TYT Matematik · Temel Geometri

Dik Üçgen ve Pisagor Teoremi

~10 dk okumaZorluk: Orta5 çözümlü soruTYT'de ~7 soru/yıl · Sınavda çok yüksek ağırlık

Bir açısı $90°$ olan üçgene dik üçgen denir. Dik açının karşısındaki en uzun kenar hipotenüs, diğer iki kenar ise dik kenardır. Bu konuda Pisagor teoremini, sık çıkan Pisagor üçlülerini, $30°$ - $60°$ - $90°$ ile $45°$ - $45°$ - $90°$ özel üçgenlerini ve Öklid bağıntılarını TYT düzeyinde, sınav mantığıyla işliyoruz.

1. Pisagor Teoremi

Bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir. Dik kenarlar $a$ ve $b$ , hipotenüs $c$ olmak üzere:

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Buradaki $c$ daima hipotenüstür; yani dik açının karşısındaki en uzun kenardır. Dik kenarlardan birini bulmak için formül şu şekilde düzenlenir:

$a^{2} = c^{2} - b^{2}$

Şekil 1 — Dik kenarları

a

b

, hipotenüsü

c

olan dik üçgen. Sol alt köşedeki kare işareti

90°

açıyı gösterir.

2. Pisagor Üçlüleri

Üçü de tam sayı olan ve $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ eşitliğini sağlayan $(a, b, c)$ üçlülerine Pisagor üçlüsü denir. Bunları ezberlemek sınavda büyük zaman kazandırır. En sık çıkanlar:

Dik kenar	Dik kenar	Hipotenüs
$3$	$4$	$5$
$5$	$12$	$13$
$8$	$15$	$17$
$7$	$24$	$25$

Bir üçlünün tam katları da Pisagor üçlüsüdür. Örneğin $3$ - $4$ - $5$ üçlüsünü $2$ ile çarparsak $6$ - $8$ - $10$ , $3$ ile çarparsak $9$ - $12$ - $15$ elde edilir; bunların hepsi dik üçgendir.

Hız ipucu: Soruda iki kenar bu listedeki bir üçlüye (veya katına) uyuyorsa, hesap yapmadan üçüncü kenarı doğrudan yazabilirsiniz.

3. Özel Dik Üçgenler

Bazı dik üçgenlerin açıları sabittir; bu yüzden kenarları arasındaki oran her zaman aynıdır. İki özel üçgeni bilmek, trigonometriye girmeden birçok soruyu çözer.

$30°$ - $60°$ - $90°$ Üçgeni

Kenarların oranı, en küçük açının ( $30°$ ) karşısındaki kenardan başlanarak:

$x : x 3 : 2 x$

Burada $x$ en kısa kenar ( $30°$ karşısı), $x 3$ orta kenar ( $60°$ karşısı), $2 x$ ise hipotenüs ( $90°$ karşısı). En kısa kenarın iki katı her zaman hipotenüstür.

Şekil 2 —

30°

60°

90°

üçgeni. Kenarlar

x

x 3

2 x

oranındadır; en kısa kenar

30°

açısının karşısındadır.

$45°$ - $45°$ - $90°$ Üçgeni

İki açısı eşit ( $45°$ ) olduğundan bu üçgen ikizkenar dik üçgendir. İki dik kenar eşittir ve oran:

$x : x : x 2$

Yani hipotenüs, bir dik kenarın $2$ katıdır.

Şekil 3 —

45°

45°

90°

(ikizkenar dik) üçgen. İki dik kenar eşit (

x

), hipotenüs

x 2

Üçgen	Kenar oranı	Notlar
$30°$ - $60°$ - $90°$	$x : x 3 : 2 x$	En kısa kenar $30°$ karşısında; hipotenüs $= 2 x$
$45°$ - $45°$ - $90°$	$x : x : x 2$	İkizkenar; iki dik kenar eşit

4. Öklid Bağıntıları

Dik açıdan hipotenüse bir yükseklik indirilirse, hipotenüs $p$ ve $k$ uzunluğunda iki parçaya ayrılır. Yükseklik $h$ için:

$h^{2} = p \cdot k$

Ayrıca bir dik kenarın karesi, o kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümü ile hipotenüsün çarpımına eşittir. Dik kenarlar $b$ ve $c$ , bunların izdüşümleri sırasıyla $p$ ve $k$ , hipotenüs $a = p + k$ olmak üzere:

$b^{2} = p \cdot a c^{2} = k \cdot a$

Bu bağıntılar, yüksekliğin ya da parçaların verildiği sorularda Pisagor'a göre çok daha kısa yoldur.

5. Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

Dik kenarları $6$ ve $8$ olan dik üçgenin hipotenüsü kaç birimdir?

Pisagor teoremini yaz: $c^{2} = 6^{2} + 8^{2}$ .
Kareleri hesapla: $c^{2} = 36 + 64 = 100$ .
Karekök al: $c = 100 = 10$ .

Sonuç: Hipotenüs

10

birimdir. (Bu,

3

4

5

üçlüsünün

2

katıdır.)

Örnek

Soru

Hipotenüsü $13$ , bir dik kenarı $5$ olan dik üçgende diğer dik kenar kaç birimdir?

Hipotenüs en uzun kenardır; bilinmeyen bir dik kenar olduğundan $a^{2} = c^{2} - b^{2}$ kullan.

Düzenlenmiş formülü yaz: $a^{2} = 1 3^{2} - 5^{2}$ .
Kareleri hesapla: $a^{2} = 169 - 25 = 144$ .
Karekök al: $a = 144 = 12$ .

Sonuç: Diğer dik kenar

12

birimdir. (

5

12

13

üçlüsü.)

Örnek

Soru

$45°$ - $45°$ - $90°$ üçgeninde bir dik kenar $5$ birim ise hipotenüs kaç birimdir?

Oranı hatırla: $x : x : x 2$ , yani hipotenüs dik kenarın $2$ katıdır.
Dik kenar $x = 5$ olduğundan hipotenüs $= 52$ .

Sonuç: Hipotenüs

52

birimdir.

Örnek

Soru

$30°$ - $60°$ - $90°$ üçgeninde hipotenüs $10$ birim ise diğer iki kenar kaç birimdir?

Oran $x : x 3 : 2 x$ . Hipotenüs $2 x$ olduğuna göre önce $x$ 'i bul.

Hipotenüs $2 x = 10$ olduğundan $x = 5$ .
$30°$ karşısındaki (en kısa) kenar $x = 5$ .
$60°$ karşısındaki kenar $x 3 = 53$ .

Sonuç:

30°

karşısı

5

birim,

60°

karşısı

53

birimdir.

Örnek

Soru

Bir dik üçgende dik açıdan hipotenüse inen yüksekliğin ayırdığı parçalar $4$ ve $9$ birimdir. Yükseklik kaç birimdir?

Öklid bağıntısı: $h^{2} = p \cdot k$ .
Parçaları yerine yaz: $h^{2} = 4 \cdot 9 = 36$ .
Karekök al: $h = 36 = 6$ .

Sonuç: Yükseklik

6

birimdir.

Örnek

Soru

Kenarları $9$ , $12$ ve $x$ olan bir dik üçgende $x$ hipotenüs ise $x$ kaç birimdir?

$x$ hipotenüs olduğundan $9$ ve $12$ dik kenardır: $x^{2} = 9^{2} + 1 2^{2}$ .

Pisagor: $x^{2} = 9^{2} + 1 2^{2}$ .
Kareleri hesapla: $x^{2} = 81 + 144 = 225$ .
Karekök al: $x = 225 = 15$ .

Sonuç:

x = 15

birimdir. Bu üçgen

3

4

5

üçlüsünün

3

katıdır (

9

12

15

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

Dik kenarları $8$ ve $15$ olan dik üçgenin hipotenüsü kaç birimdir?

$8$ - $15$ - $17$ bir Pisagor üçlüsüdür.
İstersek doğrulayalım: $c^{2} = 8^{2} + 1 5^{2} = 64 + 225 = 289$ .
Karekök al: $c = 289 = 17$ .

Sonuç: Hipotenüs

17

birimdir.

Örnek

Soru

Bir dik üçgenin hipotenüsü $25$ , bir dik kenarı $7$ birimdir. Diğer dik kenar kaç birimdir?

Bilinmeyen bir dik kenar olduğundan $a^{2} = c^{2} - b^{2}$ kullan.
Değerleri yaz: $a^{2} = 2 5^{2} - 7^{2} = 625 - 49 = 576$ .
Karekök al: $a = 576 = 24$ .

