TYT Matematik · Temel Geometri

Üçgende Açılar ve Kenarlar

~10 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soruTYT'de ~7 soru/yıl · Sınavda çok yüksek ağırlık

Üçgen, TYT geometrisinin temelidir; sınavda doğrudan ya da dolaylı olarak en çok bu konudan soru gelir. Bu derste iç açılar toplamı, dış açı kuralı, üçgen eşitsizliği, üçgen çeşitleri ve kenar–açı ilişkisini net kurallar ve çözümlü örneklerle işliyoruz. Hepsi ezber değil, mantığıyla.

1. İç Açılar Toplamı

Bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman $180°$ 'dir:

$A + B + C = 180°$

Bu kural üçgenin çeşidinden bağımsızdır; eşkenar da olsa geniş açılı da olsa toplam değişmez.

Şekil 1 — Bir üçgenin üç iç açısı:

A + B + C = 180°

İki açı biliniyorsa üçüncüsü doğrudan bulunur: $C = 180° - (A + B)$ .

Örnek

Soru

Bir üçgenin iki iç açısı $50°$ ve $70°$ ise üçüncü açı kaç derecedir?

İç açılar toplamı $180°$ 'dir: $A + B + C = 180°$ .
Bilinen açıları topla: $50° + 70° = 120°$ .
Üçüncü açıyı çıkar: $C = 180° - 120° = 60°$ .

Sonuç: Üçüncü açı

60°

'dir.

2. Dış Açı

Bir köşedeki dış açı, o köşenin kenarlarından biri uzatıldığında oluşan açıdır. İki temel özelliği vardır:

Bütünlerlik: Bir köşedeki iç açı ile dış açı bütünlerdir (toplamları $180°$ ): $\hat{i} + \hat{d} = 180°$ .
Toplam kuralı: Bir köşedeki dış açı, komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir: $\hat{d} = A + C$ .

Şekil 2 —

B

köşesindeki dış açı

d

, komşu olmayan

A

C

iç açılarının toplamına eşittir.

Neden? $B$ köşesindeki iç açı ile dış açı bütündür: $\hat{d} = 180° - B$ . İç açılar toplamından $A + C = 180° - B$ . İkisi eşit olduğundan $\hat{d} = A + C$ çıkar.

Örnek

Soru

Bir üçgende iki iç açı $40°$ ve $60°$ 'dir. Bu iki açıya komşu olmayan üçüncü köşedeki dış açı kaç derecedir?

Dış açı, komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
İlgili iki iç açı $40°$ ve $60°$ 'dir.
Topla: $\hat{d} = 40° + 60° = 100°$ .

Sonuç: Dış açı

100°

'dir.

Örnek

Soru

Bir üçgenin bir köşesindeki dış açı $120°$ ise aynı köşedeki iç açı kaç derecedir?

Aynı köşede iç açı ile dış açı bütünlerdir; toplamları $180°$ 'dir.

İç açı ile dış açı bütündür: $\hat{i} + \hat{d} = 180°$ .
Dış açı $120°$ verilmiş: $\hat{i} = 180° - 120°$ .
Sonuç: $\hat{i} = 60°$ .

Sonuç: İç açı

60°

'dir.

3. Üçgen Eşitsizliği

Bir üçgenin oluşabilmesi için bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın farkının mutlak değeri ile toplamı arasında olmalıdır:

$∣ b - c ∣ < a < b + c$

Yani üçüncü kenar, diğer ikisinin toplamından küçük; farkından büyük olmak zorundadır. Bu sınır değerler (eşitlik) üçgeni bozar, o yüzden eşitsizlik kesindir ( $a = b + c$ olursa üçgen yassılaşıp doğru parçasına döner).

Örnek

Soru

Bir üçgenin iki kenarı $5$ ve $8$ birimdir. Üçüncü kenar $x$ hangi aralıkta olmalıdır?

Üçgen eşitsizliğini kur: $∣8 - 5∣ < x < 8 + 5$ .
Farkı ve toplamı hesapla: $3 < x < 13$ .
$x$ bu aralıktaki her değeri alabilir (uç değerler $3$ ve $13$ dâhil değildir).

