TYT Matematik · Sayma, Olasılık ve İstatistik

Veri ve İstatistik

~8 dk okumaZorluk: Kolay6 çözümlü soruTYT'de ~3 soru/yıl · Sınavda yüksek ağırlık

İstatistik, bir veri kümesini özetlemenin yollarını verir. Bu konuda bir sayı dizisinin ortalamasını, ortancasını (medyan), tepe değerini (mod) ve açıklığını hesaplamayı; ardından sütun ve daire grafiklerini doğru okumayı öğreneceğiz. TYT'de bu konu hem hızlı puan hem de grafik yorumlama sorusu olarak karşına çıkar.

1. Aritmetik Ortalama

Bir veri kümesinin aritmetik ortalaması $\overline{x}$ , tüm değerlerin toplamının veri sayısına bölümüdür:

$\overline{x} = \frac{verilerin toplam ı}{veri say ı s ı}$

Ortalama, verinin "ağırlık merkezini" temsil eder; aşırı büyük ya da küçük bir değerden (uç değer) etkilenir.

Örnek

Soru

$4, 6, 8, 10$ verilerinin aritmetik ortalamasını bulunuz.

Toplamı al: $4 + 6 + 8 + 10 = 28$ .
Veri sayısına böl: $\overline{x} = \frac{28}{4} = 7$ .

Sonuç:

\overline{x} = 7

2. Ortanca (Medyan)

Medyan, veriler küçükten büyüğe sıralandığında tam ortada kalan değerdir. Sıralama yapmadan medyan bulunamaz.

Veri sayısı tek ise: ortadaki tek değer medyandır.
Veri sayısı çift ise: ortadaki iki değerin ortalaması medyandır.

Örnek

Soru

$3, 5, 7, 9, 11$ verilerinin medyanını bulunuz.

Veri zaten sıralı ve $5$ tane (tek sayı).
Ortadaki değer $3.$ sıradakidir: $7$ .

Sonuç: Medyan

= 7

Örnek

Soru

$2, 4, 6, 8$ verilerinin medyanını bulunuz.

Veri sayısı çift olduğunda medyan tek bir değer değildir; ortadaki iki değerin ortalamasını al.

Veri sıralı ve $4$ tane (çift sayı).
Ortadaki iki değer $4$ ve $6$ .
Bunların ortalaması: $\frac{4 + 6}{2} = 5$ .

Sonuç: Medyan

= 5

3. Tepe Değer (Mod)

Mod, veri kümesinde en çok tekrar eden değerdir. Bir kümede birden fazla mod olabilir; hiç tekrar yoksa mod yoktur.

Örnek

Soru

$2, 3, 3, 5, 7$ verilerinin modunu bulunuz.

Her değerin tekrar sayısına bak: $3$ değeri iki kez, diğerleri birer kez geçiyor.
En çok tekrar eden değer $3$ olduğundan mod $3$ 'tür.

Sonuç: Mod

= 3

4. Açıklık

Açıklık (ranj), verinin en büyük değeri ile en küçük değeri arasındaki farktır; verinin yayılımını ölçer:

$A \overset{c}{¸} ı kl ı k = en b \overset{u}{¨} y \overset{u}{¨} k de \overset{g}{˘} er - en k \overset{u}{¨} \overset{c}{¸} \overset{u}{¨} k de \overset{g}{˘} er$

Örnek

Soru

$12, 5, 9, 20, 7$ verilerinin açıklığını bulunuz.

En büyük değer $20$ , en küçük değer $5$ .
Açıklık $= 20 - 5 = 15$ .

Sonuç: Açıklık

= 15

5. Sütun Grafiği Okuma

Sütun grafiğinde her kategori (örneğin gün) bir sütunla gösterilir; sütunun yüksekliği o kategorinin değerini verir. Ortalama, medyan ve mod gibi ölçüleri doğrudan sütun yüksekliklerinden okuyabilirsin.

Şekil 1 — Bir kırtasiyenin günlere göre sattığı kitap sayısı: Pazartesi

4

, Salı

8

, Çarşamba

6

, Perşembe

10

. Sütun yüksekliği o günün satışını gösterir. Dört günün ortalaması

\frac{4 + 8 + 6 + 10}{4} = 7

kitaptır.

6. Daire Grafiği Okuma

Daire grafiğinde bütün, $100%$ ya da $360°$ 'lik tam bir daire olarak alınır. Her seçeneğin payı bir dilim ile gösterilir. Bir dilimin merkez açısı ve yüzdesi şöyle hesaplanır:

$Dilim a \overset{c}{¸} ı s ı = \frac{par c ¸ a}{toplam} \cdot 360° Y \overset{u}{¨} zde = \frac{par c ¸ a}{toplam} \cdot 100$

Şekil 2 —

40

kişinin tercih ettiği seçenekler. A seçeneğini

10

kişi seçtiyse bu dilimin merkez açısı

\frac{10}{40} \cdot 360° = 90°

, yüzdesi ise

\frac{10}{40} \cdot 100 = 25%

olur.

