10. Sınıf · Sayma, Algoritma ve Bilişim

Kombinasyon

~7 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

Bazı seçimlerde sıra önemli değildir — bir takıma seçilen $3$ kişide kimin önce seçildiği fark etmez. Bu tür seçimleri kombinasyon sayar. Bu derste kombinasyon formülünü, temel özelliklerini ve permütasyondan farkını öğreneceğiz. Kombinasyon; takım kurma, el dağıtma, alt küme sayma gibi pek çok problemin ve olasılığın anahtarıdır. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Kombinasyon Nedir?

Kombinasyon, $n$ farklı nesneden $r$ tanesinin sırasız seçimidir:

$C (n, r) = (r n) = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}$

Sıra önemli olmadığından, kombinasyon permütasyonun $r!$ 'e bölünmüş hâlidir: $C (n, r) = \frac{P ( n , r )}{r !}$ .

Örnek

Soru

$6$ kişilik bir gruptan $2$ kişilik bir komite kaç farklı şekilde seçilir?

Komitede sıra önemsiz → kombinasyon: $C (6, 2)$ .
$C (6, 2) = \frac{6 \cdot 5}{2 !} = \frac{30}{2} = 15$ .

Sonuç:

15

2. Temel Özellikler

$C (n, 0) = C (n, n) = 1$ (hiç seçmemenin ve hepsini seçmenin tek yolu vardır).
$C (n, 1) = n$ .
Simetri: $C (n, r) = C (n, n - r)$ ( $r$ tane seçmek, kalan $n - r$ taneyi ayırmaya denktir).

Örnek

Soru

$C (10, 8)$ değerini kısa yoldan hesaplayınız.

Simetriyi kullan: $C (10, 8) = C (10, 2)$ . Küçük alttan saymak çok daha kolaydır.

$C (10, 8) = C (10, 2) = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$ .

Sonuç:

45

3. Permütasyon mu, Kombinasyon mu?

Tek soru: sıra önemli mi?

Önemliyse (sıralama, başkan-yardımcı, şifre) → permütasyon.
Önemsizse (komite, takım, el, alt küme) → kombinasyon.

Örnek

Soru

$8$ oyuncudan $5$ 'i sahaya çıkacak. Kaç farklı kadro oluşur?

Kadroda sıra önemsiz (kim seçildi önemli, hangi sırayla değil) → kombinasyon.
$C (8, 5) = C (8, 3) = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 !} = \frac{336}{6} = 56$ .

Sonuç:

56

farklı kadro.

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$7$ kişiden $3$ kişilik bir grup kaç farklı şekilde seçilir?

$C (7, 3) = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 !} = \frac{210}{6} = 35$ .

Sonuç:

35

Örnek

Soru

$5$ erkek ve $4$ kızdan, $2$ erkek ve $2$ kızlık bir ekip kaç farklı şekilde kurulur?

Bağımsız iki seçimi ayrı ayrı kombinasyonla bul, sonra çarpma kuralıyla birleştir.

$2$ erkek: $C (5, 2) = 10$ .
$2$ kız: $C (4, 2) = 6$ .
Çarp: $10 \cdot 6 = 60$ .

Sonuç:

60

Örnek

Soru

$C (n, 2) = 10$ ise $n$ kaçtır?

$C (n, 2) = \frac{n ( n - 1 )}{2} = 10 \Rightarrow n (n - 1) = 20$ .
$n = 5$ ( $5 \cdot 4 = 20$ ).

Sonuç:

n = 5

Örnek

Soru

Bir düzlemde, herhangi üçü doğrusal olmayan $6$ noktanın belirlediği doğru sayısını bulunuz.

Bir doğru $2$ noktayla belirlenir; sıra önemsiz → $C (6, 2)$ .
$C (6, 2) = 15$ .

Sonuç:

15

doğru.

