TYT Matematik · Sayılar ve Bölünebilme

EBOB ve EKOK

~10 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soruTYT'de ~2.5 soru/yıl · Sınavda orta ağırlık

EBOB (En Büyük Ortak Bölen) ve EKOK (En Küçük Ortak Kat), iki ya da daha çok sayıyı birlikte bölünebilme ve ortak kat olma açısından ilişkilendirir. TYT'de bu konu hem doğrudan hesap sorularıyla hem de "en büyük eşit parça", "tekrar birlikte" gibi günlük problemlerle gelir. Anahtar, asal çarpan yöntemini doğru kullanmak ve probleme hangi kavramın gerektiğine doğru karar vermektir.

EBOB ve EKOK Tanımı

EBOB (En Büyük Ortak Bölen): İki ya da daha çok sayıyı aynı anda (kalansız) bölen sayıların en büyüğüdür.

EKOK (En Küçük Ortak Kat): Verilen sayıların hepsinin ortak katı olan pozitif sayıların en küçüğüdür.

Asal Çarpan Yöntemi

Önce her sayıyı asal çarpanlarına ayırırız. Ardından:

Kavram	Kural
EBOB	Ortak asal çarpanların en küçük üslerinin çarpımı
EKOK	Tüm asal çarpanların en büyük üslerinin çarpımı

Örneğin $12 = 2^{2} \cdot 3$ ve $18 = 2 \cdot 3^{2}$ için ortak asal çarpanlar $2$ ve $3$ 'tür:

$EBOB (12, 18) = 2^{1} \cdot 3^{1} = 6, EKOK (12, 18) = 2^{2} \cdot 3^{2} = 4 \cdot 9 = 36$

EBOB'da her ortak çarpanın en küçük üssü ( $2^{1}$ , $3^{1}$ ), EKOK'ta görünen tüm çarpanların en büyük üssü ( $2^{2}$ , $3^{2}$ ) alınır.

Aşağıdaki Venn şeması bu mantığı görselleştirir: iki sayının ortak asal çarpanları kesişimde toplanır (bu kısım EBOB'u verir), tüm çarpanların birleşimi ise EKOK'u verir.

Şekil 1 —

48 = 2^{4} \cdot 3

72 = 2^{3} \cdot 3^{2}

sayılarının asal çarpanları. Kesişimdeki ortak kısım

2^{3} \cdot 3 = EBOB = 24

; tüm çarpanların birleşimi

2^{4} \cdot 3^{2} = EKOK = 144

'tür.

EBOB · EKOK İlişkisi

İki sayı için EBOB ile EKOK'un çarpımı, sayıların çarpımına eşittir:

$EBOB (a, b) \cdot EKOK (a, b) = a \cdot b$

Yukarıdaki örnekte doğrulayalım: $6 \cdot 36 = 216$ ve $12 \cdot 18 = 216$ . Eşitlik sağlanır.

Dikkat: Bu kural yalnızca iki sayı için geçerlidir. Üç ya da daha çok sayıda $EBOB \cdot EKOK$ çarpımı, sayıların çarpımına eşit olmak zorunda değildir.

Aralarında Asal Sayılar

$EBOB (a, b) = 1$ ise $a$ ile $b$ aralarında asaldır (ortak asal çarpanları yoktur). Bu durumda yukarıdaki ilişkiden:

$EKOK (a, b) = \frac{a \cdot b}{1} = a \cdot b$

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$24$ ile $36$ sayılarının EBOB ve EKOK değerlerini bulunuz.

Asal çarpanlara ayır: $24 = 2^{3} \cdot 3$ ve $36 = 2^{2} \cdot 3^{2}$ .
EBOB için ortak çarpanların en küçük üsleri: $2^{2} \cdot 3^{1} = 4 \cdot 3 = 12$ .
EKOK için tüm çarpanların en büyük üsleri: $2^{3} \cdot 3^{2} = 8 \cdot 9 = 72$ .
Doğrula: $EBOB \cdot EKOK = 12 \cdot 72 = 864$ ve $24 \cdot 36 = 864$ . Eşit.

Sonuç:

EBOB (24, 36) = 12

EKOK (24, 36) = 72

Örnek

Soru

İki sayının EBOB'u $6$ , EKOK'u $72$ 'dir. Sayılardan biri $24$ ise diğeri kaçtır?

