TYT Matematik · Sayılar ve Bölünebilme

Asal Çarpanlara Ayırma ve Bölen Sayısı

~8 dk okumaZorluk: Orta19 çözümlü soru

Bir tam sayıyı asal çarpanlarına ayırmak, onu en küçük yapı taşlarına çözmektir; bu çözüm her sayı için tektir. Bu konuda önce asal çarpanlara ayırmayı, sonra bu yapıdan bir sayının pozitif bölen sayısını doğrudan hesaplamayı öğreneceğiz. TYT'de "kaç tam böleni vardır" tipi sorular bu tek formülle saniyeler içinde çözülür.

1. Asal Çarpanlara Ayırma

Bir asal sayı, yalnızca $1$ 'e ve kendisine bölünebilen, $1$ 'den büyük doğal sayıdır ( $2,3,5,7,11,\dots$ ). Aritmetiğin Temel Teoremi'ne göre $1$ 'den büyük her tam sayı, asal sayıların çarpımı olarak tek bir biçimde yazılır.

Yöntem: Sayıyı en küçük asaldan ( $2$ 'den) başlayarak bölünebildiği sürece böl; bölünmüyorsa bir sonraki asala ( $3,5,7,\dots$ ) geç. Sonuçta her asalı bir üs ile yazarız.

$360=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5^{1}$

Bölme tablosuyla:

Sayı	Bölen
$360$	$2$
$180$	$2$
$90$	$2$
$45$	$3$
$15$	$3$
$5$	$5$
$1$	—

Doğrulama: $2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5=8\cdot 9\cdot 5=360$ . Buradaki $2,3,5$ asallarının üsleri sırasıyla $3,2,1$ 'dir; üssü $1$ olan asalı ( $5^{1}$ ) gözden kaçırmamak önemlidir.

Şekil 1 —

360

sayısının asal çarpan ağacı. Her adımda en küçük asal (kırmızı yaprak) ayrılır; geriye kalan çarpan (açık düğüm) yeniden bölünür. Yapraklardaki asallar

2,2,2,3,3,5

olduğundan

360=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5

elde edilir.

2. Pozitif Bölen (Tam Bölen) Sayısı

Bir sayının asal çarpan yapısı

$N=p^{a}\cdot q^{b}\cdot r^{c}$

biçimindeyse, $N$ 'nin pozitif bölenlerinin sayısı

$\big(a+1\big)\big(b+1\big)\big(c+1\big)$

ile bulunur. Neden $+1$ ? Çünkü bir böleni oluştururken $p$ asalının üssünü $0,1,2,\dots,a$ değerlerinden, yani $a+1$ farklı şekilde seçebiliriz; aynısı her asal için geçerlidir. Tüm seçimler birbirinden bağımsız olduğundan sayılar çarpılır.

Önemli: Bu formül $1$ 'i ( $p^{0}q^{0}r^{0}$ ) ve sayının kendisini ( $p^{a}q^{b}r^{c}$ ) da bölen olarak sayar. Yani sonuca ayrıca " $+2$ " eklemene gerek yoktur; ikisi de zaten dâhildir.

Tam kareler: $N$ bir tam kare ise tüm üsleri çifttir, dolayısıyla her $(a+1)$ çarpanı tektir ve bölen sayısı tek çıkar. Tersi de doğrudur: pozitif bölen sayısı tek olan sayılar tam karelerdir.

Örnek

Soru

$360$ sayısını asal çarpanlarına ayırınız.

En küçük asaldan başla: $360=2\cdot 180=2\cdot 2\cdot 90=2\cdot 2\cdot 2\cdot 45$ , yani üç kez $2$ ile bölünür.
Kalan $45$ , $2$ ile bölünmez; $3$ ile dene: $45=3\cdot 15=3\cdot 3\cdot 5$ , yani iki kez $3$ .
Kalan $5$ asaldır: $5=5^{1}$ .
Üsleri topla: $360=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5^{1}$ . Doğrula: $8\cdot 9\cdot 5=360$ .

Sonuç:

360=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5

Örnek

Soru

$360$ sayısının kaç tane pozitif böleni vardır?

Önce asal çarpanlarına ayır, sonra her üse $1$ ekleyip çarp.

Asal çarpan yapısı: $360=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5^{1}$ .
Üsler $3,2,1$ ; her birine $1$ ekle: $4,3,2$ .
Çarp: $(3+1)(2+1)(1+1)=4\cdot 3\cdot 2=24$ .

Sonuç:

360

'ın

24

pozitif böleni vardır.

