Rakamlarla Sayı Oluşturma

Rakamlarla sayı oluşturmanın tek bir ana fikri var: basamakları kutu gibi düşün ve doldurmaya en kısıtlı kutudan başla. En soldaki basamak $0$ olamaz; çift ya da $5$'e bölünebilen bir sayı istendiğinde birler basamağı da kısıtlı hâle gelir. İki kısıt aynı rakam üzerinde çakıştığında, çoğunlukla $0$ yüzünden, sayımı durumlara ayırırız. Bu sayfada bu fikirle bölünebilme, aralık, "tam ikisi aynı", sayfa numaralama, artan rakamlar, sözlük sırası, sayıların toplamı ve farklı harflerle kelime oluşturma sorularını çözüyoruz.

Bu sayfadaki varsayımlar

• Sayı dendiğinde en soldaki basamak $0$ olamaz: $0352$ dört basamaklı bir sayı değildir, $352$'dir. Başında $0$ olabilen kod/şifre soruları Sayma Kuralları sayfasındadır.
• Rakamları farklı (tekrarsız): her rakam en çok bir kez kullanılır. Rakam tekrarı serbest: aynı rakam birden çok kez kullanılabilir. Her soru hangisinin geçerli olduğunu açıkça söyler.
• "… arasında" ve "…-den büyük" ifadelerinde sınır sayısının dahil olup olmadığı soruda belirtilir; "$300$'den büyük" ifadesi $300$'ü dışarıda bırakır.
• Kelime sorularında harfler birbirinden farklıdır ve kelimenin anlamlı veya anlamsız olması önemli değildir. Tekrarlı harfler ve tekrarlı rakamlarla diziliş Tekrarlı Permütasyon sayfasındadır.
• Sıralama ve faktöriyel bilgisi Permütasyon ve Faktöriyel sayfasından, bölünebilme kuralları Bölme ve Bölünebilme sayfasından gelir. Konunun genel haritası için Permütasyon ve Kombinasyon, 10. sınıf temel bakışı için Sayma ve Permütasyon sayfasına bakabilirsin. Maarif programında sayma ve permütasyon 10. sınıfta işlenir.

1. Basamak Kutuları: Önce Kısıtlı Basamak

Küçük bir örnekle başlayalım: $1,2,3$ rakamlarıyla, rakamları farklı iki basamaklı kaç sayı yazılır? Önce hepsini listeleyelim:

$$12,13,21,23,31,32$$

Altı sayı var. Listeye bakınca nedenini görürüz: onlar basamağı için $3$ seçenek var, hangisi seçilirse seçilsin birler basamağına kalan $2$ rakam gelebilir. Böylece $3\cdot 2=6$ olur. Çarpma kuralını kullanabilmemizin nedeni, ilk basamak nasıl doldurulursa doldurulsun ikinci basamağa hep aynı sayıda ($2$) rakam kalmasıdır.

Bunu basamak kutularıyla yazarız: her basamak bir kutudur, kutuya kaç rakam girebiliyorsa o sayı yazılır, sonra kutular çarpılır.

Altın kural: Kutuları soldan sağa değil, en kısıtlı olandan başlayarak doldur. Önce şartı olan basamak (baş basamak, birler basamağı ya da sınır koşulu olan basamak) doldurulur, serbest basamaklar sona kalır. Kısıtlı basamağı sona bırakırsan, oraya kaç rakam kaldığı önceki seçimlere göre değişir ve tek bir çarpım yazamazsın.

2. Rakam Tekrarı Serbest mi, Yasak mı?

Aynı rakam kümesiyle iki farklı soru sorulabilir:

Tekrar serbestken listeye $11$, $22$ ve $33$ eklenir: $6+3=9$. Rakamları farklı sayılar, tekrar serbest sayıların bir alt kümesidir. Bu yüzden "en az iki rakamı aynı olan" sayılar, tümleyenle "tüm sayılar − rakamları farklı olanlar" biçiminde bulunur (bkz. Örnek 1).

