TYT Matematik · Sayma, Olasılık ve İstatistik

Olasılık

~9 dk okumaZorluk: Orta19 çözümlü soru

Olasılık, bir olayın gerçekleşme şansını sayısal olarak ölçer. TYT'de olasılık soruları çoğunlukla sayma yöntemleriyle birleşir: doğru kurulmuş bir örnek uzay ve dikkatli bir uygun durum sayımı ile sorular hızla çözülür. Bu konu, klasik olasılık tanımından tümleyen ve bağımsız olaylara kadar TYT'nin ihtiyaç duyduğu tüm temeli kurar.

1. Örnek Uzay ve Olay

Bir rastgele deneyde ortaya çıkabilecek tüm olası sonuçların kümesine örnek uzay denir ve $S$ ile gösterilir. Örnek uzayın herhangi bir alt kümesine de olay denir.

Örneğin bir zar atıldığında örnek uzay $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ olur; bu durumda $\text{s}(S)=6$ 'dır. "Çift sayı gelmesi" olayı ise $A=\{2,4,6\}$ alt kümesidir.

Kavram	Gösterim	Açıklama
Örnek uzay	$S$	Tüm olası sonuçların kümesi
Olay	$A\subseteq S$	Örnek uzayın bir alt kümesi
İmkânsız olay	$\varnothing$	Hiç gerçekleşmeyen olay
Kesin olay	$S$	Her zaman gerçekleşen olay

2. Klasik (Eş Olasılıklı) Olasılık

Bir deneyin tüm sonuçları eş olasılıklı ise, bir $A$ olayının olasılığı uygun durum sayısının tüm durum sayısına oranıdır:

$P(A)=\dfrac{\text{istenen (uygun) durum sayısı}}{\text{tüm durum sayısı}}=\dfrac{\text{s}(A)}{\text{s}(S)}$

Olasılığı hesaplarken iki şeyi doğru saymak yeterlidir: önce örnek uzayın eleman sayısı $\text{s}(S)$ , sonra olayın eleman sayısı $\text{s}(A)$ .

3. Olasılığın Temel Kuralları

Her olayın olasılığı $0$ ile $1$ arasındadır:

$0\le P(A)\le 1$

İmkânsız olayın olasılığı $P(\varnothing)=0$ 'dır.
Kesin olayın olasılığı $P(S)=1$ 'dir.
Bir $A$ olayının tümleyeni $A'$ (olayın gerçekleşmemesi) için:

$P(A')=1-P(A)$

Tümleyen kuralı, "en az bir" türü sorularda büyük kolaylık sağlar: doğrudan saymak yerine, olmama olasılığını $1$ 'den çıkarmak çoğu zaman çok daha kısadır.

4. Bağımsız ve Bileşik Olaylar

Bir olayın gerçekleşmesi diğerinin olasılığını etkilemiyorsa bu iki olay bağımsızdır. Ardışık atışlar (zar, para) ve yerine koyarak çekmeler tipik bağımsız deneylerdir. Bağımsız $A$ ve $B$ olaylarının birlikte gerçekleşme olasılığı çarpımla bulunur:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

İki olaydan en az birinin olması ("veya") durumunda ise olasılıklar genelde toplanır; olaylar ayrık (ortak sonucu olmayan) ise:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

Anahtar ayrım: "ve / birlikte / ardışık" ifadeleri çarpmayı, "veya / ya da" ifadeleri (ayrık olaylarda) toplamayı gösterir.

Örnek

Soru

Bir zar atılıyor. Üst yüze çift sayı gelme olasılığı nedir?

Örnek uzay: $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ , yani $\text{s}(S)=6$ .
Uygun durumlar (çift sayılar): $A=\{2,4,6\}$ , yani $\text{s}(A)=3$ .
Olasılık: $P(A)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$ .

Sonuç:

P(A)=\dfrac{1}{2}

Örnek

Soru

Bir zar atıldığında üst yüze asal sayı gelme olasılığı nedir?

$1$ asal değildir. $6$ 'ya kadar olan asal sayıları belirle: $2,\,3,\,5$ .

Örnek uzay: $\text{s}(S)=6$ .
Asal sayılar: $A=\{2,3,5\}$ , yani $\text{s}(A)=3$ .
Olasılık: $P(A)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$ .

Sonuç:

P(A)=\dfrac{1}{2}

Örnek

Soru

İçinde $3$ kırmızı ve $2$ mavi top bulunan bir torbadan rastgele bir top çekiliyor. Çekilen topun kırmızı olma olasılığı nedir?

