$ 'üncü doğru öncekilerin $3$ 'ünü keser ve $4$ bölge ekler; sonrakiler $5$ , $6$ , $7$ , $8$ bölge ekler.
Bölge sayısı: $4 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 34$ .
Kontrol: kesişim noktası sayısı $C (8, 2) - C (3, 2) = 28 - 3 = 25$ 'tir ve " $1 + do \overset{g}{˘} ru say ı s ı + kesi \overset{s}{¸} im say ı s ı$ " kuralı $1 + 8 + 25 = 34$ verir.
Çeldiriciler: $37 = 1 + 8 + 28$ paralel doğruları kesişiyor saymaktır; $25$ bölge yerine kesişim sayısını vermektir; $26$ doğru sayısını, $33$ ise başlangıçtaki tek bölgeyi ( $+ 1$ ) eklemeyi unutmaktır.

Sonuç:

34

Soru 6Orta

Bir çemberin üzerinde

9

farklı nokta işaretleniyor ve her iki nokta bir kirişle birleştiriliyor. Çemberin içinde hiçbir üç kiriş aynı noktadan geçmiyor. Kirişlerin çemberin içindeki kesişim noktalarının sayısı kaçtır?

Çember üzerinde $4$ nokta seçilirse, bunların belirlediği $6$ kirişten yalnız ikisi (dörtgenin köşegenleri) çemberin içinde kesişir: her dörtlü tam $1$ iç kesişim noktası verir.
Tersine, içte kesişen iki kirişin $4$ farklı ucu vardır; yani her iç kesişim noktası tek bir dörtlüden gelir. Hiçbir üç kiriş aynı noktadan geçmediği için iki farklı dörtlü aynı noktayı vermez.
Kesişim sayısı: $C (9, 4) = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{24} = 126$ .
Kontrol: $4$ noktada $C (4, 4) = 1$ iç kesişim vardır (iki köşegen); $5$ noktada beşgenin $5$ köşegeni $C (5, 4) = 5$ noktada kesişir.
Çeldiriciler: $36 = C (9, 2)$ kirişlerin sayısıdır; $630 = C (36, 2)$ bütün kiriş çiftlerini saymaktır (ortak ucu olan ya da içte kesişmeyen çiftler de girer); $84 = C (9, 3)$ üçlü seçimidir; $27 = \frac{9 \cdot 6}{2}$ ise dokuzgenin köşegen sayısıdır.

Sonuç:

126

Soru 7Orta

5

satır ve

6

sütundan oluşan, birim karelerle bölünmüş bir tahtada

K

, yukarıdan

2

'nci satırda ve soldan

3

'üncü sütunda bulunan birim karedir. Kenarları tahtanın çizgileri üzerinde olan ve

K

karesini içine alan kaç dikdörtgen vardır? (Kareler dahil.)

Tahtada $6$ yatay çizgi (yukarıdan $y_{0}, \dots, y_{5}$ ) ve $7$ dikey çizgi (soldan $x_{0}, \dots, x_{6}$ ) vardır. $K$ karesi $y_{1}$ ile $y_{2}$ , $x_{2}$ ile $x_{3}$ arasındadır.
Dikdörtgenin üst kenarı $K$ 'nin üst kenarında ya da daha yukarıda olmalıdır: $y_{0}$ veya $y_{1}$ , yani $2$ seçenek. Alt kenarı $K$ 'nin alt kenarında ya da aşağıda: $y_{2}, \dots, y_{5}$ , yani $4$ seçenek.
Sol kenarı $x_{0}$ , $x_{1}$ veya $x_{2}$ ( $3$ seçenek), sağ kenarı $x_{3}, \dots, x_{6}$ ( $4$ seçenek) olabilir.
Bu dört seçim birbirinden bağımsızdır: $2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 4 = 96$ .
Kontrol: tahtadaki bütün dikdörtgenler $C (6, 2) \cdot C (7, 2) = 15 \cdot 21 = 315$ 'tir ve $96 < 315$ .
Çeldiriciler: $315$ , $K$ koşulunu atlamaktır; $13 = 2 + 4 + 3 + 4$ çarpmak yerine toplamaktır; $20 = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4$ yatay ve dikey seçimleri toplamaktır; $18 = 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3$ ise $K$ 'nin kendi kenarlarını seçenek saymamaktır.

