çözümebak

TYT Matematik · Temel Geometri

Üçgende Açılar ve Kenarlar

~10 dk okumaZorluk: Orta19 çözümlü soru

Üçgen, TYT geometrisinin temelidir; sınavda doğrudan ya da dolaylı olarak en çok bu konudan soru gelir. Bu derste iç açılar toplamı, dış açı kuralı, üçgen eşitsizliği, üçgen çeşitleri ve kenar–açı ilişkisini net kurallar ve çözümlü örneklerle işliyoruz. Hepsi ezber değil, mantığıyla.

1. İç Açılar Toplamı

Bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman 180°'dir:

A+B+C=180°

Bu kural üçgenin çeşidinden bağımsızdır; eşkenar da olsa geniş açılı da olsa toplam değişmez.

ABCABC
Şekil 1 — Bir üçgenin üç iç açısı: A+B+C=180°.

İki açı biliniyorsa üçüncüsü doğrudan bulunur: C=180°-(A+B).

Örnek
Soru

Bir üçgenin iki iç açısı 50° ve 70° ise üçüncü açı kaç derecedir?

  1. İç açılar toplamı 180°'dir: A+B+C=180°.
  2. Bilinen açıları topla: 50°+70°=120°.
  3. Üçüncü açıyı çıkar: C=180°-120°=60°.
Sonuç: Üçüncü açı 60°'dir.

2. Dış Açı

Bir köşedeki dış açı, o köşenin kenarlarından biri uzatıldığında oluşan açıdır. İki temel özelliği vardır:

ACdABCD
Şekil 2 — B köşesindeki dış açı d, komşu olmayan A ve C iç açılarının toplamına eşittir.

Neden? B köşesindeki iç açı ile dış açı bütündür: \hat{d}=180°-B. İç açılar toplamından A+C=180°-B. İkisi eşit olduğundan \hat{d}=A+C çıkar.

Örnek
Soru

Bir üçgende iki iç açı 40° ve 60°'dir. Bu iki açıya komşu olmayan üçüncü köşedeki dış açı kaç derecedir?

  1. Dış açı, komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
  2. İlgili iki iç açı 40° ve 60°'dir.
  3. Topla: \hat{d}=40°+60°=100°.
Sonuç: Dış açı 100°'dir.
Örnek
Soru

Bir üçgenin bir köşesindeki dış açı 120° ise aynı köşedeki iç açı kaç derecedir?

Aynı köşede iç açı ile dış açı bütünlerdir; toplamları 180°'dir.

  1. İç açı ile dış açı bütündür: \hat{i}+\hat{d}=180°.
  2. Dış açı 120° verilmiş: \hat{i}=180°-120°.
  3. Sonuç: \hat{i}=60°.
Sonuç: İç açı 60°'dir.

3. Üçgen Eşitsizliği

Bir üçgenin oluşabilmesi için bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın farkının mutlak değeri ile toplamı arasında olmalıdır:

|b-c| < a < b+c

Yani üçüncü kenar, diğer ikisinin toplamından küçük; farkından büyük olmak zorundadır. Bu sınır değerler (eşitlik) üçgeni bozar, o yüzden eşitsizlik kesindir (a=b+c olursa üçgen yassılaşıp doğru parçasına döner).

Örnek
Soru

Bir üçgenin iki kenarı 5 ve 8 birimdir. Üçüncü kenar x hangi aralıkta olmalıdır?

  1. Üçgen eşitsizliğini kur: |8-5| < x < 8+5.
  2. Farkı ve toplamı hesapla: 3 < x < 13.
  3. x bu aralıktaki her değeri alabilir (uç değerler 3 ve 13 dâhil değildir).
Sonuç: 3 < x < 13.

4. Üçgen Çeşitleri

Üçgenler hem kenarlarına hem açılarına göre sınıflandırılır.

SınıflamaÇeşitÖzellik
Kenarına göreEşkenar3 kenar eşit; tüm açılar 60°
Kenarına göreİkizkenar2 kenar eşit; taban açıları eşit
Kenarına göreÇeşitkenar3 kenar da farklı; açılar farklı
Açısına göreDar açılıTüm açılar 90°'den küçük
Açısına göreDik açılıBir açı tam 90°
Açısına göreGeniş açılıBir açı 90°'den büyük

İkizkenar Üçgen

İkizkenar üçgende eşit olan iki kenarın karşısındaki açılar (taban açıları) eşittir. Eşit olmayan kenarın karşısındaki açıya tepe açısı denir.

BCABC
Şekil 3 — İkizkenar üçgen: tik işaretli iki kenar eşit, dolayısıyla taban açıları (B ve C) eşittir.

Tepe açısı A biliniyorsa taban açılarının her biri şöyle bulunur:

B=C=\frac{180°-A}{2}

Örnek
Soru

İkizkenar bir üçgende tepe açısı 40° ise taban açılarının her biri kaç derecedir?

