TYT Matematik · Sayılar ve Bölünebilme

Bölme ve Bölünebilme Kuralları

~9 dk okumaZorluk: Orta19 çözümlü soru

Bir tam sayının bir başkasına bölünmesi tek bir eşitlikle özetlenir: bölme algoritması. Bölünebilme kuralları ise bu algoritmayı her seferinde uygulamadan, yalnızca rakamlara bakarak "tam bölünür mü?" sorusunu yanıtlamamızı sağlar. Bu konu TYT'de doğrudan soru olarak çıkar; ayrıca EBOB–EKOK ve asal çarpanlara ayırma konularının da zeminini kurar.

1. Bölme Algoritması

$A$ sayısı $B$ ile bölündüğünde (burada $B \neq 0$ ), tek bir $Q$ bölümü ve tek bir $R$ kalanı vardır:

$A = B\cdot Q + R,\qquad 0 \le R < B$

Burada $A$ bölünen, $B$ bölen, $Q$ bölüm, $R$ kalandır. En kritik koşul şudur:

Kalan her zaman bölenden küçüktür: $0 \le R < B$ . Eğer kalan bölene eşit ya da ondan büyük çıkarsa, bölüm henüz tamamlanmamış demektir.

$R = 0$ olduğunda $A = B\cdot Q$ olur; bu duruma tam bölünme denir ve " $A$ , $B$ ile tam bölünür" deriz.

2. Bölünebilme Kuralları

Aşağıdaki kurallar, bir sayının verilen bölene tam bölünüp bölünmediğini hızlıca belirler.

Bölen	Kural	Örnek
$2$	Son rakam çift ( $0,2,4,6,8$ )	$138 \to$ son rakam $8 \Rightarrow$ bölünür
$3$	Rakamlar toplamı $3$ 'ün katı	$471 \to 4+7+1=12 \Rightarrow$ bölünür
$4$	Son iki basamağın sayısı $4$ 'ün katı (ya da $00$ )	$1\,724 \to 24 \Rightarrow$ bölünür
$5$	Son rakam $0$ ya da $5$	$385 \to$ son rakam $5 \Rightarrow$ bölünür
$6$	Hem $2$ 'ye hem $3$ 'e bölünüyorsa	$132 \to$ çift ve $1+3+2=6 \Rightarrow$ bölünür
$8$	Son üç basamağın sayısı $8$ 'in katı	$51\,000 \to 000 \Rightarrow$ bölünür
$9$	Rakamlar toplamı $9$ 'un katı	$612 \to 6+1+2=9 \Rightarrow$ bölünür
$10$	Son rakam $0$	$4\,560 \to$ son rakam $0 \Rightarrow$ bölünür
$11$	Birlerden başlayarak $+,-,+,\dots$ alınan dönüşümlü toplam $0$ ya da $11$ 'in katı	$2\,915 \to 5-1+9-2=11 \Rightarrow$ bölünür

Tek bir not: $6$ gibi bileşik bölenlerde sayıyı aralarında asal çarpanlarına ayırırız ( $6 = 2\cdot 3$ ) ve her çarpanın kuralını ayrı ayrı uygularız.

Örnek

Soru

$100$ sayısı $7$ ile bölündüğünde bölümü ve kalanı bulunuz; sonucu bölme algoritmasıyla doğrulayınız.

$100$ 'ü $7$ 'ye böl: $7\cdot 14 = 98$ , geriye $100 - 98 = 2$ kalır.
Bölme algoritmasına yerleştir: $100 = 7\cdot 14 + 2$ .
Kalan koşulunu denetle: $0 \le 2 < 7$ sağlanıyor, kalan bölenden küçük.

Sonuç: Bölüm

Q = 14

, kalan

R = 2

Örnek

Soru

$\overline{4a2}$ üç basamaklı sayısı $3$ ile tam bölünebiliyorsa, $a$ rakamının alabileceği değerleri bulunuz.

