çözümebak

10. Sınıf · Sayma, Algoritma ve Bilişim

Sayma Yöntemleri ve Permütasyon

~8 dk okumaZorluk: Orta17 çözümlü soru

Sayma, Algoritma ve Bilişim temasına "kaç farklı şekilde?" sorusunu yanıtlayan sayma yöntemleriyle başlıyoruz. Bu derste toplama ve çarpma yoluyla saymayı, faktöriyel kavramını ve sıralamanın önemli olduğu durumlarda permütasyonu öğreneceğiz. Sayma; olasılığın da temelidir — bir olayın olasılığını bulmak için önce "kaç durum var?" sorusunu yanıtlamak gerekir. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma

Örnek
Soru

3 farklı gömlek ve 4 farklı pantolonla kaç farklı kıyafet kombinasyonu oluşturulabilir?

  1. Önce gömlek (3 seçenek), sonra pantolon (4 seçenek) — ardışık seçim.
  2. Çarpma kuralı: 3\cdot 4=12.
Sonuç: 12 farklı kombinasyon.

Çarpma kuralını bir ağaç şeması ile görmek de mümkündür. Aşağıda 2 çorba (\text{Ç}1,\text{Ç}2) ve 3 ana yemekten (\text{A}1,\text{A}2,\text{A}3) oluşan bir menü ele alınmış: her çorba dalı 3 ana yemeğe ayrıldığından uç (yaprak) sayısı 2\cdot 3=6'dır.

Ç1Ç2A1A2A3A1A2A3menü
Şekil 1 — Çarpma kuralının ağaç şeması. İlk aşamada 2, her dalda ikinci aşamada 3 seçenek var; yaprakları sayınca 2\cdot 3=6 farklı menü çıkar. Çarpma kuralı, "her dalın aynı sayıda alt dala ayrılması" demektir.

2. Faktöriyel

n pozitif tam sayısının faktöriyeli, 1'den n'e kadarki sayıların çarpımıdır:

n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot 1

Özel olarak 0!=1 ve 1!=1'dir. Örneğin 4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24.

Örnek
Soru

\dfrac{6!}{4!} ifadesini hesaplayınız.

Büyük faktöriyeli açmadan, küçüğü sadeleştir: 6!=6\cdot 5\cdot 4!.

  1. 6!=6\cdot 5\cdot 4!.
  2. \dfrac{6\cdot 5\cdot 4!}{4!}=6\cdot 5=30.
Sonuç: 30.

3. Permütasyon

Permütasyon, n farklı nesneden r tanesinin sıralı seçimidir (sıra önemlidir):

P(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!}

n nesnenin tamamının sıralanışı P(n,n)=n!'dir.

Örnek
Soru

5 kişi bir sıraya kaç farklı şekilde dizilebilir?

  1. 5 kişinin tümünün sıralanışı P(5,5)=5!.
  2. 5!=120.
Sonuç: 120 farklı diziliş.
Örnek
Soru

6 kişi arasından 1., 2. ve 3.lük için kaç farklı şekilde madalya dağıtılabilir?

  1. Sıra önemli (1.lik–2.lik farklı); 6 kişiden 3 sıralı seçim: P(6,3).
  2. P(6,3)=\dfrac{6!}{3!}=6\cdot 5\cdot 4=120.
Sonuç: 120.

Çözümlü Örnekler

Örnek
Soru

0,1,2,3,4 rakamlarıyla, rakamları tekrarsız, 3 basamaklı kaç sayı yazılabilir?

  1. Yüzler basamağı 0 olamaz: 4 seçenek.
  2. Onlar basamağı: kalan 4 rakamdan biri (0 dâhil): 4 seçenek.
  3. Birler basamağı: kalan 3 rakam: 3 seçenek.
  4. Çarp: 4\cdot 4\cdot 3=48.
Sonuç: 48 sayı.
Örnek
Soru

"KALEM" kelimesinin harfleri kaç farklı şekilde sıralanır?

  1. 5 harf, hepsi farklı: 5!.
  2. 5!=120.
Sonuç: 120.
Örnek
Soru

P(n,2)=20 ise n kaçtır?

  1. P(n,2)=n(n-1)=20.
  2. n(n-1)=20\Rightarrow n=5 (5\cdot 4=20).
Sonuç: n=5.
Örnek
Soru

4 kız ve 3 erkek bir sıraya, kızlar yan yana olacak şekilde kaç farklı şekilde dizilir?

