TYT Matematik · Temel Geometri

Açılar ve Doğrular

~9 dk okumaZorluk: Kolay6 çözümlü soruTYT'de ~7 soru/yıl · Sınavda çok yüksek ağırlık

Açılar ve doğrular, geometri sorularının temel taşıdır. Bu konuda açı türlerini, tümler–bütünler açıları, kesişen doğrularda ters açıları ve paralel iki doğruyu kesen bir doğrunun oluşturduğu açı ilişkilerini öğreneceksin. TYT'de bu ilişkiler tek başına ya da üçgen sorularının içinde sürekli karşına çıkar; ezber değil, mantığını kavramak gerekir.

1. Açı Türleri

Bir açının ölçüsü $x$ olmak üzere açılar büyüklüklerine göre adlandırılır:

Açı türü	Ölçüsü
Dar açı	$0° < x < 90°$
Dik açı	$x = 90°$
Geniş açı	$90° < x < 180°$
Doğru açı	$x = 180°$
Tam açı	$x = 360°$

Not: Dik açı bir köşede küçük bir kare ile gösterilir. Doğru açı, kenarları zıt yönde uzanan düz bir doğrudur.

2. Tümler ve Bütünler Açılar

Ölçüleri toplamı belirli bir değere eşit olan açı çiftlerinin özel adları vardır:

Tümler açılar: Ölçüleri toplamı $90°$ olan iki açıdır. Bir açının tümleri $90° - x$ 'tir.
Bütünler açılar: Ölçüleri toplamı $180°$ olan iki açıdır. Bir açının bütünleri $180° - x$ 'tir.

Şekil 1 — Tümler açıların toplamı bir dik açıyı (

90°

), bütünler açıların toplamı bir doğru açıyı (

180°

) oluşturur.

3. Komşu ve Ters Açılar

İki açının ortak bir köşesi ve ortak bir kenarı varsa bu açılara komşu açılar denir. Toplamları $180°$ olan komşu açılara da komşu bütünler açılar denir.

İki doğru bir noktada kesiştiğinde dört açı oluşur. Bu açılardan karşılıklı olanlara ters açılar denir ve bunlar her zaman eşittir. Yan yana olan (komşu) açılar ise bütünlerdir.

Şekil 2 — Kesişen iki doğruda karşılıklı (ters) açılar eşittir:

a = a

b = b

. Komşu açılar bütünlerdir:

a + b = 180°

4. Paralel İki Doğru ve Kesen

Paralel iki doğru ( $d_{1} ∥ d_{2}$ ) bir kesen ile kesildiğinde sekiz açı oluşur. Bu açılar arasında sabit ilişkiler vardır:

İlişki	Sonuç
Yöndeş açılar	Eşit
İç ters açılar	Eşit
Dış ters açılar	Eşit
Karşı durumlu iç açılar	Bütünler (toplam $180°$ )

Şekil 3 —

d_{1} ∥ d_{2}

iken kesenin oluşturduğu açılar: yöndeş açılar eşit, iç ters açılar eşittir.

5. Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

Bir açının ölçüsü $35°$ ise tümleri kaç derecedir?

Tümler açıların toplamı $90°$ 'dir.
Tümleri $= 90° - 35°$ .
Sonuç: $90° - 35° = 55°$ .

Sonuç: Tümleri

55°

'dir.

Örnek

Soru

$110°$ 'lik bir açının bütünleri kaç derecedir?

Bütünler açıların toplamı $180°$ 'dir.
Bütünleri $= 180° - 110°$ .
Sonuç: $180° - 110° = 70°$ .

Sonuç: Bütünleri

70°

'dir.

Örnek

Soru

Kesişen iki doğruda oluşan açılardan biri $70°$ ise, bu açının ters açısı ve komşu açısı kaç derecedir?

Ters açılar eşittir; komşu açılar bütünlerdir (toplamları $180°$ ).

Ters açı, verilen açıya eşittir: $70°$ .
Komşu açı, verilen açıyla bütünlerdir: $180° - 70° = 110°$ .

Sonuç: Ters açı

70°

, komşu açı

110°

'dir.