Toplam top sayısı: $3+2=5$ , yani $\text{s}(S)=5$ .
Kırmızı top sayısı: $\text{s}(A)=3$ .
Olasılık: $P(A)=\dfrac{3}{5}$ .

Sonuç:

P(A)=\dfrac{3}{5}

Örnek

Soru

Bir madenî para arka arkaya $2$ kez atılıyor. İkisinin de yazı gelme olasılığı nedir?

Ardışık atışlar bağımsızdır; her atışta yazı gelme olasılığı $\dfrac{1}{2}$ 'dir. "İkisi de" ifadesi çarpmayı gösterir.

Atışlar bağımsız olduğundan olasılıkları çarparız.
Her atışta yazı: $P(Y)=\dfrac{1}{2}$ .
İkisi de yazı: $P(Y\cap Y)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$ .

Sonuç:

P=\dfrac{1}{4}

Örnek

Soru

İki zar birlikte atılıyor. Üst yüzlerdeki sayıların toplamının $7$ olma olasılığı nedir?

İki zarın örnek uzayı $6\cdot 6=36$ sonuçtan oluşur. Toplamı $7$ yapan sıralı ikilileri tek tek listele.

Tüm durum sayısı: $6\cdot 6=36$ .
Toplamı $7$ yapan ikililer: $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$ → toplam $6$ tane.
Olasılık: $P=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$ .

Sonuç:

P=\dfrac{1}{6}

Örnek

Soru

Bir olayın gerçekleşme olasılığı $\dfrac{2}{5}$ ise, bu olayın gerçekleşmeme olasılığı nedir?

Gerçekleşmeme olasılığı tümleyendir: $P(A')=1-P(A)$ .
Yerine yaz: $P(A')=1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{5}{5}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}$ .

Sonuç:

P(A')=\dfrac{3}{5}

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

Bir madenî para arka arkaya $3$ kez atılıyor. En az bir kez yazı gelme olasılığı nedir?

Tüm durum sayısı: $2\cdot 2\cdot 2=8$ .
"En az bir yazı"nın tümleyeni "hiç yazı gelmemesi", yani üçü de tura: $P(\text{hiç yazı})=\dfrac{1}{8}$ .
Tümleyen kuralı: $P(\text{en az bir yazı})=1-\dfrac{1}{8}=\dfrac{7}{8}$ .

Sonuç:

P=\dfrac{7}{8}

Örnek

Soru

İki zar birlikte atılıyor. Üst yüzlerdeki sayıların toplamının $5$ olma olasılığı nedir?

Tüm durum sayısı: $6\cdot 6=36$ .
Toplamı $5$ yapan ikililer: $(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)$ → toplam $4$ tane.
Olasılık: $P=\dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9}$ .

Sonuç:

P=\dfrac{1}{9}

Örnek

Soru

$1$ ile $20$ arasındaki (uçlar dâhil) tam sayılardan rastgele biri seçiliyor. Seçilen sayının $3$ ile tam bölünebilme olasılığı nedir?

Tüm durum sayısı: $\text{s}(S)=20$ .
$3$ ile bölünenler: $3,6,9,12,15,18$ → $6$ tane.
Olasılık: $P=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}$ .

Sonuç:

P=\dfrac{3}{10}

Örnek

Soru

İçinde $4$ kırmızı ve $6$ mavi top bulunan bir torbadan yerine koymadan arka arkaya $2$ top çekiliyor. İkisinin de kırmızı olma olasılığı nedir?

Yerine koymadan çekmede ikinci çekiliş, birinci çekilişe bağlı olarak hem uygun durum hem de toplam top sayısını $1$ azaltır.

İlk topun kırmızı olması: $\dfrac{4}{10}$ .
İlk top kırmızı çıktıktan sonra geriye $3$ kırmızı ve toplam $9$ top kalır; ikinci topun kırmızı olması: $\dfrac{3}{9}$ .
Birlikte gerçekleşme (çarpma): $P=\dfrac{4}{10}\cdot\dfrac{3}{9}=\dfrac{12}{90}=\dfrac{2}{15}$ .

Sonuç:

P=\dfrac{2}{15}

Örnek

Soru

Bir sınıfta bir öğrencinin matematikten geçme olasılığı $0{,}5$ , fizikten geçme olasılığı $0{,}4$ , her iki dersten de geçme olasılığı $0{,}2$ 'dir. Rastgele seçilen bir öğrencinin en az bir dersten geçme olasılığı nedir?

"En az bir" durumunda olaylar ayrık değildir; ortak kısmı bir kez çıkarmak gerekir: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ .

