TYT Matematik · Temel Geometri

Dörtgenler ve Çokgenler

~10 dk okumaZorluk: Orta19 çözümlü soru

Dörtgenler ve çokgenler, TYT geometrisinin en çok soru getiren konularından biridir. Bu derste önce çokgenlerde iç ve dış açı toplamını, ardından kare, dikdörtgen, paralelkenar, eşkenar dörtgen ve yamuğun özelliklerini ve alan formüllerini ezbersiz, sebebiyle birlikte öğreneceksin. Tüm formüller sınavda doğrudan işine yarayacak biçimde, örneklerle pekiştirilmiştir.

1. Çokgenlerde Açılar

Bir çokgen, kenarları doğru parçalarından oluşan kapalı bir şekildir. Kenar sayısı $n$ olan bir çokgende açılarla ilgili iki temel bağıntı vardır.

İç açılar toplamı. $n$ kenarlı bir çokgenin iç açılarının toplamı:

$\text{İç açılar toplamı}=(n-2)\cdot 180°$

Bunun sebebi, çokgenin bir köşesinden çizilen köşegenlerle $(n-2)$ tane üçgene ayrılması ve her üçgenin iç açıları toplamının $180°$ olmasıdır.

Dış açılar toplamı. Çokgen kaç kenarlı olursa olsun, dış açılarının toplamı her zaman $360°$ 'dir:

$\text{Dış açılar toplamı}=360°$

Düzgün çokgen. Tüm kenarları ve açıları eşit olan çokgene düzgün çokgen denir. Düzgün bir çokgende bir iç açı:

$\text{Bir iç açı}=\dfrac{(n-2)\cdot 180°}{n}$

$n$ (kenar)	Çokgen	İç açılar toplamı	Düzgünde bir iç açı
$3$	Üçgen	$180°$	$60°$
$4$	Dörtgen	$360°$	$90°$
$5$	Beşgen	$540°$	$108°$
$6$	Altıgen	$720°$	$120°$

2. Dörtgen ve İç Açıları

Dörtgen, dört kenarı olan çokgendir ( $n=4$ ). Buna göre her dörtgenin iç açıları toplamı:

$(4-2)\cdot 180°=360°$

Yani bir dörtgenin dört iç açısının toplamı her zaman $360°$ 'dir. Bu bağıntı, özel dörtgenlerin (kare, dikdörtgen, paralelkenar, eşkenar dörtgen, yamuk) hepsi için geçerlidir.

3. Özel Dörtgenler ve Alanları

Aşağıdaki tablo, TYT'de en sık karşına çıkan özel dörtgenlerin alan, çevre ve köşegen bağıntılarını toplar.

Dörtgen	Alan	Çevre / Köşegen
Kare (kenar $a$ )	$A=a^{2}$	Çevre $=4a$ , köşegen $=a\sqrt{2}$
Dikdörtgen (kenarlar $a,b$ )	$A=a\cdot b$	Köşegen $=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
Paralelkenar	$A=\text{taban}\times\text{yükseklik}$	Karşılıklı kenarlar eşit ve paralel
Eşkenar dörtgen (köşegenler $e,f$ )	$A=\dfrac{e\cdot f}{2}$	Köşegenler birbirini dik ortalar
Yamuk (paralel kenarlar $a,c$ ; yükseklik $h$ )	$A=\dfrac{(a+c)}{2}\cdot h$	Yalnız bir çift kenar paraleldir

Paralelkenar

Paralelkenarın alanı, taban ile o tabana ait yüksekliğin çarpımıdır. Yükseklik, tabana çizilen diktir; kenar uzunluğu değildir.

Şekil 1 — Paralelkenarda alan

=\text{taban}\times h

. Yükseklik

h

, tabana dik (kesik çizgi) olarak çizilir.

Yamuk

Yamukta yalnızca bir çift kenar paraleldir. Alanı, paralel kenarların toplamının yarısı ile yüksekliğin çarpımıdır:

$A=\dfrac{(a+c)}{2}\cdot h$

Şekil 2 — Yamukta paralel kenarlar

a

c

, yükseklik ise bunlar arasındaki dik uzaklık

h

'dir.