Örnek

Soru

İki açı bütünlerdir ve ölçüleri sırasıyla $2 x$ ile $3 x$ 'tir. $x$ kaçtır ve açılar kaç derecedir?

Bütünler açıların toplamı $180°$ : $2 x + 3 x = 180°$ .
Topla: $5 x = 180°$ .
$x$ 'i bul: $x = \frac{180°}{5} = 36°$ .
Açıları hesapla: $2 x = 72°$ ve $3 x = 108°$ .

Sonuç:

x = 36°

; açılar

72°

108°

'dir.

Örnek

Soru

Paralel iki doğru bir kesenle kesiliyor. Bir yöndeş açı $65°$ ise, bu açıyla karşı durumlu iç açı kaç derecedir?

Karşı durumlu iç açılar bütünlerdir; toplamları $180°$ 'dir.

Karşı durumlu iç açılar bütünlerdir: toplam $180°$ .
Aranan açı $= 180° - 65°$ .
Sonuç: $180° - 65° = 115°$ .

Sonuç: Karşı durumlu iç açı

115°

'dir.

Örnek

Soru

Bir açı, tümlerinin $2$ katına eşittir. Bu açı kaç derecedir?

Açıya $x$ dersen tümleri $90° - x$ olur. "Tümlerinin $2$ katı" ifadesini denkleme çevir.

Açıya $x$ diyelim; tümleri $90° - x$ 'tir.
Koşulu yaz: $x = 2 (90° - x)$ .
Dağıt: $x = 180° - 2 x$ .
Çöz: $3 x = 180° \Rightarrow x = 60°$ .

Sonuç: Açı

60°

'dir. (Tümleri

30°

, gerçekten

60° = 2 \cdot 30°

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

Ölçüsü $124°$ olan bir açı, dar açı mı geniş açı mı yoksa doğru açı mıdır?

Geniş açının koşulu: $90° < x < 180°$ .
$124°$ değeri için $90° < 124° < 180°$ sağlanır.
Demek ki açı bu aralıktadır.

Sonuç:

124°

bir geniş açıdır.

Örnek

Soru

Bir açının bütünleri, kendisinin $5$ katıdır. Bu açı kaç derecedir?

Açıya $x$ diyelim; bütünleri $180° - x$ 'tir.
Koşulu yaz: $180° - x = 5 x$ .
Düzenle: $180° = 6 x$ .
Çöz: $x = \frac{180°}{6} = 30°$ .

Sonuç: Açı

30°

'dir. (Bütünleri

150° = 5 \cdot 30°

Örnek

Soru

İki tümler açının ölçüleri farkı $20°$ 'dir. Büyük açı kaç derecedir?

Açılara $x$ ve $90° - x$ de; farkları $20°$ olacak şekilde denklem kur.

Açılar $x$ ve $90° - x$ olsun ( $x$ büyük olan).
Farkları $20°$ : $x - (90° - x) = 20°$ .
Sadeleştir: $2 x - 90° = 20°$ .
Çöz: $2 x = 110° \Rightarrow x = 55°$ .

Sonuç: Büyük açı

55°

'dir. (Diğeri

35°

, farkları

20°

Örnek

Soru

Bir noktada kesişen iki doğrunun oluşturduğu komşu iki açının ölçüleri $4 x$ ile $5 x$ 'tir. Bu açılardan büyük olanı kaç derecedir?

Kesişen doğrularda komşu açılar bütünlerdir.

Komşu açılar bütünlerdir: $4 x + 5 x = 180°$ .
Topla: $9 x = 180°$ .
Çöz: $x = 20°$ .
Açılar: $4 x = 80°$ ve $5 x = 100°$ .

Sonuç: Büyük açı

100°

'dir.

Örnek

Soru

Bir açının tümleri ile bütünlerinin ölçüleri toplamı $200°$ 'dir. Bu açı kaç derecedir?

Açıya $x$ diyelim; tümleri $90° - x$ , bütünleri $180° - x$ 'tir.
Toplamı $200°$ : $(90° - x) + (180° - x) = 200°$ .
Sadeleştir: $270° - 2 x = 200°$ .
Çöz: $2 x = 70° \Rightarrow x = 35°$ .

