TYT Matematik · Sayılar ve Bölünebilme

Rasyonel Sayılar

~9 dk okumaZorluk: Orta19 çözümlü soru

Rasyonel sayılar, iki tam sayının oranı olarak yazılabilen sayılardır; kesirler, ondalık gösterimler ve devirli ondalıklar hep bu çatının altındadır. TYT Temel Matematik'te dört işlem, sıralama ve devirli ondalık–kesir dönüşümü doğrudan ya da kurulu problemlerin içinde sürekli karşına çıkar. Bu konu, hata yapmadan ve hızlı çözmen için gereken tüm zemini kurar.

1. Rasyonel Sayı ve Kesir Çeşitleri

Bir sayı, $a$ ve $b$ tam sayılar ve $b \ne 0$ olmak üzere $\dfrac{a}{b}$ biçiminde yazılabiliyorsa rasyonel sayıdır. Rasyonel sayılar kümesi $\mathbb{Q}$ ile gösterilir. Her tam sayı da rasyoneldir: $5=\dfrac{5}{1}$ .

Pozitif kesirler, payın paydaya oranına göre sınıflandırılır:

Çeşit	Koşul	Örnek
Basit kesir	$\text{pay} < \text{payda}$	$\dfrac{2}{5}$
Bileşik kesir	$\text{pay} \ge \text{payda}$	$\dfrac{7}{4}$
Tam sayılı kesir	tam kısım + basit kesir	$1\dfrac{3}{4}=\dfrac{7}{4}$

Önemli: $\dfrac{a}{b}$ ifadesinde payda asla $0$ olamaz. $\dfrac{3}{0}$ tanımsızdır; ancak $\dfrac{0}{3}=0$ geçerli bir rasyonel sayıdır.

2. Dört İşlem

Toplama ve çıkarma: Paydalar eşit değilse önce ortak paydaya getirilir, sonra paylar toplanır/çıkarılır.

$\dfrac{a}{b}\pm\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot d\pm b\cdot c}{b\cdot d}$

Çarpma: Pay ile pay, payda ile payda çarpılır:

$\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot c}{b\cdot d}$

Bölme: İkinci kesir ters çevrilip çarpılır:

$\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}=\dfrac{a\cdot d}{b\cdot c}\qquad(c\ne 0)$

Her işlemin sonunda sonucu sadeleştir; sadeleşmiş hâl standart cevaptır.

3. Sıralama

Kesirleri büyüklük olarak karşılaştırmanın iki yolu vardır:

Ortak payda: Paydaları eşitle. Pozitif kesirlerde payda eşitse büyük paylı büyüktür; pay eşitse küçük paydalı büyüktür.
İçler-dışlar (çapraz çarpım): Paydalar pozitifken $\dfrac{a}{b}$ ile $\dfrac{c}{d}$ için $a\cdot d$ ile $b\cdot c$ karşılaştırılır. $a\cdot d > b\cdot c$ ise $\dfrac{a}{b}>\dfrac{c}{d}$ olur.

Sıralamayı görselleştirmek için kesirleri sayı doğrusuna yerleştirmek de işe yarar; soldan sağa gidildikçe değer büyür.

Şekil 1 —

\dfrac{2}{3}

\dfrac{3}{4}

\dfrac{5}{6}

kesirleri

0

ile

1

arasındaki sayı doğrusunda. Ortak payda

12

'de

\dfrac{8}{12},\dfrac{9}{12},\dfrac{10}{12}

olduklarından soldan sağa

\dfrac{2}{3}<\dfrac{3}{4}<\dfrac{5}{6}

sıralanır.

4. Devirli Ondalık Sayıyı Kesre Çevirme

Bir devirli ondalık sayıyı kesre çevirmenin pratik kuralı şudur:

$\text{Kesir}=\dfrac{(\text{tüm sayı}) - (\text{devretmeyen kısım})}{\underbrace{9\ldots9}_{\text{devreden basamak}}\,\underbrace{0\ldots0}_{\text{devretmeyen basamak}}}$

Yani paydaya, devreden basamak sayısı kadar $9$ ve virgülden sonra devretmeyen basamak sayısı kadar $0$ yazılır. Özel durumlar:

$0,\overline{a}=\dfrac{a}{9}\qquad 0,\overline{ab}=\dfrac{ab}{99}$

5. Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}$ toplamını bulunuz.