Yan yana olması gereken grubu tek bir blok say; bloğu yerleştir, sonra blok içini ayrıca sırala.

  1. 4 kızı tek blok say: blok + 3 erkek = 4 nesne, 4!=24 diziliş.
  2. Blok içinde kızlar: 4!=24.
  3. Çarp: 24\cdot 24=576.
Sonuç: 576.

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek
Soru

2 farklı çorba ve 5 farklı ana yemekten oluşan menüde kaç farklı seçim yapılabilir?

  1. Çarpma: 2\cdot 5=10.
Sonuç: 10.
Örnek
Soru

\dfrac{8!}{6!} kaçtır?

  1. \dfrac{8\cdot 7\cdot 6!}{6!}=8\cdot 7=56.
Sonuç: 56.
Örnek
Soru

4 kişi bir banka kaç farklı şekilde oturabilir?

  1. 4!=24.
Sonuç: 24.
Örnek
Soru

7 kişiden 2'si seçilip başkan ve yardımcı yapılacak. Kaç farklı şekilde?

  1. Sıra önemli: P(7,2)=7\cdot 6=42.
Sonuç: 42.
Örnek
Soru

1,2,3,4,5 rakamlarıyla tekrarsız 2 basamaklı kaç sayı yazılır?

  1. Onlar: 5 seçenek; birler: kalan 4. 5\cdot 4=20.
Sonuç: 20.
Örnek
Soru

\dfrac{(n+1)!}{(n-1)!} ifadesini sadeleştiriniz.

  1. (n+1)!=(n+1)\cdot n\cdot (n-1)!.
  2. \dfrac{(n+1)\cdot n\cdot (n-1)!}{(n-1)!}=(n+1)\cdot n=n^2+n.
Sonuç: n^2+n.
Örnek
Soru

"MASKE" kelimesinin harfleri, M ile E baş ve son harf olacak şekilde kaç farklı şekilde sıralanır?

Önce baş ve son basamağı M ve E ile doldurmanın kaç yolu olduğunu say; sonra ortadaki 3 harfi serbestçe sırala.

  1. Baş–son için M ve E'nin yerleşimi: M başa E sona ya da E başa M sona → 2 yol.
  2. Geriye kalan A,S,K harfleri ortadaki 3 yere 3!=6 şekilde dizilir.
  3. Çarp: 2\cdot 6=12.
Sonuç: 12.
Örnek
Soru

5 farklı kitap bir rafa, iki belirli kitap yan yana gelmeyecek şekilde kaç farklı şekilde dizilir?

"Yan yana gelmesin" tipinde tümleyen kullan: toplam dizilişten, ikisinin yan yana olduğu dizilişleri çıkar.

  1. Tüm dizilişler: 5!=120.
  2. İki belirli kitap yan yana: bunları tek blok say → 4! diziliş, blok içi 2! → 4!\cdot 2!=24\cdot 2=48.
  3. Yan yana olmayanlar: 120-48=72.
Sonuç: 72.
Örnek
Soru

0,1,2,3,4,5 rakamlarıyla, rakamları tekrarsız, 4 basamaklı kaç çift sayı yazılabilir?

"Çift sayı" koşulu birler basamağını (0,2,4) sınırlar; ama birler 0 ise baş basamak için 0 engeli kalkar. Bu yüzden birler 0 mı değil mi diye iki duruma ayır.

  1. Durum 1 — birler basamağı 0: birler 1 yolla dolar; kalan 5 rakamdan baş basamak 5, sonra 4, sonra 3 → 5\cdot 4\cdot 3=60.
  2. Durum 2 — birler basamağı 2 veya 4 (2 seçenek): baş basamak 0 ve seçilen çift rakam hariç 4 seçenek; sonra 4, sonra 3 → 2\cdot 4\cdot 4\cdot 3=96.
  3. Topla: 60+96=156.
Sonuç: 156.

Sık Yapılan Hatalar

Not: İlk soru her zaman: sıra önemli mi? Önemliyse permütasyon. Ardışık adımları çarp, birbirini dışlayan halleri topla. Faktöriyel oranlarında büyük olanı açıp sadeleştir.

Sayma, Algoritma ve Bilişim — diğer konular