Örnek

Soru

$72$ sayısının pozitif bölen sayısını bulunuz.

Asal çarpanlarına ayır: $72=8\cdot 9=2^{3}\cdot 3^{2}$ .
Üsler $3$ ve $2$ ; her birine $1$ ekle: $4$ ve $3$ .
Çarp: $(3+1)(2+1)=4\cdot 3=12$ .

Sonuç:

72

'nin

12

pozitif böleni vardır.

Örnek

Soru

$N=2^{a}\cdot 3^{2}$ sayısının $15$ tane pozitif böleni olduğuna göre $a$ kaçtır?

Bölen sayısı formülünü kur ve oluşan denklemi $a$ için çöz.

Bölen sayısı formülü: $(a+1)(2+1)=(a+1)\cdot 3$ .
Bu sayı $15$ 'e eşit: $(a+1)\cdot 3=15$ .
Her iki tarafı $3$ 'e böl: $a+1=5$ .
Buradan $a=4$ .

Sonuç:

a=4

Örnek

Soru

$36$ sayısının pozitif bölen sayısının tek olduğunu gösteriniz ve nedenini açıklayınız.

Asal çarpanlarına ayır: $36=4\cdot 9=2^{2}\cdot 3^{2}$ .
Bölen sayısını hesapla: $(2+1)(2+1)=3\cdot 3=9$ , bu tek bir sayıdır.
Sebep: $36=6^{2}$ bir tam karedir; tüm üsleri ( $2,2$ ) çift olduğundan her $(a+1)$ çarpanı tek olur ve tek sayıların çarpımı tektir.

Sonuç:

36

'nın

9

pozitif böleni vardır; tam kare olduğu için bu sayı tektir.

Örnek

Soru

Pozitif bölen sayısı $6$ olan bir tam sayının asal çarpan yapısı ne biçimde olabilir?

$6$ 'yı, her biri "üs $+1$ " olacak şekilde çarpan değerlerine ayır: $6=6\cdot 1$ ve $6=2\cdot 3$ .

Bölen sayısı $(a+1)(b+1)\cdots=6$ olmalı. $6$ 'yı çarpanlarına ayır: $6=6\cdot 1$ ve $6=2\cdot 3$ .
Birinci durum $6=6$ : tek asal vardır ve $a+1=6\Rightarrow a=5$ . Yapı: $p^{5}$ (örnek: $2^{5}=32$ ).
İkinci durum $6=2\cdot 3$ : iki asal vardır, $a+1=2,\ b+1=3\Rightarrow a=1,\ b=2$ . Yapı: $p^{1}\cdot q^{2}$ (örnek: $2^{2}\cdot 3=12$ ).
Doğrula: $32=2^{5}$ için $(5+1)=6$ ; $12=2^{2}\cdot 3$ için $(2+1)(1+1)=6$ .

Sonuç: Sayı ya

p^{5}

ya da

p^{2}\cdot q

biçimindedir (

p,q

farklı asal).

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$600$ sayısının kaç tane pozitif böleni vardır?

Asal çarpanlarına ayır: $600=8\cdot 75=2^{3}\cdot 3\cdot 5^{2}$ .
Üsler $3,1,2$ ; her birine $1$ ekle: $4,2,3$ .
Çarp: $(3+1)(1+1)(2+1)=4\cdot 2\cdot 3=24$ .

Sonuç:

600

'ün

24

pozitif böleni vardır.

Örnek

Soru

$N=2^{4}\cdot 5^{a}$ sayısının $20$ tane pozitif böleni olduğuna göre $a$ kaçtır?

Bölen sayısı formülü: $(4+1)(a+1)=5\cdot(a+1)$ .
Bu sayı $20$ 'ye eşit: $5\cdot(a+1)=20$ .
Her iki tarafı $5$ 'e böl: $a+1=4$ .
Buradan $a=3$ .

Sonuç:

a=3

Örnek

Soru

$2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5$ sayısının kaç böleni $2$ ile bölünmez (tek bölendir)?

Tek bölenlerde $2$ 'nin üssü mecburen $0$ 'dır; geriye kalan asalların üslerini serbestçe seç.

Bir bölenin tek olması için $2$ 'nin üssü $0$ olmalıdır; yani $2$ 'yi hiç almayız.
Geriye $3^{3}\cdot 5$ kısmı kalır; bunun bölen sayısı tek bölenlerin sayısını verir.
Üsler $3$ ve $1$ ; çarp: $(3+1)(1+1)=4\cdot 2=8$ .

Sonuç:

8

tane tek böleni vardır.