Sonuç: Diğer dik kenar

24

birimdir. (

7

24

25

üçlüsü.)

Örnek

Soru

$30°$ - $60°$ - $90°$ üçgeninde $30°$ açısının karşısındaki kenar $7$ birim ise hipotenüs kaç birimdir?

Oran $x : x 3 : 2 x$ ; en kısa kenar ( $30°$ karşısı) $x$ 'tir.
$x = 7$ olduğundan hipotenüs $2 x = 2 \cdot 7$ .

Sonuç: Hipotenüs

14

birimdir.

Örnek

Soru

$45°$ - $45°$ - $90°$ üçgeninin hipotenüsü $62$ birimdir. Bir dik kenarı kaç birimdir?

Hipotenüs, bir dik kenarın $2$ katıdır: $x 2 = 62$ .
Her iki tarafı $2$ 'ye böl: $x = 6$ .

Sonuç: Bir dik kenar

6

birimdir.

Örnek

Soru

Bir dik üçgende dik açıdan hipotenüse inen yükseklik $12$ birimdir. Bu yükseklik hipotenüsü iki parçaya ayırıyor ve parçalardan biri $8$ birim ise diğer parça kaç birimdir?

Öklid bağıntısı: $h^{2} = p \cdot k$ .
Değerleri yaz: $1 2^{2} = 8 \cdot k$ , yani $144 = 8 k$ .
Çöz: $k = \frac{144}{8} = 18$ .

Sonuç: Diğer parça

18

birimdir.

Örnek

Soru

Bir dik üçgende hipotenüs $13$ , dik kenarlardan birinin hipotenüs üzerindeki izdüşümü $5$ birimdir. Bu dik kenar kaç birimdir?

Öklid bağıntısı: bir dik kenarın karesi, izdüşümü ile hipotenüsün çarpımıdır: $b^{2} = p \cdot a$ .
Değerleri yaz: $b^{2} = 5 \cdot 13 = 65$ .
Karekök al: $b = 65$ .

Sonuç: Dik kenar

65

birimdir.

Örnek

Soru

Bir dik üçgenin dik kenarları $a$ ve $a + 7$ , hipotenüsü $a + 8$ birimdir. Buna göre hipotenüs kaç birimdir?

Pisagor: $a^{2} + (a + 7)^{2} = (a + 8)^{2}$ .
Aç: $a^{2} + a^{2} + 14 a + 49 = a^{2} + 16 a + 64$ .
Sadeleştir: $a^{2} - 2 a - 15 = 0$ , yani $(a - 5) (a + 3) = 0$ .
Uzunluk pozitif olmalı: $a = 5$ .
Hipotenüs $a + 8 = 5 + 8 = 13$ . (Kenarlar $5$ , $12$ , $13$ .)

Sonuç: Hipotenüs

13

birimdir.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Pisagor üçlüsüyle kenar bulma (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17): Hipotenüs verilmişken kareleri toplamak (çıkarmak yerine) √306 gibi şıklara uymayan köklü değer
Özel açılı üçgenler (30°-60°-90° ve 45°-45°-90°): 30° ve 60° karşılarını karıştırmak (x√3'ü 30° karşısına yazmak) 6√3 yerine 6, ya da tersine √3 kat fazlası
Dik üçgende alan (dik kenarlar ↔ hipotenüse yükseklik): Alanı dik kenar × hipotenüs / 2 diye kurmak 6⋅10/2 = 30 (doğrusu 24)
Öklid bağıntıları (h² = p⋅k, b² = p⋅c): h² = p+k sanmak (çarpım yerine toplam) √13 gibi köklü, şıklara uymayan değer
Gerçek hayat kurgusu (merdiven-duvar, direk-halat): Merdiven boyunu dik kenar sanıp kareleri toplamak √136 gibi köklü değer (doğrusu 8)
İç içe dik üçgenler (ortak kenar zinciri): Ara hipotenüsü Pisagor'suz 3+4=7 almak √193 gibi şıklara uymayan değer

Soru 1Kolay

Dik kenarları

9

12

birim olan bir dik üçgenin hipotenüsü kaç birimdir?

Pisagor: $c^{2} = 9^{2} + 1 2^{2} = 81 + 144 = 225$ .
$c = 225 = 15$ ( $3$ - $4$ - $5$ üçlüsünün $3$ katı).