Sonuç:

96

Soru 8Orta

Bir yarım çemberin çapı

[A B]

'dir.

[A B]

çapı üzerinde

A

B

dahil

5

nokta, yay üzerinde ise

A

B

dışında

4

nokta işaretleniyor. Çap üzerindeki noktalar dışında hiçbir üç nokta doğrusal değildir. Köşeleri işaretlenen bu

9

noktadan seçilen kaç farklı üçgen vardır?

Tüm üçlüler: $C (9, 3) = 84$ .
Çap üzerindeki $5$ nokta ( $A$ ve $B$ dahil) aynı doğrudadır; bunlardan seçilen $C (5, 3) = 10$ üçlü üçgen oluşturmaz. Yay üzerindeki üç nokta ise doğrusal değildir, çünkü bir doğru çemberi en çok iki noktada keser.
Üçgen sayısı: $84 - 10 = 74$ . Doğrusal üçlüler hiçbir üçgen vermediği için geri ekleme yapılmaz.
Kontrol (durumlara ayırarak): çaptan $2$ , yaydan $1$ nokta: $C (5, 2) \cdot 4 = 40$ ; çaptan $1$ , yaydan $2$ : $5 \cdot C (4, 2) = 30$ ; yaydan $3$ : $C (4, 3) = 4$ . Toplam $40 + 30 + 4 = 74$ .
Çeldiriciler: $75$ doğru sayısındaki " $+ 1$ " alışkanlığını üçgene taşımaktır; $84$ doğrusal üçlüleri çıkarmamaktır; $83 = 84 - C (3, 3)$ , $A$ ve $B$ 'yi çap üzerinde saymamaktır; $80 = 84 - C (4, 3)$ ise yay üzerindeki noktaları doğrusal sanıp çaptakileri unutmaktır.

Sonuç:

74

Soru 9Orta

Bir düzlemde

10

farklı nokta veriliyor.

A

noktası da dahil olmak üzere bu noktaların

4

'ü aynı

d

doğrusu üzerindedir; bunlar dışında hiçbir üç nokta doğrusal değildir. Bir köşesi

A

olan ve öbür iki köşesi bu noktalardan seçilen kaç farklı üçgen vardır?

Bir köşe $A$ olarak sabitlenince geriye öbür $9$ noktadan $2$ 'sini seçmek kalır: $C (9, 2) = 36$ seçim.
Bu seçimlerden bozuk olanlar, $A$ ile birlikte doğrusal üçlü oluşturan çiftlerdir: $d$ üzerindeki öbür $3$ noktadan seçilen çiftler, yani $C (3, 2) = 3$ çift.
Üçgen sayısı: $36 - 3 = 33$ .
Kontrol (durumlara ayırarak): $d$ dışındaki $6$ noktadan iki nokta: $C (6, 2) = 15$ ; $d$ dışından bir, $d$ üzerinden ( $A$ hariç) bir nokta: $6 \cdot 3 = 18$ . Toplam $15 + 18 = 33$ .
Çeldiriciler: $36$ doğrusal noktaları hiç düşmemektir; $35$ doğrusal grubu tek bir bozuk seçim saymaktır; $32 = 36 - C (4, 3)$ $A$ 'yı içermeyen doğrusal üçlüleri de çıkarmaktır; $116 = C (10, 3) - C (4, 3)$ ise $A$ koşulunu atlayıp bütün üçgenleri saymaktır.

Sonuç:

33

Soru 10Zor

Tabanı dışbükey bir

n

-gen olan dik prizmanın cisim köşegeni sayısı

40

'tır. Bu prizmanın yüz köşegeni sayısı kaçtır?