3. Sıfır Problemi: Baş Basamak ve Durum Ayrımı

Rakam kümesinde $0$ varsa baş basamak bir seçenek kaybeder. $0$ diğer basamaklara girebilir ve rakamları farklı sayılarda bir kez kullanıldıktan sonra başka kutuya giremez.

Asıl tuzak, $0$'ın iki kısıtın kesiştiği rakam olmasıdır. Rakamları farklı bir çift sayıda birler basamağı çift olmalıdır. Birler basamağına $0$ gelirse baş basamak için $0$ zaten kullanılmış olur. Birler basamağına başka bir çift rakam gelirse baş basamak hem $0$'ı hem o rakamı kaybeder. İki durumda baş basamağın seçenek sayısı farklı olduğundan tek bir çarpım yazılamaz; sayım birler $0$ ve birler $0$ değil diye ikiye ayrılır.

Aynı sonuca tümleyenle de ulaşılabilir: "tüm rakamları farklı sayılar − tek olanlar". Tek sayılarda birler basamağına $0$ gelemediği için durum ayrımı gerekmez. Bu nedenle tümleyen yolu çoğu zaman daha kısadır (Örnek 3'teki kontrol adımı bu yolu izler).

4. Tek, Çift ve 2, 4, 5, 25 ile Bölünebilme (Son Basamaklardan Başla)

Bu kuralların hepsi sayının sonuna bakar. Bu yüzden doldurmaya en sağdaki kutulardan başlanır.

$4$ ve $25$ ile bölünebilmede en güvenli yol, uygun iki basamaklı sonları listelemektir. Örneğin $1,2,3,6,7$ rakamlarıyla, rakamları farklı üç basamaklı sayılardan $4$ ile bölünebilenleri sayalım. Rakamları farklı ve $4$'ün katı olan iki basamaklı sonlar şunlardır:

$$12,16,32,36,72,76$$

Her son için yüzler basamağına kalan $3$ rakamdan biri gelir: $6\cdot 3=18$ sayı.

Dikkat: "$4$'e bölünür" koşulunda yalnız son basamağın çift olmasına bakmak yetmez. $126$ çifttir ama $4$ ile bölünmez, çünkü $26$ sayısı $4$'ün katı değildir. Yalnız son basamağa bakarak sayılsaydı ($2\cdot 4\cdot 3=24$), $126$ gibi $6$ sayı fazladan sayılırdı.

$25$ ile bölünebilmede rakamları farklı sayılarda $00$ sonu kullanılamaz; kümede hangi rakamların bulunduğuna göre $25$, $50$ ve $75$ sonlarından uygun olanlar kalır. $50$ sonunda $0$ birler basamağında kullanılmış olur, bu yüzden baş basamakta ayrıca $0$ elenmez. $25$ ve $75$ sonlarında ise $0$ hâlâ kalmıştır ve baş basamağa gelemez.

5. 3 ve 9 ile Bölünebilme: Rakam Kümesini Seç, Sonra Diz

$3$ ve $9$ ile bölünebilme rakamların yerine değil toplamına bağlıdır. Bu yüzden iki adımda çalışılır:

1. Rakam toplamı $3$'ün (ya da $9$'un) katı olan rakam alt kümelerini eksiksiz listele.
2. Her alt kümeyi diz. Alt kümede $0$ varsa baş basamak düzeltmesini yap.

Örnek: $0,1,2,3,4,5$ rakamlarıyla, rakamları farklı üç basamaklı sayılardan kaçı $3$ ile bölünür? Rakamları $3$'e bölümünden kalana göre gruplayalım: kalan $0$: $\{0,3\}$, kalan $1$: $\{1,4\}$, kalan $2$: $\{2,5\}$. Üç rakamın toplamının $3$'e bölünmesi için ya üçü aynı gruptan gelmeli (hiçbir grupta üç rakam yok) ya da her gruptan birer rakam alınmalıdır: $2\cdot 2\cdot 2=8$ alt küme.