Örnek

Soru

Bir ankete katılan $40$ kişiden $10$ 'u A seçeneğini işaretlemiştir. Daire grafiğinde A seçeneğine karşılık gelen dilimin merkez açısını bulunuz.

Dilim açısı $= \frac{par c ¸ a}{toplam} \cdot 360°$ formülünü kullan.

Parça $10$ , toplam $40$ .
Formülü uygula: $\frac{10}{40} \cdot 360° = \frac{1}{4} \cdot 360° = 90°$ .

Sonuç: A diliminin merkez açısı

90°

'dir.

7. Pekiştirme Sorusu

Örnek

Soru

$6, 9, 4, 9, 2$ veri kümesi için ortalama, medyan, mod ve açıklığı bulunuz.

Medyanı bulmadan önce veriyi mutlaka küçükten büyüğe sırala.

Ortalama: $\frac{6 + 9 + 4 + 9 + 2}{5} = \frac{30}{5} = 6$ .
Sırala: $2, 4, 6, 9, 9$ .
Medyan: $5$ veri (tek), ortadaki değer $6$ .
Mod: en çok tekrar eden değer $9$ (iki kez).
Açıklık: $9 - 2 = 7$ .

Sonuç: Ortalama

6

, medyan

6

, mod

9

, açıklık

7

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$15, 20, 25, 40$ verilerinin aritmetik ortalamasını bulunuz.

Verileri topla: $15 + 20 + 25 + 40 = 100$ .
Veri sayısı $4$ olduğundan: $\overline{x} = \frac{100}{4} = 25$ .

Sonuç:

\overline{x} = 25

Örnek

Soru

$8, 3, 11, 6, 3, 14$ verilerinin medyanını bulunuz.

Veriyi küçükten büyüğe sırala: $3, 3, 6, 8, 11, 14$ .
Veri sayısı $6$ (çift); ortadaki iki değer $3.$ ve $4.$ sıradaki $6$ ve $8$ 'dir.
Medyan bu iki değerin ortalamasıdır: $\frac{6 + 8}{2} = 7$ .

Sonuç: Medyan

= 7

Örnek

Soru

$5, 7, 5, 9, 7, 5, 2$ verilerinin modunu ve açıklığını bulunuz.

Tekrar sayılarına bak: $5$ değeri $3$ kez, $7$ değeri $2$ kez, diğerleri birer kez geçiyor.
En çok tekrar eden değer $5$ olduğundan mod $5$ 'tir.
Açıklık için en büyük ve en küçük değeri al: $9 - 2 = 7$ .

Sonuç: Mod

= 5

, açıklık

= 7

Örnek

Soru

Bir öğrencinin dört sınav notunun ortalaması $70$ 'tir. Beşinci sınavdan $90$ alırsa beş sınavın ortalaması kaç olur?

Dört sınavın toplamı: $4 \cdot 70 = 280$ .
Beşinci notu ekle: $280 + 90 = 370$ .
Beş sınavın ortalaması: $\frac{370}{5} = 74$ .

Sonuç: Yeni ortalama

74

'tür.

Örnek

Soru

$4, 8, x, 10, 6$ verilerinin aritmetik ortalaması $7$ ise $x$ kaçtır?

Ortalama formülünden toplamı yaz: $\frac{4 + 8 + x + 10 + 6}{5} = 7$ .
Her iki tarafı $5$ ile çarp: $28 + x = 35$ .
Buradan $x = 35 - 28 = 7$ .

Sonuç:

x = 7

Örnek

Soru

Bir daire grafiğinde bir dilimin merkez açısı $72°$ 'dir. Toplam $30$ kişi ankete katıldıysa bu dilime karşılık gelen kişi sayısı kaçtır?

Bu dilimin oranını açıdan bul: $\frac{72°}{360°} = \frac{1}{5}$ .
Oranı toplam kişi sayısıyla çarp: $\frac{1}{5} \cdot 30 = 6$ .

Sonuç: Bu dilime

6

kişi karşılık gelir.

Örnek

Soru

Bir sınıfta $10$ kız öğrencinin not ortalaması $80$ , $15$ erkek öğrencinin not ortalaması $70$ 'tir. Sınıfın tümünün not ortalaması kaçtır?

Kızların not toplamı: $10 \cdot 80 = 800$ .
Erkeklerin not toplamı: $15 \cdot 70 = 1050$ .
Tüm notların toplamı: $800 + 1050 = 1850$ , toplam öğrenci $10 + 15 = 25$ .
Sınıf ortalaması: $\frac{1850}{25} = 74$ .

Sonuç: Sınıf ortalaması

74

'tür.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

Bir basketbolcunun ilk

4

maçta attığı sayıların ortalaması

14

'tür. Bu oyuncu

5.

maçta

24

sayı atarsa

5

maçın sayı ortalaması kaç olur?

