TYT Matematik · Temel Geometri

Çember ve Daire

~9 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soruTYT'de ~7 soru/yıl · Sınavda çok yüksek ağırlık

Çember ve daire, TYT geometrinin en çok soru getiren başlıklarından biridir. Bu konuda temel kavramları, çemberdeki açı bağıntılarını, teğetin yarıçapa dikliğini ve dairenin çevre, alan ile dilim formüllerini hatasız oturtacağız. Tüm kural ve örnekler doğrudan sınav formatındadır.

1. Temel Kavramlar

Çember, bir düzlemde sabit bir noktadan (merkez) eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu kapalı eğridir. Daire ise bu eğri ile içinin tamamıdır.

Kavram	Anlamı
Merkez ( $O$ )	Tüm noktalara eşit uzaklıktaki sabit nokta
Yarıçap ( $r$ )	Merkezden çember üzerindeki bir noktaya uzaklık
Çap ( $2 r$ )	Merkezden geçen, iki ucu çember üzerinde olan en uzun kiriş
Kiriş	Çember üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçası
Yay	Çemberin iki nokta arasında kalan parçası
Teğet	Çembere yalnızca bir noktada değen doğru

2. Çemberde Açılar

Çemberdeki açıları, gördükleri yay üzerinden tanımlarız.

Merkez açı: Köşesi merkezde olan açıdır. Ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
Çevre açı: Köşesi çember üzerinde olan açıdır. Ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısıdır.

Bu iki kuralı birleştirirsek en sık kullanılan sonuç çıkar:

$\overset{C}{¸} evre a \overset{c}{¸} ı = \frac{Merkez a c ¸ ı}{2} (ayn ı yay ı g \overset{o}{¨} r \overset{u}{¨} yorlarsa)$

Şekil 1 — Aynı

A B

yayını gören merkez açı (

2 α

) ve çevre açı (

α

). Çevre açı, merkez açının yarısıdır.

Bağıntı: Aynı yayı gören tüm çevre açılar birbirine eşittir; çünkü hepsi aynı yayın yarısına eşittir.

3. Teğet ve Yarıçap

Bir çembere değme noktasında çizilen teğet, o noktadaki yarıçapa diktir. Yani teğet ile yarıçap arasındaki açı her zaman $90°$ 'dir.

Şekil 2 —

T

değme noktasındaki teğet,

[O T]

yarıçapına diktir (

90°

Bu diklik, dış bir noktadan çizilen teğet uzunluğu sorularında dik üçgen kurmamızı sağlar; çoğu teğet sorusu Pisagor ile çözülür.

4. Daire Çevresi ve Alanı

Yarıçapı $r$ olan dairenin temel formülleri:

$\overset{C}{¸} evre = 2 π r Alan = π r^{2}$

Büyüklük	Formül	Birim
Çevre	$2 π r$	uzunluk
Alan	$π r^{2}$	uzunluk $^{2}$

5. Daire Dilimi (Sektör)

Merkez açısı $α$ olan bir daire dilimi, dairenin tamamının $\frac{α}{360}$ oranındaki parçasıdır. Bu oranı hem alana hem yay uzunluğuna uygularız:

$Dilim alan ı = \frac{α}{360} \cdot π r^{2} Yay uzunlu \overset{g}{˘} u = \frac{α}{360} \cdot 2 π r$

Şekil 3 — Merkez açısı

α

olan taranmış daire dilimi (sektör).

6. Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

Bir yayı gören merkez açı $80°$ ise, aynı yayı gören çevre açının ölçüsü kaç derecedir?

Aynı yayı gören çevre açı, merkez açının yarısıdır.
Yerine yaz: $\frac{80}{2} = 40°$ .

Sonuç: Çevre açı

40°

'dir.

Örnek

Soru

Bir çevre açının ölçüsü $35°$ 'dir. Gördüğü yayın ve aynı yayı gören merkez açının ölçüsü kaç derecedir?

Çevre açı, gördüğü yayın yarısıdır; merkez açı ise yayın tamamına eşittir.

Çevre açı, yayın yarısı olduğundan yay $= 2 \cdot 35 = 70°$ .
Merkez açı, gördüğü yaya eşit olduğundan merkez açı $= 70°$ .

