çözümebak

TYT Matematik · Sayılar ve Bölünebilme · Soru Tipleri

EBOB ve EKOK — Soru Tipleri ve Tuzaklar

7 soru tipiTYT'de ~2.5 soru/yıl · Sınavda orta ağırlıkKonu anlatımı →

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

  1. Asal çarpan yöntemiyle EBOB–EKOK hesabı

    KolaySık çıkar

    İki (bazen üç) sayının EBOB ve/veya EKOK'u doğrudan istenir. EBOB = ortak asalların EN KÜÇÜK üsleri, EKOK = tüm asalların EN BÜYÜK üsleri. Üsleri ters almak konunun bir numaralı hatası.

    Nasıl çözülür

    1. Her sayıyı asal çarpanlarına ayır.
    2. EBOB: yalnız ORTAK asalları al, her birinin en küçük üssüyle çarp.
    3. EKOK: görünen TÜM asalları al, her birinin en büyük üssüyle çarp.
    4. İki sayıda hızlı sağlama: EBOB⋅EKOK = a⋅b tutmalı.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • EBOB'da en büyük, EKOK'ta en küçük üssü almak (ters ezber)ebob ile ekok yer değiştirmiş değerler
    • EKOK'ta yalnız ortak asalları almakortak olmayan asal atlanmış, küçük ekok
    • Üç sayıda ikisinde ortak olan asalı EBOB'a katmaküçünde birden bulunmayan çarpanla şişmiş ebob

    Örnek

    EBOB(36, 48) + EKOK(36, 48) toplamı kaçtır?

    36 = 2²⋅3², 48 = 2⁴⋅3 ⇒ EBOB = 2²⋅3 = 12, EKOK = 2⁴⋅3² = 144 ⇒ 12 + 144 = 156 (sağlama: 12⋅144 = 1728 = 36⋅48)

    Sık birleştiği konular: Asal Çarpanlara Ayırma ve Bölen Sayısı

  2. EBOB⋅EKOK = a⋅b ilişkisi (eksik sayıyı bulma)

    KolaySık çıkar

    İki sayıdan biri ile EBOB ve EKOK verilir, diğer sayı istenir. Tek satırlık formül sorusu; ama kural YALNIZ iki sayı için geçerlidir, üç sayıya uygulatan tuzak şıklar olur.

    Nasıl çözülür

    1. İlişkiyi yaz: EBOB(a,b)⋅EKOK(a,b) = a⋅b.
    2. Bilinenleri yerleştir, bilinmeyeni tek adımda çöz.
    3. Bulduğun sayıyla EBOB'u ve EKOK'u kontrol et (şık sağlaması).
    4. Üç ve daha çok sayıda bu kuralı KULLANMA.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • EBOB + EKOK = a + b sanmaktoplam üzerinden kurulan ilgisiz denklem
    • Kuralı üç sayıya uygulamakebob⋅ekok ≠ a⋅b⋅c olduğundan tutarsız değer
    • Bölme yönünü şaşırmak (a⋅b'yi EKOK'a değil EBOB'a bölmek gibi)doğru cevabın ekok⁄ebob katı ya da tersi

    Örnek

    İki sayının EBOB'u 4, EKOK'u 60'tır. Sayılardan biri 12 olduğuna göre diğeri kaçtır?

    4⋅60 = 12⋅b ⇒ b = 240⁄12 = 20 (kontrol: EBOB(12,20) = 4, EKOK(12,20) = 60)

  3. EBOB'dan sayı kurma (a = EBOB⋅x kalıbı)

    OrtaSık çıkar

    EBOB'u verilen iki sayı a = d⋅x, b = d⋅y (x, y aralarında asal) yazılır; toplamları/farkları verilip sayılar veya kaç farklı çift olduğu istenir. Aralarında asallık koşulu unutulunca fazla çift sayılır.