Sonuç: Açı

35°

'dir.

Örnek

Soru

Paralel iki doğru bir kesenle kesiliyor. Karşı durumlu iç açıların ölçüleri $3 x + 10°$ ile $2 x + 20°$ ise $x$ kaçtır?

Karşı durumlu iç açılar bütünlerdir; toplamları $180°$ 'dir.

Karşı durumlu iç açılar bütünlerdir: $(3 x + 10°) + (2 x + 20°) = 180°$ .
Topla: $5 x + 30° = 180°$ .
Düzenle: $5 x = 150°$ .
Çöz: $x = 30°$ .

Sonuç:

x = 30°

'dir.

Örnek

Soru

$d_{1} ∥ d_{2}$ paralel doğruları bir kesenle kesiliyor. Bir yöndeş açının ölçüsü $(2 x + 15) °$ , onunla iç ters durumda olan açının yöndeşi $(x + 45) °$ 'dir. Bu açıların ortak ölçüsü kaç derecedir?

Yöndeş açılar eşit, iç ters açılar eşittir; bu zincirde dört açının hepsi birbirine eşit olur.

Yöndeş açılar eşit, iç ters açılar da eşittir; dolayısıyla iki ifade aynı açı ölçüsünü verir.
Denklemi kur: $2 x + 15 = x + 45$ .
Çöz: $x = 30$ .
Ölçüyü bul: $2 \cdot 30 + 15 = 75°$ .

Sonuç: Açıların ortak ölçüsü

75°

'dir.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Tümler–bütünler açı (oran/fark ile kurma): Tümler ile bütünleri karıştırmak (toplamı 90° yerine 180° ya da tersi almak) doğru açının yarısı/iki katı ölçekli yanlış değer
Kesişen doğrularda ters ve komşu açılar: Ters açıları bütünler sanıp toplamı 180° almak yanlış x ve ondan türeyen yanlış açı
Paralel iki doğru + kesen (yöndeş / iç ters / dış ters): İç ters (eşit) açıları karşı durumlu sanıp 180°'ye tamamlamak yanlış x (ör. eşitlik yerine toplam denkleminden gelen değer)
Paralel doğrular arasında kırık çizgi (Z kuralı / yardımcı paralel): Uç açıları toplamak yerine çıkarmak iki açının farkı (ör. 75° yerine 5°)
Açıortay içeren açı hesabı: Açıortaylar arası açıyı toplam açının kendisi sanmak (a+b) (yarıya bölme unutulmuş, ör. 130°)
Üç paralel doğru + iki kesen (ortadaki doğruda birleşen açılar): İki iç ters açıyı toplamak yerine bütünlerinden gitmek 180° − (toplam) (ör. 60°)

Soru 1Kolay

d_{1} ∥ d_{2}

paralel doğruları bir kesenle kesiliyor. Bir iç ters açının ölçüsü

(4 x - 5) °

, karşısındaki yöndeş açının ölçüsü

(2 x + 35) °

'dir. Buna göre

x

kaçtır?

Paralel doğrularda iç ters açı ile yöndeş açı **eşittir** ( $Z$ ve $F$ kuralı).
$(4 x - 5) = (2 x + 35) \Rightarrow 2 x = 40 \Rightarrow x = 20$ .
Kontrol: $4 \cdot 20 - 5 = 75°$ ve $2 \cdot 20 + 35 = 75°$ ; eşitlik sağlanır.

Sonuç:

20

Soru 2Kolay

Kesişen iki doğru oluşturuyor. Bir ters açının ölçüsü

(5 a - 12) °

, bu açıya komşu (bütünler) açının ölçüsü

(3 a + 48) °

'dir. Buna göre

a

kaçtır?

Komşu açılar bütünlerdir: $(5 a - 12) + (3 a + 48) = 180$ .
$8 a + 36 = 180 \Rightarrow 8 a = 144 \Rightarrow a = 18$ .
Ters açı $5 \cdot 18 - 12 = 78°$ ; komşu $3 \cdot 18 + 48 = 102°$ ; toplam $180°$ .