Örnek

Soru

İki basamaklı sayılar içinde pozitif bölen sayısı en fazla olan sayı kaçtır?

Küçük asalların düşük üslerini çarparak $100$ 'ün altında kalan en çok bölenli sayıyı ara.

Çok bölen için küçük asalları kullan: $2,3,5$ .
$96=2^{5}\cdot 3$ için $(5+1)(1+1)=12$ bölen.
$72=2^{3}\cdot 3^{2}$ için $(3+1)(2+1)=12$ bölen; $60=2^{2}\cdot 3\cdot 5$ için $(2+1)(1+1)(1+1)=12$ bölen.
Bu üç sayı da $12$ ile en yüksektir; başka iki basamaklı sayı $12$ 'yi geçemez. En küçüğü $60$ 'tır.

Sonuç: En fazla bölen sayısı

12

'dir; bunu

60

72

90

96

sağlar.

Örnek

Soru

$120$ sayısının kaç tane böleni bir tam karedir?

Tam kare bölenlerde her asalın üssü çift olmalıdır; her asal için seçilebilecek çift üs sayısını çarp.

Asal çarpanlarına ayır: $120=2^{3}\cdot 3\cdot 5$ .
Bölenin tam kare olması için her asalın üssü çift seçilmelidir. $2$ 'nin üssü $0$ veya $2$ olabilir (2 seçenek).
$3$ 'ün üssü yalnız $0$ olabilir (üst sınır $1$ , tek çift değer), $5$ için de yalnız $0$ olabilir (birer seçenek).
Çarp: $2\cdot 1\cdot 1=2$ . Bu bölenler $2^{0}=1$ ve $2^{2}=4$ 'tür.

Sonuç:

120

'nin

2

tane tam kare böleni vardır (

1

4

Örnek

Soru

Tam kare olan ve tam olarak $9$ pozitif böleni bulunan en küçük doğal sayı kaçtır?

$9$ 'u tek çarpanlarına ayır: $9=9\cdot 1$ ve $9=3\cdot 3$ . En küçük değer için küçük asalları yüksek üsse ver.

Bölen sayısı $(a+1)(b+1)\cdots=9$ olmalı. $9$ 'u çarpanlarına ayır: $9=9$ ve $9=3\cdot 3$ .
Birinci durum $9=9$ : tek asal, $a+1=9\Rightarrow a=8$ . En küçük yapı $2^{8}=256$ .
İkinci durum $9=3\cdot 3$ : iki asal, üsler $2$ ve $2$ . En küçük için küçük asalları kullan: $2^{2}\cdot 3^{2}=4\cdot 9=36$ .
İki aday $256$ ve $36$ ; küçüğü $36$ 'dır. $36=6^{2}$ tam karedir ve bölen sayısı $(2+1)(2+1)=9$ .

Sonuç: En küçük sayı

36

'dır.

Örnek

Soru

$x$ ve $y$ farklı asal sayılar olmak üzere $x^{2}\cdot y^{4}$ biçimindeki bir sayının pozitif bölen sayısı kaçtır?

Üsler $2$ ve $4$ 'tür.
Her üse $1$ ekle: $3$ ve $5$ .
Çarp: $(2+1)(4+1)=3\cdot 5=15$ .

Sonuç:

15

pozitif bölen vardır.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek

Soru

Bir depo yönetim programı, $72$ adet kutunun her birine farklı etiket yapıştırmak için kutunun pozitif bölen sayısını hesaplıyor.

Buna göre kaç farklı etiket numarası gerekir?

A) $10$ · B) $12$ · C) $14$ · D) $8$ · E) $15$

$72=2^{3}\cdot 3^{2}$ asal çarpanlarına ayrılır.
Bölen sayısı: $(3+1)(2+1)=4\cdot 3=12$ .

Sonuç: B)

12

Örnek

Soru

$x$ ve $y$ farklı asal sayılar olmak üzere $N=x^{4}\cdot y^{2}$ biçiminde paketlenmiş ürün kodu verilmiştir. Kodun kaç farklı pozitif böleni olduğu soruluyor.

Buna göre bölen sayısı kaçtır?

A) $10$ · B) $12$ · C) $14$ · D) $8$ · E) $15$

Üslere $1$ eklenir: $(4+1)(2+1)=5\cdot 3$ .
$5\cdot 3=15$ pozitif bölen vardır.

Sonuç: E)

15

Örnek

Soru

Tam olarak $6$ pozitif böleni olan en küçük doğal sayı, bir sınav sorusunda "en küçük aday" olarak aranıyor.

Buna göre bu sayı kaçtır?