$3$ ile bölünebilme rakamlar toplamına bakar. $a$ bir rakam olduğundan $0 \le a \le 9$ olmalı.

Rakamlar toplamını yaz: $4 + a + 2 = 6 + a$ .
Bu toplam $3$ 'ün katı olmalı: $6 + a \in \{6, 9, 12, 15\}$ .
Karşılık gelen $a$ değerleri: $a \in \{0, 3, 6, 9\}$ (hepsi rakam koşulunu sağlar).

Sonuç:

a \in \{0, 3, 6, 9\}

Örnek

Soru

$\overline{53a}$ üç basamaklı sayısı $6$ ile tam bölünebiliyorsa, $a$ rakamını bulunuz.

$6 = 2\cdot 3$ . Sayı hem $2$ 'ye (son rakam çift) hem $3$ 'e (rakam toplamı $3$ 'ün katı) bölünmeli; iki koşulu aynı anda sağla.

$2$ koşulu: $a$ çift olmalı, yani $a \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$ .
$3$ koşulu: rakam toplamı $5 + 3 + a = 8 + a$ , bu da $3$ 'ün katı olmalı.
Çift $a$ değerlerini dene: $8+0=8$ , $8+2=10$ , $8+4=12$ , $8+6=14$ , $8+8=16$ . Yalnız $8+4=12$ , $3$ 'ün katı.
İki koşulu birden yalnızca $a = 4$ sağlar.

Sonuç:

a = 4

, yani sayı

534

Örnek

Soru

$\overline{2b4}$ üç basamaklı sayısı $9$ ile tam bölünebiliyorsa, $b$ rakamını bulunuz.

$9$ ile bölünebilme rakam toplamına bakar: $2 + b + 4 = 6 + b$ .
Bu toplam $9$ 'un katı olmalı. $b$ bir rakam olduğundan $6 + b$ değeri $6$ ile $15$ arasındadır; bu aralıktaki tek $9$ katı $9$ 'dur.
$6 + b = 9 \Rightarrow b = 3$ .

Sonuç:

b = 3

, yani sayı

234

Örnek

Soru

$\overline{2b3}$ üç basamaklı sayısı $11$ ile tam bölünebiliyorsa, $b$ rakamını bulunuz.

Birler basamağından başla; rakamları sırayla $+,-,+$ işaretleriyle topla. Sonuç $0$ ya da $11$ 'in katı olmalı.

Birlerden başlayarak dönüşümlü toplamı yaz: $3 - b + 2 = 5 - b$ .
Bu değer $0$ ya da $11$ 'in katı olmalı. $b$ rakam olduğundan $5 - b$ değeri $-4$ ile $5$ arasındadır; bu aralıkta uygun olan tek değer $0$ 'dır.
$5 - b = 0 \Rightarrow b = 5$ .

Sonuç:

b = 5

, yani sayı

253

. (Gerçekten

253 = 11\cdot 23

Örnek

Soru

$\overline{37a}$ sayısı $5$ ile bölündüğünde kalanın yalnızca son rakama bağlı olduğunu gösteriniz ve $a = 8$ için kalanı bulunuz.

$\overline{37a} = 370 + a$ biçiminde yaz; $370$ sayısı $5$ 'in katıdır.

Sayıyı aç: $\overline{37a} = 370 + a$ .
$370 = 5\cdot 74$ olduğundan $370$ kısmı $5$ 'e tam bölünür, kalana etki etmez.
Demek ki $\overline{37a}$ 'nın $5$ 'e bölümünden kalan, $a$ 'nın $5$ 'e bölümünden kalanına eşittir; yani kalanı yalnızca son rakam belirler.
$a = 8$ için: $8 = 5\cdot 1 + 3$ , kalan $3$ .

Sonuç: Kalan

a

rakamına bağlıdır;

a = 8

için kalan

3

'tür.