İlk $4$ maçın toplamı: $4 \cdot 14 = 56$ .
$5.$ maçı ekle: $56 + 24 = 80$ .
$5$ maçın ortalaması: $\frac{80}{5} = 16$ .
Çeldirici: yeni notu eski ortalamayla "ortalamak" ( $\frac{14 + 24}{2} = 19$ , E) tipik hatadır.

Sonuç:

16

Soru 2Orta

Bir öğrencinin

5

sınav notu

70, 80, 60, x, 90

olup bu notların **ortalaması

76

**'dır. Bu beş notun **medyanı** kaçtır?

Ortalamadan toplam: $5 \cdot 76 = 380$ .
$x$ 'i bul: $70 + 80 + 60 + 90 = 300$ , $x = 380 - 300 = 80$ .
Sırala: $60, 70, 80, 80, 90$ .
$5$ veri (tek), ortadaki $3.$ değer medyandır: $80$ .
Çeldirici: $x$ 'i bulmadan sıralayıp ortancayı yanlış seçmek ya da ortalama $76$ 'yı (B) medyan sanmak yaygın hatadır.

Sonuç:

80

Soru 3Orta

Bir manavın bir hafta boyunca sattığı karpuz sayıları aşağıdaki sütun grafiğinde verilmiştir. Dört günün satışları: Pazartesi

4

, Salı

8

, Çarşamba

6

, Perşembe

10

. Bu dört günün satış verilerinin **ortalaması ile medyanı** arasındaki fark kaçtır?

Ortalama: $\frac{4 + 8 + 6 + 10}{4} = \frac{28}{4} = 7$ .
Sırala: $4, 6, 8, 10$ .
Medyan (çift veri): $\frac{6 + 8}{2} = 7$ .
Fark: $7 - 7 = 0$ .
Çeldirici: sütunları sırasız (grafikteki gün sırasıyla) alıp medyanı $\frac{8 + 6}{2} = 7$ dışında yanlış hesaplamak ya da medyanı tek değer sanmak yaygın hatadır.

Sonuç:

0

Soru 4Orta

40

kişilik bir grubun en sevdiği meyve daire grafiğinde gösterilmiştir. **Elma** dilimi

90°

, **muz** dilimi

108°

'lik merkez açısına sahiptir. Elmayı seçenlerin sayısı, muzu seçenlerin sayısından kaç **fazla ya da eksiktir**?

Elma: $\frac{90}{360} \cdot 40 = \frac{1}{4} \cdot 40 = 10$ kişi.
Muz: $\frac{108}{360} \cdot 40 = \frac{3}{10} \cdot 40 = 12$ kişi.
Fark: $10 - 12 = - 2$ , yani elmayı seçenler $2$ kişi **eksiktir**.
Çeldirici: açı farkını ( $108 - 90 = 18$ ) doğrudan kişi farkı sanmak tipik hatadır.

Sonuç:

2

eksik

Soru 5Zor

6

kişilik bir takımın yaşları

14, 15, 15, 16, 18, x

şeklindedir. Bu verilerin **açıklığı

7

** olduğuna göre

x

'in alabileceği **en büyük** değer kaçtır?

$x$ dışındaki değerlerde en küçük $14$ , en büyük $18$ .
$x$ en büyük değer ise açıklık $x - 14 = 7$ , buradan $x = 21$ .
( $x$ en küçük olsaydı $18 - x = 7$ , $x = 11$ olurdu; bu küçük değerdir.) En büyük $x = 21$ .
Çeldirici: en küçük durumu ( $x = 11$ , A) ile en büyük durumu karıştırmak yaygın hatadır.

Sonuç:

21

Soru 6Kolay

2, 4, 4, 6, 8

verilerinin modu kaçtır?

En çok tekrar eden değer $4$ 'tür (iki kez).
Çeldirici: modu ortalama ( $\frac{24}{5} = 4, 8$ ) ya da medyan ( $4$ ) ile karıştırmamaya dikkat; burada medyan da $4$ olsa da soru modu sorar.

Sonuç:

4

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Medyan bulurken veriyi sıralamayı unutmak. Önce her zaman küçükten büyüğe sırala, sonra ortadakini seç.
Çift veri sayısında medyanı tek bir değer sanmak. Ortadaki iki değerin ortalamasını almalısın.
Mod ile medyanı karıştırmak. Mod en çok tekrar eden değerdir; medyan ise sıralı listenin ortasıdır.

Sınav ipucu: Medyanda önce SIRALA. Daire grafiğinde dilim açısı $= \frac{par c ¸ a}{toplam} \cdot 360°$ , yüzde $= \frac{par c ¸ a}{toplam} \cdot 100$ .

1. Aritmetik Ortalama

2. Ortanca (Medyan)

3. Tepe Değer (Mod)

4. Açıklık

5. Sütun Grafiği Okuma

6. Daire Grafiği Okuma

7. Pekiştirme Sorusu

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sayma, Olasılık ve İstatistik — diğer konular