çözümebak

TYT Matematik · Temel Geometri

Dik Üçgen ve Pisagor Teoremi

~10 dk okumaZorluk: Orta19 çözümlü soru

Bir açısı 90° olan üçgene dik üçgen denir. Dik açının karşısındaki en uzun kenar hipotenüs, diğer iki kenar ise dik kenardır. Bu konuda Pisagor teoremini, sık çıkan Pisagor üçlülerini, 30°-60°-90° ile 45°-45°-90° özel üçgenlerini ve Öklid bağıntılarını TYT düzeyinde, sınav mantığıyla işliyoruz.

1. Pisagor Teoremi

Bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir. Dik kenarlar a ve b, hipotenüs c olmak üzere:

a^{2}+b^{2}=c^{2}

Buradaki c daima hipotenüstür; yani dik açının karşısındaki en uzun kenardır. Dik kenarlardan birini bulmak için formül şu şekilde düzenlenir:

a^{2}=c^{2}-b^{2}

abc
Şekil 1 — Dik kenarları a ve b, hipotenüsü c olan dik üçgen. Sol alt köşedeki kare işareti 90° açıyı gösterir.

2. Pisagor Üçlüleri

Üçü de tam sayı olan ve a^{2}+b^{2}=c^{2} eşitliğini sağlayan (a,b,c) üçlülerine Pisagor üçlüsü denir. Bunları ezberlemek sınavda büyük zaman kazandırır. En sık çıkanlar:

Dik kenarDik kenarHipotenüs
345
51213
81517
72425

Bir üçlünün tam katları da Pisagor üçlüsüdür. Örneğin 3-4-5 üçlüsünü 2 ile çarparsak 6-8-10, 3 ile çarparsak 9-12-15 elde edilir; bunların hepsi dik üçgendir.

Hız ipucu: Soruda iki kenar bu listedeki bir üçlüye (veya katına) uyuyorsa, hesap yapmadan üçüncü kenarı doğrudan yazabilirsiniz.

3. Özel Dik Üçgenler

Bazı dik üçgenlerin açıları sabittir; bu yüzden kenarları arasındaki oran her zaman aynıdır. İki özel üçgeni bilmek, trigonometriye girmeden birçok soruyu çözer.

30°-60°-90° Üçgeni

Kenarların oranı, en küçük açının (30°) karşısındaki kenardan başlanarak:

x \;:\; x\sqrt{3} \;:\; 2x

Burada x en kısa kenar (30° karşısı), x\sqrt{3} orta kenar (60° karşısı), 2x ise hipotenüs (90° karşısı). En kısa kenarın iki katı her zaman hipotenüstür.

30°60°x√3x2x
Şekil 2 — 30°-60°-90° üçgeni. Kenarlar x, x\sqrt{3} ve 2x oranındadır; en kısa kenar 30° açısının karşısındadır.

45°-45°-90° Üçgeni

İki açısı eşit (45°) olduğundan bu üçgen ikizkenar dik üçgendir. İki dik kenar eşittir ve oran:

x \;:\; x \;:\; x\sqrt{2}

Yani hipotenüs, bir dik kenarın \sqrt{2} katıdır.

45°45°xxx√2
Şekil 3 — 45°-45°-90° (ikizkenar dik) üçgen. İki dik kenar eşit (x), hipotenüs x\sqrt{2}.
ÜçgenKenar oranıNotlar
30°-60°-90°x : x\sqrt{3} : 2xEn kısa kenar 30° karşısında; hipotenüs =2x
45°-45°-90°x : x : x\sqrt{2}İkizkenar; iki dik kenar eşit

4. Öklid Bağıntıları

Dik açıdan hipotenüse bir yükseklik indirilirse, hipotenüs p ve k uzunluğunda iki parçaya ayrılır. Yükseklik h için:

h^{2}=p\cdot k

Ayrıca bir dik kenarın karesi, o kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümü ile hipotenüsün çarpımına eşittir. Dik kenarlar b ve c, bunların izdüşümleri sırasıyla p ve k, hipotenüs a=p+k olmak üzere:

b^{2}=p\cdot a \qquad c^{2}=k\cdot a

Bu bağıntılar, yüksekliğin ya da parçaların verildiği sorularda Pisagor'a göre çok daha kısa yoldur.

5. Çözümlü Örnekler

Örnek
Soru

Dik kenarları 6 ve 8 olan dik üçgenin hipotenüsü kaç birimdir?

  1. Pisagor teoremini yaz: c^{2}=6^{2}+8^{2}.
  2. Kareleri hesapla: c^{2}=36+64=100.
  3. Karekök al: c=\sqrt{100}=10.
Sonuç: Hipotenüs 10 birimdir. (Bu, 3-4-5 üçlüsünün 2 katıdır.)
Örnek
Soru

Hipotenüsü 13, bir dik kenarı 5 olan dik üçgende diğer dik kenar kaç birimdir?

Hipotenüs en uzun kenardır; bilinmeyen bir dik kenar olduğundan a^{2}=c^{2}-b^{2} kullan.

