10. Sınıf · Sayma, Algoritma ve Bilişim

İşlemlerin Algoritmik Yapısı

~6 dk okumaZorluk: Kolay17 çözümlü soru

Cebirsel ve fonksiyonel işlemler de tıpkı bir tarif gibi adım adım (algoritmik) ifade edilebilir. Bu derste bir hesabı ya da bir fonksiyon değerini sıralı işlem adımlarıyla yazmayı, adımların sırasının sonucu nasıl değiştirdiğini ve bir çıktıyı veren adımları izlemeyi (trace) öğreneceğiz. Bu beceri, karmaşık ifadeleri hatasız hesaplamanın ve ileride kod yazmanın temelidir. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Bir İşlemi Adımlara Dökmek

Bir hesaplama, girdi → işlem adımları → çıktı biçiminde yazılabilir. Her adım tek ve kesin bir işlem yapar; işlem önceliği korunur (önce parantez/üs, sonra çarpma-bölme, sonra toplama-çıkarma).

Örnek

Soru

$f(x)=3x^2-5$ fonksiyonunun bir $x$ girdisi için çıktısını veren algoritmayı adımlarla yazınız.

$x$ değerini al.
Karesini al: $k=x^2$ .
$3$ ile çarp: $u=3k$ .
$5$ çıkar: $s=u-5$ .
$s$ 'i yaz (çıktı $f(x)$ ).

Sonuç:

5

adımlı algoritma; çıktı

3x^2-5

2. Adımları İzleme (Trace)

Bir algoritmanın çıktısını bulmak için, değişkenlerin her adımdaki değerini sırayla izlersin.

Örnek

Soru

Şu algoritmanın $x=4$ için çıktısını bulunuz: " $a=x+1$ ; $\;b=2a$ ; $\;c=b-3$ ; $\;c$ 'yi yaz."

Bir tabloyla izle: her adımda yalnız o satırın değerini güncelle.

$a=4+1=5$ .
$b=2\cdot 5=10$ .
$c=10-3=7$ .

Sonuç: Çıktı

7

Aynı izlemeyi bir akış şeması üzerinde de görebiliriz: girdi soldan girer, her kutu tek bir işlem yapar ve değişkenin güncel değeri okun üstünde taşınır. Aşağıda $x=4$ için değerler sırayla $5\to 10\to 7$ olarak ilerliyor.

Şekil 1 — "

a=x+1;\ b=2a;\ c=b-3

" algoritmasının

x=4

için akış şeması. Her kutuda değişkenin güncel değeri (kırmızı) yazılır; son kutudan çıkan değer çıktıdır:

7

3. Adımların Sırası Önemlidir

Aynı işlemler farklı sırayla yapılırsa sonuç değişebilir. Algoritmada sıra, sonucu belirler.

Örnek

Soru

$x=2$ için iki algoritmanın çıktısını karşılaştırınız: A: "kare al, sonra $3$ ekle." B: " $3$ ekle, sonra kare al."

A: $2^2=4$ , $\;4+3=7$ .
B: $2+3=5$ , $\;5^2=25$ .
Sıra değişince çıktı $7$ yerine $25$ oldu.

Sonuç: A →

7

, B →

25

; sıra sonucu değiştirir.

4. Fonksiyonel İşlemler

İki fonksiyonu art arda uygulamak (bileşke) da bir algoritmadır: önce içteki, sonra dıştaki çalışır.

Örnek

Soru

$f(x)=x+3$ ve $g(x)=2x$ için, "önce $g$ , sonra $f$ uygula" algoritmasının $x=5$ için çıktısını bulunuz.

Önce $g$ : $g(5)=2\cdot 5=10$ .
Sonra $f$ : $f(10)=10+3=13$ .

Sonuç: Çıktı

13

(yani

f(g(5))

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

" $a=x-2$ ; $\;b=a^2$ ; $\;b$ 'yi yaz" algoritmasının $x=5$ için çıktısı nedir?

$a=5-2=3$ .
$b=3^2=9$ .

Sonuç:

9

Örnek

Soru

$f(x)=\dfrac{x+4}{2}$ fonksiyonunu, çıktıyı veren adımlarla yazınız.

$x$ al.
$4$ ekle: $t=x+4$ .
$2$ 'ye böl: $s=\dfrac{t}{2}$ .
$s$ 'i yaz.

Sonuç:

3

işlem adımı; çıktı

\dfrac{x+4}{2}

Örnek

Soru

$f(x)=x^2$ , $g(x)=x-1$ için "önce $f$ , sonra $g$ " ( $x=3$ ) çıktısını bulunuz.

$f(3)=9$ .
$g(9)=9-1=8$ .

Sonuç:

8

Örnek

Soru

" $t=0$ ; $\;i=1$ iken $i\le 3$ olduğu sürece $t=t+i^2$ , $i=i+1$ " algoritmasının çıktısını bulunuz.

$i=1$ : $t=0+1=1$ .
$i=2$ : $t=1+4=5$ .
$i=3$ : $t=5+9=14$ .
$i=4$ olunca döngü durur.

Sonuç:

14

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

" $a=2x$ ; $\;b=a+1$ ; $\;b$ 'yi yaz" algoritmasının $x=6$ için çıktısı nedir?

$a=12$ , $b=13$ .

