TYT Matematik · Fonksiyonlar

Fonksiyon Kavramı ve Çeşitleri

~9 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soruTYT'de ~1 soru/yıl · Sınavda düşük ağırlık

Fonksiyon, iki küme arasında kurallı bir eşlemedir: bir kümedeki her elemanı, diğer kümede bir tek elemana bağlar. TYT'de fonksiyon sorularının tamamı bu tek cümlelik tanımdan türer. Bu konuda fonksiyonun tanımını, üç temel kümeyi (tanım, değer, görüntü) ve fonksiyon çeşitlerini netleştirip $f (a)$ tipi soruları hatasız çözeceğiz.

1. Fonksiyon Tanımı

$A$ ve $B$ iki boş olmayan küme olsun. $A$ 'nın her elemanını $B$ 'nin bir ve yalnız bir elemanına eşleyen bağıntıya, $A$ 'dan $B$ 'ye bir fonksiyon denir ve

$f : A \to B$

biçiminde yazılır. $x \in A$ elemanının eşlendiği $B$ elemanına $x$ 'in görüntüsü denir ve $f (x)$ ile gösterilir.

Bir bağıntının fonksiyon olması için iki koşul birlikte sağlanmalıdır:

Koşul	Anlamı
Her eleman eşlenmeli	$A$ 'da açıkta (görüntüsüz) eleman kalamaz
Tek görüntü olmalı	Bir elemanın iki farklı görüntüsü olamaz

Kısa kural: Tanım kümesindeki her noktadan tam olarak bir ok çıkmalıdır. Hiç ok çıkmayan ya da iki ok çıkan eleman varsa o bağıntı fonksiyon değildir.

2. Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi

$f : A \to B$ fonksiyonunda üç küme ayırt edilir:

Küme	Tanımı	Gösterim
Tanım kümesi	$f$ 'in tanımlı olduğu kümedir ( $A$ )	tüm $x$ değerleri
Değer kümesi	Görüntülerin seçildiği kümedir ( $B$ )	hedef küme
Görüntü kümesi	Gerçekten oluşan görüntülerin kümesidir	$B$ 'nin alt kümesi

Görüntü kümesi her zaman değer kümesinin bir alt kümesidir; eşit olmak zorunda değildir. Bu ayrım, ileride "örten fonksiyon" tanımının temelini oluşturur.

3. Fonksiyon Çeşitleri

Çeşit	Tanımı	Örnek
Bire bir	Farklı elemanların görüntüleri de farklıdır	$f (x) = 2 x$
Örten	Görüntü kümesi $=$ değer kümesi	her $y \in B$ kullanılır
İçine	En az bir değer elemanı görüntü olarak çıkmaz	örten olmayan
Sabit	Her elemanı tek bir değere eşler, $f (x) = c$	$f (x) = 5$
Birim	Her elemanı kendisine eşler, $f (x) = x$	$f (3) = 3$
Doğrusal	$f (x) = a x + b$ biçimindedir, $a \neq = 0$	$f (x) = 3 x - 1$

Bir fonksiyon aynı anda birden çok özellik taşıyabilir; örneğin birim fonksiyon $f (x) = x$ hem bire bir hem örtendir.

Örnek

Soru

$f (x) = 2 x + 1$ fonksiyonu için $f (3)$ ve $f (- 2)$ değerlerini bulunuz.

$x$ yerine istenen değeri doğrudan yazarız.

$f (3) = 2 \cdot 3 + 1 = 6 + 1 = 7$ .
$f (- 2) = 2 \cdot (- 2) + 1 = - 4 + 1 = - 3$ .

Sonuç:

f (3) = 7

f (- 2) = - 3

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2} - 1$ fonksiyonu için $f (0)$ ve $f (3)$ değerlerini bulunuz.

$f (0) = 0^{2} - 1 = 0 - 1 = - 1$ .
$f (3) = 3^{2} - 1 = 9 - 1 = 8$ .

Sonuç:

f (0) = - 1

f (3) = 8

Örnek

Soru

$f (x) = 3 x - 5$ fonksiyonu için $f (a) = 4$ ise $a$ değeri kaçtır?

$f (a)$ ifadesini elde etmek için $x$ yerine $a$ yaz, sonra çıkan denklemi $a$ için çöz.

$x$ yerine $a$ yaz: $f (a) = 3 a - 5$ .
Verilen eşitliği kur: $3 a - 5 = 4$ .
Çöz: $3 a = 9 \Rightarrow a = 3$ .

Sonuç:

a = 3

Örnek

Soru

Doğrusal bir $f (x) = a x + b$ fonksiyonu için $f (1) = 5$ ve $f (2) = 8$ veriliyor. $a$ ve $b$ değerlerini bulunuz.

İki bilinmeyen ( $a$ ve $b$ ) için iki denklem kur. Denklemleri taraf tarafa çıkarırsan $b$ yok olur.

$f (1) = 5 \Rightarrow a + b = 5$ .
$f (2) = 8 \Rightarrow 2 a + b = 8$ .
İkinci denklemden birinciyi çıkar: $(2 a + b) - (a + b) = 8 - 5 \Rightarrow a = 3$ .
$a = 3$ değerini birinciye yaz: $3 + b = 5 \Rightarrow b = 2$ .

Sonuç:

a = 3

b = 2

, yani

f (x) = 3 x + 2

Örnek

Soru

$A = {1, 2, 3}$ ve $B = {a, b, c}$ kümeleri veriliyor. Aşağıdaki bağıntılardan hangisi $A$ 'dan $B$ 'ye bir fonksiyondur?