Eşkenar Dörtgen

Eşkenar dörtgenin dört kenarı eşittir ve köşegenleri birbirini dik keser. Alanı, köşegenler çarpımının yarısıdır:

$A=\dfrac{e\cdot f}{2}$

Şekil 3 — Eşkenar dörtgende köşegenler

e

f

birbirini dik ortalar; alan köşegenler çarpımının yarısıdır.

4. Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

Bir beşgenin iç açıları toplamı kaç derecedir?

İç açılar toplamı formülü: $(n-2)\cdot 180°$ .
Beşgende $n=5$ yazılır: $(5-2)\cdot 180°=3\cdot 180°=540°$ .

Sonuç:

540°

Örnek

Soru

Düzgün bir altıgenin bir iç açısı kaç derecedir?

Düzgün çokgende tüm açılar eşittir; iç açılar toplamını kenar sayısına böl.

Bir iç açı formülü: $\dfrac{(n-2)\cdot 180°}{n}$ .
Altıgende $n=6$ yazılır: $\dfrac{(6-2)\cdot 180°}{6}=\dfrac{4\cdot 180°}{6}=\dfrac{720°}{6}=120°$ .

Sonuç:

120°

Örnek

Soru

Tabanı $10$ br, bu tabana ait yüksekliği $6$ br olan bir paralelkenarın alanı kaç br $^2$ 'dir?

Paralelkenarın alanı: $A=\text{taban}\times\text{yükseklik}$ .
Değerleri yerine yaz: $A=10\cdot 6=60$ .

Sonuç:

60\ \text{br}^2

Örnek

Soru

Paralel kenarları $8$ br ve $12$ br, yüksekliği $5$ br olan bir yamuğun alanı kaç br $^2$ 'dir?

Önce paralel kenarları topla, sonra yarısını al; en son yükseklikle çarp.

Yamuk alanı: $A=\dfrac{(a+c)}{2}\cdot h$ .
Paralel kenarları topla: $a+c=8+12=20$ .
Yarısını alıp yükseklikle çarp: $A=\dfrac{20}{2}\cdot 5=10\cdot 5=50$ .

Sonuç:

50\ \text{br}^2

Örnek

Soru

Köşegenleri $6$ br ve $8$ br olan bir eşkenar dörtgenin alanı kaç br $^2$ 'dir?

Eşkenar dörtgen alanı: $A=\dfrac{e\cdot f}{2}$ .
Köşegenleri yerine yaz: $A=\dfrac{6\cdot 8}{2}=\dfrac{48}{2}=24$ .

Sonuç:

24\ \text{br}^2

Örnek

Soru

Bir kenarı $6$ br olan karenin köşegen uzunluğu kaç br'dir?

Karede köşegen, kenar uzunluğunun $\sqrt{2}$ katıdır.

Karenin köşegeni: $\text{köşegen}=a\sqrt{2}$ .
$a=6$ yazılır: $\text{köşegen}=6\sqrt{2}$ .

Sonuç:

6\sqrt{2}\ \text{br}

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

Bir sekizgenin iç açıları toplamı kaç derecedir?

İç açılar toplamı formülü: $(n-2)\cdot 180°$ .
Sekizgende $n=8$ yazılır: $(8-2)\cdot 180°=6\cdot 180°=1080°$ .

Sonuç:

1080°

Örnek

Soru

Bir dış açısı $40°$ olan düzgün çokgenin kenar sayısı kaçtır?

Düzgün çokgende dış açılar toplamı $360°$ 'dir ve tüm dış açılar eşittir.
Kenar sayısı, toplamın bir dış açıya bölünmesiyle bulunur: $n=\dfrac{360°}{40°}=9$ .

Sonuç:

9

Örnek

Soru

Kenarları $12$ br ve $5$ br olan bir dikdörtgenin köşegen uzunluğu kaç br'dir?

Dikdörtgenin köşegeni: $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ .
Değerleri yaz: $\sqrt{12^{2}+5^{2}}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$ .