Sonuç:

15

Soru 2Kolay

30°

60°

90°

özel dik üçgeninde

30°

'nin karşısındaki dik kenar

5

birimdir. Buna göre hipotenüs kaç birimdir?

$30°$ karşısı en kısa kenar $x = 5$ .
Hipotenüs daima $2 x$ 'tir: $2 \cdot 5 = 10$ .

Sonuç:

10

Soru 3Kolay

Dik kenarları

6

8

birim olan bir dik üçgenin alanı kaç birim karedir?

Dik üçgende alan: $A = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24$ .
(Hipotenüs $10$ olsa da alan dik kenarlarla hesaplanır.)

Sonuç:

24

Soru 4Zor

Bir duvara dayalı

25

m'lik bir merdivenin alt ucu, duvarın dibinden

7

m uzaktadır. Yetkili, merdiveni daha dik konuma getirmek için alt ucu kaydırarak duvardan

15

m'ye çıkıyor (merdiven boyu yine

25

m). Buna göre merdivenin duvara değdiği nokta kaç metre alçalmıştır?

İlk konum: $h_{1}^{2} = 2 5^{2} - 7^{2} = 625 - 49 = 576 \Rightarrow h_{1} = 24$ ( $7$ - $24$ - $25$ ).
İkinci konum: $h_{2}^{2} = 2 5^{2} - 1 5^{2} = 625 - 225 = 400 \Rightarrow h_{2} = 20$ ( $15$ - $20$ - $25$ , yani $3$ - $4$ - $5$ 'in $5$ katı).
Alçalma: $24 - 20 = 4$ m.
Çeldirici: alt ucun değişimi $15 - 7 = 8$ m'dir; soru yatay değil **dikey** değişimi soruyor.

Sonuç:

4

Soru 5Orta

Bir dik üçgen biçimli rampada, dik açıdan hipotenüse (zemine) inen destek direği bir yükseklik oluşturuyor. Bu direk hipotenüsü

9

m ve

16

m'lik iki parçaya ayırıyor. Buna göre destek direğinin (yüksekliğin) boyu kaç metredir?

Öklid: $h^{2} = 9 \cdot 16 = 144$ .
$h = 144 = 12$ m.
Çeldirici: $9 + 16 = 25$ 'in karekökü $5$ alıp $h = 5$ demek yanlış; çarpımın kareköküdür.

Sonuç:

12

0/5 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Hipotenüsü yanlış seçmek: $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ formülünde $c$ daima en uzun kenar, yani dik açının karşısındaki kenardır. Bilinmeyen bir dik kenarsa $a^{2} = c^{2} - b^{2}$ kullanılır; toplama değil çıkarma yapılır.
Özel üçgen oranlarını ters uygulamak: $30°$ - $60°$ - $90°$ üçgeninde $x 3$ 'ü hipotenüs sanmak yaygın bir hatadır. Hipotenüs daima $2 x$ 'tir.
$30°$ ve $60°$ karşısındaki kenarları karıştırmak: En kısa kenar küçük açının ( $30°$ ), uzun dik kenar büyük açının ( $60°$ ) karşısındadır. Büyük açının karşısında daima büyük kenar bulunur.

Sınav İpucu

Soruda iki kenarın sayısal değeri veriliyorsa önce Pisagor üçlüsü olup olmadığını kontrol edin; $3$ - $4$ - $5$ , $5$ - $12$ - $13$ , $8$ - $15$ - $17$ , $7$ - $24$ - $25$ ve katları çıkarsa karekök hesabına gerek kalmadan sonucu yazarsınız. Açılar $30°$ , $45°$ veya $60°$ ise özel üçgen oranlarını kurun. Yükseklik veya hipotenüs parçaları geçiyorsa Öklid bağıntısı ( $h^{2} = p \cdot k$ ) çoğu zaman en kısa yoldur.

1. Pisagor Teoremi

2. Pisagor Üçlüleri

3. Özel Dik Üçgenler

30°-60°-90° Üçgeni

45°-45°-90° Üçgeni

4. Öklid Bağıntıları

5. Çözümlü Örnekler

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Temel Geometri — diğer konular

$30°$ - $60°$ - $90°$ Üçgeni

$45°$ - $45°$ - $90°$ Üçgeni