Sonuç: Yay

70°

, merkez açı

70°

'dir.

Örnek

Soru

Yarıçapı $5$ birim olan dairenin alanı kaç birim karedir?

Alan formülünü yaz: $π r^{2}$ .
$r = 5$ yerine koy: $π \cdot 5^{2} = 25 π$ .

Sonuç: Alan

25 π

birim karedir.

Örnek

Soru

Yarıçapı $7$ birim olan dairenin çevresi kaç birimdir?

Çevre formülünü yaz: $2 π r$ .
$r = 7$ yerine koy: $2 π \cdot 7 = 14 π$ .

Sonuç: Çevre

14 π

birimdir.

Örnek

Soru

Yarıçapı $4$ birim, merkez açısı $90°$ olan daire diliminin alanı kaç birim karedir?

Dilim alanı $= \frac{α}{360} \cdot π r^{2}$ . Önce oranı sadeleştir.

Dilim alanı formülü: $\frac{α}{360} \cdot π r^{2}$ .
Oranı yaz: $\frac{90}{360} = \frac{1}{4}$ .
Değerleri yerine koy: $\frac{1}{4} \cdot π \cdot 4^{2} = \frac{1}{4} \cdot 16 π = 4 π$ .

Sonuç: Dilim alanı

4 π

birim karedir.

Örnek

Soru

Yarıçapı $6$ birim, merkez açısı $60°$ olan daire diliminin yay uzunluğu kaç birimdir?

Yay uzunluğu formülü: $\frac{α}{360} \cdot 2 π r$ .
Oranı yaz: $\frac{60}{360} = \frac{1}{6}$ .
Değerleri yerine koy: $\frac{1}{6} \cdot 2 π \cdot 6 = \frac{1}{6} \cdot 12 π = 2 π$ .

Sonuç: Yay uzunluğu

2 π

birimdir.

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

Bir çemberin yarıçapı $3$ birimden $9$ birime çıkarılırsa, dairenin alanı kaç kat artar?

İlk alan: $π \cdot 3^{2} = 9 π$ .
Son alan: $π \cdot 9^{2} = 81 π$ .
Oran: $\frac{81 π}{9 π} = 9$ .

Sonuç: Alan

9

kat artar.

Örnek

Soru

Merkezi $O$ olan bir çemberde, dış noktadan çizilen teğetin değme noktası $T$ 'dir. $O P = 13$ birim ve yarıçap $O T = 5$ birim ise, teğet uzunluğu $P T$ kaç birimdir?

Teğet, değme noktasındaki yarıçapa diktir; $O T P$ dik üçgeninde Pisagor uygula.

$[O T] ⊥ [P T]$ olduğundan $O T P$ üçgeni $T$ noktasında dik açılıdır.
Pisagor: $O P^{2} = O T^{2} + P T^{2}$ .
Yerine yaz: $1 3^{2} = 5^{2} + P T^{2} \Rightarrow 169 = 25 + P T^{2}$ .
Çöz: $P T^{2} = 144 \Rightarrow P T = 12$ .

Sonuç: Teğet uzunluğu

12

birimdir.

Örnek

Soru

Bir daire diliminin merkez açısı $120°$ ve alanı $12 π$ birim karedir. Dairenin yarıçapı kaç birimdir?

Dilim alanı formülü: $\frac{α}{360} \cdot π r^{2} = 12 π$ .
Oranı yaz: $\frac{120}{360} = \frac{1}{3}$ , yani $\frac{1}{3} \cdot π r^{2} = 12 π$ .
$π$ 'leri sadeleştir: $\frac{r ^{2}}{3} = 12 \Rightarrow r^{2} = 36$ .
Çöz: $r = 6$ .

Sonuç: Yarıçap

6

birimdir.

Örnek

Soru

Bir çemberin çevresi $10 π$ birim ise, bu çemberin sınırladığı dairenin alanı kaç birim karedir?

Çevre formülünden yarıçapı bul: $2 π r = 10 π \Rightarrow r = 5$ .
Alan formülünü uygula: $π r^{2} = π \cdot 5^{2} = 25 π$ .