Sonuç:

3 < x < 13

4. Üçgen Çeşitleri

Üçgenler hem kenarlarına hem açılarına göre sınıflandırılır.

Sınıflama	Çeşit	Özellik
Kenarına göre	Eşkenar	$3$ kenar eşit; tüm açılar $60°$
Kenarına göre	İkizkenar	$2$ kenar eşit; taban açıları eşit
Kenarına göre	Çeşitkenar	$3$ kenar da farklı; açılar farklı
Açısına göre	Dar açılı	Tüm açılar $90°$ 'den küçük
Açısına göre	Dik açılı	Bir açı tam $90°$
Açısına göre	Geniş açılı	Bir açı $90°$ 'den büyük

İkizkenar Üçgen

İkizkenar üçgende eşit olan iki kenarın karşısındaki açılar (taban açıları) eşittir. Eşit olmayan kenarın karşısındaki açıya tepe açısı denir.

Şekil 3 — İkizkenar üçgen: tik işaretli iki kenar eşit, dolayısıyla taban açıları (

B

C

) eşittir.

Tepe açısı $A$ biliniyorsa taban açılarının her biri şöyle bulunur:

$B = C = \frac{180° - A}{2}$

Örnek

Soru

İkizkenar bir üçgende tepe açısı $40°$ ise taban açılarının her biri kaç derecedir?

İki taban açısı birbirine eşittir. Toplamları $180° - 40°$ olur; bunu ikiye böl.

Taban açıları eşit; ikisine $t$ diyelim: $40° + t + t = 180°$ .
Tepe açısını çıkar: $2 t = 180° - 40° = 140°$ .
İkiye böl: $t = \frac{140°}{2} = 70°$ .

Sonuç: Taban açılarının her biri

70°

'dir.

5. Kenar–Açı İlişkisi

Bir üçgende büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında küçük kenar bulunur. Açılar arasındaki sıralama, karşılarındaki kenarlar arasında da aynen geçerlidir:

$A < B < C \Rightarrow a < b < c$

Burada $a$ , $A$ açısının karşısındaki kenardır. Bu ilişki sayesinde açıları bilinen bir üçgende kenarları, ya da tersini sıralayabiliriz. Eşkenarda tüm açılar eşit olduğundan tüm kenarlar eşittir; ikizkenarda eşit açıların karşısındaki kenarlar eşittir.

Örnek

Soru

Bir üçgenin iç açıları $x$ , $2 x$ ve $3 x$ olarak veriliyor. Açıları bulun ve üçgenin çeşidini belirleyin.

İç açılar toplamı $180°$ 'dir: $x + 2 x + 3 x = 180°$ .
Topla: $6 x = 180°$ , buradan $x = 30°$ .
Açıları yaz: $x = 30°$ , $2 x = 60°$ , $3 x = 90°$ .
Bir açı tam $90°$ olduğundan üçgen dik açılıdır.

Sonuç: Açılar

30°

60°

90°

; üçgen dik üçgendir.

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

Bir üçgenin iç açıları $4 x$ , $5 x$ ve $6 x$ olarak veriliyor. En büyük açı kaç derecedir?

İç açılar toplamı $180°$ 'dir: $4 x + 5 x + 6 x = 180°$ .
Topla: $15 x = 180°$ , buradan $x = 12°$ .
En büyük açı $6 x$ 'tir: $6 \cdot 12° = 72°$ .

Sonuç: En büyük açı

72°

'dir.

Örnek

Soru

Bir üçgende açılardan biri diğerinin $2$ katı, üçüncüsü ise $30°$ 'dir. Geriye kalan iki açıdan büyük olanı kaç derecedir?

Üçüncü açı $30°$ verilmiş; diğer ikisi $a$ ve $2 a$ olsun.
İç açılar toplamı: $a + 2 a + 30° = 180°$ , yani $3 a = 150°$ .
Buradan $a = 50°$ ve büyük olan $2 a = 100°$ .

Sonuç: Büyük açı

100°

'dir.

Örnek

Soru

Bir üçgende bir köşedeki dış açı $135°$ olup, komşu olmayan iki iç açıdan biri $80°$ 'dir. Diğer iç açı kaç derecedir?

