10. Sınıf · Sayma, Algoritma ve Bilişim
Kombinasyon
Bazı seçimlerde sıra önemli değildir — bir takıma seçilen 3 kişide kimin önce seçildiği fark etmez. Bu tür seçimleri kombinasyon sayar. Bu derste kombinasyon formülünü, temel özelliklerini ve permütasyondan farkını öğreneceğiz. Kombinasyon; takım kurma, el dağıtma, alt küme sayma gibi pek çok problemin ve olasılığın anahtarıdır. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.
1. Kombinasyon Nedir?
Kombinasyon, n farklı nesneden r tanesinin sırasız seçimidir:
C(n,r)=\binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}
Sıra önemli olmadığından, kombinasyon permütasyonun r!'e bölünmüş hâlidir: C(n,r)=\dfrac{P(n,r)}{r!}.
6 kişilik bir gruptan 2 kişilik bir komite kaç farklı şekilde seçilir?
- Komitede sıra önemsiz → kombinasyon:
C(6,2). C(6,2)=\dfrac{6\cdot 5}{2!}=\dfrac{30}{2}=15.
15.2. Temel Özellikler
C(n,0)=C(n,n)=1(hiç seçmemenin ve hepsini seçmenin tek yolu vardır).C(n,1)=n.- Simetri:
C(n,r)=C(n,\,n-r)(rtane seçmek, kalann-rtaneyi ayırmaya denktir).
C(10,\ 8) değerini kısa yoldan hesaplayınız.
Simetriyi kullan: C(10,8)=C(10,2). Küçük alttan saymak çok daha kolaydır.
C(10,8)=C(10,2)=\dfrac{10\cdot 9}{2}=45.
45.3. Permütasyon mu, Kombinasyon mu?
Tek soru: sıra önemli mi?
- Önemliyse (sıralama, başkan-yardımcı, şifre) → permütasyon.
- Önemsizse (komite, takım, el, alt küme) → kombinasyon.
8 oyuncudan 5'i sahaya çıkacak. Kaç farklı kadro oluşur?
- Kadroda sıra önemsiz (kim seçildi önemli, hangi sırayla değil) → kombinasyon.
C(8,5)=C(8,3)=\dfrac{8\cdot 7\cdot 6}{3!}=\dfrac{336}{6}=56.
56 farklı kadro.Çözümlü Örnekler
7 kişiden 3 kişilik bir grup kaç farklı şekilde seçilir?
C(7,3)=\dfrac{7\cdot 6\cdot 5}{3!}=\dfrac{210}{6}=35.
35.5 erkek ve 4 kızdan, 2 erkek ve 2 kızlık bir ekip kaç farklı şekilde kurulur?
Bağımsız iki seçimi ayrı ayrı kombinasyonla bul, sonra çarpma kuralıyla birleştir.
2erkek:C(5,2)=10.2kız:C(4,2)=6.- Çarp:
10\cdot 6=60.
60.C(n,2)=10 ise n kaçtır?
C(n,2)=\dfrac{n(n-1)}{2}=10\Rightarrow n(n-1)=20.n=5(5\cdot 4=20).
n=5.Bir düzlemde, herhangi üçü doğrusal olmayan 6 noktanın belirlediği doğru sayısını bulunuz.
- Bir doğru
2noktayla belirlenir; sıra önemsiz →C(6,2). C(6,2)=15.
15 doğru.Neden burada kombinasyon kullandığımızı şekille görmek faydalı: AB doğrusu ile BA doğrusu aynıdır, yani noktaların sırası önemli değildir. Aşağıdaki şekilde, üçü doğrusal olmayan 6 noktanın her ikisi birer doğru parçasıyla birleştirilmiş; bu parçaları (yani 2'li sırasız seçimleri) saydığımızda C(6,2)=15 çıkar.
6 noktanın belirlediği 15 doğru. Bir doğru, 2 noktalı sırasız bir seçimle (AB=BA) belirlendiğinden sayı C(6,2)=15'tir. Aynı noktalardan üçer üçer üçgen seçseydik C(6,3)=20 bulurduk.Alıştırmalar — Sıra Sende
Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.
9 kişiden 2 kişilik komite kaç şekilde seçilir?
C(9,2)=\dfrac{9\cdot 8}{2}=36.
36.C(12,\ 10) kaçtır?
C(12,10)=C(12,2)=\dfrac{12\cdot 11}{2}=66.
66.10 soruluk testten 8 soru kaç farklı şekilde seçilip çözülür (sıra önemsiz)?
C(10,8)=C(10,2)=45.
45.6 kişiden 4'ü seçilecek. Kaç farklı seçim vardır?
C(6,4)=C(6,2)=15.
15.8 noktadan (üçü doğrusal değil) kaç farklı üçgen oluşur?
- Bir üçgen
3noktayla belirlenir, sıra önemsiz:C(8,3)=56.
56.C(n,2)=21 ise n kaçtır?
C(n,2)=\dfrac{n(n-1)}{2}=21\Rightarrow n(n-1)=42.7\cdot 6=42olduğundann=7.
n=7.6 erkek ve 4 kızdan, en az 1 kız içeren 3 kişilik grup kaç farklı şekilde kurulur?
"En az 1" tipinde tümleyen en kısa yoldur: tüm 3'lü gruplardan, hiç kız olmayan (yani hepsi erkek) grupları çıkar.
- Toplam
10kişiden3'lü grup:C(10,3)=\dfrac{10\cdot 9\cdot 8}{6}=120. - Hiç kız olmayan (hepsi erkek):
C(6,3)=\dfrac{6\cdot 5\cdot 4}{6}=20. - En az
1kız:120-20=100.
100.Bir 7 kişilik gruptan, belirli bir kişi (Ali) mutlaka bulunacak şekilde 3 kişilik komite kaç farklı şekilde seçilir?
Ali zaten komitede; geriye kalan 2 üyeyi diğer kişilerden seç.
- Ali sabit; kalan
2üye diğer6kişiden:C(6,2)=\dfrac{6\cdot 5}{2}=15.
15.Bir düzlemde, 4'ü bir doğru üzerinde olan toplam 9 nokta var (bu 4 dışında üçü doğrusal değil). Bu noktalarla kaç farklı üçgen oluşur?
3 nokta ancak doğrusal değilse üçgen yapar. Tüm 3'lü seçimlerden, aynı doğru üzerindeki 4 noktanın oluşturduğu doğrusal üçlüleri çıkar.
- Tüm
3'lü seçimler:C(9,3)=\dfrac{9\cdot 8\cdot 7}{6}=84. - Doğrusal (üçgen olmayan) üçlüler, aynı doğru üzerindeki
4noktadan:C(4,3)=4. - Üçgen sayısı:
84-4=80.
80.Sık Yapılan Hatalar
- Sıra önemsizken permütasyon kullanmak. Komite/takım/el → kombinasyon; sonucu
r!kat fazla bulursan permütasyona kaymışsındır. - Simetriyi kullanmamak.
C(n,r)=C(n,n-r);C(20,18)yerineC(20,2)hesapla. - Bağımsız seçimleri toplamak. "Hem ... hem ..." gruplarını çarp (erkekler × kızlar), toplama değil.
C(n,0)'ı0sanmak.C(n,0)=1'dir.- "En az bir" durumunu doğrudan saymak. Çoğu zaman tümleyen kısadır: tüm seçimlerden, istenmeyen ("hiç") durumu çıkar.
Not: Karar ağacın tek soruyla başlasın: sıra önemli mi? Önemsizse kombinasyon. Büyük
riçin simetriyle küçült; çok aşamalı seçimde her aşamayı kombinasyonla bulup çarp.