TYT Matematik · Temel Geometri

Üçgende Benzerlik ve Alan

~10 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soruTYT'de ~7 soru/yıl · Sınavda çok yüksek ağırlık

Benzerlik, üçgen sorularının belkemiğidir: bir oran kurarsın, bilinmeyen kenarı çekersin. Bu konu benzerliğin tanımını, AA kuralını, Thales (temel orantı) teoremini ve alan hesabını tek bir çatı altında toplar. En kritik nokta şudur: kenarların oranı $k$ iken alanların oranı $k^{2}$ 'dir — bunu karıştıran her soruyu kaybeder.

1. Benzerlik Nedir?

İki üçgenin karşılıklı açıları eşit ve karşılıklı kenarları orantılı ise bu üçgenler benzerdir. Benzerlik " $\sim$ " ile gösterilir.

Karşılıklı kenarların oranına benzerlik oranı denir:

$k = \frac{bir kenar}{onun kar s ¸ ı l ı g ˘ ı}$

AA (Açı–Açı) Kuralı

Bir üçgenin iki açısı, diğer üçgenin iki açısına karşılıklı eşitse üçgenler benzerdir. Üçgende açılar toplamı $18 0^{\circ}$ olduğundan iki açı eşitse üçüncü de zorunlu olarak eşit olur. TYT'de benzerliği yakalamanın en hızlı yolu iki eşit açı aramaktır.

Şekil 1 —

A B C \sim A^{'} B^{'} C^{'}

. Karşılıklı kenarlar orantılıdır; örneğin

\frac{A B}{A ^{'} B ^{'}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}

benzerlik oranıdır.

2. Benzerlikte Oranlar

Benzerlik oranı $k$ olan iki üçgende uzunlukla ölçülen her şeyin oranı $k$ 'dir:

Büyüklük	Oran
Karşılıklı kenarlar	$k$
Çevreler	$k$
Karşılıklı yükseklikler	$k$
Karşılıklı kenarortaylar / açıortaylar	$k$
Alanlar	$k^{2}$

Alan iki uzunluğun çarpımıyla ( $taban \times y \overset{u}{¨} kseklik$ ) orantılı olduğundan, kenarlar $k$ katına çıkınca alan $k \cdot k = k^{2}$ katına çıkar.

Anahtar: Kenar oranı $k$ ise alan oranı $k^{2}$ , hacim oranı $k^{3}$ olur. TYT'de en sık tuzak budur.

3. Temel Orantı (Thales) Teoremi

Bir üçgende bir kenara paralel çizilen doğru, diğer iki kenarı orantılı parçalara böler.

$A B C$ üçgeninde $D E ∥ B C$ ise:

$\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}$

Ayrıca $A D E$ üçgeni $A B C$ üçgenine benzerdir ( $AA$ kuralı: $A$ açısı ortak, paralellikten dolayı $A D E = A B C$ ).

Şekil 2 —

D E ∥ B C

olduğundan

\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}

, yani

\frac{3}{6} = \frac{4}{x}

4. Üçgenin Alanı

Bir üçgenin alanı, bir tabanı ile o tabana inen yüksekliğin çarpımının yarısıdır:

$A = \frac{taban \times y u ¨ kseklik}{2}$

Yükseklik daima seçilen tabana dik olmalıdır; gelişigüzel bir kenar yükseklik değildir.

Şekil 3 — Yükseklik (kırmızı kesik çizgi), tepe noktasından tabana dik inen doğru parçasıdır.

Eşkenar üçgen için pratik formül: kenar uzunluğu $a$ olan eşkenar üçgenin alanı

$A = \frac{a ^{2} 3}{4}$

5. Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

İki benzer üçgenden küçüğünün bir kenarı $4$ , büyüğünün buna karşılık gelen kenarı $6$ 'dır. Benzerlik oranı $k$ kaçtır?

Benzerlik oranı, karşılıklı kenarların oranıdır: $k = \frac{b u ¨ y u ¨ k kenar}{kar s ¸ ı l ı g ˘ ı}$ .
Değerleri yerine yaz: $k = \frac{6}{4}$ .
Sadeleştir: $k = \frac{3}{2}$ .

Sonuç:

k = \frac{3}{2}

Örnek

Soru

Benzerlik oranı $2$ olan iki üçgenin alanları oranı kaçtır?

Kenar oranı $k$ ise alan oranı $k$ değil, $k^{2}$ 'dir.

Alanların oranı, benzerlik oranının karesidir: $\frac{A _{1}}{A _{2}} = k^{2}$ .
$k = 2$ için: $k^{2} = 2^{2} = 4$ .