Paydaların ortak katı $12$ 'dir; her kesri $12$ paydalı yaz.
Genişlet: $\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{12}$ ve $\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{12}$ .
Payları topla: $\dfrac{8}{12}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{11}{12}$ .
$11$ asaldır, $11$ ile $12$ 'nin ortak böleni yok; sadeleşmez.

Sonuç:

\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{11}{12}

Örnek

Soru

$\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{10}{9}$ çarpımını ve $\dfrac{2}{3}\div\dfrac{4}{9}$ bölümünü hesaplayınız.

Çarpma — pay×pay, payda×payda: $\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{10}{9}=\dfrac{30}{45}$ .
Sadeleştir ( $\gcd=15$ ): $\dfrac{30}{45}=\dfrac{2}{3}$ .
Bölme — ikinciyi ters çevirip çarp: $\dfrac{2}{3}\div\dfrac{4}{9}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{9}{4}=\dfrac{18}{12}$ .
Sadeleştir ( $\gcd=6$ ): $\dfrac{18}{12}=\dfrac{3}{2}$ .

Sonuç: Çarpım

\dfrac{2}{3}

, bölüm

\dfrac{3}{2}

Örnek

Soru

$\dfrac{2}{3},\ \dfrac{3}{4},\ \dfrac{5}{6}$ sayılarını küçükten büyüğe sıralayınız.

Üç kesrin paydalarını ( $3,4,6$ ) tek bir ortak paydada birleştir; paydalar eşitlenince yalnızca paylara bakarsın.

Paydaların en küçük ortak katı $12$ 'dir.
Hepsini $12$ paydaya getir: $\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{12}$ , $\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}$ , $\dfrac{5}{6}=\dfrac{10}{12}$ .
Paydalar eşit olduğundan paylara göre sırala: $8 < 9 < 10$ .
Aynı sırayı orijinal kesirlere taşı.

Sonuç:

\dfrac{2}{3} < \dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{6}

Örnek

Soru

$0,\overline{4}$ devirli ondalık sayısını kesir olarak yazınız.

Devreden tek basamak ( $4$ ) var; payda tek bir $9$ olur.
$0,\overline{4}=\dfrac{4}{9}$ .
Doğrula: $4\div 9=0,444\ldots=0,\overline{4}$ .

Sonuç:

0,\overline{4}=\dfrac{4}{9}

Örnek

Soru

$0,\overline{27}$ devirli ondalık sayısını en sade kesir olarak yazınız.

Devreden iki basamak ( $27$ ) var; payda $99$ olur.
$0,\overline{27}=\dfrac{27}{99}$ .
Sadeleştir ( $\gcd=9$ ): $\dfrac{27}{99}=\dfrac{3}{11}$ .

Sonuç:

0,\overline{27}=\dfrac{3}{11}

Örnek

Soru

$0,1\overline{6}$ (yani $0,1666\ldots$ ) sayısını en sade kesir olarak yazınız.

Devretmeyen kısım virgülden sonra $1$ basamak ( $1$ ), devreden kısım $1$ basamak ( $6$ ). Paydaya $1$ tane $9$ ve $1$ tane $0$ yazılır.

Pay: tüm sayının ondalık kısmından devretmeyen kısmı çıkar: $16-1=15$ .
Payda: $1$ devreden basamak için bir $9$ , $1$ devretmeyen basamak için bir $0$ , yani $90$ .
Kesri yaz: $0,1\overline{6}=\dfrac{15}{90}$ .
Sadeleştir ( $\gcd=15$ ): $\dfrac{15}{90}=\dfrac{1}{6}$ .

Sonuç:

0,1\overline{6}=\dfrac{1}{6}

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$\dfrac{5}{6}-\dfrac{3}{8}$ işleminin sonucunu en sade biçimde bulunuz.