A) $8$ · B) $10$ · C) $12$ · D) $14$ · E) $16$

$6=(6)(1)=(3)(2)$ ; bölen sayısı çarpanları $(a+1)(b+1)\cdots=6$ .
$6=6$ : tek asal $2^{5}=32$ . $6=3\cdot 2$ : $2^{2}\cdot 3^{1}=12$ → $(2+1)(1+1)=6$ bölen.
$12<32$ ; en küçük aday $12$ 'dir ( $1,2,3,4,6,12$ ).

Sonuç: C)

12

Örnek

Soru

Bir oyunda her oyuncuya, kareye dizilebilen (tam kare sayıda) ve tam olarak $5$ farklı pozitif böleni olan bir taş sayısı veriliyor. Yönetici, mümkün olan en az taşı seçmek istiyor.

Buna göre bir oyuncuya en az kaç taş verilir?

A) $16$ · B) $25$ · C) $32$ · D) $36$ · E) $81$

Bölen sayısı $5$ asal olduğundan $(a+1)\cdots=5$ ancak tek çarpanla, $a+1=5$ ile sağlanır; yapı $p^{4}$ olmalıdır.
$p^{4}$ daima tam karedir. En küçük için en küçük asalı seç: $2^{4}=16$ .
$16$ 'nın bölenleri $1,2,4,8,16$ → tam $5$ bölen, ve $16=4^{2}$ tam kare.

Sonuç: A)

16

Örnek

Soru

Bir üretim kodu $N=2^{a}\cdot 3^{2}\cdot 5$ biçimindedir ve sistemin kayıtlarına göre bu kodun tam $24$ farklı pozitif böleni vardır.

Buna göre $a$ kaçtır?

A) $2$ · B) $3$ · C) $4$ · D) $5$ · E) $6$

Bölen sayısı: $(a+1)(2+1)(1+1)=(a+1)\cdot 3\cdot 2=6(a+1)$ .
$6(a+1)=24\Rightarrow a+1=4\Rightarrow a=3$ .

Sonuç: B)

3

Örnek

Soru

Bir markette $90$ numaralı raf grubuna ait ürünler kodlanırken yalnızca tek bölenler (yani $2$ ile bölünmeyen bölenler) kullanılacaktır.

Buna göre $90$ sayısının kaç tane tek pozitif böleni vardır?

A) $4$ · B) $5$ · C) $6$ · D) $8$ · E) $12$

$90=2\cdot 3^{2}\cdot 5$ asal çarpanlarına ayrılır.
Tek bölende $2$ 'nin üssü $0$ olmalı; geriye $3^{2}\cdot 5$ kalır.
Bunun bölen sayısı: $(2+1)(1+1)=3\cdot 2=6$ . (Bu bölenler $1,3,5,9,15,45$ 'tir.)

Sonuç: C)

6

Sık Yapılan Hatalar

Üsleri doğrudan çarpmak. Bölen sayısı üslerin çarpımı değildir; her üse önce $1$ eklenir, sonra çarpılır. $2^{3}\cdot 3^{2}$ için cevap $3\cdot 2=6$ değil, $(3+1)(2+1)=12$ 'dir.
$1$ 'i ve sayının kendisini ayrıca eklemek. Formül bu iki böleni zaten içerir; sonuca " $+2$ " eklemek yanlıştır.
Üssü $1$ olan asalı atlamak. $360=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5$ yapısında $5^{1}$ unutulursa bölen sayısı eksik ( $12$ ) bulunur; doğrusu $24$ 'tür.
Asal olmayanı asal sanmak. Ayırmayı $1$ kalana dek sürdür; $45$ 'i $3$ ile bölmeyi atlayıp " $45$ asal" demek hatadır.

Sınav İpucu

"Kaç tam (pozitif) böleni vardır?" sorusunu görür görmez sayıyı asal çarpanlarına ayır, üslere $1$ ekleyip çarp — başka işleme gerek yok. Bir sayının tam kare olup olmadığını anlamak için bölen sayısının tekliğine bak: bölen sayısı tek ise sayı tam karedir. Bölen sayısı verilip üs sorulduğunda formülü kurup denklemi çöz; bölen sayısı küçük (örneğin $6$ veya $8$ ) verilip "yapısı ne olabilir" denildiğinde o sayıyı çarpan ayrışımlarına ( $2\cdot 3$ , $2\cdot 2\cdot 2$ gibi) göre olası asal yapıları yaz.

1. Asal Çarpanlara Ayırma

2. Pozitif Bölen (Tam Bölen) Sayısı

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Sayılar ve Bölünebilme — diğer konular