Sonuç $16+24=40$'tır. Her alt kümeyi $3!=6$ ile çarpıp $48$ bulmak, $0$'ın başa geldiği $4\cdot 2!=8$ diziyi de saymak demektir. $0$ içeren bir alt kümede $3!$ dizilişten, $0$'ın başta olduğu $2!$ diziliş çıkarılır.

Dikkat: Alt kümeleri akla geldiği gibi yazıp toplamak, en sık yapılan $3$'e bölünme hatasıdır. Kalan gruplarıyla sistemli listele ve alt küme sayısını ayrıca kontrol et.

$9$ ile bölünebilmede de aynı iki adım uygulanır; yalnız bu kez rakam toplamı $9$'un katı olmalıdır. Önce rakamların toplamının hangi değerleri ($9$, $18$, …) alabileceğine bak, sonra her değer için alt kümeleri en küçük rakamdan başlayarak sistemli yaz.

6. Aralık Koşulları: "…-den Büyük", "… Arasında"

Aralık koşulu genellikle baş basamağı kısıtlar. Bu yüzden onu çoğunlukla ilk kutu olarak doldururuz. İki şeye dikkat etmek gerekir:

• Sınır sayısı oluşturulabiliyor mu? "$300$'den büyük" sorusunda $300$ sayısı kurallara uygun biçimde yazılabiliyorsa (örneğin rakam tekrarı serbest ve $0$ kümede varsa), baş basamağı $3$ olan sayıları sayarken $300$'ü çıkarmak gerekir (bkz. Örnek 5). Rakamları farklı sayılarda $300$ zaten yazılamaz.

• Baş basamak sınırda mı? "$3500$'den büyük" gibi bir koşulda baş basamağı $3$ olan sayıların yalnız bir kısmı uygundur. O zaman en büyük basamaktan başlayarak durumlara ayırırız: baş basamak $3$'ten büyükse tüm sayılar uygundur; baş basamak $3$ ise ikinci basamağa bakılır.

  Örneğin $1,3,5,7$ rakamlarının hepsi birer kez kullanılarak yazılan dört basamaklı sayılardan $3500$'den büyük olanlar: baş basamak $5$ veya $7$ ise $2\cdot 3!=12$ sayı; baş basamak $3$ ise ikinci basamak $5$ veya $7$ olmalıdır, $2\cdot 2!=4$ sayı. Toplam $12+4=16$.

Aralık koşulu bir de çift/tek koşuluyla birleşirse iki kısıtlı kutu olur (baş ve birler basamağı). Ortak rakam varsa yine durum ayrımı gerekir.

7. Tam İki Rakamı Aynı Olan Sayılar (AAB Tipi)

"Rakamlarından tam ikisi aynı" olan üç basamaklı bir sayının rakamları iki çeşittir: iki kez geçen $A$ ve bir kez geçen $B$ ($A\ne B$). Sayım üç adımdır:

1. Tekrar eden rakam $A$'yı seç.
2. Diğer rakam $B$'yi seç.
3. $B$'nin yerini seç: $AAB$, $ABA$ veya $BAA$ (3 kalıp).

Kümede $0$ varsa, $0$'ın başa geldiği kalıplar çıkarılır: $A=0$ iken $AAB$ ve $ABA$ kalıpları, $B=0$ iken $BAA$ kalıbı geçersizdir. $A=0$ iken $BAA$ kalıbı ise geçerlidir: $100$, $300$ gibi. Yani tekrar eden rakamın $0$ olduğu durumları tamamen silmek de yanlıştır.

Aynı sonuç tümleyenle kontrol edilir: tam ikisi aynı = tüm sayılar − rakamları farklı olanlar − üçü aynı olanlar (bkz. Örnek 6). Rakam kümesi tekrarlı verildiğinde (örneğin "$1,1,2,3$ rakamlarıyla") kullanılan genel kalıp yöntemi Tekrarlı Permütasyon sayfasındadır.