Paydaların en küçük ortak katı $24$ 'tür.
Genişlet: $\dfrac{5}{6}=\dfrac{20}{24}$ ve $\dfrac{3}{8}=\dfrac{9}{24}$ .
Payları çıkar: $\dfrac{20}{24}-\dfrac{9}{24}=\dfrac{11}{24}$ .
$11$ asaldır, $24$ ile ortak böleni yoktur; sadeleşmez.

Sonuç:

\dfrac{5}{6}-\dfrac{3}{8}=\dfrac{11}{24}

Örnek

Soru

$2\dfrac{1}{3}+1\dfrac{1}{2}$ toplamını tam sayılı kesir olarak yazınız.

Tam sayılı kesirleri bileşik kesre çevir: $2\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{3}$ ve $1\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$ .
Ortak payda $6$ 'dır: $\dfrac{7}{3}=\dfrac{14}{6}$ ve $\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{6}$ .
Payları topla: $\dfrac{14}{6}+\dfrac{9}{6}=\dfrac{23}{6}$ .
Bileşik kesri tam sayılıya çevir: $23=6\cdot 3+5$ , yani $\dfrac{23}{6}=3\dfrac{5}{6}$ .

Sonuç:

2\dfrac{1}{3}+1\dfrac{1}{2}=\dfrac{23}{6}=3\dfrac{5}{6}

Örnek

Soru

$\dfrac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{9}{8}}$ karmaşık kesrinin değerini bulunuz.

Karmaşık kesir, pay kesrinin payda kesrine bölünmesidir: $\dfrac{3}{4}\div\dfrac{9}{8}$ .

İşlemi bölme olarak yaz: $\dfrac{3}{4}\div\dfrac{9}{8}$ .
İkinci kesri ters çevirip çarp: $\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{8}{9}=\dfrac{24}{36}$ .
Sadeleştir ( $\gcd=12$ ): $\dfrac{24}{36}=\dfrac{2}{3}$ .

Sonuç:

\dfrac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{9}{8}}=\dfrac{2}{3}

Örnek

Soru

$\dfrac{a}{7}$ sayısı $\dfrac{2}{3}$ ile $\dfrac{5}{6}$ arasında bir basit kesir ise, $a$ tam sayısı kaçtır?

Koşulu yaz: $\dfrac{2}{3} < \dfrac{a}{7} < \dfrac{5}{6}$ .
Tüm ifadeyi $42$ paydasında düşünmek için her sınırı $\dfrac{a}{7}$ ile karşılaştır. $\dfrac{2}{3}=\dfrac{14}{21}$ ve $\dfrac{a}{7}=\dfrac{3a}{21}$ olduğundan $14 < 3a$ , yani $a > 4{,}67$ .
Üst sınır: $\dfrac{5}{6}=\dfrac{35}{42}$ ve $\dfrac{a}{7}=\dfrac{6a}{42}$ olduğundan $6a < 35$ , yani $a < 5{,}83$ .
$4{,}67 < a < 5{,}83$ aralığındaki tam sayı yalnızca $a=5$ 'tir; $\dfrac{5}{7}$ basit kesirdir.

Sonuç:

a=5

Örnek

Soru

$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{20}$ toplamını bulunuz.

Her terim $\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$ biçiminde yazılabilir.

Paydaları çarpanlara ayır: $2=1\cdot 2,\ 6=2\cdot 3,\ 12=3\cdot 4,\ 20=4\cdot 5$ .
Her terimi farka aç: $\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}$ .
Ortadaki terimler birbirini götürür (teleskopik): geriye $1-\dfrac{1}{5}$ kalır.
Sonucu hesapla: $1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}$ .

Sonuç:

\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{20}=\dfrac{4}{5}

Örnek

Soru

$0,\overline{4}+0,\overline{27}$ toplamını en sade kesir olarak yazınız.