    Nasıl çözülür

    1. EBOB = d ise sayıları d⋅x ve d⋅y yaz; x ile y ARALARINDA ASAL olmalı.
    2. Verilen koşulu (toplam, fark, çarpım) x ve y'ye indir: d(x+y) = toplam gibi.
    3. x+y (veya x⋅y) değerini sağlayan aralarında asal (x, y) çiftlerini listele.
    4. Soru 'kaç çift' istiyorsa (x,y) ile (y,x)'i tek çift say; 'en büyük sayı' istiyorsa uygun çifti seç.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • x ile y'nin aralarında asal olması gerektiğini unutmakebob'u d'den büyük çıkan geçersiz çiftleri de saymak — fazla çift
    • (x,y) ve (y,x)'i iki ayrı çift saymakdoğru cevabın iki katı
    • d'yi toplamdan düşmeden x+y'yi toplama eşitlemekd kat büyük x+y, ilgisiz çiftler

    Örnek

    EBOB'ları 6 olan iki pozitif tam sayının toplamı 60'tır. Bu koşulu sağlayan kaç farklı sayı çifti vardır?

    6x + 6y = 60 ⇒ x + y = 10, (x,y) aralarında asal: (1,9) ve (3,7) ⇒ 2 çift (sayılar: 6–54 ve 18–42)

  4. Gerçek hayat EBOB (en büyük eş parça / kare fayans)

    OrtaSık çıkar

    Farklı uzunluklar eş ve EN BÜYÜK parçalara bölünür, dikdörtgen zemin en büyük kare fayansla kaplanır, meyveler en çok kişiye eşit dağıtılır. 'En büyük / en az parça sayısı' dili EBOB'un imzasıdır.

    Nasıl çözülür

    1. Parça boyu her uzunluğu TAM bölmeli ⇒ parça boyu ortak bölendir; en büyüğü EBOB.
    2. Parça sayısı = her uzunluk ⁄ EBOB; toplam parça için hepsini topla.
    3. Fayans sorusunda kare kenarı = EBOB(en, boy); fayans sayısı = (en⁄EBOB)⋅(boy⁄EBOB).
    4. Soru 'en az kaç parça/fayans' dese bile bölen EN BÜYÜK seçilir — en az parça, en büyük parçayla olur.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • 'En az parça' deyince EKOK'a gitmekuzunlukları aşan anlamsız parça boyu
    • Fayans sayısında kenar oranlarını çarpmak yerine toplamak(en⁄d) + (boy⁄d) — parça sayısı diye toplam vermek
    • EBOB'u bulup soruyu bitirmek (asıl istenen parça sayısıyken)parça boyunu cevap diye işaretlemek

    Örnek

    120 cm ve 180 cm boyutlarındaki dikdörtgen zemin, hiç boşluk kalmadan en büyük kare fayanslarla kaplanacaktır. Kaç fayans gerekir?

    Kenar = EBOB(120,180) = 60 cm ⇒ fayans sayısı = (120⁄60)⋅(180⁄60) = 2⋅3 = 6

    Sık birleştiği konular: Sayı ve Kesir Problemleri

  5. Gerçek hayat EKOK (tekrar birlikte / zil–otobüs)

    OrtaSık çıkar

    Farklı periyotlarla tekrarlayan olayların (zil, otobüs, ışık, tur) yeniden AYNI ANDA gerçekleşmesi istenir. 'İlk kez tekrar birlikte' = periyotların EKOK'u; birim çevirme (saniye→dakika→saat) ek tuzaktır.

    Nasıl çözülür

    1. Periyotların EKOK'unu al; bu, ilk buluşma süresidir.
    2. Belirli bir aralıkta 'kaç kez birlikte' istenirse: aralık ⁄ EKOK (başlangıç anını sayıp saymamaya dikkat).
    3. Sonucu istenen birime çevir (120 dk = 2 saat).
    4. Saat sorularında buluşma anı = başlangıç + EKOK süre.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • 'Birlikte' deyince EBOB almakperiyotlardan küçük, anlamsız süre
    • Birim çevirmeyi atlamakdakika istenen soruda saniye değeri (60 kat hata)
    • 'Kaç kez birlikte' sayarken başlangıç anını yanlış saymak1 eksik ya da 1 fazla buluşma sayısı

    Örnek

    İki otobüs aynı duraktan biri 40 dakikada bir, diğeri 60 dakikada bir kalkıyor. Birlikte kalktıktan sonra ilk kez kaç saat sonra yine birlikte kalkarlar?