İki taban açısı birbirine eşittir. Toplamları 180°-40° olur; bunu ikiye böl.

  1. Taban açıları eşit; ikisine t diyelim: 40°+t+t=180°.
  2. Tepe açısını çıkar: 2t=180°-40°=140°.
  3. İkiye böl: t=\dfrac{140°}{2}=70°.
Sonuç: Taban açılarının her biri 70°'dir.

5. Kenar–Açı İlişkisi

Bir üçgende büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında küçük kenar bulunur. Açılar arasındaki sıralama, karşılarındaki kenarlar arasında da aynen geçerlidir:

A < B < C \;\Rightarrow\; a < b < c

Burada a, A açısının karşısındaki kenardır. Bu ilişki sayesinde açıları bilinen bir üçgende kenarları, ya da tersini sıralayabiliriz. Eşkenarda tüm açılar eşit olduğundan tüm kenarlar eşittir; ikizkenarda eşit açıların karşısındaki kenarlar eşittir.

Örnek
Soru

Bir üçgenin iç açıları x, 2x ve 3x olarak veriliyor. Açıları bulun ve üçgenin çeşidini belirleyin.

  1. İç açılar toplamı 180°'dir: x+2x+3x=180°.
  2. Topla: 6x=180°, buradan x=30°.
  3. Açıları yaz: x=30°, 2x=60°, 3x=90°.
  4. Bir açı tam 90° olduğundan üçgen dik açılıdır.
Sonuç: Açılar 30°, 60°, 90°; üçgen dik üçgendir.

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

Bir üçgenin iç açıları 4x, 5x ve 6x olarak veriliyor. En büyük açı kaç derecedir?

  1. İç açılar toplamı 180°'dir: 4x+5x+6x=180°.
  2. Topla: 15x=180°, buradan x=12°.
  3. En büyük açı 6x'tir: 6\cdot 12°=72°.
Sonuç: En büyük açı 72°'dir.
Örnek
Soru

Bir üçgende açılardan biri diğerinin 2 katı, üçüncüsü ise 30°'dir. Geriye kalan iki açıdan büyük olanı kaç derecedir?

  1. Üçüncü açı 30° verilmiş; diğer ikisi a ve 2a olsun.
  2. İç açılar toplamı: a+2a+30°=180°, yani 3a=150°.
  3. Buradan a=50° ve büyük olan 2a=100°.
Sonuç: Büyük açı 100°'dir.
Örnek
Soru

Bir üçgende bir köşedeki dış açı 135° olup, komşu olmayan iki iç açıdan biri 80°'dir. Diğer iç açı kaç derecedir?

  1. Dış açı, komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir: 135°=80°+x.
  2. x'i yalnız bırak: x=135°-80°.
  3. Sonuç: x=55°.
Sonuç: Diğer iç açı 55°'dir.
Örnek
Soru

Kenar uzunlukları 7 ve 10 birim olan bir üçgenin üçüncü kenarı tam sayı ise, bu kenar en çok kaç birim olabilir?

  1. Üçgen eşitsizliği: |10-7| < x < 10+7, yani 3 < x < 17.
  2. Üçüncü kenar tam sayı ve 17'den kesin küçük olmalı.
  3. Bu aralıktaki en büyük tam sayı 16'dır.
Sonuç: Üçüncü kenar en çok 16 birimdir.
Örnek
Soru

İkizkenar bir üçgende taban açılarından biri 65° ise tepe açısı kaç derecedir?

  1. İkizkenar üçgende iki taban açısı eşittir; her biri 65°.
  2. İç açılar toplamı: 65°+65°+A=180°.
  3. Tepe açısı: A=180°-130°=50°.
Sonuç: Tepe açısı 50°'dir.
Örnek
Soru

Bir üçgenin açıları 50°, 60° ve 70°'dir. En kısa kenar, hangi açının karşısındadır?

  1. Üçgende küçük açının karşısında küçük kenar bulunur.
  2. En küçük açı 50°'dir.
  3. Dolayısıyla en kısa kenar 50°'lik açının karşısındadır.
Sonuç: En kısa kenar 50°'lik açının karşısındadır.
Örnek
Soru

Bir üçgende A açısı, B açısının 2 katıdır ve C=30°'dir. Bu üçgenin en uzun kenarı hangi açının karşısındadır?

  1. A=2B ve C=30° verilmiş; iç açılar toplamından 2B+B+30°=180°.
  2. Çöz: 3B=150°, B=50° ve A=2\cdot 50°=100°.
  3. Açılar 100°, 50°, 30° olup en büyük açı A=100°'dir; en uzun kenar büyük açının karşısındadır.
Sonuç: En uzun kenar A (100°) açısının karşısındadır.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

Bir üçgenin iç açıları 2x°, 3x° ve 4x°'dir.