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$\overline{1\,73a}$ dört basamaklı sayısı $4$ ile tam bölünebiliyorsa, $a$ rakamının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

$4$ ile bölünebilme yalnızca son iki basamağa bakar: $\overline{3a}$ sayısı $4$ 'ün katı olmalı.
$\overline{3a} = 30 + a$ değerini $a = 0,1,\dots,9$ için dene: $4$ 'ün katları $32$ ve $36$ 'dır.
Bunlara karşılık gelen rakamlar: $a = 2$ ve $a = 6$ .
İstenen toplam: $2 + 6 = 8$ .

Sonuç:

a

değerlerinin toplamı

8

Örnek

Soru

Bir $A$ sayısı $9$ ile bölündüğünde kalan $5$ , $B$ sayısı $9$ ile bölündüğünde kalan $7$ oluyor. Buna göre $A + B$ toplamı $9$ ile bölündüğünde kalan kaçtır?

Kalanları topla; çıkan toplam bölenden büyükse onu da tekrar bölene böl.

$A = 9k + 5$ ve $B = 9m + 7$ biçiminde yaz.
Topla: $A + B = 9(k + m) + 12$ .
$9(k+m)$ kısmı $9$ 'a tam bölünür; kalan $12$ 'den gelir.
$12 = 9\cdot 1 + 3$ olduğundan kalan $3$ 'tür.

Sonuç: Kalan

3

Örnek

Soru

$\overline{a5b}$ üç basamaklı sayısı hem $2$ hem $9$ ile tam bölünüyor. $a$ ve $b$ rakamları için $a$ 'nın en büyük değerinde $b$ kaçtır?

$2$ koşulu son rakam $b$ 'yi, $9$ koşulu rakam toplamını sınırlar. Önce $b$ 'yi çift seç.

$2$ koşulu: son rakam $b$ çift olmalı.
$9$ koşulu: $a + 5 + b$ toplamı $9$ 'un katı olmalı.
$a$ en büyük olsun istiyoruz; $a = 9$ denersek $9 + 5 + b = 14 + b$ olur, $9$ 'un katı için $b = 4$ gerekir ( $14 + 4 = 18$ ).
$b = 4$ çift olduğundan $2$ koşulu da sağlanır. Sayı $954$ .

Sonuç:

a = 9

için

b = 4

Örnek

Soru

İki basamaklı kaç farklı doğal sayı $7$ ile bölündüğünde $4$ kalanını verir?

Sayılar $7k + 4$ biçimindedir ve iki basamaklı olmalı: $10 \le 7k + 4 \le 99$ .
Eşitsizlikten $6 \le 7k \le 95$ , yani $1 \le k \le 13$ ( $7\cdot 13 = 91$ ).
$k = 1, 2, \dots, 13$ değerlerinin her biri bir sayı verir.
Toplam $13$ farklı sayı vardır.

Sonuç:

13

farklı sayı.

Örnek

Soru

$2\,748$ sayısının $8$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$8$ ile bölünebilmede son üç basamağa bakılır; kalan da son üç basamaktan gelir.

$2\,748 = 2\,000 + 748$ yaz; $2\,000 = 8\cdot 250$ olduğundan $8$ 'e tam bölünür, kalana etki etmez.
Kalan, son üç basamak olan $748$ 'in $8$ 'e bölümünden gelir.
$748 = 8\cdot 93 + 4$ ( $8\cdot 93 = 744$ ).
Demek ki kalan $4$ 'tür.

Sonuç: Kalan

4

Örnek

Soru

Bir sayı $4$ ile bölündüğünde $3$ , $6$ ile bölündüğünde $5$ kalanını veriyor. Bu sayının $12$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Her iki koşula da " $+1$ " yaklaşımıyla bak: kalanlar bölenden $1$ eksik.