Palindrom sayılar da kalıpla sayılır. Palindrom, tersten okunuşu kendisiyle aynı olan sayıdır ($4774$, $121$ gibi). Sayının ilk yarısı gerisini belirler. Dört basamaklı bir palindrom $\overline{abba}$ biçimindedir: $a$ için $9$ seçenek ($0$ olamaz), $b$ için $10$ seçenek vardır. Böylece $9\cdot 10=90$ palindrom elde edilir. Son iki basamak ilk ikisinin kopyası olduğu için ayrıca sayılmaz.

8. 1'den N'ye Kadar Sayılar Yazılırken Kullanılan Rakamlar

Bir kitabın sayfaları $1$'den başlayarak numaralanıyorsa, kullanılan rakam sayısı basamak sayısına göre gruplanarak bulunur:

Bir bloktaki sayıların adedi "son − ilk + 1" ile bulunur. Sınırları kaydırmak ($10$–$99$ arasındaki sayıları $89$ ya da $91$ tane saymak) bu konudaki en sık hatadır.

Belirli bir rakam kaç kez yazılır? Bu kez her basamağı ayrı sayarız. Örneğin $1$'den $30$'a kadar sayılar yazılırken $2$ rakamı kaç kez yazılır?

• Birler basamağında $2$: $2,12,22$ → $3$ kez.
• Onlar basamağında $2$: $20,21,\dots ,29$ → $10$ kez.

Toplam $3+10=13$'tür. $22$ iki kez sayıldı, bu doğrudur: $22$ yazılırken $2$ rakamı gerçekten iki kez kullanılır. Soru "kaç kez yazılır" yerine "kaç sayıda $2$ bulunur" olsaydı $22$ bir kez sayılır ve cevap $12$ olurdu.

9. Rakamları Artan, Azalan ve Azalmayan Sayılar

$1,2,3,4,5$ rakamlarıyla yazılan, rakamları soldan sağa kesin artan üç basamaklı sayıları listeleyelim:

$$123,124,125,134,135,145,234,235,245,345$$

On sayı var. Bu listeyi farklı kılan şey şudur: üç rakamı seçtiğimiz anda sayı belirlenir, çünkü artan diziliş tek türlüdür. $\{2,4,5\}$ seçilirse yalnız $245$ yazılır. Yani artan sayıların adedi, rakam alt kümelerinin adedine eşittir. Seçilen rakamları ayrıca $3!$ ile dizmek, artan olmayan $254$, $425$ gibi sayıları da saymak olur.

Seç, sıra zaten belli: Rakamları kesin artan ya da kesin azalan sayılarda dizme adımı yoktur, yalnız seçme vardır. Bu fikir Kombinasyon: Seçme Problemleri sayfasında $C(n,r)$ adını alır. Oradaki araçla, tüm rakamlar kullanılabildiğinde rakamları kesin artan üç basamaklı sayıların $C(9,3)=84$, kesin azalanların $C(10,3)=120$ olduğu hemen bulunur.

$0$ farkı: Artan bir sayıda $0$ seçilirse en küçük rakam olduğu için başa geçer ve sayı geçersiz olur. Bu yüzden artan sayılarda $0$ hiç seçilmez ve yalnız $1$–$9$ kullanılır. Azalan bir sayıda ise $0$ en sona gider ve sorun çıkarmaz ($520$ gibi). Bu yüzden azalan sayılarda $0$ da seçilebilir.

Azalmayan (her rakam bir öncekinden küçük olmayan) sayılarda eşitliğe de izin verilir: $113$, $225$, $444$ uygundur. Bunları durumlara ayırarak sayarız. Önce iki basamaklı sayılara bir tabloda bakalım:

Üç basamaklıda da aynı mantık işler ($1$–$5$ rakamlarıyla):

Azalmayan sayıların genel formülü, özdeş nesneleri kutulara dağıtma yöntemiyle elde edilir. O yöntem Gruplara Ayırma ve Dağıtma sayfasındadır. Bu sayfada iki ve üç basamaklı sayıları durumlara ayırarak saymak yeterlidir.

