çözümebak

TYT Matematik · Temel Geometri

Üçgende Benzerlik ve Alan

~10 dk okumaZorluk: Orta19 çözümlü soru

Benzerlik, üçgen sorularının belkemiğidir: bir oran kurarsın, bilinmeyen kenarı çekersin. Bu konu benzerliğin tanımını, AA kuralını, Thales (temel orantı) teoremini ve alan hesabını tek bir çatı altında toplar. En kritik nokta şudur: kenarların oranı k iken alanların oranı k^{2}'dir — bunu karıştıran her soruyu kaybeder.

1. Benzerlik Nedir?

İki üçgenin karşılıklı açıları eşit ve karşılıklı kenarları orantılı ise bu üçgenler benzerdir. Benzerlik "\sim" ile gösterilir.

Karşılıklı kenarların oranına benzerlik oranı denir:

k=\dfrac{\text{bir kenar}}{\text{onun karşılığı}}

AA (Açı–Açı) Kuralı

Bir üçgenin iki açısı, diğer üçgenin iki açısına karşılıklı eşitse üçgenler benzerdir. Üçgende açılar toplamı 180^{\circ} olduğundan iki açı eşitse üçüncü de zorunlu olarak eşit olur. TYT'de benzerliği yakalamanın en hızlı yolu iki eşit açı aramaktır.

ABC6A'B'C'4benzer üçgenler (~)
Şekil 1 — ABC \sim A'B'C'. Karşılıklı kenarlar orantılıdır; örneğin \dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2} benzerlik oranıdır.

2. Benzerlikte Oranlar

Benzerlik oranı k olan iki üçgende uzunlukla ölçülen her şeyin oranı k'dir:

BüyüklükOran
Karşılıklı kenarlark
Çevrelerk
Karşılıklı yüksekliklerk
Karşılıklı kenarortaylar / açıortaylark
Alanlark^{2}

Alan iki uzunluğun çarpımıyla (\text{taban}\times\text{yükseklik}) orantılı olduğundan, kenarlar k katına çıkınca alan k\cdot k=k^{2} katına çıkar.

Anahtar: Kenar oranı k ise alan oranı k^{2}, hacim oranı k^{3} olur. TYT'de en sık tuzak budur.

3. Temel Orantı (Thales) Teoremi

Bir üçgende bir kenara paralel çizilen doğru, diğer iki kenarı orantılı parçalara böler.

ABC üçgeninde DE \parallel BC ise:

\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}

Ayrıca ADE üçgeni ABC üçgenine benzerdir (AA kuralı: A açısı ortak, paralellikten dolayı \widehat{ADE}=\widehat{ABC}).

BCADE364xDE ∥ BC
Şekil 2 — DE \parallel BC olduğundan \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}, yani \dfrac{3}{6}=\dfrac{4}{x}.

4. Üçgenin Alanı

Bir üçgenin alanı, bir tabanı ile o tabana inen yüksekliğin çarpımının yarısıdır:

A=\dfrac{\text{taban}\times\text{yükseklik}}{2}

Yükseklik daima seçilen tabana dik olmalıdır; gelişigüzel bir kenar yükseklik değildir.

tabanyükseklik
Şekil 3 — Yükseklik (kırmızı kesik çizgi), tepe noktasından tabana dik inen doğru parçasıdır.

Eşkenar üçgen için pratik formül: kenar uzunluğu a olan eşkenar üçgenin alanı

A=\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}

5. Çözümlü Örnekler

Örnek
Soru

İki benzer üçgenden küçüğünün bir kenarı 4, büyüğünün buna karşılık gelen kenarı 6'dır. Benzerlik oranı k kaçtır?

  1. Benzerlik oranı, karşılıklı kenarların oranıdır: k=\dfrac{\text{büyük kenar}}{\text{karşılığı}}.
  2. Değerleri yerine yaz: k=\dfrac{6}{4}.
  3. Sadeleştir: k=\dfrac{3}{2}.
Sonuç: k=\dfrac{3}{2}.
Örnek
Soru

Benzerlik oranı 2 olan iki üçgenin alanları oranı kaçtır?