Buna göre en uzun kenar hangi açının karşısındadır?

A) 2x · B) 3x · C) 4x · D) 2x ve 3x · E) Üç kenar eşit

  1. İç açılar toplamı: 2x+3x+4x=9x=180°\Rightarrow x=20°.

  2. Açılar 40°, 60°, 80°; en büyük açı 4x=80°.

  3. Büyük açının karşısında en uzun kenar bulunur.

Sonuç: C) 4x
Örnek
Soru

Bir üçgende iki iç açı 40° ve 65°'dir. Üçüncü köşedeki dış açının ölçüsü kaç derecedir?

A) 75 · B) 85 · C) 95 · D) 105 · E) 115

  1. Dış açı, komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

  2. 40°+65°=105°.

Sonuç: D) 105
Örnek
Soru

Kenar uzunlukları 7, 10 ve x (tam sayı) olan bir üçgende x'in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

A) 15 · B) 16 · C) 17 · D) 18 · E) 19

Üçgen eşitsizliği: |10-7| < x < 10+7; tam sayı için üst sınırı dikkatle oku.

  1. |b-c| < x < b+c\Rightarrow 3 < x < 17.

  2. x tam sayı ve 17'den küçük olmalı; en büyük değer 16.

Sonuç: B) 16
Örnek
Soru

Bir bahçıvan, üçgen biçimli bir tarhın kenarlarına çit çekecektir. İki kenarın uzunlukları 13 m ve 20 m'dir; üçüncü kenarın uzunluğu da tam metre olarak ölçülmüştür. Bahçıvan toplam çit uzunluğunu en aza indirmek istiyor.

Buna göre çekilecek en az çit uzunluğu kaç metredir?

A) 40 · B) 41 · C) 42 · D) 43 · E) 44

Üçgen eşitsizliği: |20-13|<x<20+13. Çevreyi en aza indirmek için x en küçük tam değerini almalı.

  1. Üçgen eşitsizliği: 7<x<33.

  2. Çevre en küçük olsun: x'in en küçük tam değeri 8.

  3. Çevre: 13+20+8=41 m.

  4. Çeldirici: x=7 alınırsa üçgen oluşmaz (sınır değer dâhil değil), çevre 40 olmaz.

Sonuç: B) 41
Örnek
Soru

Bir üçgen çatı makasında tepe açısı, taban açılarından birinin 3 katıdır. Üçgen ikizkenar olup taban açıları birbirine eşittir.

Buna göre tepe açısının ölçüsü kaç derecedir?

A) 96 · B) 100 · C) 108 · D) 120 · E) 135

Taban açılarına t de; tepe açısı 3t. İç açılar toplamı 180° üzerinden denklem kur.

  1. Taban açıları eşit, her biri t; tepe açısı 3t.

  2. İç açılar toplamı: t+t+3t=180°\Rightarrow 5t=180°\Rightarrow t=36°.

  3. Tepe açısı 3t=108°.

  4. Çeldirici: 36° taban açısıdır, 3\cdot 36°=108° tepe açısıdır; t'yi tepe sanmak yanlış.

Sonuç: C) 108
Örnek
Soru

Bir üçgende A açısı 80°'dir. B ve C köşelerindeki iç açıortaylar, üçgenin içinde P noktasında kesişiyor.

Buna göre \widehat{BPC} açısının ölçüsü kaç derecedir?

A) 110 · B) 120 · C) 125 · D) 130 · E) 140

İki iç açıortayın oluşturduğu açı için pratik bağıntı: \widehat{BPC}=90°+\dfrac{A}{2}.

  1. B+C=180°-80°=100°; açıortaylar bunların yarısını alır: \dfrac{B}{2}+\dfrac{C}{2}=50°.

  2. BPC üçgeninde: \widehat{BPC}=180°-\left(\dfrac{B}{2}+\dfrac{C}{2}\right)=180°-50°=130°.

  3. Pratik bağıntıyla kontrol: 90°+\dfrac{80°}{2}=90°+40°=130°.

  4. Çeldirici: 90°-\dfrac{A}{2}=50° (iç değil dış açıortay formülü) burada geçersizdir.

Sonuç: D) 130

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Açı sorularında önce A+B+C=180° ve dış açı kuralını aklına getir; çoğu soru tek denklemle çözülür. Kenar sorusu gördüğünde üçgen eşitsizliğini hemen |b-c| < x < b+c biçiminde kur ve şıkları bu aralığa göre ele. "En büyük/en küçük kenar hangisidir" tipi sorularda kenarları değil açıları karşılaştır: büyük açının karşısında büyük kenar vardır.

Temel Geometri — diğer konular