Dış açı, komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir: $135° = 80° + x$ .
$x$ 'i yalnız bırak: $x = 135° - 80°$ .
Sonuç: $x = 55°$ .

Sonuç: Diğer iç açı

55°

'dir.

Örnek

Soru

Kenar uzunlukları $7$ ve $10$ birim olan bir üçgenin üçüncü kenarı tam sayı ise, bu kenar en çok kaç birim olabilir?

Üçgen eşitsizliği: $∣10 - 7∣ < x < 10 + 7$ , yani $3 < x < 17$ .
Üçüncü kenar tam sayı ve $17$ 'den kesin küçük olmalı.
Bu aralıktaki en büyük tam sayı $16$ 'dır.

Sonuç: Üçüncü kenar en çok

16

birimdir.

Örnek

Soru

İkizkenar bir üçgende taban açılarından biri $65°$ ise tepe açısı kaç derecedir?

İkizkenar üçgende iki taban açısı eşittir; her biri $65°$ .
İç açılar toplamı: $65° + 65° + A = 180°$ .
Tepe açısı: $A = 180° - 130° = 50°$ .

Sonuç: Tepe açısı

50°

'dir.

Örnek

Soru

Bir üçgenin açıları $50°$ , $60°$ ve $70°$ 'dir. En kısa kenar, hangi açının karşısındadır?

Üçgende küçük açının karşısında küçük kenar bulunur.
En küçük açı $50°$ 'dir.
Dolayısıyla en kısa kenar $50°$ 'lik açının karşısındadır.

Sonuç: En kısa kenar

50°

'lik açının karşısındadır.

Örnek

Soru

Bir üçgende $A$ açısı, $B$ açısının $2$ katıdır ve $C = 30°$ 'dir. Bu üçgenin en uzun kenarı hangi açının karşısındadır?

$A = 2 B$ ve $C = 30°$ verilmiş; iç açılar toplamından $2 B + B + 30° = 180°$ .
Çöz: $3 B = 150°$ , $B = 50°$ ve $A = 2 \cdot 50° = 100°$ .
Açılar $100°$ , $50°$ , $30°$ olup en büyük açı $A = 100°$ 'dir; en uzun kenar büyük açının karşısındadır.

Sonuç: En uzun kenar

A

(

100°

) açısının karşısındadır.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

İç açılar toplamı 180° (oranlı / eksik açı): k'yı bulup cevap sanmak k değeri (ör. 90° yerine 30)
Dış açı = komşu olmayan iç açılar toplamı: Dış açıyı iç açı sanıp üç 'iç' açıyı 180°'ye tamamlamak 180° − (iç + dış) (ör. 70° yerine 10°)
Üçgen eşitsizliği (kaç farklı tam sayı değeri): Sınır değerleri dahil etmek (≤ kullanmak) doğru sayının 2 fazlası (ör. 9 yerine 11)
Açı–kenar ilişkisi (kenar sıralaması): Büyük açının karşısına küçük kenar koymak (ilişkiyi ters kurmak) doğru sıralamanın tam tersi
İkizkenar üçgende açı–kenar özellikleri: Tepe açısını taban açısı sanmak (eşit açıları yanlış köşelere koymak) tepe açısının kendisi (ör. 70° yerine 40°)
Eşkenar üçgen: yükseklik ve alan bağıntısı: Alan formülünde 4 yerine 2'ye bölmek (a²√3/2 kullanmak) doğru alanın iki katı (ör. 9√3 yerine 18√3)

Soru 1Kolay

Bir üçgenin iç açıları

2 x °

3 x °

4 x °

'dir. Buna göre en uzun kenar hangi açının karşısındadır?

İç açılar toplamı: $2 x + 3 x + 4 x = 9 x = 180° \Rightarrow x = 20°$ .
Açılar $40°$ , $60°$ , $80°$ ; en büyük açı $4 x = 80°$ .
Büyük açının karşısında en uzun kenar bulunur.

Sonuç:

4 x

Soru 2Kolay

Bir üçgende iki iç açı

40°

65°

'dir. Üçüncü köşedeki **dış açının** ölçüsü kaç derecedir?

Dış açı, komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
$40° + 65° = 105°$ .