Kenar oranı k ise alan oranı k değil, k^{2}'dir.

  1. Alanların oranı, benzerlik oranının karesidir: \dfrac{A_{1}}{A_{2}}=k^{2}.
  2. k=2 için: k^{2}=2^{2}=4.
Sonuç: Alanlar oranı 4.
Örnek
Soru

Bir üçgende tabana paralel bir doğru, bir kenarı 3 ve 6 uzunluğunda iki parçaya bölmüştür. Diğer kenarın üst parçası 4 ise alt parçası x kaçtır?

Thales: \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}. Üst parçayı üst parçaya, alt parçayı alt parçaya oranla; sakın ters kurma.

  1. Thales teoremini yaz: \dfrac{\text{üst}}{\text{alt}}=\dfrac{\text{üst}}{\text{alt}}, yani \dfrac{3}{6}=\dfrac{4}{x}.
  2. İçler–dışlar çarpımı: 3\cdot x=6\cdot 4.
  3. 3x=24 \Rightarrow x=8.
Sonuç: x=8.
Örnek
Soru

Tabanı 8, bu tabana ait yüksekliği 5 olan üçgenin alanı kaçtır?

  1. Alan formülü: A=\dfrac{\text{taban}\times\text{yükseklik}}{2}.
  2. Değerleri yerine yaz: A=\dfrac{8\cdot 5}{2}.
  3. Hesapla: A=\dfrac{40}{2}=20.
Sonuç: A=20 birimkare.
Örnek
Soru

Kenar uzunluğu 4 olan eşkenar üçgenin alanı kaçtır?

Eşkenar üçgende A=\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4} formülünü kullan.

  1. Formülü yaz: A=\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.
  2. a=4 için: A=\dfrac{4^{2}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{16\sqrt{3}}{4}.
  3. Sadeleştir: A=4\sqrt{3}.
Sonuç: A=4\sqrt{3} birimkare.
Örnek
Soru

Benzer iki üçgenin çevreleri oranı \dfrac{5}{3}'tür. Küçük üçgenin alanı 9 ise büyük üçgenin alanı kaçtır?

Çevre oranı benzerlik oranına (k) eşittir; alan oranı ise k^{2}'dir.

  1. Çevre oranı benzerlik oranıdır: k=\dfrac{5}{3}.
  2. Alan oranı k^{2}=\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2}=\dfrac{25}{9}.
  3. Büyük alan, küçük alanın \dfrac{25}{9} katıdır: A_{\text{büyük}}=9\cdot\dfrac{25}{9}.
  4. Hesapla: A_{\text{büyük}}=25.
Sonuç: Büyük üçgenin alanı 25.

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

ABC üçgeninde DE \parallel BC'dir. AD=x, DB=4, AE=3 ve EC=6 ise x kaçtır?

  1. Thales teoremini yaz: \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}.
  2. Değerleri yerine koy: \dfrac{x}{4}=\dfrac{3}{6}.
  3. Sadeleştir: \dfrac{x}{4}=\dfrac{1}{2}.
  4. İçler–dışlar: 2x=4 \Rightarrow x=2.
Sonuç: x=2.
Örnek
Soru

Benzer iki üçgenin alanları oranı \dfrac{9}{16}'dır. Küçük üçgenin çevresi 24 ise büyük üçgenin çevresi kaçtır?

  1. Alan oranı k^{2}=\dfrac{9}{16} olduğundan benzerlik oranı k=\sqrt{\dfrac{9}{16}}=\dfrac{3}{4}.
  2. Çevre oranı benzerlik oranına eşittir: \dfrac{\text{küçük çevre}}{\text{büyük çevre}}=\dfrac{3}{4}.
  3. \dfrac{24}{\text{büyük}}=\dfrac{3}{4} olur.
  4. İçler–dışlar: 3\cdot\text{büyük}=24\cdot 4=96 \Rightarrow \text{büyük}=32.
Sonuç: Büyük üçgenin çevresi 32.
Örnek
Soru

Kenar uzunluğu 6 olan eşkenar üçgenin tabanına ait yüksekliği kaçtır?