Neden burada kombinasyon kullandığımızı şekille görmek faydalı: $A B$ doğrusu ile $B A$ doğrusu aynıdır, yani noktaların sırası önemli değildir. Aşağıdaki şekilde, üçü doğrusal olmayan $6$ noktanın her ikisi birer doğru parçasıyla birleştirilmiş; bu parçaları (yani $2$ 'li sırasız seçimleri) saydığımızda $C (6, 2) = 15$ çıkar.

Şekil 1 — Üçü doğrusal olmayan

6

noktanın belirlediği

15

doğru. Bir doğru,

2

noktalı sırasız bir seçimle (

A B = B A

) belirlendiğinden sayı

C (6, 2) = 15

'tir. Aynı noktalardan üçer üçer üçgen seçseydik

C (6, 3) = 20

bulurduk.

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$9$ kişiden $2$ kişilik komite kaç şekilde seçilir?

$C (9, 2) = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36$ .

Sonuç:

36

Örnek

Soru

$C (12, 10)$ kaçtır?

$C (12, 10) = C (12, 2) = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66$ .

Sonuç:

66

Örnek

Soru

$10$ soruluk testten $8$ soru kaç farklı şekilde seçilip çözülür (sıra önemsiz)?

$C (10, 8) = C (10, 2) = 45$ .

Sonuç:

45

Örnek

Soru

$6$ kişiden $4$ 'ü seçilecek. Kaç farklı seçim vardır?

$C (6, 4) = C (6, 2) = 15$ .

Sonuç:

15

Örnek

Soru

$8$ noktadan (üçü doğrusal değil) kaç farklı üçgen oluşur?

Bir üçgen $3$ noktayla belirlenir, sıra önemsiz: $C (8, 3) = 56$ .

Sonuç:

56

Örnek

Soru

$C (n, 2) = 21$ ise $n$ kaçtır?

$C (n, 2) = \frac{n ( n - 1 )}{2} = 21 \Rightarrow n (n - 1) = 42$ .
$7 \cdot 6 = 42$ olduğundan $n = 7$ .

Sonuç:

n = 7

Örnek

Soru

$6$ erkek ve $4$ kızdan, en az $1$ kız içeren $3$ kişilik grup kaç farklı şekilde kurulur?

"En az $1$ " tipinde tümleyen en kısa yoldur: tüm $3$ 'lü gruplardan, hiç kız olmayan (yani hepsi erkek) grupları çıkar.

Toplam $10$ kişiden $3$ 'lü grup: $C (10, 3) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = 120$ .
Hiç kız olmayan (hepsi erkek): $C (6, 3) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{6} = 20$ .
En az $1$ kız: $120 - 20 = 100$ .

Sonuç:

100

Örnek

Soru

Bir $7$ kişilik gruptan, belirli bir kişi (Ali) mutlaka bulunacak şekilde $3$ kişilik komite kaç farklı şekilde seçilir?

Ali zaten komitede; geriye kalan $2$ üyeyi diğer kişilerden seç.

Ali sabit; kalan $2$ üye diğer $6$ kişiden: $C (6, 2) = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$ .

Sonuç:

15

Örnek

Soru

Bir düzlemde, $4$ 'ü bir doğru üzerinde olan toplam $9$ nokta var (bu $4$ dışında üçü doğrusal değil). Bu noktalarla kaç farklı üçgen oluşur?

$3$ nokta ancak doğrusal değilse üçgen yapar. Tüm $3$ 'lü seçimlerden, aynı doğru üzerindeki $4$ noktanın oluşturduğu doğrusal üçlüleri çıkar.

Tüm $3$ 'lü seçimler: $C (9, 3) = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{6} = 84$ .
Doğrusal (üçgen olmayan) üçlüler, aynı doğru üzerindeki $4$ noktadan: $C (4, 3) = 4$ .
Üçgen sayısı: $84 - 4 = 80$ .

