10. Sınıf · Sayma, Algoritma ve Bilişim

Sayma Yöntemleri ve Permütasyon

~8 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

Sayma, Algoritma ve Bilişim temasına "kaç farklı şekilde?" sorusunu yanıtlayan sayma yöntemleriyle başlıyoruz. Bu derste toplama ve çarpma yoluyla saymayı, faktöriyel kavramını ve sıralamanın önemli olduğu durumlarda permütasyonu öğreneceğiz. Sayma; olasılığın da temelidir — bir olayın olasılığını bulmak için önce "kaç durum var?" sorusunu yanıtlamak gerekir. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma

Çarpma kuralı: Bir iş ardışık aşamalardan oluşuyorsa (önce şunu, sonra şunu), aşamaların seçenek sayıları çarpılır.
Toplama kuralı: Bir iş birbirini dışlayan seçeneklerden biriyle yapılıyorsa (ya şu ya bu), seçenek sayıları toplanır.

Örnek

Soru

$3$ farklı gömlek ve $4$ farklı pantolonla kaç farklı kıyafet kombinasyonu oluşturulabilir?

Önce gömlek ( $3$ seçenek), sonra pantolon ( $4$ seçenek) — ardışık seçim.
Çarpma kuralı: $3 \cdot 4 = 12$ .

Sonuç:

12

farklı kombinasyon.

Çarpma kuralını bir ağaç şeması ile görmek de mümkündür. Aşağıda $2$ çorba ( $\overset{C}{¸} 1, \overset{C}{¸} 2$ ) ve $3$ ana yemekten ( $A 1, A 2, A 3$ ) oluşan bir menü ele alınmış: her çorba dalı $3$ ana yemeğe ayrıldığından uç (yaprak) sayısı $2 \cdot 3 = 6$ 'dır.

Şekil 1 — Çarpma kuralının ağaç şeması. İlk aşamada

2

, her dalda ikinci aşamada

3

seçenek var; yaprakları sayınca

2 \cdot 3 = 6

farklı menü çıkar. Çarpma kuralı, "her dalın aynı sayıda alt dala ayrılması" demektir.

2. Faktöriyel

$n$ pozitif tam sayısının faktöriyeli, $1$ 'den $n$ 'e kadarki sayıların çarpımıdır:

$n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \dots 2 \cdot 1$

Özel olarak $0! = 1$ ve $1! = 1$ 'dir. Örneğin $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$ .

Örnek

Soru

$\frac{6 !}{4 !}$ ifadesini hesaplayınız.

Büyük faktöriyeli açmadan, küçüğü sadeleştir: $6! = 6 \cdot 5 \cdot 4!$ .

$6! = 6 \cdot 5 \cdot 4!$ .
$\frac{6 \cdot 5 \cdot 4 !}{4 !} = 6 \cdot 5 = 30$ .

Sonuç:

30

3. Permütasyon

Permütasyon, $n$ farklı nesneden $r$ tanesinin sıralı seçimidir (sıra önemlidir):

$P (n, r) = \frac{n !}{( n - r )!}$

$n$ nesnenin tamamının sıralanışı $P (n, n) = n!$ 'dir.

Örnek

Soru

$5$ kişi bir sıraya kaç farklı şekilde dizilebilir?

$5$ kişinin tümünün sıralanışı $P (5, 5) = 5!$ .
$5! = 120$ .

Sonuç:

120

farklı diziliş.

Örnek

Soru

$6$ kişi arasından $1.$ , $2.$ ve $3.$ lük için kaç farklı şekilde madalya dağıtılabilir?

Sıra önemli (1.lik–2.lik farklı); $6$ kişiden $3$ sıralı seçim: $P (6, 3)$ .
$P (6, 3) = \frac{6 !}{3 !} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ .

Sonuç:

120

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$0, 1, 2, 3, 4$ rakamlarıyla, rakamları tekrarsız, $3$ basamaklı kaç sayı yazılabilir?

Yüzler basamağı $0$ olamaz: $4$ seçenek.
Onlar basamağı: kalan $4$ rakamdan biri (0 dâhil): $4$ seçenek.
Birler basamağı: kalan $3$ rakam: $3$ seçenek.
Çarp: $4 \cdot 4 \cdot 3 = 48$ .

Sonuç:

48

sayı.