  1. Eşkenar üçgende yükseklik formülü: h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.
  2. a=6 için: h=\dfrac{6\sqrt{3}}{2}.
  3. Sadeleştir: h=3\sqrt{3}.
Sonuç: h=3\sqrt{3} birim.
Örnek
Soru

ABC üçgeninde DE \parallel BC'dir. AD=2 ve DB=3 ise ADE üçgeninin alanının ABC üçgeninin alanına oranı kaçtır?

Önce \dfrac{AD}{AB} ile benzerlik oranı k'yi bul, sonra alan oranını k^{2} olarak yaz.

  1. DE \parallel BC olduğundan ADE \sim ABC'dir.
  2. Benzerlik oranı kenarların oranıdır: k=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{2}{2+3}=\dfrac{2}{5}.
  3. Alan oranı k^{2}=\left(\dfrac{2}{5}\right)^{2}=\dfrac{4}{25}.
Sonuç: \dfrac{[ADE]}{[ABC]}=\dfrac{4}{25}.
Örnek
Soru

Dik kenarları 6 ve 8 olan dik üçgenin alanı kaçtır?

Dik üçgende bir dik kenar taban, diğer dik kenar yükseklik olarak alınabilir.

  1. Dik kenarlar birbirine dik olduğundan biri taban, diğeri yüksekliktir.
  2. Alan formülü: A=\dfrac{\text{taban}\times\text{yükseklik}}{2}=\dfrac{6\cdot 8}{2}.
  3. Hesapla: A=\dfrac{48}{2}=24.
Sonuç: A=24 birimkare.
Örnek
Soru

Benzer iki üçgenin alanları 18 ve 50'dir. Küçük üçgenin bir kenarı 12 ise büyük üçgende bu kenara karşılık gelen kenar kaçtır?

Alan oranının karekökü benzerlik oranını (k) verir.

  1. Alan oranı \dfrac{50}{18}=\dfrac{25}{9}.
  2. Benzerlik oranı k=\sqrt{\dfrac{25}{9}}=\dfrac{5}{3}.
  3. Karşılıklı kenarların oranı k olduğundan: \dfrac{\text{büyük kenar}}{12}=\dfrac{5}{3}.
  4. Çöz: \text{büyük kenar}=12\cdot\dfrac{5}{3}=20.
Sonuç: Büyük kenar 20.
Örnek
Soru

Benzer iki üçgenin karşılıklı yükseklikleri 3 ve 5'tir. Küçük üçgenin alanı 27 ise büyük üçgenin alanı kaçtır?

Yükseklik oranı benzerlik oranı k'dir; alan oranı k^{2}'dir.

  1. Yükseklik oranı benzerlik oranıdır: k=\dfrac{5}{3}.
  2. Alan oranı k^{2}=\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2}=\dfrac{25}{9}.
  3. Büyük alan küçük alanın \dfrac{25}{9} katıdır: A_{\text{büyük}}=27\cdot\dfrac{25}{9}.
  4. Hesapla: A_{\text{büyük}}=3\cdot 25=75.
Sonuç: Büyük üçgenin alanı 75.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

Benzer iki üçgenin benzerlik oranı (küçükten büyüğe) \dfrac{2}{3}'tür. Küçük üçgenin çevresi 24 birim ise büyük üçgenin çevresi kaç birimdir?

A) 30 · B) 32 · C) 36 · D) 40 · E) 48

  1. Çevre oranı benzerlik oranı k ile aynıdır: \dfrac{24}{C_{\text{büyük}}}=\dfrac{2}{3}.

  2. C_{\text{büyük}}=24\cdot\dfrac{3}{2}=36.

Sonuç: C) 36
Örnek
Soru

Benzer iki üçgende küçük üçgenin alanı 16 birim karedir. Benzerlik oranı (küçükten büyüğe) \dfrac{4}{5} ise büyük üçgenin alanı kaç birim karedir?