İki sayı için $EBOB \cdot EKOK = a \cdot b$ ilişkisini kullan.

İlişkiyi yaz: $EBOB \cdot EKOK = a \cdot b$ .
Bilinenleri yerleştir: $6 \cdot 72 = 24 \cdot b$ , yani $432 = 24 \cdot b$ .
$b$ 'yi çöz: $b = \frac{432}{24} = 18$ .
Kontrol: $EBOB (24, 18) = 6$ ve $EKOK (24, 18) = 72$ olduğundan tutarlı.

Sonuç: Diğer sayı

18

'dir.

Örnek

Soru

$EBOB (8, 15)$ ve $EKOK (8, 15)$ değerlerini bulunuz.

Asal çarpanlara ayır: $8 = 2^{3}$ ve $15 = 3 \cdot 5$ .
Ortak asal çarpan yok, dolayısıyla $EBOB (8, 15) = 1$ . Sayılar aralarında asaldır.
Aralarında asal olduklarından $EKOK (8, 15) = 8 \cdot 15 = 120$ .

Sonuç:

EBOB = 1

EKOK = 120

Örnek

Soru

Boyutları $12$ cm ve $18$ cm olan dikdörtgen biçimindeki bir karton, hiç artık kalmadan eş karelere bölünecektir. En büyük bu karelerin bir kenarı kaç cm olur?

"En büyük eşit parça" → EBOB. Kenar uzunluğu hem $12$ 'yi hem $18$ 'i tam bölmelidir.

Karenin kenarı $a$ ise, $a$ sayısı hem $12$ 'yi hem $18$ 'i kalansız bölmelidir; yani $a$ bunların ortak bölenidir.
Kareler en büyük olacağından $a$ , ortak bölenlerin en büyüğü olmalıdır: $a = EBOB (12, 18)$ .
$12 = 2^{2} \cdot 3$ , $18 = 2 \cdot 3^{2}$ olduğundan $EBOB = 2 \cdot 3 = 6$ .
Kenar $6$ cm olur; karton $\frac{12}{6} \cdot \frac{18}{6} = 2 \cdot 3 = 6$ kareye bölünür.

Sonuç: Karenin kenarı

6

cm'dir.

Örnek

Soru

İki uyarı ışığından biri $12$ saniyede bir, diğeri $18$ saniyede bir yanıp sönüyor. Aynı anda yandıktan sonra ilk kez kaç saniye sonra yine birlikte yanarlar?

"Tekrar/aynı anda birlikte" → EKOK. Aranan an, hem $12$ 'nin hem $18$ 'in ortak katıdır.

Birinci ışık $12, 24, 36, \dots$ saniyelerde; ikincisi $18, 36, 54, \dots$ saniyelerde yanar.
Birlikte yanmaları için geçen süre, $12$ ile $18$ 'in ortak katı olmalıdır.
İlk (en küçük) ortak an: $EKOK (12, 18) = 2^{2} \cdot 3^{2} = 36$ saniye.
Gerçekten $36$ , hem $12$ 'nin ( $3$ kat) hem $18$ 'in ( $2$ kat) katıdır.

Sonuç:

36

saniye sonra yeniden birlikte yanarlar.

Örnek

Soru

$EKOK (a, 12) = 60$ ve $EBOB (a, 12) = 3$ olduğuna göre $a$ kaçtır?

İki sayı için $EBOB \cdot EKOK = a \cdot 12$ ilişkisini kullan.
Yerleştir: $3 \cdot 60 = a \cdot 12$ , yani $180 = 12 a$ .
Çöz: $a = \frac{180}{12} = 15$ .
Kontrol: $15 = 3 \cdot 5$ ve $12 = 2^{2} \cdot 3$ ; $EBOB = 3$ , $EKOK = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 = 60$ . Tutarlı.

Sonuç:

a = 15

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$30$ , $45$ ve $75$ sayılarının EBOB'unu bulunuz.

Asal çarpanlara ayır: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ , $45 = 3^{2} \cdot 5$ , $75 = 3 \cdot 5^{2}$ .
Üçünde de ortak asal çarpanlar $3$ ve $5$ 'tir.
Ortak çarpanların en küçük üsleri: $3^{1} \cdot 5^{1} = 15$ .