Toplama kuralı: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ .
Yerine yaz: $P(A\cup B)=0{,}5+0{,}4-0{,}2=0{,}7$ .
Kesir biçimi: $P(A\cup B)=\dfrac{7}{10}$ .

Sonuç:

P(A\cup B)=\dfrac{7}{10}

Örnek

Soru

İki zar birlikte atılıyor. Üst yüzlerin en az birinin $6$ olma olasılığı nedir?

Doğrudan saymak yerine tümleyeni kullan: "en az bir $6$ "nın tümleyeni "iki zarda da $6$ gelmemesi"dir.

Tüm durum sayısı: $6\cdot 6=36$ .
Hiç $6$ gelmemesi: her zar için $5$ seçenek, yani $5\cdot 5=25$ durum, $P(\text{hiç }6)=\dfrac{25}{36}$ .
Tümleyen: $P(\text{en az bir }6)=1-\dfrac{25}{36}=\dfrac{11}{36}$ .

Sonuç:

P=\dfrac{11}{36}

Örnek

Soru

Bir zar atılıyor. Üst yüze gelen sayının çift olması ya da $5$ olması olasılığı nedir?

Çift sayılar ile $\{5\}$ olayının ortak elemanı yoktur; bu iki olay ayrıktır, olasılıklar toplanır.

Çift gelme: $A=\{2,4,6\}$ , $P(A)=\dfrac{3}{6}$ .
$5$ gelme: $B=\{5\}$ , $P(B)=\dfrac{1}{6}$ .
Olaylar ayrık olduğundan: $P(A\cup B)=\dfrac{3}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$ .

Sonuç:

P=\dfrac{2}{3}

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek

Soru

Bir sınıftaki $30$ öğrencinin $18$ 'i İngilizce, $12$ 'si Almanca kursuna gitmektedir. Bu öğrencilerden $5$ 'i her iki kursa birden gitmektedir. Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin hiçbir kursa gitmeme olasılığı kaçtır?

A) $\dfrac{1}{6}$ · B) $\dfrac{1}{5}$ · C) $\dfrac{1}{4}$ · D) $\dfrac{7}{30}$ · E) $\dfrac{1}{3}$

Önce en az bir kursa gidenleri içerme-dışlama ile bul: $18+12-5$ . Kalanlar hiçbir kursa gitmez.

En az bir kursa giden: $18+12-5=25$ öğrenci.
Hiçbir kursa gitmeyen: $30-25=5$ öğrenci.
Olasılık: $P=\dfrac{5}{30}=\dfrac{1}{6}$ .

Çeldirici: ortak $5$ 'i çıkarmayı unutup $18+12=30$ deyip "herkes gidiyor" sanmak yaygın hatadır.

Sonuç: A)

\dfrac{1}{6}

Örnek

Soru

Bir torbada $4$ kırmızı, $3$ mavi ve $5$ sarı bilye vardır. Torbadan rastgele bir bilye çekiliyor. Çekilen bilyenin kırmızı olmama olasılığı kaçtır?

A) $\dfrac{1}{3}$ · B) $\dfrac{5}{12}$ · C) $\dfrac{1}{2}$ · D) $\dfrac{2}{3}$ · E) $\dfrac{3}{4}$

"Kırmızı olmama" tümleyendir: $1-P(\text{kırmızı})$ . Önce toplam bilye sayısını bul.

Toplam bilye: $4+3+5=12$ .
Kırmızı gelme: $P(K)=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$ .
Kırmızı olmama: $P(K')=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$ .

Çeldirici: tümleyen yerine doğrudan kırmızı olasılığı $\dfrac{1}{3}$ (A) işaretlemek tipik hatadır.

Sonuç: D)

\dfrac{2}{3}

Örnek

Soru

İki zar birlikte atılıyor. Üst yüzlerdeki sayıların çarpımının çift olma olasılığı kaçtır?

A) $\dfrac{1}{4}$ · B) $\dfrac{1}{2}$ · C) $\dfrac{5}{9}$ · D) $\dfrac{2}{3}$ · E) $\dfrac{3}{4}$

Çarpım ancak iki sayı da tek olduğunda tek olur. Tümleyenden git: $1-P(\text{çarpım tek})$ .

Tüm durum: $6\cdot 6=36$ .
Çarpım tek $\Leftrightarrow$ iki zar da tek: her zar için $\{1,3,5\}$ , yani $3\cdot 3=9$ durum.
Çarpım çift: $36-9=27$ durum, $P=\dfrac{27}{36}=\dfrac{3}{4}$ .

Çeldirici: çift sayıları doğrudan saymaya çalışıp $\dfrac{1}{2}$ (B) sanmak yaygın hatadır; tümleyen kısayoldur.