Sonuç:

13

Örnek

Soru

$f(x)=x-4$ , $g(x)=3x$ için $f(g(2))$ kaçtır?

$g(2)=6$ ; $f(6)=2$ .

Sonuç:

2

Örnek

Soru

$x=3$ için "kare al, sonra $1$ çıkar" ile " $1$ çıkar, sonra kare al" çıktıları nedir?

İlk: $9-1=8$ . İkinci: $(3-1)^2=4$ .

Sonuç:

8

4

Örnek

Soru

" $p=1$ ; $\;i=1$ iken $i\le 4$ olduğu sürece $p=p\cdot i$ , $i=i+1$ " çıktısını bul.

$p$ sırasıyla $1,2,6,24$ olur ( $=4!$ ).

Sonuç:

24

Örnek

Soru

$f(x)=2x+1$ fonksiyonunu adım adım (girdi→çıktı) yaz.

$x$ al; $2$ ile çarp ( $t=2x$ ); $1$ ekle ( $s=t+1$ ); $s$ 'i yaz.

Sonuç:

2

işlem adımı; çıktı

2x+1

Örnek

Soru

$f(x)=2x$ , $g(x)=x+1$ için $f(g(x))$ ve $g(f(x))$ ifadelerini yazıp $x=3$ için karşılaştırınız.

$f(g(x))=2(x+1)=2x+2$ ; $x=3$ için $8$ .
$g(f(x))=2x+1$ ; $x=3$ için $7$ .
Bileşkede sıra önemli: $f(g(x))\neq g(f(x))$ .

Sonuç:

f(g(x))=2x+2

g(f(x))=2x+1

;

x=3

için

8

7

Örnek

Soru

" $t=0$ ; $\;i=1$ iken $i\le 5$ olduğu sürece $t=t+(2i-1)$ , $i=i+1$ " algoritmasının çıktısını bulunuz.

$2i-1$ ardışık tek sayıları verir: $1,3,5,7,9$ . İlk $n$ tek sayının toplamı $n^2$ 'dir.

Eklenen değerler: $i=1\to 1$ , $i=2\to 3$ , $i=3\to 5$ , $i=4\to 7$ , $i=5\to 9$ .
$t=1+3+5+7+9=25$ (yani $5^2$ ).

Sonuç:

25

Örnek

Soru

" $m=$ ilk sayı; sonra her sayı için: eğer sayı $>m$ ise $m=$ sayı" algoritması bir listenin en büyüğünü bulur. $7,\ 2,\ 9,\ 4,\ 9,\ 6$ listesi için $m$ 'in son değeri ve $m$ 'in kaç kez güncellendiğini bulunuz.

$m$ 'i ilk elemanla başlat; her elemanı sırayla $m$ ile karşılaştır, yalnız daha büyükse güncelle. İkinci $9$ , mevcut $m=9$ 'dan büyük değildir.

$m=7$ (başlangıç).
$2$ : $2>7$ değil → güncelleme yok.
$9$ : $9>7$ → $m=9$ (1. güncelleme).
$4$ : değil. $9$ : $9>9$ değil → güncelleme yok. $6$ : değil.
Son $m=9$ ; başlangıçtan sonra toplam $1$ güncelleme.

Sonuç: En büyük

9

;

m

yalnız

1

kez güncellendi.

Örnek

Soru

İç içe iki döngü: " $s=0$ ; $\;i=1$ iken $i\le 2$ için ( $\;j=1$ iken $j\le 3$ için $s=s+i\cdot j$ , $j=j+1$ ), $i=i+1$ " algoritmasının çıktısını bulunuz.

Dıştaki $i$ sabitken içteki $j$ baştan sona döner. Her $i$ için $i\cdot(1+2+3)=6i$ eklenir.

$i=1$ : $s$ 'e $1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot 3=6$ eklenir → $s=6$ .
$i=2$ : $s$ 'e $2\cdot 1+2\cdot 2+2\cdot 3=12$ eklenir → $s=18$ .

Sonuç:

18

Sık Yapılan Hatalar

İşlem önceliğini bozmak. Adımlara dökerken de önce üs/parantez, sonra çarpma-bölme, sonra toplama-çıkarma sırasını koru.
Adım sırasını önemsiz sanmak. "Kare al sonra ekle" ile "ekle sonra kare al" farklı sonuç verir.
Bileşkede sırayı ters uygulamak. $f(g(x))$ 'te önce $g$ (içteki) çalışır, sonra $f$ .
İzlemede eski değeri kullanmak. $t=t+i$ atamasında her adımda $t$ 'nin güncel değerini kullan.
Döngü koşulunu fazladan/eksik çalıştırmak. " $i\le 3$ " koşulu $i=4$ olunca durur; karşılaştırmada kesin eşitsizlik mi, eşitlikli mi olduğuna dikkat et.

Not: Bir algoritmanın çıktısını bulmanın en güvenli yolu adım adım izlemektir: değişkenlerin her satırdaki değerini yaz. Bileşke ( $f(g(x))$ ) sorularında daima içten dışa ilerle.

1. Bir İşlemi Adımlara Dökmek

2. Adımları İzleme (Trace)

3. Adımların Sırası Önemlidir

4. Fonksiyonel İşlemler

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sayma, Algoritma ve Bilişim — diğer konular