Sonuç:

EBOB (30, 45, 75) = 15

Örnek

Soru

$\frac{2}{15}$ , $\frac{4}{9}$ ve $\frac{8}{45}$ kesirlerini eşit paydalı yapmak için kullanılacak en küçük ortak payda kaçtır?

Paydaların EKOK'u en küçük ortak paydayı verir.

Paydaları asal çarpanlara ayır: $15 = 3 \cdot 5$ , $9 = 3^{2}$ , $45 = 3^{2} \cdot 5$ .
EKOK için tüm çarpanların en büyük üsleri: $3^{2} \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45$ .
Demek ki en küçük ortak payda $45$ 'tir.

Sonuç:

45

Örnek

Soru

Hem $4$ 'e hem $6$ 'ya bölündüğünde $2$ kalanını veren en küçük üç basamaklı sayı kaçtır?

Önce $4$ ve $6$ 'nın katlarını bul, sonra $2$ ekle.

Aranan sayı $4 k + 2$ ve $6 m + 2$ biçimindedir; yani sayıdan $2$ çıkarınca hem $4$ 'e hem $6$ 'ya tam bölünür.
$4$ ve $6$ 'nın ortak katları $EKOK (4, 6) = 12$ 'nin katlarıdır: $12, 24, 36, \dots$
Sayı $12 t + 2$ biçimindedir. En küçük üç basamaklı değer için $12 t + 2 \geq 100$ , yani $12 t \geq 98$ , $t \geq 8, 1 \dots$ olur; $t = 9$ .
$12 \cdot 9 + 2 = 108 + 2 = 110$ . Kontrol: $110 - 2 = 108$ , $108 = 4 \cdot 27 = 6 \cdot 18$ .

Sonuç:

110

Örnek

Soru

Aralarındaki oran $\frac{3}{4}$ olan iki sayının EKOK'u $96$ 'dır. Bu sayıların toplamı kaçtır?

Oran sade ise sayıları $3 k$ ve $4 k$ al; $3$ ile $4$ aralarında asaldır.

Oran $\frac{3}{4}$ sade olduğundan sayıları $3 k$ ve $4 k$ yaz; $k$ bunların EBOB'udur.
$3$ ile $4$ aralarında asal olduğundan $EKOK (3 k, 4 k) = 3 \cdot 4 \cdot k = 12 k$ .
$12 k = 96$ olduğundan $k = 8$ .
Sayılar $3 \cdot 8 = 24$ ve $4 \cdot 8 = 32$ . Toplamları $24 + 32 = 56$ .

Sonuç:

56

Örnek

Soru

Bir manav, $48$ elma ve $60$ armudu, her kasede yalnızca bir tür meyve olacak ve tüm kaseler eşit sayıda meyve içerecek biçimde kaselere dolduracaktır. En az kaç kase kullanır?

Kase başına meyve sayısı hem $48$ 'i hem $60$ 'ı tam bölmeli ve kase sayısı en az olmalı.

Her kasede eşit sayıda meyve olacağından kase başına meyve sayısı hem $48$ 'i hem $60$ 'ı bölmelidir.
Kase sayısı en az olması için her kasedeki meyve en çok olmalı: $EBOB (48, 60)$ .
$48 = 2^{4} \cdot 3$ , $60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$ olduğundan $EBOB = 2^{2} \cdot 3 = 12$ .
Her kasede $12$ meyve olur: elmalar $\frac{48}{12} = 4$ , armutlar $\frac{60}{12} = 5$ kase. Toplam $4 + 5 = 9$ kase.

Sonuç:

9

kase.

Örnek

Soru

İki sayının EBOB'u $9$ , EKOK'u $270$ 'tir. Bu iki sayının toplamı en çok kaç olabilir?

Sayıları $9 x$ ve $9 y$ yaz; burada $x$ ile $y$ aralarında asaldır.