Sonuç: Alanlar oranı

4

Örnek

Soru

Bir üçgende tabana paralel bir doğru, bir kenarı $3$ ve $6$ uzunluğunda iki parçaya bölmüştür. Diğer kenarın üst parçası $4$ ise alt parçası $x$ kaçtır?

Thales: $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}$ . Üst parçayı üst parçaya, alt parçayı alt parçaya oranla; sakın ters kurma.

Thales teoremini yaz: $\frac{u ¨ st}{alt} = \frac{u ¨ st}{alt}$ , yani $\frac{3}{6} = \frac{4}{x}$ .
İçler–dışlar çarpımı: $3 \cdot x = 6 \cdot 4$ .
$3 x = 24 \Rightarrow x = 8$ .

Sonuç:

x = 8

Örnek

Soru

Tabanı $8$ , bu tabana ait yüksekliği $5$ olan üçgenin alanı kaçtır?

Alan formülü: $A = \frac{taban \times y u ¨ kseklik}{2}$ .
Değerleri yerine yaz: $A = \frac{8 \cdot 5}{2}$ .
Hesapla: $A = \frac{40}{2} = 20$ .

Sonuç:

A = 20

birimkare.

Örnek

Soru

Kenar uzunluğu $4$ olan eşkenar üçgenin alanı kaçtır?

Eşkenar üçgende $A = \frac{a ^{2} 3}{4}$ formülünü kullan.

Formülü yaz: $A = \frac{a ^{2} 3}{4}$ .
$a = 4$ için: $A = \frac{4 ^{2} 3}{4} = \frac{16 3}{4}$ .
Sadeleştir: $A = 43$ .

Sonuç:

A = 43

birimkare.

Örnek

Soru

Benzer iki üçgenin çevreleri oranı $\frac{5}{3}$ 'tür. Küçük üçgenin alanı $9$ ise büyük üçgenin alanı kaçtır?

Çevre oranı benzerlik oranına ( $k$ ) eşittir; alan oranı ise $k^{2}$ 'dir.

Çevre oranı benzerlik oranıdır: $k = \frac{5}{3}$ .
Alan oranı $k^{2} = (\frac{5}{3})^{2} = \frac{25}{9}$ .
Büyük alan, küçük alanın $\frac{25}{9}$ katıdır: $A_{b \overset{u}{¨} y \overset{u}{¨} k} = 9 \cdot \frac{25}{9}$ .
Hesapla: $A_{b \overset{u}{¨} y \overset{u}{¨} k} = 25$ .

Sonuç: Büyük üçgenin alanı

25

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$A B C$ üçgeninde $D E ∥ B C$ 'dir. $A D = x$ , $D B = 4$ , $A E = 3$ ve $E C = 6$ ise $x$ kaçtır?

Thales teoremini yaz: $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}$ .
Değerleri yerine koy: $\frac{x}{4} = \frac{3}{6}$ .
Sadeleştir: $\frac{x}{4} = \frac{1}{2}$ .
İçler–dışlar: $2 x = 4 \Rightarrow x = 2$ .

Sonuç:

x = 2

Örnek

Soru

Benzer iki üçgenin alanları oranı $\frac{9}{16}$ 'dır. Küçük üçgenin çevresi $24$ ise büyük üçgenin çevresi kaçtır?

Alan oranı $k^{2} = \frac{9}{16}$ olduğundan benzerlik oranı $k = \frac{9}{16} = \frac{3}{4}$ .
Çevre oranı benzerlik oranına eşittir: $\frac{k u ¨ c ¸ u ¨ k c ¸ evre}{b u ¨ y u ¨ k c ¸ evre} = \frac{3}{4}$ .
$\frac{24}{b u ¨ y u ¨ k} = \frac{3}{4}$ olur.
İçler–dışlar: $3 \cdot b \overset{u}{¨} y \overset{u}{¨} k = 24 \cdot 4 = 96 \Rightarrow b \overset{u}{¨} y \overset{u}{¨} k = 32$ .

Sonuç: Büyük üçgenin çevresi

32

Örnek

Soru

Kenar uzunluğu $6$ olan eşkenar üçgenin tabanına ait yüksekliği kaçtır?

Eşkenar üçgende yükseklik formülü: $h = \frac{a 3}{2}$ .
$a = 6$ için: $h = \frac{6 3}{2}$ .
Sadeleştir: $h = 33$ .

Sonuç:

h = 33

birim.