Örnek

Soru

"KALEM" kelimesinin harfleri kaç farklı şekilde sıralanır?

$5$ harf, hepsi farklı: $5!$ .
$5! = 120$ .

Sonuç:

120

Örnek

Soru

$P (n, 2) = 20$ ise $n$ kaçtır?

$P (n, 2) = n (n - 1) = 20$ .
$n (n - 1) = 20 \Rightarrow n = 5$ ( $5 \cdot 4 = 20$ ).

Sonuç:

n = 5

Örnek

Soru

$4$ kız ve $3$ erkek bir sıraya, kızlar yan yana olacak şekilde kaç farklı şekilde dizilir?

Yan yana olması gereken grubu tek bir blok say; bloğu yerleştir, sonra blok içini ayrıca sırala.

$4$ kızı tek blok say: blok + $3$ erkek = $4$ nesne, $4! = 24$ diziliş.
Blok içinde kızlar: $4! = 24$ .
Çarp: $24 \cdot 24 = 576$ .

Sonuç:

576

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$2$ farklı çorba ve $5$ farklı ana yemekten oluşan menüde kaç farklı seçim yapılabilir?

Çarpma: $2 \cdot 5 = 10$ .

Sonuç:

10

Örnek

Soru

$\frac{8 !}{6 !}$ kaçtır?

$\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 !}{6 !} = 8 \cdot 7 = 56$ .

Sonuç:

56

Örnek

Soru

$4$ kişi bir banka kaç farklı şekilde oturabilir?

$4! = 24$ .

Sonuç:

24

Örnek

Soru

$7$ kişiden $2$ 'si seçilip başkan ve yardımcı yapılacak. Kaç farklı şekilde?

Sıra önemli: $P (7, 2) = 7 \cdot 6 = 42$ .

Sonuç:

42

Örnek

Soru

$1, 2, 3, 4, 5$ rakamlarıyla tekrarsız $2$ basamaklı kaç sayı yazılır?

Onlar: $5$ seçenek; birler: kalan $4$ . $5 \cdot 4 = 20$ .

Sonuç:

20

Örnek

Soru

$\frac{( n + 1 )!}{( n - 1 )!}$ ifadesini sadeleştiriniz.

$(n + 1)! = (n + 1) \cdot n \cdot (n - 1)!$ .
$\frac{( n + 1 ) \cdot n \cdot ( n - 1 )!}{( n - 1 )!} = (n + 1) \cdot n = n^{2} + n$ .

Sonuç:

n^{2} + n

Örnek

Soru

"MASKE" kelimesinin harfleri, M ile E baş ve son harf olacak şekilde kaç farklı şekilde sıralanır?

Önce baş ve son basamağı $M$ ve $E$ ile doldurmanın kaç yolu olduğunu say; sonra ortadaki $3$ harfi serbestçe sırala.

Baş–son için $M$ ve $E$ 'nin yerleşimi: $M$ başa $E$ sona ya da $E$ başa $M$ sona → $2$ yol.
Geriye kalan $A, S, K$ harfleri ortadaki $3$ yere $3! = 6$ şekilde dizilir.
Çarp: $2 \cdot 6 = 12$ .

Sonuç:

12

Örnek

Soru

$5$ farklı kitap bir rafa, iki belirli kitap yan yana gelmeyecek şekilde kaç farklı şekilde dizilir?

"Yan yana gelmesin" tipinde tümleyen kullan: toplam dizilişten, ikisinin yan yana olduğu dizilişleri çıkar.

Tüm dizilişler: $5! = 120$ .
İki belirli kitap yan yana: bunları tek blok say → $4!$ diziliş, blok içi $2!$ → $4! \cdot 2! = 24 \cdot 2 = 48$ .
Yan yana olmayanlar: $120 - 48 = 72$ .

Sonuç:

72

Örnek

Soru

$0, 1, 2, 3, 4, 5$ rakamlarıyla, rakamları tekrarsız, $4$ basamaklı kaç çift sayı yazılabilir?

"Çift sayı" koşulu birler basamağını ( $0, 2, 4$ ) sınırlar; ama birler $0$ ise baş basamak için $0$ engeli kalkar. Bu yüzden birler $0$ mı değil mi diye iki duruma ayır.