Sonuç:

13\ \text{br}

Örnek

Soru

Bir dörtgenin üç iç açısı $80°$ , $95°$ ve $110°$ 'dir. Dördüncü iç açı kaç derecedir?

Dörtgenin iç açıları toplamı $360°$ 'dir.
Bilinen üç açıyı topla: $80°+95°+110°=285°$ .
Dördüncü açı: $360°-285°=75°$ .

Sonuç:

75°

Örnek

Soru

Bir eşkenar dörtgenin bir kenarı $10$ br, köşegenlerinden biri $12$ br'dir. Bu eşkenar dörtgenin alanı kaç br $^2$ 'dir?

Köşegenler birbirini dik ortaladığı için, yarım köşegenler ile bir kenar dik üçgen oluşturur.

Köşegenler birbirini dik ortalar; bilinen köşegenin yarısı $\dfrac{12}{2}=6$ br'dir.
Diğer köşegenin yarısı $x$ olsun. Dik üçgende: $6^{2}+x^{2}=10^{2}\Rightarrow x^{2}=100-36=64\Rightarrow x=8$ .
İkinci köşegenin tamamı $2\cdot 8=16$ br olur.
Alan: $A=\dfrac{e\cdot f}{2}=\dfrac{12\cdot 16}{2}=96$ .

Sonuç:

96\ \text{br}^2

Örnek

Soru

Paralel kenarları $9$ br ve $21$ br olan bir yamuğun alanı $90$ br $^2$ 'dir. Bu yamuğun yüksekliği kaç br'dir?

Yamuk alanı: $A=\dfrac{(a+c)}{2}\cdot h$ .
Paralel kenarları topla: $a+c=9+21=30$ , yarısı $\dfrac{30}{2}=15$ .
Alanı yerine yaz: $90=15\cdot h\Rightarrow h=\dfrac{90}{15}=6$ .

Sonuç:

6\ \text{br}

Örnek

Soru

Bir iç açısı $150°$ olan düzgün çokgenin kenar sayısı kaçtır?

Bir iç açı ile bir dış açının toplamı $180°$ 'dir; dış açıdan kenar sayısını bulmak daha kısadır.

Düzgün çokgende bir dış açı: $180°-150°=30°$ .
Dış açılar toplamı $360°$ olduğundan kenar sayısı: $n=\dfrac{360°}{30°}=12$ .

Sonuç:

12

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek

Soru

Tabanları $8$ ve $12$ birim, yüksekliği $5$ birim olan bir yamuğun alanı kaç birim karedir?

A) $40$ · B) $45$ · C) $48$ · D) $50$ · E) $60$

$A=\dfrac{(a+c)}{2}\cdot h=\dfrac{8+12}{2}\cdot 5=10\cdot 5=50$ .

Sonuç: D)

50

Örnek

Soru

Bir dikdörtgenin bir kenarı $5$ birim, köşegen uzunluğu $13$ birimdir.

Buna göre diğer kenar kaç birimdir?

A) $10$ · B) $11$ · C) $12$ · D) $13$ · E) $14$

Pisagor: $b^{2}=13^{2}-5^{2}=169-25=144$ .
$b=12$ ( $5$ - $12$ - $13$ üçlüsü).

Sonuç: C)

12

Örnek

Soru

Bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü $135°$ 'dir.

Buna göre çokgenin kenar sayısı kaçtır?

A) $6$ · B) $7$ · C) $8$ · D) $9$ · E) $10$

Dış açı $180°-135°$ ; düzgün çokgende dış açılar toplamı $360°$ 'dir.

Dış açı: $180°-135°=45°$ .
$n=\dfrac{360°}{45°}=8$ .

Sonuç: C)

8

Örnek

Soru

Bir park, paralel iki kenarı $30$ m ve $50$ m, bu kenarlar arası dik uzaklığı $24$ m olan yamuk biçiminde bir çim alandır. Çim ekimi metrekare başına $3$ TL'dir.

Buna göre tüm alanın çimlendirilmesi kaç TL tutar?

A) $960$ · B) $1440$ · C) $2160$ · D) $2880$ · E) $3600$

Önce yamuk alanını $\dfrac{(a+c)}{2}\cdot h$ ile bul, sonra $3$ ile çarp.