Sonuç: Alan

25 π

birim karedir.

Örnek

Soru

Bir çemberde çapı bir kenarı olan üçgenin üçüncü köşesi çember üzerindedir. Çapın gördüğü yay $180°$ olduğuna göre, bu köşedeki çevre açının ölçüsü kaç derecedir?

Çevre açı, gördüğü yayın yarısına eşittir. Çap, $180°$ 'lik bir yay görür.

Çapın gördüğü yay $180°$ 'dir.
Çevre açı, gördüğü yayın yarısıdır: $\frac{180}{2} = 90°$ .

Sonuç: Çevre açı

90°

'dir (çapı gören çevre açı diktir).

Örnek

Soru

Yarıçapı $10$ birim olan bir dairede, merkez açısı $36°$ olan dilimin alanı kaç birim karedir?

Dilim alanı formülü: $\frac{α}{360} \cdot π r^{2}$ .
Oranı yaz: $\frac{36}{360} = \frac{1}{10}$ .
Değerleri yerine koy: $\frac{1}{10} \cdot π \cdot 1 0^{2} = \frac{1}{10} \cdot 100 π = 10 π$ .

Sonuç: Dilim alanı

10 π

birim karedir.

Örnek

Soru

Merkezi $O$ olan bir çemberde $[A B]$ bir kiriştir. Merkezden $[A B]$ kirişine inilen dikme uzunluğu $8$ birim, yarıçap $10$ birim ise, kiriş uzunluğu $A B$ kaç birimdir?

Merkezden kirişe inilen dikme, kirişi ortalar. Yarıçap, dikme ve kirişin yarısı bir dik üçgen oluşturur.

Merkezden $[A B]$ 'ye inilen dikme kirişi iki eşit parçaya böler; ayağı $H$ olsun.
$O H = 8$ , $O A = 10$ (yarıçap) ile $O H A$ üçgeni $H$ 'de diktir.
Pisagor: $O A^{2} = O H^{2} + H A^{2} \Rightarrow 1 0^{2} = 8^{2} + H A^{2}$ .
Çöz: $H A^{2} = 100 - 64 = 36 \Rightarrow H A = 6$ .
Kiriş, bu yarımın iki katıdır: $A B = 2 \cdot 6 = 12$ .

Sonuç: Kiriş uzunluğu

12

birimdir.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Merkez açı = yay, çevre açı = yayın yarısı: Çevre açıyı gördüğü yaya (merkez açıya) eşit almak yarıya bölünmemiş değer — ör. 50° yerine 100°
Çapı gören çevre açı 90° (yarım çember): Kalan açıyı 90°'den değil 180°'den tamamlamak (dikliği unutmak) bütünler açı — ör. 55° yerine 145°
Teğet ⊥ yarıçap: teğet açı hesabı: Teğet–yarıçap dikliğini kurmayıp teğetler arası açıyı yay sanmak m(p) değerinin kendisi — ör. 140° yerine 40°
Çember çevresi 2πr ve yay uzunluğu: Yay uzunluğunda alan formülü πr² kullanmak (60/360)·36π=6π — 2π yerine 6π
Daire alanı πr² ve daire dilimi alanı: Dilim alanında çevre formülü 2πr kullanmak (120/360)·12π=4π — 12π yerine 4π
Dış noktadan teğet parçalarının eşitliği: İfadeleri eşitlemek yerine toplamayıp/toplayıp yanlış denklem kurmak (2x+3+3x−1=… gibi) denklemsiz rastgele x; şıklarda x'in kendisi (4) cevap sanılır

Soru 1Kolay

Yarıçapı

5

birim olan bir çemberde merkez açısı

90°

olan bir yayın uzunluğu kaç birimdir?

Yay uzunluğu: $\frac{90}{360} \cdot 2 π r = \frac{1}{4} \cdot 10 π = \frac{5 π}{2}$ .

Sonuç:

\frac{5 π}{2}

Soru 2Kolay

Bir çemberde aynı yayı gören merkez açı

80°

ise, bu yayı gören çevre açı kaç derecedir?