Durum 1 — birler basamağı $0$ : birler $1$ yolla dolar; kalan $5$ rakamdan baş basamak $5$ , sonra $4$ , sonra $3$ → $5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ .
Durum 2 — birler basamağı $2$ veya $4$ ( $2$ seçenek): baş basamak $0$ ve seçilen çift rakam hariç $4$ seçenek; sonra $4$ , sonra $3$ → $2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3 = 96$ .
Topla: $60 + 96 = 156$ .

Sonuç:

156

Sık Yapılan Hatalar

Toplama ile çarpma kuralını karıştırmak. "Ya ... ya ..." → topla; "önce ... sonra ..." → çarp.
$0!$ 'ı $0$ sanmak. Tanım gereği $0! = 1$ 'dir.
Sıfırın baş basamağa gelmesini engellememek. $3$ basamaklı sayıda baş basamak $0$ olamaz; bu durumu ayrı say.
Sıra önemliyken permütasyon yerine başka şey kullanmak. "Sıralama/dizme/başkan-yardımcı" → permütasyon ( $P (n, r)$ ).
"Yan yana gelmesin" koşulunu doğrudan saymaya çalışmak. En kolayı tümleyen: tüm dizilişlerden, yan yana olanları çıkar.

Not: İlk soru her zaman: sıra önemli mi? Önemliyse permütasyon. Ardışık adımları çarp, birbirini dışlayan halleri topla. Faktöriyel oranlarında büyük olanı açıp sadeleştir.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

Bir mağazada

4

farklı tişört,

2

farklı pantolon ve

3

farklı ayakkabı vardır. Birer tişört, pantolon ve ayakkabı seçilerek kaç farklı kıyafet kombinasyonu oluşturulabilir?

Seçim ardışık aşamalardan oluşur: önce tişört, sonra pantolon, sonra ayakkabı.
Çarpma kuralı uygulanır: $4 \cdot 2 \cdot 3$ .
$4 \cdot 2 \cdot 3 = 24$ .

Sonuç:

24

farklı kombinasyon.

Soru 2Kolay

\frac{7 !}{5 !}

ifadesinin değeri kaçtır?

Büyük faktöriyeli açıp sadeleştir: $7! = 7 \cdot 6 \cdot 5!$ .
$\frac{7 \cdot 6 \cdot 5 !}{5 !} = 7 \cdot 6$ .
$7 \cdot 6 = 42$ .

Sonuç:

42

Soru 3Orta

8

kişilik bir kulüpten başkan, başkan yardımcısı ve sekreter seçilecektir. Bir kişi aynı anda birden fazla görevi üstlenemeyeceğine göre bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?

Görevler birbirinden farklı olduğundan sıra önemlidir; $8$ kişiden $3$ 'ünün sıralı seçimi gerekir.
$P (8, 3) = \frac{8 !}{5 !} = 8 \cdot 7 \cdot 6$ .
$8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$ .

Sonuç:

336

Soru 4Orta

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

rakamları kullanılarak, rakamları tekrarsız

3

basamaklı kaç sayı yazılabilir?

Yüzler basamağı $0$ olamaz: $7$ rakamdan $0$ hariç $6$ seçenek.
Onlar basamağı: $0$ dâhil kalan $6$ rakamdan biri, $6$ seçenek.
Birler basamağı: kalan $5$ rakamdan biri, $5$ seçenek.
Çarp: $6 \cdot 6 \cdot 5 = 180$ .

Sonuç:

180

sayı.

Soru 5Zor

3

kadın ve

4

erkek bir sıraya, kadınlar yan yana olacak şekilde kaç farklı şekilde dizilebilir?

$3$ kadını tek bir blok say: blok $+$ $4$ erkek $= 5$ nesne, $5! = 120$ diziliş.
Blok içindeki $3$ kadın kendi aralarında $3! = 6$ şekilde sıralanır.
Çarp: $120 \cdot 6 = 720$ .

Sonuç:

720

Soru 6Orta

P (n, 2) = 42

olduğuna göre

n

kaçtır?

$P (n, 2) = \frac{n !}{( n - 2 )!} = n (n - 1)$ .
$n (n - 1) = 42$ denklemi çözülür.
Ardışık iki tam sayının çarpımı $42$ : $7 \cdot 6 = 42$ , dolayısıyla $n = 7$ .

Sonuç:

n = 7

0/6 soru cevaplandı

1. Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma

2. Faktöriyel

3. Permütasyon

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sayma, Algoritma ve Bilişim — diğer konular