Sonuç:

80

Sık Yapılan Hatalar

Sıra önemsizken permütasyon kullanmak. Komite/takım/el → kombinasyon; sonucu $r!$ kat fazla bulursan permütasyona kaymışsındır.
Simetriyi kullanmamak. $C (n, r) = C (n, n - r)$ ; $C (20, 18)$ yerine $C (20, 2)$ hesapla.
Bağımsız seçimleri toplamak. "Hem ... hem ..." gruplarını çarp (erkekler × kızlar), toplama değil.
$C (n, 0)$ 'ı $0$ sanmak. $C (n, 0) = 1$ 'dir.
"En az bir" durumunu doğrudan saymak. Çoğu zaman tümleyen kısadır: tüm seçimlerden, istenmeyen ("hiç") durumu çıkar.

Not: Karar ağacın tek soruyla başlasın: sıra önemli mi? Önemsizse kombinasyon. Büyük $r$ için simetriyle küçült; çok aşamalı seçimde her aşamayı kombinasyonla bulup çarp.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

9

öğrenciden

3

kişilik bir çalışma grubu kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Grupta sıra önemsiz olduğundan kombinasyon kullanılır: $C (9, 3)$ .
$C (9, 3) = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 !} = \frac{504}{6} = 84$ .

Sonuç:

C (9, 3) = 84

Soru 2Kolay

C (15, 13)

ifadesinin değeri kaçtır?

Simetri özelliğini kullan: $C (15, 13) = C (15, 15 - 13) = C (15, 2)$ .
$C (15, 2) = \frac{15 \cdot 14}{2} = \frac{210}{2} = 105$ .

Sonuç:

C (15, 13) = C (15, 2) = 105

Soru 3Orta

C (n, 2) = 28

eşitliğini sağlayan

n

doğal sayısı kaçtır?

$C (n, 2) = \frac{n ( n - 1 )}{2} = 28 \Rightarrow n (n - 1) = 56$ .
Ardışık iki sayının çarpımı $56$ : $8 \cdot 7 = 56$ olduğundan $n = 8$ .

Sonuç:

n = 8

Soru 4Orta

Bir okulda

4

matematik ve

5

fen öğretmeni vardır. Bir sınav komisyonu için

2

matematik ve

3

fen öğretmeni seçilecektir. Bu komisyon kaç farklı şekilde oluşturulur?

$2$ matematik öğretmeni seçimi: $C (4, 2) = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ .
$3$ fen öğretmeni seçimi: $C (5, 3) = C (5, 2) = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$ .
İki bağımsız seçim çarpma kuralıyla birleştirilir: $6 \cdot 10 = 60$ .

Sonuç:

C (4, 2) \cdot C (5, 3) = 6 \cdot 10 = 60

Soru 5Zor

7

erkek ve

5

kızdan oluşan bir sınıftan

4

kişilik bir ekip seçilecektir. Ekipte

en az 1

kız bulunması koşuluyla kaç farklı ekip kurulabilir?

Tümleyenden git: Tüm $4$ 'lü ekipler: $C (12, 4) = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{24} = 495$ .
Hiç kız olmayan (hepsi erkek) ekipler: $C (7, 4) = C (7, 3) = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 35$ .
En az $1$ kız: $495 - 35 = 460$ .

Sonuç:

C (12, 4) - C (7, 4) = 495 - 35 = 460

Soru 6Orta

Bir düzlemde

10

nokta veriliyor. Bu noktaların yalnızca

4

tanesi aynı doğru üzerinde, geri kalanların ise üçü doğrusal değildir. Bu noktalarla kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

Bir üçgen $3$ noktayla belirlenir ve sıra önemsizdir; tüm $3$ 'lü seçimler: $C (10, 3) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = 120$ .
Aynı doğru üzerindeki $4$ nokta üçgen oluşturmaz; bu doğrusal üçlüler: $C (4, 3) = 4$ .
Üçgen sayısı: $120 - 4 = 116$ .

Sonuç:

C (10, 3) - C (4, 3) = 120 - 4 = 116

0/6 soru cevaplandı

1. Kombinasyon Nedir?

2. Temel Özellikler

3. Permütasyon mu, Kombinasyon mu?

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sayma, Algoritma ve Bilişim — diğer konular