Örnek

Soru

$A B C$ üçgeninde $D E ∥ B C$ 'dir. $A D = 2$ ve $D B = 3$ ise $A D E$ üçgeninin alanının $A B C$ üçgeninin alanına oranı kaçtır?

Önce $\frac{A D}{A B}$ ile benzerlik oranı $k$ 'yi bul, sonra alan oranını $k^{2}$ olarak yaz.

$D E ∥ B C$ olduğundan $A D E \sim A B C$ 'dir.
Benzerlik oranı kenarların oranıdır: $k = \frac{A D}{A B} = \frac{2}{2 + 3} = \frac{2}{5}$ .
Alan oranı $k^{2} = (\frac{2}{5})^{2} = \frac{4}{25}$ .

Sonuç:

\frac{[ A D E ]}{[ A B C ]} = \frac{4}{25}

Örnek

Soru

Dik kenarları $6$ ve $8$ olan dik üçgenin alanı kaçtır?

Dik üçgende bir dik kenar taban, diğer dik kenar yükseklik olarak alınabilir.

Dik kenarlar birbirine dik olduğundan biri taban, diğeri yüksekliktir.
Alan formülü: $A = \frac{taban \times y u ¨ kseklik}{2} = \frac{6 \cdot 8}{2}$ .
Hesapla: $A = \frac{48}{2} = 24$ .

Sonuç:

A = 24

birimkare.

Örnek

Soru

Benzer iki üçgenin alanları $18$ ve $50$ 'dir. Küçük üçgenin bir kenarı $12$ ise büyük üçgende bu kenara karşılık gelen kenar kaçtır?

Alan oranının karekökü benzerlik oranını ( $k$ ) verir.

Alan oranı $\frac{50}{18} = \frac{25}{9}$ .
Benzerlik oranı $k = \frac{25}{9} = \frac{5}{3}$ .
Karşılıklı kenarların oranı $k$ olduğundan: $\frac{b u ¨ y u ¨ k kenar}{12} = \frac{5}{3}$ .
Çöz: $b \overset{u}{¨} y \overset{u}{¨} k kenar = 12 \cdot \frac{5}{3} = 20$ .

Sonuç: Büyük kenar

20

Örnek

Soru

Benzer iki üçgenin karşılıklı yükseklikleri $3$ ve $5$ 'tir. Küçük üçgenin alanı $27$ ise büyük üçgenin alanı kaçtır?

Yükseklik oranı benzerlik oranı $k$ 'dir; alan oranı $k^{2}$ 'dir.

Yükseklik oranı benzerlik oranıdır: $k = \frac{5}{3}$ .
Alan oranı $k^{2} = (\frac{5}{3})^{2} = \frac{25}{9}$ .
Büyük alan küçük alanın $\frac{25}{9}$ katıdır: $A_{b \overset{u}{¨} y \overset{u}{¨} k} = 27 \cdot \frac{25}{9}$ .
Hesapla: $A_{b \overset{u}{¨} y \overset{u}{¨} k} = 3 \cdot 25 = 75$ .

Sonuç: Büyük üçgenin alanı

75

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Paralel kesenle Tales (parça oranından uzunluk): Oranı parça/bütün kurmak: AD/AB = AE/EC yazmak ec = 12 (doğrusu 4)
AA benzerliği ile kenar bulma (DE'den BC'ye geçiş): DE/BC oranını AD/DB (parça/parça) ile kurmak de = 18 (doğrusu 6)
Benzerlik oranı → alan oranı k² (çevre k, alan k² tuzağı): Alan oranını k sanmak (kareyi almamak) 45 yerine 30
Tabana paralel doğru ile alan bölme (üçgen + yamuk): Küçük üçgen alanını k ile hesaplamak: 36⋅1/2 yamuk 18 (doğrusu 27)
Kenarortay ile alan bölme (altı eş parça): △AGB'yi tek parça sanıp A/6 vermek 9 (doğrusu 18)
Aynı yükseklikli üçgenlerde taban oranı = alan oranı: BD/DC = 2/4 oranını BD/BC sanmak 12 (doğrusu 8)

Soru 1Kolay

Benzer iki üçgenin benzerlik oranı (küçükten büyüğe)

\frac{2}{3}

'tür. Küçük üçgenin çevresi

24

birim ise büyük üçgenin çevresi kaç birimdir?

Çevre oranı benzerlik oranı $k$ ile aynıdır: $\frac{24}{C _{b \overset{u}{¨} y \overset{u}{¨} k}} = \frac{2}{3}$ .
$C_{b \overset{u}{¨} y \overset{u}{¨} k} = 24 \cdot \frac{3}{2} = 36$ .