  1. Düzenlenmiş formülü yaz: a^{2}=13^{2}-5^{2}.
  2. Kareleri hesapla: a^{2}=169-25=144.
  3. Karekök al: a=\sqrt{144}=12.
Sonuç: Diğer dik kenar 12 birimdir. (5-12-13 üçlüsü.)
Örnek
Soru

45°-45°-90° üçgeninde bir dik kenar 5 birim ise hipotenüs kaç birimdir?

  1. Oranı hatırla: x : x : x\sqrt{2}, yani hipotenüs dik kenarın \sqrt{2} katıdır.
  2. Dik kenar x=5 olduğundan hipotenüs =5\sqrt{2}.
Sonuç: Hipotenüs 5\sqrt{2} birimdir.
Örnek
Soru

30°-60°-90° üçgeninde hipotenüs 10 birim ise diğer iki kenar kaç birimdir?

Oran x : x\sqrt{3} : 2x. Hipotenüs 2x olduğuna göre önce x'i bul.

  1. Hipotenüs 2x=10 olduğundan x=5.
  2. 30° karşısındaki (en kısa) kenar x=5.
  3. 60° karşısındaki kenar x\sqrt{3}=5\sqrt{3}.
Sonuç: 30° karşısı 5 birim, 60° karşısı 5\sqrt{3} birimdir.
Örnek
Soru

Bir dik üçgende dik açıdan hipotenüse inen yüksekliğin ayırdığı parçalar 4 ve 9 birimdir. Yükseklik kaç birimdir?

  1. Öklid bağıntısı: h^{2}=p\cdot k.
  2. Parçaları yerine yaz: h^{2}=4\cdot 9=36.
  3. Karekök al: h=\sqrt{36}=6.
Sonuç: Yükseklik 6 birimdir.
Örnek
Soru

Kenarları 9, 12 ve x olan bir dik üçgende x hipotenüs ise x kaç birimdir?

x hipotenüs olduğundan 9 ve 12 dik kenardır: x^{2}=9^{2}+12^{2}.

  1. Pisagor: x^{2}=9^{2}+12^{2}.
  2. Kareleri hesapla: x^{2}=81+144=225.
  3. Karekök al: x=\sqrt{225}=15.
Sonuç: x=15 birimdir. Bu üçgen 3-4-5 üçlüsünün 3 katıdır (9-12-15).

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

Dik kenarları 8 ve 15 olan dik üçgenin hipotenüsü kaç birimdir?

  1. 8-15-17 bir Pisagor üçlüsüdür.
  2. İstersek doğrulayalım: c^{2}=8^{2}+15^{2}=64+225=289.
  3. Karekök al: c=\sqrt{289}=17.
Sonuç: Hipotenüs 17 birimdir.
Örnek
Soru

Bir dik üçgenin hipotenüsü 25, bir dik kenarı 7 birimdir. Diğer dik kenar kaç birimdir?

  1. Bilinmeyen bir dik kenar olduğundan a^{2}=c^{2}-b^{2} kullan.
  2. Değerleri yaz: a^{2}=25^{2}-7^{2}=625-49=576.
  3. Karekök al: a=\sqrt{576}=24.
Sonuç: Diğer dik kenar 24 birimdir. (7-24-25 üçlüsü.)
Örnek
Soru

30°-60°-90° üçgeninde 30° açısının karşısındaki kenar 7 birim ise hipotenüs kaç birimdir?

  1. Oran x : x\sqrt{3} : 2x; en kısa kenar (30° karşısı) x'tir.
  2. x=7 olduğundan hipotenüs 2x=2\cdot 7.
Sonuç: Hipotenüs 14 birimdir.
Örnek
Soru

45°-45°-90° üçgeninin hipotenüsü 6\sqrt{2} birimdir. Bir dik kenarı kaç birimdir?

  1. Hipotenüs, bir dik kenarın \sqrt{2} katıdır: x\sqrt{2}=6\sqrt{2}.
  2. Her iki tarafı \sqrt{2}'ye böl: x=6.
Sonuç: Bir dik kenar 6 birimdir.
Örnek
Soru

Bir dik üçgende dik açıdan hipotenüse inen yükseklik 12 birimdir. Bu yükseklik hipotenüsü iki parçaya ayırıyor ve parçalardan biri 8 birim ise diğer parça kaç birimdir?

  1. Öklid bağıntısı: h^{2}=p\cdot k.
  2. Değerleri yaz: 12^{2}=8\cdot k, yani 144=8k.
  3. Çöz: k=\dfrac{144}{8}=18.
Sonuç: Diğer parça 18 birimdir.
Örnek
Soru

Bir dik üçgende hipotenüs 13, dik kenarlardan birinin hipotenüs üzerindeki izdüşümü 5 birimdir. Bu dik kenar kaç birimdir?

  1. Öklid bağıntısı: bir dik kenarın karesi, izdüşümü ile hipotenüsün çarpımıdır: b^{2}=p\cdot a.
  2. Değerleri yaz: b^{2}=5\cdot 13=65.
  3. Karekök al: b=\sqrt{65}.
Sonuç: Dik kenar \sqrt{65} birimdir.
Örnek
Soru

Bir dik üçgenin dik kenarları a ve a+7, hipotenüsü a+8 birimdir. Buna göre hipotenüs kaç birimdir?