A) 20 · B) 22 · C) 24 · D) 25 · E) 28

  1. Alan oranı k^{2}=\left(\dfrac{5}{4}\right)^{2}=\dfrac{25}{16}.

  2. A_{\text{büyük}}=16\cdot\dfrac{25}{16}=25.

Sonuç: D) 25
Örnek
Soru

\triangle ABC'de D\in[AB], E\in[AC] ve [DE]\parallel[BC]. AD=4, DB=6, AE=6 birimdir.

Buna göre EC kaç birimdir?

A) 4 · B) 6 · C) 8 · D) 9 · E) 12

Thales: \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}.

  1. \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}\Rightarrow\dfrac{4}{6}=\dfrac{6}{EC}.

  2. 4\cdot EC=36\Rightarrow EC=9.

Sonuç: D) 9
Örnek
Soru

Bir mimar, bir maketin ölçeğini 1{:}50 olarak belirliyor (maket küçük, gerçek bina büyük). Maketteki bir teras tabanının alanı 8 cm^2'dir.

Buna göre gerçek terasın taban alanı kaç cm^2'dir?

A) 400 · B) 4000 · C) 20000 · D) 200000 · E) 20

Uzunluk ölçeği k=50 ise alan ölçeği k^2=2500'dür. Maket alanını 2500 ile çarp.

  1. Benzerlik (ölçek) oranı k=50.

  2. Alan oranı k^2=50^2=2500.

  3. Gerçek alan: 8\cdot 2500=20000 cm^2.

  4. Çeldirici: 8\cdot 50=400 (alanı k ile çarpmak) en sık yapılan hatadır.

Sonuç: C) 20000
Örnek
Soru

Bir üçgen bahçenin tabanına paralel bir çit çekilerek bahçe, tepe tarafında küçük bir üçgen ile altta bir yamuğa ayrılıyor. Çit, tepeden inen kenarı tepeden itibaren \dfrac{2}{5} oranında bölüyor (tepe tarafı 2 birim, taban tarafı 3 birim).

Buna göre tepedeki küçük üçgenin alanının, tüm bahçenin alanına oranı kaçtır?

A) \dfrac{2}{5} · B) \dfrac{4}{25} · C) \dfrac{2}{25} · D) \dfrac{4}{9} · E) \dfrac{9}{25}

Küçük üçgen, tüm üçgene benzerdir; benzerlik oranı k=\dfrac{2}{2+3}=\dfrac{2}{5}. Alan oranı k^2'dir.

  1. Tabana paralel çit, küçük üçgeni tüm üçgene benzer yapar.

  2. Benzerlik oranı k=\dfrac{2}{5}.

  3. Alan oranı k^2=\dfrac{4}{25}.

  4. Çeldirici: \dfrac{2}{5} kenar oranıdır; alanda karesi alınmalı.

Sonuç: B) \dfrac{4}{25}
Örnek
Soru

İki benzer üçgen biçimli arazinin alanları sırasıyla 48 m^2 ve 75 m^2'dir. Küçük arazinin çevresine 40 m tel çekilmiştir.

Buna göre büyük arazinin çevresine kaç metre tel gerekir?

A) 45 · B) 48 · C) 50 · D) 60 · E) 64

Alan oranının karekökü benzerlik oranını verir; çevre oranı k'dir.

  1. Alan oranı: \dfrac{75}{48}=\dfrac{25}{16}.

  2. Benzerlik oranı: k=\sqrt{\dfrac{25}{16}}=\dfrac{5}{4}.

  3. Çevre oranı k olduğundan: 40\cdot\dfrac{5}{4}=50 m.

  4. Çeldirici: çevreyi \dfrac{75}{48} ile çarpmak (alan oranıyla) yanlıştır; karekökü alınmalı.

Sonuç: C) 50

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Soruda "benzer" kelimesi geçmese bile iki eşit açı görürsen (AA) hemen benzerlik kur ve kenarları oranla. Tabana paralel bir doğru gördüğünde refleksin Thales olmalı. Alan oranı sorularında önce k'yi bul, sorulan oranı k^{2} ile yaz; en sık tuzak alan oranını doğrudan k almaktır.

Temel Geometri — diğer konular