Üst tabandaki bir köşe, alt tabanda kendi altındaki köşe ve onun iki komşusuyla bir yüzü paylaşır; kalan $n - 3$ köşeyle hiçbir yüzü paylaşmaz. Her cisim köşegeninin bir ucu üstte, bir ucu altta olduğundan cisim köşegeni sayısı $n (n - 3)$ 'tür.
$n (n - 3) = 40 = 8 \cdot 5$ , yani $n = 8$ (sekizgen dik prizma).
Yan yüzler $8$ dikdörtgendir ve her birinde $2$ köşegen vardır: $16$ .
İki tabanın her biri sekizgendir ve $\frac{8 \cdot 5}{2} = 20$ köşegeni vardır: $2 \cdot 20 = 40$ .
Yüz köşegeni sayısı: $16 + 40 = 56$ . Bu, $n (n - 1) = 8 \cdot 7 = 56$ ile de uyuşur.
Kontrol: $16$ köşenin $C (16, 2) = 120$ çifti vardır. Ayrıtlar $3 n = 24$ , yüz köşegenleri $56$ , cisim köşegenleri $40$ : $24 + 56 + 40 = 120$ .
Çeldiriciler: $16$ yalnız yan yüzleri, $40$ yalnız tabanları, $20$ tek bir tabanı saymaktır; $36 = 16 + 20$ ise ikinci tabanı unutmaktır.

Sonuç:

56

Soru 11Zor

Bir düzlemde, yatay ve dikey aralıkları eşit olacak biçimde

3

satır ve

4

sütun hâlinde dizilmiş

12

nokta veriliyor (her satırda

4

, her sütunda

3

nokta). Köşeleri bu noktalardan seçilen kaç farklı üçgen vardır?

Tüm üçlüler: $C (12, 3) = 220$ . Bunlardan doğrusal üçlüleri çıkaracağız.
Hangi doğrular üç nokta taşıyabilir? Bir doğru üzerindeki ızgara noktaları, en küçük bir adımın katları kadar aralıklarla dizilir; bu adım $a$ sütun sağa ve $b$ satır yukarı olsun ( $a$ ile $b$ aralarında asal). Noktalar eşit aralıklı olmak zorunda değildir (bir satırdaki $1$ , $2$ ve $4$ 'üncü noktalar gibi), ama üç nokta en az iki adım yer kaplar. Bu yüzden $2∣ a ∣ \leq 3$ ve $2∣ b ∣ \leq 2$ olmalıdır, çünkü ızgarada en çok $3$ sütun aralığı ve $2$ satır aralığı vardır. Buradan $∣ a ∣ \leq 1$ ve $∣ b ∣ \leq 1$ çıkar. Yani yalnız yatay, dikey ve eğimi $\pm 1$ olan doğrular kalır.
Satırlar: her satırda $4$ nokta vardır ve $C (4, 3) = 4$ doğrusal üçlü verir; $3$ satırda $12$ .
Sütunlar: her sütunda $3$ nokta, $1$ üçlü; $4$ sütunda $4$ .
Çapraz doğrular: eğimi $1$ olan ve üç nokta taşıyan doğru, alt satırın $1$ 'inci ya da $2$ 'nci noktasından başlar: $2$ üçlü. Eğimi $- 1$ olanlar için de $2$ üçlü. Toplam $4$ .
Doğrusal üçlüler $12 + 4 + 4 = 20$ ; üçgen sayısı $220 - 20 = 200$ .
Çeldiriciler: $220$ hiç çıkarma yapmamaktır; $208$ yalnız satırları, $204$ satır ve sütunları çıkarıp çaprazları unutmaktır; $209 = 220 - (3 + 4 + 4)$ ise $4$ noktalı her satırı tek bir doğrusal üçlü saymaktır.

Sonuç:

200

Soru 12Zor

Dışbükey bir dokuzgenin köşelerinden seçilen üç köşeyle oluşturulan üçgenlerden kaç tanesinin hiçbir kenarı dokuzgenin bir kenarı değildir?