Sonuç: E)

\dfrac{3}{4}

Örnek

Soru

Bir öğrencinin sınava geç kalma olasılığı $0{,}2$ 'dir. İki gün üst üste sınava giren bu öğrencinin iki gün de zamanında gelme olasılığı kaçtır? (Günler birbirinden bağımsızdır.)

A) $0{,}04$ · B) $0{,}16$ · C) $0{,}36$ · D) $0{,}64$ · E) $0{,}80$

Önce bir günde zamanında gelme olasılığını tümleyenle bul, sonra bağımsız iki günü çarp.

Bir günde zamanında gelme: $1-0{,}2=0{,}8$ .
İki gün bağımsız, "iki gün de" çarpmadır: $0{,}8\cdot 0{,}8=0{,}64$ .

Çeldirici: geç kalma olasılıklarını çarpıp $0{,}2\cdot 0{,}2=0{,}04$ (A) yazmak ya da olasılıkları toplamak tipik hatadır.

Sonuç: D)

0{,}64

Örnek

Soru

Bir kutuda $1$ 'den $10$ 'a kadar numaralanmış $10$ kart vardır. Kutudan rastgele bir kart çekiliyor. Çekilen kartın üzerindeki sayının asal ya da $6$ 'nın katı olma olasılığı kaçtır?

A) $\dfrac{2}{5}$ · B) $\dfrac{1}{2}$ · C) $\dfrac{3}{5}$ · D) $\dfrac{7}{10}$ · E) $\dfrac{4}{5}$

İki olayın ortak elemanı var mı kontrol et. $6$ 'nın $10$ 'a kadarki katı yalnızca $6$ 'dır; asal mı?

Asal sayılar: $\{2,3,5,7\}$ → $4$ tane.
$6$ 'nın katları (1–10): $\{6\}$ → $1$ tane.
Ortak eleman yok ( $6$ asal değil), olaylar ayrık: $4+1=5$ uygun durum.
Olasılık: $P=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$ .

Çeldirici: $1$ 'i asal sayıp $5$ asal saymak ya da $9$ 'u $6$ 'nın katı sanmak yaygın hatadır.

Sonuç: B)

\dfrac{1}{2}

Örnek

Soru

Adil bir madeni para $3$ kez atılıyor. Tam olarak $2$ kez yazı gelme olasılığı kaçtır?

A) $\dfrac{1}{16}$ · B) $\dfrac{3}{8}$ · C) $\dfrac{1}{2}$ · D) $\dfrac{5}{8}$ · E) $\dfrac{3}{4}$

Örnek uzay $2^{3}=8$ eş olasılıklı durum.
Tam $2$ yazı: $C(3,2)=3$ durum, $P=\dfrac{3}{8}$ .

Çeldirici: "en az $2$ " ile "tam $2$ "yi karıştırıp $3$ yazılı durumu da eklemek tipik hatadır.

Sonuç: B)

\dfrac{3}{8}

Sık Yapılan Hatalar

Örnek uzayı (tüm durum sayısını) yanlış saymak. Özellikle iki zarda toplam $36$ sonuç olduğunu unutup $12$ ile bölmek tipik bir hatadır. Önce $\text{s}(S)$ 'i emin olana kadar belirle.
Bağımsız olaylarda olasılıkları toplamak. "İkisi de / birlikte / ardışık" durumlarında olasılıklar çarpılır, toplanmaz.
$1$ 'den büyük bir olasılık bulup hatayı fark etmemek. Her olasılık $0\le P(A)\le 1$ aralığındadır; $1$ 'i aşan bir sonuç kesinlikle yanlıştır.
Sonucu sadeleştirmemek. $\dfrac{6}{36}$ gibi sonuçları daima en sade hâline ( $\dfrac{1}{6}$ ) indir.

Sınav İpucu

"ve / birlikte / ardışık" geçen sorularda olasılıkları çarp; "veya / ya da" (ayrık olaylar) geçen sorularda topla.
"En az bir" türü sorularda tümleyen ( $1-P$ ) çoğu zaman en kısa yoldur: hiç olmama olasılığını bulup $1$ 'den çıkar.
Soruya başlamadan önce $\text{s}(S)$ 'i net yaz; sayım hatalarının büyük kısmı yanlış örnek uzaydan kaynaklanır.

1. Örnek Uzay ve Olay

2. Klasik (Eş Olasılıklı) Olasılık

3. Olasılığın Temel Kuralları

4. Bağımsız ve Bileşik Olaylar

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Sayma, Olasılık ve İstatistik — diğer konular