10. Sözlük Sırası: Kaçıncı Sayı, Kaçıncı Kelime

Oluşturulabilen tüm sayılar küçükten büyüğe (kelimeler alfabetik olarak) dizildiğinde, verilen bir sayının kaçıncı olduğu şöyle bulunur:

1. Soldan sağa ilerle. Her basamakta, o basamağa verilen rakamdan küçük olup henüz kullanılmamış her rakam için, o rakamla başlayan bloğun tamamını say.
2. Bu blokların toplamı, verilen sayıdan önce gelen sayıların adedidir.
3. Sıra numarası = önce gelenler + 1.

Son adımdaki $+1$ unutulursa cevap bir eksik çıkar. Kontrol için ters yönden de sayılabilir: verilen sayıdan büyük olanları say, toplamdan çıkar (bkz. Örnek 8). Kümede $0$ varsa baş basamakta $0$ ile başlayan blok yoktur. İkinci ve sonraki basamaklarda ise $0$ en küçük rakam olarak ilk blokları oluşturur.

"$k$'ıncı sayı hangisidir?" sorusu aynı işlemin tersidir: bloklar sırayla atlanarak aranan sayının hangi bloğa düştüğü bulunur ve bir sonraki basamakta aynı işlem tekrarlanır. Örneğin $5$ farklı rakamın hepsiyle yazılan sayılarda her baş rakam $4!=24$ sayılık bir blok oluşturur; aranan sıra numarasından atlanan blokların toplamı çıkarılır ve aynı işlem bir sonraki basamakta $3!=6$'lık bloklarla sürdürülür.

11. Oluşturulan Sayıların Toplamı

Tüm sayıları tek tek toplamak yerine her rakamın her basamağa kaç kez geldiğini sayarız. $1,2,3$ ile rakamları farklı iki basamaklı sayıları listeleyip toplayalım:

$$12+13+21+23+31+32=132$$

Listede her rakam onlar basamağında $2$ kez, birler basamağında $2$ kez görünür. Rakamların toplamı $1+2+3=6$ olduğundan onlar basamağının katkısı $6\cdot 2\cdot 10=120$, birler basamağının katkısı $6\cdot 2\cdot 1=12$'dir: $120+12=132$.

$0$ varken bu simetri bozulur. $0,1,2$ ile rakamları farklı iki basamaklı sayılar $10,12,20,21$'dir ve toplamları $63$'tür. Simetrik formülle $(0+1+2)\cdot 2\cdot 11=66$ bulunur. Sonuç yanlıştır, çünkü $0$ onlar basamağına hiç gelemez ve birler basamağındaki dağılım eşit değildir. Doğru hesap:

• Onlar basamağı: $1$ ve $2$ ikişer kez gelir ($10,12$ ve $20,21$) → $(1+2)\cdot 2\cdot 10=60$.
• Birler basamağı: $0$ iki kez, $1$ ve $2$ birer kez gelir → $0\cdot 2+1+2=3$.

Toplam $60+3=63$'tür. Genel kural: kümede $0$ varsa, her basamakta her rakamın kaç kez göründüğünü ayrı ayrı say ve simetrik formülü olduğu gibi kullanma.

12. Harflerle Kelime Oluşturma (Farklı Harfler)

Harfleri birbirinden farklı bir kelimede harfler, tıpkı rakamlar gibi kutulara yerleştirilir. "Baş basamak $0$ olamaz" kısıtı burada yoktur, onun yerine sesli ve sessiz harf kısıtları gelir. DOLAP kelimesinin harfleri farklıdır: sesliler $O,A$; sessizler $D,L,P$.