Tüm üçgenler: $C (9, 3) = 84$ (dışbükey çokgende hiçbir üç köşe doğrusal değildir).
Dokuzgenle iki kenarı ortak olan üçgenler, ardışık üç köşeden oluşur ( $A B C$ , $B C D$ , …): her köşe ortada bir kez durur, $9$ tane.
Dokuzgenle tam bir kenarı ortak olan üçgenler: bir kenar seçilir ( $9$ yol), üçüncü köşe bu kenarın iki ucu ve onların birer komşusu dışında kalan $9 - 4 = 5$ köşeden seçilir: $9 \cdot 5 = 45$ .
Hiçbir kenarı ortak olmayan üçgenler: $84 - 9 - 45 = 30$ .
Kontrol (doğrudan sayım): $A$ köşesini içeren uygun üçgenlerde öbür iki köşe, $A$ 'nın komşusu olmayan $6$ köşeden ( $C, D, E, F, G, H$ ) birbirine komşu olmadan seçilir. Bu $6$ köşe bir sıra oluşturur; komşu olmayan iki köşe $C (6, 2) - 5 = 10$ yolla seçilir. Her üçgen üç köşesinden sayıldığı için $\frac{9 \cdot 10}{3} = 30$ .
Çeldiriciler: $21 = 84 - 9 \cdot 7$ her kenarı kalan $7$ köşenin hepsiyle eşleyip iki kenarı ortak üçgenleri iki kez çıkarmaktır; $39 = 84 - 45$ iki kenarı ortak üçgenleri unutmaktır; $75 = 84 - 9$ yalnız ardışık üçlüleri çıkarmaktır; $84$ hiç çıkarma yapmamaktır.

Sonuç:

30

Soru 13Orta

Dış yüzeyinin tamamı boyanmış

n \times n \times n

boyutlarındaki bir küp,

n^{3}

tane eş birim küpe ayrılıyor. Hiçbir yüzü boyanmamış birim küplerin sayısı

216

'dır. Tam

2

yüzü boyalı kaç birim küp vardır?

Hiçbir yüzü boyanmamış birim küpler, dış kabuk soyulunca kalan içteki $(n - 2) \times (n - 2) \times (n - 2)$ küptür: $(n - 2)^{3} = 216 = 6^{3}$ .
Buradan $n - 2 = 6$ , yani $n = 8$ .
Tam $2$ yüzü boyalı birim küpler ayrıtların üzerindedir, ama her ayrıtın iki ucundaki köşe küpleri hariçtir (onların $3$ yüzü boyalıdır). Her ayrıtta $n - 2 = 6$ küp, $12$ ayrıtta $12 \cdot 6 = 72$ .
Kontrol: $3$ yüzü boyalı $8$ , $2$ yüzü boyalı $72$ , $1$ yüzü boyalı $6 \cdot 6^{2} = 216$ , boyasız $216$ ; toplam $8 + 72 + 216 + 216 = 512 = 8^{3}$ .
Çeldiriciler: $96 = 12 \cdot 8$ köşe küplerini de ayrıtlara katmaktır; $80 = 8 + 72$ "tam $2$ " yerine "en az $2$ " saymaktır; $48$ , $n^{3} = 216$ yazıp $n = 6$ bulmaktan, $60$ ise $(n - 1)^{3} = 216$ yazıp $n = 7$ bulmaktan gelir.

Sonuç:

72

0/13 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Doğrusal noktaları düşmemek ya da düştükten sonra o doğruyu geri eklememek. $k$ doğrusal nokta tek bir doğru verir: $C (n, 2) - C (k, 2) + 1$ (Örnek 2).
Doğrusal üçlüleri üçgen saymak. Üçgen sayısında $C (k, 3)$ çıkarılır ve geri ekleme yapılmaz (Örnek 2 b, Örnek 3).
Kenar üzerindeki noktalarda köşelerin dahil olup olmadığını okumamak. Köşeler eklenince her kenardaki doğrusal nokta sayısı $2$ artar (Örnek 3 b).
Köşegen sayısına kenarları da katmak. $C (n, 2)$ köşe çiftlerinin hepsidir; köşegen sayısı $C (n, 2) - n = \frac{n ( n - 3 )}{2}$ 'dir (Örnek 4).
Paralel doğruların kesişmediğini ya da iki çemberin $2$ noktada kesiştiğini unutmak. Paralel aile için $C (p, 2)$ çıkarılır, çember çiftleri $2$ ile çarpılır (Örnek 5).
Izgarada satır ve sütun sayısını çizgi sayısıyla karıştırmak. $4 \times 6$ tahtada $5$ yatay ve $7$ dikey çizgi vardır (Örnek 6 a).
Kare sayısında yalnız birim kareleri saymak ya da dikdörtgen formülüyle kare bulmak. Kareler boyutlara göre toplanır (Örnek 6 b).
Domino sayımında yatay ya da dikey konumlardan birini atlamak, ya da bir dominoyu iki kez saymak. Her domino tahtanın içindeki tek bir birim kenara karşılık gelir (Örnek 6 c).
Küpte aynı düzlemdeki dört köşeyi farklı düzlemler gibi saymak; yüz köşegeni ile cisim köşegenini karıştırmak. Küpte $12$ düzlemde dörder köşe vardır; $12$ yüz köşegeni ve $4$ cisim köşegeni bulunur (Örnek 7, Bölüm 10).
Boyalı küpte köşe, ayrıt ve yüz küplerini karıştırmak. Ayrıtta $12 n$ değil $12 (n - 2)$ , yüzde $6 n^{2}$ değil $6 (n - 2)^{2}$ yazılır (Örnek 8).
Dörtgen sayısını $C (n, 4)$ ile her durumda bulmak. Bu formül yalnız noktalar dışbükey konumdaysa geçerlidir (Bölüm 3).