  1. Pisagor: a^{2}+(a+7)^{2}=(a+8)^{2}.
  2. Aç: a^{2}+a^{2}+14a+49=a^{2}+16a+64.
  3. Sadeleştir: a^{2}-2a-15=0, yani (a-5)(a+3)=0.
  4. Uzunluk pozitif olmalı: a=5.
  5. Hipotenüs a+8=5+8=13. (Kenarlar 5, 12, 13.)
Sonuç: Hipotenüs 13 birimdir.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

Dik kenarları 9 ve 12 birim olan bir dik üçgenin hipotenüsü kaç birimdir?

A) 13 · B) 14 · C) 15 · D) 16 · E) 17

  1. Pisagor: c^{2}=9^{2}+12^{2}=81+144=225.

  2. c=\sqrt{225}=15 (3-4-5 üçlüsünün 3 katı).

Sonuç: C) 15
Örnek
Soru

30°-60°-90° özel dik üçgeninde 30°'nin karşısındaki dik kenar 5 birimdir.

Buna göre hipotenüs kaç birimdir?

A) 5\sqrt{2} · B) 5\sqrt{3} · C) 8 · D) 10 · E) 15

  1. 30° karşısı en kısa kenar x=5.

  2. Hipotenüs daima 2x'tir: 2\cdot 5=10.

Sonuç: D) 10
Örnek
Soru

Dik kenarları 6 ve 8 birim olan bir dik üçgenin alanı kaç birim karedir?

A) 20 · B) 22 · C) 24 · D) 26 · E) 30

  1. Dik üçgende alan: A=\dfrac{6\cdot 8}{2}=24.

  2. (Hipotenüs 10 olsa da alan dik kenarlarla hesaplanır.)

Sonuç: C) 24
Örnek
Soru

Bir duvara dayalı 25 m'lik bir merdivenin alt ucu, duvarın dibinden 7 m uzaktadır. Yetkili, merdiveni daha dik konuma getirmek için alt ucu kaydırarak duvardan 15 m'ye çıkıyor (merdiven boyu yine 25 m).

Buna göre merdivenin duvara değdiği nokta kaç metre alçalmıştır?

A) 2 · B) 3 · C) 4 · D) 5 · E) 6

Her iki konumda merdiven hipotenüstür (25). 7-24-25 ve 15-20-25 üçlülerini kullan; iki yüksekliğin farkını al.

  1. İlk konum: h_1^2=25^2-7^2=625-49=576\Rightarrow h_1=24 (7-24-25).

  2. İkinci konum: h_2^2=25^2-15^2=625-225=400\Rightarrow h_2=20 (15-20-25, yani 3-4-5'in 5 katı).

  3. Alçalma: 24-20=4 m.

  4. Çeldirici: alt ucun değişimi 15-7=8 m'dir; soru yatay değil dikey değişimi soruyor.

Sonuç: C) 4
Örnek
Soru

Bir bayrak direği, tepesinden gerilen iki eşit gergi halatı ile yere sabitleniyor. Her halat, direğin dibinden 5 m uzaktaki bir kazığa bağlanıyor ve direkle dik açı oluşturuyor. Direğin boyu 12 m olduğuna göre kullanılan toplam halat uzunluğu kaç metredir?

A) 13 · B) 17 · C) 24 · D) 26 · E) 30

Direk, taban ve halat bir dik üçgendir; halat hipotenüstür. İki halat kullanıldığına dikkat et.

  1. Bir halat hipotenüs: \ell^2=12^2+5^2=144+25=169\Rightarrow \ell=13 (5-12-13).

  2. İki halat: 2\cdot 13=26 m.

  3. Çeldirici: tek halat 13 m'dir; soru toplamı istediği için iki katı alınır.

Sonuç: D) 26
Örnek
Soru

Bir dik üçgen biçimli rampada, dik açıdan hipotenüse (zemine) inen destek direği bir yükseklik oluşturuyor. Bu direk hipotenüsü 9 m ve 16 m'lik iki parçaya ayırıyor.

Buna göre destek direğinin (yüksekliğin) boyu kaç metredir?

A) 10 · B) 11 · C) 12 · D) 13 · E) 14

Öklid bağıntısı: h^2=p\cdot k. Parçalar 9 ve 16'dır.

  1. Öklid: h^2=9\cdot 16=144.

  2. h=\sqrt{144}=12 m.

  3. Çeldirici: 9+16=25'in karekökü 5 alıp h=5 demek yanlış; çarpımın kareköküdür.

Sonuç: C) 12

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Soruda iki kenarın sayısal değeri veriliyorsa önce Pisagor üçlüsü olup olmadığını kontrol edin; 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 ve katları çıkarsa karekök hesabına gerek kalmadan sonucu yazarsınız. Açılar 30°, 45° veya 60° ise özel üçgen oranlarını kurun. Yükseklik veya hipotenüs parçaları geçiyorsa Öklid bağıntısı (h^{2}=p\cdot k) çoğu zaman en kısa yoldur.

Temel Geometri — diğer konular