• Tüm diziliş sayısı (anlamlı veya anlamsız): $5!=120$.
• Sesli harfle başlayıp sessiz harfle biten: önce iki kısıtlı kutu doldurulur. İlk harf için $2$, son harf için $3$ seçenek vardır; kalan $3$ harf ortaya $3!$ yolla dizilir: $2\cdot 3\cdot 3!=36$.
• Sesliler yan yana: Permütasyon ve Faktöriyel sayfasındaki blok yöntemiyle $OA$ bir blok olur; blok ve $3$ sessiz $4!$ yolla, blok içi $2!$ yolla dizilir: $4!\cdot 2!=48$. Sesliler yan yana değil ise tümleyenle bulunur: $120-48=72$.

Kaçıncı kelime? DOLAP'ın harfleri alfabetik sıraya göre $A,D,L,O,P$'dir. Bu harflerle yazılan $120$ kelime alfabetik dizildiğinde DOLAP:

• $A$ ile başlayanlar önce gelir: $4!=24$.
• $D$ ile başlayıp ikinci harfi $O$'dan önce gelen ($A$ veya $L$) olanlar: $2\cdot 3!=12$.
• $DO$ ile başlayıp üçüncü harfi $L$'den önce gelen ($A$) olanlar: $2!=2$.
• $DOL$ ile başlayanlardan $DOLAP$ ilk sıradadır ($A$, $P$'den önce gelir); önünde hiç kelime yoktur.

Önce gelenler $24+12+2=38$ olduğundan DOLAP $39$'uncu kelimedir.

Çözümlü Sorular

Pekiştirme Soruları

Konuyu pekiştirmek için hazırlanmış özgün sorular.

Sık Yapılan Hatalar

• $0$'ı baş basamağa koymak ya da hiç kullanmamak. $0$ baş basamağa gelemez ama diğer basamaklara gelir. Tümleyen hesabında da bu kural geçerlidir (bkz. Örnek 2 ve Örnek 4).
• Çift sayıları tek çarpımla saymak. Birler basamağına $0$ gelip gelmemesi baş basamağın seçenek sayısını değiştirir. "Birler $0$" ve "birler $0$ değil" durumlarını ayır ya da tümleyenle tek sayılardan git (bkz. Örnek 3).
• Kısıtlı basamağı sona bırakmak. Önce şartı olan kutuyu doldur. Aksi hâlde son kutuya kaç rakam kaldığı belirsiz kalır (bkz. Bölüm 1 ve Örnek 3).
• Sınır sayısını dahil etmek. "$300$'den büyük" sorusunda $300$ yazılabiliyorsa çıkarılmalıdır (bkz. Örnek 5).
• $4$'e bölünmede yalnız son basamağa bakmak; $3$'e bölünmede alt küme atlamak. $4$ için son iki basamağı listele. $3$ ve $9$ için rakam alt kümelerini kalan gruplarıyla sistemli yaz (bkz. Bölüm 4 ve 5).
• AAB tipinde başında $0$ olan dizileri ayıklamamak. $A=0$ iken $AAB$ ve $ABA$ kalıpları, $B=0$ iken $BAA$ kalıbı geçersizdir. Ama $A=0$ iken $BAA$ ($100$ gibi) geçerlidir (bkz. Örnek 6).
• Sayfa numaralamada blok sınırlarını kaydırmak. İki basamaklı sayılar $90$ tanedir. Üç basamaklı blok $100$'den başlar, yani $k$'ıncı üç basamaklı sayfa $99+k$'dır (bkz. Örnek 7).
• Artan rakamlı sayılarda seçilen rakamları ayrıca dizmek. Seçilen rakamlarla artan diziliş tek türlüdür. Artan sayılarda $0$ seçilmez; azalmayan sayılarda eşit rakamlı durumlar unutulmamalıdır (bkz. Bölüm 9 ve Şekil 3).
• Sözlük sırasında $+1$'i unutmak. Sayılan bloklar verilen sayıdan önce gelenlerdir; sıra numarası bunun bir fazlasıdır (bkz. Örnek 8).
• Toplam sorusunda $0$'ı hesaba katmamak. Kümede $0$ varsa her rakam her basamakta aynı sayıda görünmez. Her basamağı ayrı say (bkz. Bölüm 11).

Özet