Özet

Durum	Sayı
$n$ nokta, $k$ 'sı doğrusal: doğru	$C (n, 2) - C (k, 2) + 1$
$n$ nokta, $k$ 'sı doğrusal: üçgen	$C (n, 3) - C (k, 3)$
İki paralel doğru üzerinde $a$ ve $b$ nokta: dörtgen	$C (a, 2) \cdot C (b, 2)$
$n$ -genin bir köşesinden / toplam köşegen	$n - 3$ / $\frac{n ( n - 3 )}{2}$
$n$ doğru ( $p$ 'si paralel): en çok kesişim	$C (n, 2) - C (p, 2)$
$m$ çember / $n$ doğru ile $m$ çember: en çok kesişim	$2 \cdot C (m, 2)$ / $2 nm$
$n$ doğrunun düzlemi ayırdığı en çok bölge	$1 + n + C (n, 2)$
$m$ ve $n$ paralel doğrudan oluşan iki aile: paralelkenar	$C (m, 2) \cdot C (n, 2)$
$r \times c$ ızgara: dikdörtgen	$C (r + 1, 2) \cdot C (c + 1, 2)$
$r \times c$ ızgara: domino konumu	$r (c - 1) + (r - 1) c$
Çemberde $n$ nokta: kirişlerin en çok iç kesişimi	$C (n, 4)$
$n$ -gen dik prizma: yüz / cisim köşegeni	$n (n - 1)$ / $n (n - 3)$
Boyalı $n \times n \times n$ küp: $3$ / $2$ / $1$ / $0$ yüzü boyalı	$8$ / $12 (n - 2)$ / $6 (n - 2)^{2}$ / $(n - 2)^{3}$

Pratik İpucu

Her soruda önce "bu nesneyi ne belirler?" diye sor: nokta mı, doğru mu, çizgi çifti mi? Sonra bozulan seçimleri bul.
Doğrusal noktalar varsa doğru sayısında sil ve bir kez geri ekle, üçgen sayısında yalnız sil.
Izgara sorularında işe kareleri değil çizgileri sayarak başla.
Boyalı küpte bulduğun dört sayıyı topla; toplam $n^{3}$ etmiyorsa bir yerde köşeleri iki kez saymışsındır.

1. Geometrik Nesneyi Seçime Çevirmek

2. Doğru Sayısı ve Doğrusal Noktalar

3. Üçgen ve Dörtgen Sayısı: Tümü − Bozulan Seçimler

4. Çokgenin Köşegenleri

5. Doğruların ve Çemberlerin En Çok Kesişim Noktası

6. Düzlemi Bölen Doğrular: Bölge Sayısı (Örüntü)

7. Paralel Doğru Aileleri: Paralelkenar ve Dikdörtgen

8. Izgarada Dikdörtgen, Kare ve Domino Sayma

9. Çemberde Kirişler ve Düzgün Altıgende Özel Üçgenler

10. Uzayda Sayma: Küp, Prizma ve Piramit

11. Boyalı Küp: Kaç Birim Küpün Kaç Yüzü Boyalı?

Çözümlü Sorular

Pekiştirme Soruları

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Özet

Pratik İpucu

Sayma, Olasılık ve İstatistik — diğer konular