Sonuç:

18

Soru 3Orta

Tümler iki açının ölçüleri sırasıyla

(n + 12) °

(3 n - 6) °

'dir. Buna göre büyük açının ölçüsü kaç derecedir?

Tümler toplamı: $(n + 12) + (3 n - 6) = 90$ .
$4 n + 6 = 90 \Rightarrow 4 n = 84 \Rightarrow n = 21$ .
Açılar $33°$ ve $57°$ ; büyük olan $57°$ .

Sonuç:

57

Soru 4Orta

Bir tasarımcı, masaüstüne L şeklinde (dik açılı) iki çubuk yapıştırıyor. Bu dik açının içine üçüncü bir çubuk yerleştirip dik açıyı iki parçaya ayırıyor; oluşan iki açıdan biri diğerinin

4

katı oluyor. Buna göre büyük olan açının ölçüsü kaç derecedir?

İki açı tümlerdir (dik açıyı paylaşıyorlar): $x + 4 x = 90°$ .
$5 x = 90° \Rightarrow x = 18°$ ; büyük açı $4 x = 72°$ .
Çeldirici: $90°/5 = 18°$ küçük açıdır; soru **büyük** olanı istiyor.

Sonuç:

72

Soru 5Orta

Bir yol kavşağında düz giden bir cadde (

d_{1}

) ile ona paralel uzanan bir yaya yolu (

d_{2}

), eğik bir ara sokakla (kesen) kesiliyor. Ara sokağın cadde ile yaptığı yöndeş açı, kendisinin bütünlerinden

40°

küçüktür. Buna göre bu yöndeş açının ölçüsü kaç derecedir?

Açıya $x$ diyelim; bütünleri $180° - x$ 'tir.
Koşulu kur: $x = (180° - x) - 40°$ .
Düzenle: $x = 140° - x \Rightarrow 2 x = 140° \Rightarrow x = 70°$ .
Çeldirici: bütünleri $180° - 70° = 110°$ ; soru açının kendisini istiyor.

Sonuç:

70

Soru 6Zor

Bir saatin akrep ve yelkovanı saat tam

3 : 00

'ı gösterirken aralarındaki açı

90°

'dir. Bir öğrenci, "bu açının tümleri ile bütünleri toplamı kaç eder?" diye soruyor. Buna göre bu toplam kaç derecedir?

Açı $90°$ ; tümleri $90° - 90° = 0°$ .
Bütünleri $180° - 90° = 90°$ .
Toplam: $0° + 90° = 90°$ .
Çeldirici: $90° + 180° = 270°$ (formülleri ezberden toplamak) yanlıştır; tümler/bütünler **bu açıya göre** hesaplanır.

Sonuç:

90

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Tümler ( $90°$ ) ile bütünleri ( $180°$ ) karıştırmak. "Tümler = $90$ , bütünler = $180$ " diye sabitle. Tümler kelimesi daha küçük olanı (dik açı) hatırlatsın.
Ters açıyı bütünler sanmak. Kesişen iki doğruda karşılıklı açılar eşittir, komşu olanlar bütünlerdir. Karşılıklı olanı bütünler sanmak en sık hatadır.
Paralel doğru ilişkilerini şaşırmak. Yöndeş ve iç ters açılar eşit; sadece karşı durumlu iç açılar bütünlerdir. Şekilde açının "iç mi dış mı, aynı yönde mi" olduğuna dikkat et.

Sınav İpucu

Paralel iki doğru ve kesen sorularında "Z, F ve U" kuralı çok hızlıdır: $Z$ şeklindeki açılar (iç ters) eşit, $F$ şeklindeki açılar (yöndeş) eşit, $U$ (aynı taraftaki iç) açılar bütünlerdir. Şekli zihninde harfe benzet, ilişkiyi saniyede gör. Ayrıca verilmeyen açıları bulmak için önce ters açı ve komşu bütünler ilişkilerini kullanarak boşlukları doldur; çoğu soru bu iki adımla çözülür.

1. Açı Türleri

2. Tümler ve Bütünler Açılar

3. Komşu ve Ters Açılar

4. Paralel İki Doğru ve Kesen

5. Çözümlü Örnekler

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Temel Geometri — diğer konular