Her devirli ondalığı kesre çevir: $0,\overline{4}=\dfrac{4}{9}$ ve $0,\overline{27}=\dfrac{3}{11}$ .
Ortak payda $99$ 'dur: $\dfrac{4}{9}=\dfrac{44}{99}$ ve $\dfrac{3}{11}=\dfrac{27}{99}$ .
Payları topla: $\dfrac{44}{99}+\dfrac{27}{99}=\dfrac{71}{99}$ .
$71$ asaldır, $99$ ile ortak böleni yok; sadeleşmez.

Sonuç:

0,\overline{4}+0,\overline{27}=\dfrac{71}{99}

Örnek

Soru

Bir işçi bir işin önce $\dfrac{1}{3}$ 'ünü, ardından kalanın $\dfrac{2}{5}$ 'ini bitiriyor. İşin sona kalan kesri nedir?

İlk gün biten: $\dfrac{1}{3}$ . Kalan: $1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$ .
İkinci gün, kalanın $\dfrac{2}{5}$ 'i bitiyor: $\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{15}$ .
Toplam biten kesir: $\dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{15}=\dfrac{5}{15}+\dfrac{4}{15}=\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}$ .
Sona kalan kesir: $1-\dfrac{3}{5}=\dfrac{2}{5}$ .

Sonuç: İşin

\dfrac{2}{5}

'i bitmemiştir.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek

Soru

Bir yemekhanede öğle yemeğinin $\dfrac{2}{5}$ 'i tüketildi; akşam kalan porsiyonun $\dfrac{3}{4}$ 'ü yenildi.

Buna göre gün sonunda yemeğin tamamına göre bitmemiş kısmı kaçtır?

A) $\dfrac{1}{10}$ · B) $\dfrac{3}{20}$ · C) $\dfrac{1}{5}$ · D) $\dfrac{3}{10}$ · E) $\dfrac{2}{5}$

Öğle sonrası kalan: $1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}$ .
Akşam yenilen: $\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{3}{5}=\dfrac{9}{20}$ .
Toplam biten: $\dfrac{2}{5}+\dfrac{9}{20}=\dfrac{8}{20}+\dfrac{9}{20}=\dfrac{17}{20}$ .
Bitmeyen: $1-\dfrac{17}{20}=\dfrac{3}{20}$ .

Sonuç: B)

\dfrac{3}{20}

Örnek

Soru

Bir terazi ekranında $0,\overline{6}$ kg ile $0,\overline{3}$ kg iki ölçüm toplanarak yazdırılacak.

Buna göre toplam kaç kg'dır?

A) $\dfrac{2}{3}$ · B) $\dfrac{5}{6}$ · C) $\dfrac{11}{12}$ · D) $1$ · E) $\dfrac{4}{5}$

$0,\overline{6}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$ ve $0,\overline{3}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$ .
Toplam: $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}=1$ .

Sonuç: D)

1

Örnek

Soru

$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}$ işleminin sonucu, bir tarifte malzeme oranı olarak kullanılıyor.

Buna göre sonuç kaçtır?

A) $\dfrac{5}{6}$ · B) $\dfrac{7}{12}$ · C) $\dfrac{2}{3}$ · D) $\dfrac{11}{12}$ · E) $1$

Ortak payda $6$ : $\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{6}{6}$ .
Sonuç $1$ 'dir.

Sonuç: E)

1

Örnek

Soru

Üç işçi aynı işin sırasıyla $\dfrac{2}{3}$ 'ünü, $\dfrac{3}{4}$ 'ünü ve $\dfrac{4}{5}$ 'ini tek başına bir günde bitirebiliyor. Yönetici, bir günde işin en büyük kısmını bitiren işçiyi seçmek istiyor.

Buna göre seçilen işçinin bitirdiği kesir hangisidir?

A) $\dfrac{2}{3}$ · B) $\dfrac{3}{4}$ · C) $\dfrac{4}{5}$ · D) Üçü de eşit · E) Karşılaştırılamaz

$\dfrac{2}{3}$ ile $\dfrac{3}{4}$ : çapraz çarpım $2\cdot 4=8$ ve $3\cdot 3=9$ ; $8<9$ olduğundan $\dfrac{2}{3}<\dfrac{3}{4}$ .
$\dfrac{3}{4}$ ile $\dfrac{4}{5}$ : $3\cdot 5=15$ ve $4\cdot 4=16$ ; $15<16$ olduğundan $\dfrac{3}{4}<\dfrac{4}{5}$ .
En büyük kesir $\dfrac{4}{5}$ 'tir.