    EKOK(40,60) = 120 dakika = 2 saat

  6. Kalanlı EKOK (her bölmede k kalanını veren sayı)

    OrtaSık çıkar

    Birkaç sayıya bölündüğünde hep AYNI k kalanını veren sayı: EKOK⋅t + k. 'En küçük üç basamaklı', 'en büyük iki basamaklı' gibi aralık koşuluyla gelir. Kalanlar bölenlerden aynı miktar eksikse EKOK⋅t − c biçimi kullanılır.

    Nasıl çözülür

    1. Sayıdan k çıkarınca tüm bölenlere tam bölünür ⇒ sayı − k = EKOK⋅t.
    2. Sayı = EKOK⋅t + k yaz (t = 1, 2, …; t = 0 çoğu soruda kalan koşulunu bozmaz ama aralığa girmez).
    3. Aralık koşulunu (üç basamaklı vb.) eşitsizlikle kur, uygun t'yi seç.
    4. Kalanlar 'bölenden c eksik' ise sayı = EKOK⋅t − c kullan.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • k'yi eklemeyi unutmak (EKOK⋅t'yi cevap vermek)doğru cevaptan k eksik değer
    • EKOK yerine bölenlerin çarpımını almak6, 9, 12 için 648 tabanlı, gereksiz büyük sayılar (doğrusu 36)
    • En küçük üç basamaklı isterken t'yi 1 seçmekaralığa girmeyen küçük değer (36 + 4 = 40 gibi)

    Örnek

    6, 9 ve 12 ile bölündüğünde her seferinde 4 kalanını veren en küçük üç basamaklı doğal sayı kaçtır?

    EKOK(6,9,12) = 36 ⇒ sayı = 36t + 4; 36⋅3 + 4 = 112 ≥ 100 ⇒ 112 (kontrol: 112 = 6⋅18+4 = 9⋅12+4 = 12⋅9+4)

    Sık birleştiği konular: Bölme ve Bölünebilme Kuralları

  7. Oranı verilen sayılarda EBOB–EKOK

    Zor

    İki sayının sade oranı (a⁄b = 3⁄4 gibi) ile EBOB'u veya EKOK'u verilir; sayılar, toplamları ya da diğer büyüklük istenir. Sade oranda sayılar 3k–4k yazılır; k = EBOB, EKOK = 3⋅4⋅k. Konunun sınav ayarındaki birleştirici sorusu.

    Nasıl çözülür

    1. Oran SADE ise sayıları x⋅k ve y⋅k yaz; x ile y aralarında asal olduğundan k = EBOB'dur.
    2. EKOK(xk, yk) = x⋅y⋅k eşitliğini kur.
    3. Verilen EBOB veya EKOK'tan k'yi bul, sayılara geç.
    4. Oran sade verilmemişse önce sadeleştir; yoksa k EBOB olmaz.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • EKOK'u x⋅y⋅k yerine x⋅y⋅k² almakk kat büyük ekok'tan küçük k, yanlış sayılar
    • Sade olmayan oranla k'yi EBOB saymakgerçek ebob'un katı alınmış, tutarsız sonuç
    • k'yi bulup soruyu bitirmek (istenen toplam/sayılarken)ebob değerini cevap diye işaretlemek

    Örnek

    Oranları 4⁄5 olan iki pozitif tam sayının EBOB'u 8 olduğuna göre EKOK'ları kaçtır?

    Sayılar 4⋅8 = 32 ve 5⋅8 = 40 ⇒ EKOK = 4⋅5⋅8 = 160 (sağlama: 8⋅160 = 1280 = 32⋅40)

    Sık birleştiği konular: Rasyonel Sayılar, Sayı ve Kesir Problemleri

7 soru tipini gördün. Şimdi EBOB ve EKOK sorularını çöz →