Yamuk alanı: $A=\dfrac{30+50}{2}\cdot 24=40\cdot 24=960$ m $^2$ .
Maliyet: $960\cdot 3=2880$ TL.
Çeldirici: $960$ TL alanı para sanmaktır; metrekare maliyetiyle çarpılmalı.

Sonuç: D)

2880

Örnek

Soru

Bir bahçıvan, köşegenleri $16$ m ve $12$ m olan eşkenar dörtgen biçimli bir tarhın çevresine çit çekecektir.

Buna göre gereken çit uzunluğu kaç metredir?

A) $20$ · B) $28$ · C) $40$ · D) $48$ · E) $56$

Köşegenler birbirini dik ortalar; yarım köşegenler bir kenarla dik üçgen oluşturur. Önce kenarı bul.

Yarım köşegenler $8$ m ve $6$ m; kenar $a=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$ m ( $6$ - $8$ - $10$ ).
Eşkenar dörtgenin dört kenarı eşit: çevre $=4\cdot 10=40$ m.
Çeldirici: köşegenleri toplayıp ( $16+12=28$ ) çevre sanmak yanlıştır.

Sonuç: C)

40

Örnek

Soru

Bir mozaik desende düzgün bir çokgenin bir köşesinde, çokgenin bir iç açısı ile bir dış açısı yan yana geliyor. İç açının dış açıya oranı $4$ ise, bu düzgün çokgenin kenar sayısı kaçtır?

A) $8$ · B) $9$ · C) $10$ · D) $12$ · E) $15$

Bir iç açı ile bir dış açı bütünlerdir (toplam $180°$ ). İç $=4\cdot$ dış denklemiyle dış açıyı bul, sonra $n=\dfrac{360°}{\text{dış}}$ .

İç $+$ dış $=180°$ ve iç $=4\cdot$ dış: $4d+d=180°\Rightarrow 5d=180°\Rightarrow d=36°$ .
Kenar sayısı: $n=\dfrac{360°}{36°}=10$ .
Çeldirici: iç açı $144°$ 'yi doğrudan $\dfrac{360}{144}$ yapmak hatalıdır; kenar sayısı dış açıdan bulunur.

Sonuç: C)

10

Sık Yapılan Hatalar

Yamuk alanında paralel kenarları toplamayı ya da $2$ 'ye bölmeyi unutmak. Doğrusu önce $a+c$ toplanır, $2$ 'ye bölünür, sonra $h$ ile çarpılır.
Eşkenar dörtgende köşegen çarpımını $2$ 'ye bölmemek. Alan $e\cdot f$ değil, $\dfrac{e\cdot f}{2}$ 'dir.
İç açı toplamı formülünde $n-2$ yerine başka bir ifade kullanmak. Doğrusu daima $(n-2)\cdot 180°$ 'dir; örneğin beşgende $n-2=3$ olur.
Paralelkenarda yükseklik yerine yan kenarı kullanmak. Alanda kullanılan yükseklik, tabana çizilen diktir; yan kenar uzunluğu değildir.

Sınav İpucu

ÖSYM, bu konuda çoğunlukla formülün doğrudan uygulanmasını ister. Hızlı ve hatasız çözüm için:

Şekli kâğıda çiz; paralel kenarları ve yüksekliği mutlaka işaretle. Yüksekliğin tabana dik olduğunu unutma.
Düzgün çokgen sorularında önce iç açılar toplamını bulup kenar sayısına bölmek, çoğu zaman doğrudan iç açıyı ezberlemekten daha güvenlidir.
Eşkenar dörtgen ile yamuğu karıştırma: eşkenar dörtgende köşegenler, yamukta paralel kenarlar alana girer.
Karede köşegen $a\sqrt{2}$ , dikdörtgende köşegen $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ ; ikisini birbirine karıştırma.

1. Çokgenlerde Açılar

2. Dörtgen ve İç Açıları

3. Özel Dörtgenler ve Alanları

Paralelkenar

Yamuk

Eşkenar Dörtgen

4. Çözümlü Örnekler

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Temel Geometri — diğer konular