Sonuç:

105

Soru 3Orta

Kenar uzunlukları

7

10

x

(tam sayı) olan bir üçgende

x

'in alabileceği **en büyük** tam sayı değeri kaçtır?

$∣ b - c ∣ < x < b + c \Rightarrow 3 < x < 17$ .
$x$ tam sayı ve $17$ 'den küçük olmalı; en büyük değer $16$ .

Sonuç:

16

Soru 4Orta

Bir bahçıvan, üçgen biçimli bir tarhın kenarlarına çit çekecektir. İki kenarın uzunlukları

13

m ve

20

m'dir; üçüncü kenarın uzunluğu da tam metre olarak ölçülmüştür. Bahçıvan toplam çit uzunluğunu en aza indirmek istiyor. Buna göre çekilecek en az çit uzunluğu kaç metredir?

Üçgen eşitsizliği: $7 < x < 33$ .
Çevre en küçük olsun: $x$ 'in en küçük tam değeri $8$ .
Çevre: $13 + 20 + 8 = 41$ m.
Çeldirici: $x = 7$ alınırsa üçgen oluşmaz (sınır değer dâhil değil), çevre $40$ olmaz.

Sonuç:

41

Soru 5Orta

Bir üçgen çatı makasında tepe açısı, taban açılarından birinin

3

katıdır. Üçgen ikizkenar olup taban açıları birbirine eşittir. Buna göre tepe açısının ölçüsü kaç derecedir?

Taban açıları eşit, her biri $t$ ; tepe açısı $3 t$ .
İç açılar toplamı: $t + t + 3 t = 180° \Rightarrow 5 t = 180° \Rightarrow t = 36°$ .
Tepe açısı $3 t = 108°$ .
Çeldirici: $36°$ taban açısıdır, $3 \cdot 36° = 108°$ tepe açısıdır; $t$ 'yi tepe sanmak yanlış.

Sonuç:

108

Soru 6Zor

Bir üçgende

A

açısı

80°

'dir.

B

C

köşelerindeki **iç açıortaylar**, üçgenin içinde

P

noktasında kesişiyor. Buna göre

B P C

açısının ölçüsü kaç derecedir?

$B + C = 180° - 80° = 100°$ ; açıortaylar bunların yarısını alır: $\frac{B}{2} + \frac{C}{2} = 50°$ .
$B P C$ üçgeninde: $B P C = 180° - (\frac{B}{2} + \frac{C}{2}) = 180° - 50° = 130°$ .
Pratik bağıntıyla kontrol: $90° + \frac{80°}{2} = 90° + 40° = 130°$ .
Çeldirici: $90° - \frac{A}{2} = 50°$ (iç değil dış açıortay formülü) burada geçersizdir.

Sonuç:

130

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Dış açıyı yanlış hesaplamak: Dış açı, komşu olmayan iki iç açının toplamıdır. Aynı köşedeki iç açıyla karıştırma; o ikisi bütünlerdir (toplamları $180°$ ).
Üçgen eşitsizliğinde aralığı yanlış kurmak: Üçüncü kenar için alt sınır kenarların farkı, üst sınır toplamıdır: $∣ b - c ∣ < x < b + c$ . Sadece toplamı yazıp alt sınırı unutmak yaygın bir hatadır.
İkizkenarda yanlış açıları eşitlemek: Eşit olan açılar taban açılarıdır (eşit kenarların karşısındakiler), tepe açısı değil. Tepe açısı tek başınadır.

Sınav İpucu

Açı sorularında önce $A + B + C = 180°$ ve dış açı kuralını aklına getir; çoğu soru tek denklemle çözülür. Kenar sorusu gördüğünde üçgen eşitsizliğini hemen $∣ b - c ∣ < x < b + c$ biçiminde kur ve şıkları bu aralığa göre ele. "En büyük/en küçük kenar hangisidir" tipi sorularda kenarları değil açıları karşılaştır: büyük açının karşısında büyük kenar vardır.

1. İç Açılar Toplamı

2. Dış Açı

3. Üçgen Eşitsizliği

4. Üçgen Çeşitleri

İkizkenar Üçgen

5. Kenar–Açı İlişkisi

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Temel Geometri — diğer konular