Sonuç: C)

\dfrac{4}{5}

Örnek

Soru

Bir hesap makinesi ekranında bir ölçüm $0,\overline{36}$ olarak görünüyor. Bu değer rapora en sade kesir biçiminde yazılacaktır.

Buna göre yazılacak kesir hangisidir?

A) $\dfrac{36}{99}$ · B) $\dfrac{4}{11}$ · C) $\dfrac{2}{5}$ · D) $\dfrac{1}{3}$ · E) $\dfrac{9}{25}$

Devreden iki basamak ( $36$ ) var; payda $99$ olur: $0,\overline{36}=\dfrac{36}{99}$ .
Sadeleştir ( $\gcd=9$ ): $\dfrac{36}{99}=\dfrac{4}{11}$ .
Çeldirici A sadeleştirilmemiş hâldir; cevap en sade biçimdir.

Sonuç: B)

\dfrac{4}{11}

Örnek

Soru

Bir depodaki suyun başlangıçta $\dfrac{1}{3}$ 'ü kullanıldı; ardından kalan suyun $\dfrac{2}{3}$ 'ü daha kullanıldı.

Buna göre depoda başlangıçtaki suyun kaçta kaçı kalmıştır?

A) $\dfrac{1}{9}$ · B) $\dfrac{2}{9}$ · C) $\dfrac{1}{3}$ · D) $\dfrac{4}{9}$ · E) $\dfrac{1}{6}$

İlk kullanımdan sonra kalan: $1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$ .
İkinci kullanımda bu kalanın $\dfrac{2}{3}$ 'ü gider; geriye kalanın $\dfrac{1}{3}$ 'ü kalır: $\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{9}$ .
Çeldirici D, " $\dfrac{2}{3}$ 'ü kullanıldı"yu " $\dfrac{2}{3}$ 'ü kaldı" sanmaktan gelir; doğru kalan $\dfrac{2}{9}$ 'dur.

Sonuç: B)

\dfrac{2}{9}

Sık Yapılan Hatalar

Paydaları eşitlemeden toplamak: $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}$ , $\dfrac{2+1}{3+4}=\dfrac{3}{7}$ değildir. Önce ortak payda kurulur.
Bölmede ters çevirmeyi unutmak: $\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}$ işleminde ikinci kesir ters çevrilir; payları ve paydaları doğrudan bölmek yanlıştır.
Sıralamada yalnızca paya (ya da yalnızca paydaya) bakmak: $\dfrac{3}{4}$ ile $\dfrac{5}{6}$ karşılaştırılırken büyük paylı her zaman büyük değildir; paydalar farklıysa eşitlemek ya da çapraz çarpım yapmak gerekir.
Devirli ondalıkta basamak sayma hatası: Paydadaki $9$ 'lar devreden basamak kadar, $0$ 'lar devretmeyen basamak kadardır; bunları karıştırmak yanlış kesir verir.

Sınav İpucu

İki kesri karşılaştırırken ortak payda kurmak yerine içler-dışlar (çapraz çarpım) çoğu zaman daha hızlıdır. Paydalar pozitifken $\dfrac{a}{b}$ ile $\dfrac{c}{d}$ için $a\cdot d$ ile $b\cdot c$ çarpımlarını kıyasla: hangisi büyükse o kesir büyüktür. Örneğin $\dfrac{3}{4}$ ile $\dfrac{5}{6}$ için $3\cdot 6=18$ ve $4\cdot 5=20$ ; $18 < 20$ olduğundan $\dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{6}$ . Tek bir çarpma satırıyla sonuca varırsın.

1. Rasyonel Sayı ve Kesir Çeşitleri

2. Dört İşlem

3. Sıralama

4. Devirli Ondalık Sayıyı Kesre Çevirme

5. Çözümlü Örnekler

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Sayılar ve Bölünebilme — diğer konular