EBOB $9$ olduğundan sayılar $9 x$ ve $9 y$ biçimindedir ve $EBOB (x, y) = 1$ (aralarında asal).
Bu durumda $EKOK = 9 x y = 270$ , yani $x y = 30$ .
Çarpımı $30$ olan aralarında asal $(x, y)$ ikilileri: $(1, 30)$ , $(2, 15)$ , $(3, 10)$ , $(5, 6)$ .
Toplam $9 x + 9 y = 9 (x + y)$ en büyük olsun diye $x + y$ en büyük olan ikiliyi seç: $(1, 30)$ için $x + y = 31$ .
Toplam $9 \cdot 31 = 279$ . (Sayılar $9$ ve $270$ .)

Sonuç: En çok

279

Örnek

Soru

Bir bisiklet pistinde Ali bir turu $40$ saniyede, Veli $50$ saniyede, Can $60$ saniyede tamamlıyor. Aynı çizgiden aynı anda başlayan üçü, başlangıç çizgisinde ilk kez kaç dakika sonra yine birlikte olur?

"Yine birlikte" → tur sürelerinin EKOK'u. Sonucu dakikaya çevir.

Üçü başlangıçta birlikte olacağı an, $40$ , $50$ , $60$ 'ın ortak katı olmalıdır; en küçüğü için EKOK alınır.
Asal çarpanlar: $40 = 2^{3} \cdot 5$ , $50 = 2 \cdot 5^{2}$ , $60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$ .
EKOK, tüm çarpanların en büyük üsleriyle: $2^{3} \cdot 3 \cdot 5^{2} = 8 \cdot 3 \cdot 25 = 600$ saniye.
$600$ saniye $= \frac{600}{60} = 10$ dakikadır.

Sonuç:

10

dakika sonra.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Asal çarpan yöntemiyle EBOB–EKOK hesabı: EBOB'da en büyük, EKOK'ta en küçük üssü almak (ters ezber) ebob ile ekok yer değiştirmiş değerler
EBOB⋅EKOK = a⋅b ilişkisi (eksik sayıyı bulma): EBOB + EKOK = a + b sanmak toplam üzerinden kurulan ilgisiz denklem
EBOB'dan sayı kurma (a = EBOB⋅x kalıbı): x ile y'nin aralarında asal olması gerektiğini unutmak ebob'u d'den büyük çıkan geçersiz çiftleri de saymak — fazla çift
Gerçek hayat EBOB (en büyük eş parça / kare fayans): 'En az parça' deyince EKOK'a gitmek uzunlukları aşan anlamsız parça boyu
Gerçek hayat EKOK (tekrar birlikte / zil–otobüs): 'Birlikte' deyince EBOB almak periyotlardan küçük, anlamsız süre
Kalanlı EKOK (her bölmede k kalanını veren sayı): k'yi eklemeyi unutmak (EKOK⋅t'yi cevap vermek) doğru cevaptan k eksik değer

Soru 1Kolay

İki sınıfın öğrenci sayıları

15

ile

25

'tir. Okul yönetimi, her iki sınıftan da eşit ve tam sayıda öğrenci alarak karma bir grup kurmak istiyor; gruptaki öğrenci sayısı her iki sınıf sayısını da **tam bölmeli** ve mümkün olduğunca **büyük** olmalıdır. Buna göre grupta en çok kaç öğrenci olur?

İstenen, $15$ ile $25$ 'in en büyük ortak böleni: $EBOB (15, 25)$ .
$15 = 3 \cdot 5$ , $25 = 5^{2}$ → ortak asal yalnızca $5$ ; $EBOB = 5$ .

Sonuç:

5

Soru 2Orta

Üç farklı zil, sırasıyla

12

18

24

saniyede bir çalıyor. Hepsi aynı anda çaldıktan sonra ilk kez yeniden birlikte çaldıkları anın kaç saniye sonra olduğu soruluyor. Buna göre bu süre kaç saniyedir?

Birlikte çalma süresi EKOK $(12, 18, 24)$ olmalıdır.
$12 = 2^{2} \cdot 3$ , $18 = 2 \cdot 3^{2}$ , $24 = 2^{3} \cdot 3$ → EKOK $= 2^{3} \cdot 3^{2} = 8 \cdot 9 = 72$ .