Çevre açı, merkez açının yarısıdır: $\frac{80°}{2} = 40°$ .

Sonuç:

40

Soru 3Orta

Yarıçapı

10

birim olan bir çemberde, merkezden bir kirişe inilen dikmenin uzunluğu

6

birimdir. Buna göre kirişin uzunluğu kaç birimdir?

Kirişin yarısı $H A$ : $1 0^{2} = 6^{2} + H A^{2} \Rightarrow H A^{2} = 64 \Rightarrow H A = 8$ .
Kiriş: $A B = 2 \cdot 8 = 16$ .

Sonuç:

16

Soru 4Orta

Bir pizza, yarıçapı

20

cm olan tam bir daire şeklindedir ve merkezden

8

eşit dilime kesilmiştir. Bir kişi

3

dilim yiyor. Buna göre yenen pizzanın alanı kaç cm

^{2}

'dir?

Tüm alan: $π \cdot 2 0^{2} = 400 π$ cm $^{2}$ .
Yenen pay: $\frac{3}{8} \cdot 400 π = 150 π$ cm $^{2}$ .
Çeldirici: $400 π$ tüm pizzadır; $\frac{3}{8}$ oranını uygulamayı atlamak hatadır.

Sonuç:

150 π

Soru 5Zor

Bir gemi, deniz fenerinden tam

13

km uzaktadır. Fenerin etrafındaki sığ (tehlikeli) bölge, fener merkezli yarıçapı

5

km olan bir dairedir. Gemi, bu daireye **teğet** olacak şekilde düz bir rotada ilerleyip tehlikeli bölgeyi sıyırarak geçiyor. Buna göre geminin, teğet değme noktasına olan uzaklığı kaç km'dir?

Teğet değme noktasında yarıçapa dik; dik üçgende hipotenüs merkez–gemi uzaklığı $13$ .
Pisagor: $te \overset{g}{˘} et^{2} = 1 3^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144 \Rightarrow te \overset{g}{˘} et = 12$ km ( $5$ - $12$ - $13$ ).
Çeldirici: $13 - 5 = 8$ (uzaklıkları çıkarmak) yanlıştır; Pisagor gerekir.

Sonuç:

12

Soru 6Orta

Dairesel bir bahçenin etrafına çevre boyunca tel çekiliyor; kullanılan tel uzunluğu

12 π

m'dir. Aynı bahçenin yarıçapı

2

katına çıkarılırsa, **alanı** kaç kat artar?

Yarıçap $2$ katına çıkıyor: $k = 2$ .
Alan oranı $k^{2} = 2^{2} = 4$ ; alan $4$ kat artar.
Çeldirici: yarıçap $2$ katı olunca **çevre** $2$ kat, ama **alan** $4$ kat artar; ikisi karıştırılmamalı.

Sonuç:

4

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Çevre açıyı merkez açıya eşit sanmak. Aynı yayı gören çevre açı, merkez açının yarısıdır; eşit değildir.
Alan ile çevreyi karıştırmak. Alan $π r^{2}$ , çevre ise $2 π r$ 'dir. $r$ kareli olan alandır.
Dilimde oranı unutmak. Dilim alanı ve yay uzunluğunda $\frac{α}{360}$ oranını çarpmayı atlamak en sık hatadır.
Teğet sorusunda dikliği görmemek. Değme noktasındaki yarıçap teğete diktir; dik üçgen kurup Pisagor uygulayın.

Sınav İpucu

ÖSYM dilim sorularında açı çoğu zaman $90°$ , $60°$ , $120°$ , $45°$ gibi seçilir; $\frac{α}{360}$ oranını önce $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{6}$ , $\frac{1}{3}$ , $\frac{1}{8}$ gibi sade kesre çevirin, işlem hızlanır. Sonuçları $π$ cinsinden bırakmaya alışın; ÖSYM şıkları genellikle $π$ içerir.

1. Temel Kavramlar

2. Çemberde Açılar

3. Teğet ve Yarıçap

4. Daire Çevresi ve Alanı

5. Daire Dilimi (Sektör)

6. Çözümlü Örnekler

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Temel Geometri — diğer konular