$4$ ile bölümde kalan $3$ ise sayıya $1$ eklersek $4$ 'e tam bölünür: sayı $+1$ , $4$ 'ün katı.
$6$ ile bölümde kalan $5$ ise sayıya $1$ eklersek $6$ 'ya tam bölünür: sayı $+1$ , $6$ 'nın katı.
O hâlde sayı $+1$ , hem $4$ 'ün hem $6$ 'nın katı, yani EKOK $(4,6) = 12$ 'nin katıdır.
Sayı $= 12t - 1 = 12(t-1) + 11$ biçiminde olur; $12$ ile bölümünden kalan $11$ 'dir.

Sonuç: Kalan

11

Örnek

Soru

$\overline{a3b}$ üç basamaklı sayısı $45$ ile tam bölünebiliyorsa, $a + b$ toplamı kaçtır?

$45 = 9\cdot 5$ ve $9$ ile $5$ aralarında asaldır. Hem $5$ hem $9$ koşulunu birlikte uygula.

$5$ koşulu: son rakam $b \in \{0, 5\}$ olmalı.
$9$ koşulu: $a + 3 + b$ toplamı $9$ 'un katı olmalı.
$b = 0$ ise $a + 3$ , $9$ 'un katı: $a = 6$ (sayı $630 = 45\cdot 14$ ). Burada $a + b = 6$ .
$b = 5$ ise $a + 8$ , $9$ 'un katı: $a = 1$ (sayı $135 = 45\cdot 3$ ). Burada $a + b = 6$ .
Her iki durumda da $a + b = 6$ bulunur.

Sonuç:

a + b = 6

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek

Soru

Bir kargo firması, barkod numarasının $9$ ile bölümünden kalanı hızlı kontrol için rakamlar toplamından hesaplıyor. Barkod $8472$ ise sistem bu sayının $9$ ile bölümünden kalanı kaydedecek.

Buna göre kaydedilen kalan kaçtır?

A) $3$ · B) $2$ · C) $1$ · D) $0$ · E) $4$

Rakamlar toplamı: $8+4+7+2=21$ .
$21=9\cdot 2+3$ olduğundan $8472$ 'nin $9$ ile bölümünden kalan $3$ 'tür.

Sonuç: A)

3

Örnek

Soru

Üç basamaklı $\overline{2a4}$ plaka numarası hem $2$ 'ye hem $3$ 'e tam bölünebilecek şekilde $a$ rakamı seçilecektir.

Buna göre $a$ kaç farklı değer alabilir?

A) $2$ · B) $3$ · C) $4$ · D) $5$ · E) $1$

$2$ ile bölünme: son rakam $4$ (çift) → her $a$ için sağlanır.
$3$ ile bölünme: $2+a+4=6+a$ , $3$ 'ün katı olmalı; $a\in\{0,3,6,9\}$ .
Toplam $4$ farklı $a$ değeri vardır ( $204$ , $234$ , $264$ , $294$ ).

Sonuç: C)

4

Örnek

Soru

Bir otomat, $5$ 'e bölündüğünde $2$ , $4$ 'e bölündüğünde $3$ kalanını veren en küçük pozitif tam sayıyı "arıza kodu" olarak gösteriyor. Aynı sayının $12$ ile bölümünden kalan soruluyor.

Buna göre bu kalan kaçtır?

A) $8$ · B) $9$ · C) $10$ · D) $7$ · E) $11$

Sayı $n$ : $n=5a+2$ ve $n=4b+3$ .
En küçük çözüm: $a=1$ , $b=1$ → $n=7$ ( $7=5\cdot 1+2$ , $7=4\cdot 1+3$ ).
Genel çözüm $n=20k+7$ ; $7\bmod 12=7$ .

Sonuç: D)

7

Örnek

Soru

Bir kitaplıkta her kitabın sırt etiketinde $\overline{3x4}$ biçiminde üç basamaklı bir kod vardır. Sistem yalnızca $11$ ile tam bölünen kodları "geçerli" sayıyor.

Buna göre kodun geçerli olması için $x$ rakamı kaç olmalıdır?