Sonuç:

72

Soru 3Orta

Dikdörtgen bir bahçenin kenarları sırasıyla

48

m ve

72

m'dir. Bahçe, kenarları boyunca boşluk kalmayacak şekilde eş kenarlı kare çit bölmelerine ayrılacaktır. Buna göre bir karenin kenar uzunluğu en çok kaç metredir?

Kare kenarı hem $48$ 'i hem $72$ 'yi bölmeli → $EBOB (48, 72)$ .
$48 = 2^{4} \cdot 3$ , $72 = 2^{3} \cdot 3^{2}$ → $EBOB = 2^{3} \cdot 3 = 24$ .

Sonuç:

24

Soru 4Orta

Bir terzi, biri

36

cm, diğeri

48

cm uzunluğunda iki kumaş şeridini hiç artık bırakmadan **eşit uzunlukta** ve mümkün olan **en uzun** parçalara kesecektir. Kesilen tüm parçalar bir kutuya konuyor. Buna göre kutuda toplam kaç parça olur?

Parça uzunluğu hem $36$ 'yı hem $48$ 'i bölmeli ve en uzun olmalı → $EBOB (36, 48)$ .
$36 = 2^{2} \cdot 3^{2}$ , $48 = 2^{4} \cdot 3$ → $EBOB = 2^{2} \cdot 3 = 12$ cm.
Parça sayısı: $\frac{36}{12} + \frac{48}{12} = 3 + 4 = 7$ .

Sonuç:

7

Soru 5Zor

İki makinenin günlük ürettiği parça sayılarının en büyük ortak böleni

8

, en küçük ortak katı

240

'tır. Makinelerden biri günde

48

parça üretiyorsa diğerinin günlük üretimi soruluyor. Buna göre diğer makine günde kaç parça üretir?

İki sayı için $EBOB \cdot EKOK = a \cdot b$ .
Yerleştir: $8 \cdot 240 = 48 \cdot b \Rightarrow 1920 = 48 b \Rightarrow b = 40$ .
Kontrol: $48 = 2^{4} \cdot 3$ , $40 = 2^{3} \cdot 5$ → $EBOB = 8$ , $EKOK = 2^{4} \cdot 3 \cdot 5 = 240$ . Tutarlı.

Sonuç:

40

Soru 6Kolay

Bir otogardan üç farklı hat otobüsü sırasıyla

10

15

20

dakikada bir hareket ediyor. Üç hat aynı anda kalktıktan sonra ilk kez yine aynı anda hareket edecekleri ana kadar geçen süre soruluyor. Buna göre bu süre kaç dakikadır?

"Yine aynı anda" → $EKOK (10, 15, 20)$ .
$10 = 2 \cdot 5$ , $15 = 3 \cdot 5$ , $20 = 2^{2} \cdot 5$ → $EKOK = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 = 60$ .

Sonuç:

60

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Üsleri ters almak: EBOB'da ortak çarpanların en büyük üssünü, EKOK'ta en küçük üssünü almak. Doğrusu tersidir: EBOB'da en küçük, EKOK'ta en büyük üs.
"En büyük eşit parça" problemini EKOK ile çözmeye çalışmak. Bir bütünü eş parçalara bölmek tam bölme gerektirir; bu bir EBOB sorusudur.
"Tekrar birlikte / aynı anda" problemini EBOB ile çözmek. Ortak kat arandığından bu bir EKOK sorusudur.
$EBOB \cdot EKOK = a \cdot b$ kuralını ikiden çok sayıya uygulamak. Bu kural yalnızca iki sayı içindir.

Sınav İpucu

Problemi anahtar kelimeyle ayır:

İfade	Kavram
en çok / en büyük / en fazla eşit ...	EBOB
en az / tekrar birlikte / aynı anda / en küçük ortak ...	EKOK

"En büyük eş parça, en fazla kişiye eşit paylaştırma" gibi bölme içeren sorular EBOB; "yeniden birlikte, en az kaç ... sonra, ortak tur" gibi kat içeren sorular EKOK ister. İki sayıda hesabı $EBOB \cdot EKOK = a \cdot b$ ile hızlıca doğrulayabilirsin.

EBOB ve EKOK Tanımı

Asal Çarpan Yöntemi

EBOB · EKOK İlişkisi

Aralarında Asal Sayılar

Çözümlü Örnekler

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Sayılar ve Bölünebilme — diğer konular