Sonuç:

36

Soru 2Kolay

Benzer iki üçgende küçük üçgenin alanı

16

birim karedir. Benzerlik oranı (küçükten büyüğe)

\frac{4}{5}

ise büyük üçgenin alanı kaç birim karedir?

Alan oranı $k^{2} = (\frac{5}{4})^{2} = \frac{25}{16}$ .
$A_{b \overset{u}{¨} y \overset{u}{¨} k} = 16 \cdot \frac{25}{16} = 25$ .

Sonuç:

25

Soru 3Orta

△ A B C

'de

D \in [A B]

E \in [A C]

[D E] ∥ [B C]

A D = 4

D B = 6

A E = 6

birimdir. Buna göre

E C

kaç birimdir?

$\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C} \Rightarrow \frac{4}{6} = \frac{6}{E C}$ .
$4 \cdot E C = 36 \Rightarrow E C = 9$ .

Sonuç:

9

Soru 4Orta

Bir mimar, bir maketin ölçeğini

1 : 50

olarak belirliyor (maket küçük, gerçek bina büyük). Maketteki bir teras tabanının alanı

8

^{2}

'dir. Buna göre gerçek terasın taban alanı kaç cm

^{2}

'dir?

Benzerlik (ölçek) oranı $k = 50$ .
Alan oranı $k^{2} = 5 0^{2} = 2500$ .
Gerçek alan: $8 \cdot 2500 = 20000$ cm $^{2}$ .
Çeldirici: $8 \cdot 50 = 400$ (alanı $k$ ile çarpmak) en sık yapılan hatadır.

Sonuç:

20000

Soru 5Orta

Bir üçgen bahçenin tabanına paralel bir çit çekilerek bahçe, tepe tarafında küçük bir üçgen ile altta bir yamuğa ayrılıyor. Çit, tepeden inen kenarı tepeden itibaren

\frac{2}{5}

oranında bölüyor (tepe tarafı

2

birim, taban tarafı

3

birim). Buna göre tepedeki küçük üçgenin alanının, tüm bahçenin alanına oranı kaçtır?

Tabana paralel çit, küçük üçgeni tüm üçgene benzer yapar.
Benzerlik oranı $k = \frac{2}{5}$ .
Alan oranı $k^{2} = \frac{4}{25}$ .
Çeldirici: $\frac{2}{5}$ kenar oranıdır; alanda karesi alınmalı.

Sonuç:

\frac{4}{25}

Soru 6Zor

İki benzer üçgen biçimli arazinin alanları sırasıyla

48

^{2}

75

^{2}

'dir. Küçük arazinin çevresine

40

m tel çekilmiştir. Buna göre büyük arazinin çevresine kaç metre tel gerekir?

Alan oranı: $\frac{75}{48} = \frac{25}{16}$ .
Benzerlik oranı: $k = \frac{25}{16} = \frac{5}{4}$ .
Çevre oranı $k$ olduğundan: $40 \cdot \frac{5}{4} = 50$ m.
Çeldirici: çevreyi $\frac{75}{48}$ ile çarpmak (alan oranıyla) yanlıştır; karekökü alınmalı.

Sonuç:

50

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Alan oranını $k$ sanmak. Kenar oranı $k$ ise alan oranı $k^{2}$ 'dir. Çevre/kenar/yükseklik oranı $k$ , alan oranı $k^{2}$ — bu ayrımı asla unutma.
Thales'te orantıyı ters kurmak. Üst parçayı alt parçaya bölerken iki üçgenin de aynı yönde oranlanması gerekir; $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}$ kalıbını bozma.
Yüksekliği yanlış kenara indirmek. Alan formülünde yükseklik, seçtiğin tabana dik olmalıdır. Eğik bir kenarı yükseklik sanmak alanı bozar.

Sınav İpucu

Soruda "benzer" kelimesi geçmese bile iki eşit açı görürsen ( $AA$ ) hemen benzerlik kur ve kenarları oranla. Tabana paralel bir doğru gördüğünde refleksin Thales olmalı. Alan oranı sorularında önce $k$ 'yi bul, sorulan oranı $k^{2}$ ile yaz; en sık tuzak alan oranını doğrudan $k$ almaktır.

1. Benzerlik Nedir?

AA (Açı–Açı) Kuralı

2. Benzerlikte Oranlar

3. Temel Orantı (Thales) Teoremi

4. Üçgenin Alanı

5. Çözümlü Örnekler

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Temel Geometri — diğer konular