A) $5$ · B) $6$ · C) $7$ · D) $8$ · E) $9$

$11$ kuralı: birler basamağından başlayarak dönüşümlü toplam, $4-x+3=7-x$ .
Bu değer $0$ ya da $11$ 'in katı olmalı. $x$ bir rakam olduğundan $7-x$ değeri $-2$ ile $7$ arasındadır; bu aralıkta uygun olan tek değer $0$ 'dır.
$7-x=0\Rightarrow x=7$ . (Gerçekten $374=11\cdot 34$ .)

Sonuç: C)

7

Örnek

Soru

Bir depoda $A$ kolisinde bulunan ürün sayısı $7$ 'ye bölündüğünde $4$ , $B$ kolisindeki ürün sayısı $7$ 'ye bölündüğünde $5$ kalanını veriyor. İki koli birleştirildiğinde toplam ürün, yine $7$ 'şerli paketlere konuyor.

Buna göre son pakette kaç ürün artar (kalan kaçtır)?

A) $0$ · B) $1$ · C) $2$ · D) $3$ · E) $4$

$A=7k+4$ , $B=7m+5$ yaz.
Topla: $A+B=7(k+m)+9$ .
$9=7\cdot 1+2$ olduğundan $A+B$ 'nin $7$ ile bölümünden kalan $2$ 'dir.

Sonuç: C)

2

Örnek

Soru

Bir spor salonunda dolaplar $1$ 'den başlayarak ardışık numaralandırılmıştır. Yönetim, numarası hem $3$ 'e hem $4$ 'e tam bölünen dolapları bakıma alacaktır. Bakıma alınacak dolapların numaraları $1$ ile $100$ arasındadır.

Buna göre kaç dolap bakıma alınır?

A) $6$ · B) $7$ · C) $8$ · D) $9$ · E) $10$

Hem $3$ 'e hem $4$ 'e bölünen sayı, EKOK $(3,4)=12$ 'nin katıdır.
$1$ ile $100$ arasındaki $12$ katları: $12,24,36,48,60,72,84,96$ .
Bunlar $8$ tanedir.

Sonuç: C)

8

Sık Yapılan Hatalar

Kalanın bölenden büyük olabileceğini sanmak. Bölme algoritmasında her zaman $0 \le R < B$ olmalıdır. Örneğin $7$ 'ye bölmede kalan $0,1,2,3,4,5,6$ değerlerinden biridir; $7$ ya da daha büyük bir kalan yanlıştır.
$4$ (ya da $8$ ) ile bölünebilmede tüm sayıya bakmak. $4$ için yalnız son iki, $8$ için yalnız son üç basamak yeterlidir; gerisini incelemek gereksizdir.
$11$ kuralında işaret sırasını şaşırmak. Dönüşümlü toplam birler basamağından başlar ( $+,-,+,\dots$ ). Yön karışırsa sonucun işareti değişebilir, ama $0$ ya da $11$ 'in katı olma koşulu yine de doğru uygulanmalıdır.
$6$ , $12$ , $15$ gibi bölenleri tek bir rakam kuralıyla denemek. Bunlar için ayrı bir "tek kural" yoktur; çarpanlara ayırıp her parçayı denetlemek gerekir.

Sınav İpucu

Bileşik bölenler için sayıyı aralarında asal çarpanlarına ayır ve her birine ilgili bölünebilme kuralını uygula:

$6 = 2\cdot 3,\qquad 12 = 4\cdot 3,\qquad 15 = 3\cdot 5,\qquad 45 = 9\cdot 5$

Dikkat: çarpanlar aralarında asal olmalı. Örneğin $12$ için $2\cdot 6$ kullanmak yanlış sonuç verebilir, çünkü $2$ ile $6$ aralarında asal değildir; doğru ayrışım $4\cdot 3$ 'tür. Bir sayı bu çarpanların hepsine birden bölünüyorsa, bileşik bölene de tam bölünür.

1. Bölme Algoritması

2. Bölünebilme Kuralları

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Sayılar ve Bölünebilme — diğer konular