$R_{1} = {(1, a), (1, b), (2, c), (3, a)}$

$R_{2} = {(1, a), (2, a), (3, c)}$

Her tanım elemanından tam olarak bir ok çıkmalı. Aynı birinci bileşenin iki kez tekrar etmesi, o elemanın iki görüntüsü olduğu anlamına gelir.

$R_{1}$ bağıntısında $1$ elemanı hem $a$ hem $b$ ile eşlenmiş. Bir elemanın iki görüntüsü olduğundan $R_{1}$ fonksiyon değildir.
$R_{2}$ bağıntısında $1 \to a$ , $2 \to a$ , $3 \to c$ . Her tanım elemanının tek görüntüsü var (farklı elemanların aynı görüntüye gitmesi sorun değildir). Bu yüzden $R_{2}$ bir fonksiyondur.

Sonuç: Yalnızca

R_{2}

bir fonksiyondur.

Örnek

Soru

$f (x) = \frac{2 x - 1}{x - 3}$ fonksiyonu hangi $x$ değerinde tanımsızdır?

Rasyonel bir ifadede payda asla $0$ olamaz. Paydayı sıfır yapan değeri bul; o değer tanım kümesinden çıkarılır.

Payda sıfır olamaz: $x - 3 \neq = 0$ .
Paydayı sıfır yapan değeri bul: $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ .
Demek ki fonksiyon $x = 3$ 'te tanımsızdır; tanım kümesi $R ∖ {3}$ olur.

Sonuç:

f

fonksiyonu

x = 3

değerinde tanımsızdır.

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2} - 3 x + 2$ fonksiyonu için $f (4) - f (1)$ değeri kaçtır?

$f (4) = 4^{2} - 3 \cdot 4 + 2 = 16 - 12 + 2 = 6$ .
$f (1) = 1^{2} - 3 \cdot 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$ .
Fark: $f (4) - f (1) = 6 - 0 = 6$ .

Sonuç:

6

Örnek

Soru

$f (2 x - 1) = 6 x + 5$ olduğuna göre $f (3)$ değeri kaçtır?

İçerideki ifadeyi $3$ yapan $x$ 'i bul: $2 x - 1 = 3 \Rightarrow 2 x = 4 \Rightarrow x = 2$ .
Bu $x$ değerini sağ tarafta yerine koy: $f (3) = 6 \cdot 2 + 5 = 12 + 5 = 17$ .

Sonuç:

f (3) = 17

Örnek

Soru

$f (x) = \frac{3 x + 1}{x - 2}$ fonksiyonu için $f (5)$ değeri kaçtır?

$x$ yerine $5$ yaz: $f (5) = \frac{3 \cdot 5 + 1}{5 - 2}$ .
Pay ve paydayı hesapla: $\frac{15 + 1}{3} = \frac{16}{3}$ .

Sonuç:

f (5) = \frac{16}{3}

Örnek

Soru

Gerçek sayılarda tanımlı $f (x) = x - 4$ fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?

Karekök içindeki ifade negatif olamaz: $x - 4 \geq 0$ .
Eşitsizliği çöz: $x \geq 4$ .
Tanım kümesi $[4, \infty)$ aralığıdır.

Sonuç: Tanım kümesi

x \geq 4

, yani

[4, \infty)

Örnek

Soru

$f (x) = a x + 3$ ve $f (2) = 11$ olduğuna göre $f (5)$ değeri kaçtır?

$f (2) = 11 \Rightarrow 2 a + 3 = 11$ .
$a$ 'yı bul: $2 a = 8 \Rightarrow a = 4$ , yani $f (x) = 4 x + 3$ .
$f (5) = 4 \cdot 5 + 3 = 20 + 3 = 23$ .

Sonuç:

f (5) = 23

Örnek

Soru

$f (x) = 2 x - 7$ doğrusal fonksiyonu için $f (x) = f (- x)$ eşitliğini sağlayan $x$ değeri kaçtır?

$f (x) = 2 x - 7$ ve $f (- x) = 2 (- x) - 7 = - 2 x - 7$ .
Eşitliği kur: $2 x - 7 = - 2 x - 7$ .
Çöz: $2 x + 2 x = - 7 + 7 \Rightarrow 4 x = 0 \Rightarrow x = 0$ .

Sonuç:

x = 0

Örnek

Soru

$A = {- 1, 0, 1, 2}$ kümesinden gerçek sayılara tanımlı $f (x) = x^{2} + 1$ fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.

Her elemanın görüntüsünü hesapla: $f (- 1) = (- 1)^{2} + 1 = 2$ .
$f (0) = 0^{2} + 1 = 1$ ve $f (1) = 1^{2} + 1 = 2$ .
$f (2) = 2^{2} + 1 = 5$ .
Tekrar edenleri bir kez yazarak görüntü kümesini oluştur: ${1, 2, 5}$ .

Sonuç: Görüntü kümesi

{1, 2, 5}

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

Bir kargo şirketi, bir paketin gönderim ücretini

f (x) = 3 x + 20

kuralıyla hesaplıyor; burada

x

paketin kilogram cinsinden ağırlığı,

f (x)

ise lira cinsinden ücrettir. Buna göre

4

kg'lık bir paketin ücreti ile

1

kg'lık bir paketin ücreti arasındaki fark kaç liradır?

$4$ kg için ücret: $f (4) = 3 \cdot 4 + 20 = 32$ lira.
$1$ kg için ücret: $f (1) = 3 \cdot 1 + 20 = 23$ lira.
Fark: $f (4) - f (1) = 32 - 23 = 9$ lira. (Sabit terim $20$ farkta sadeleşir; yalnızca $3 \cdot (4 - 1) = 9$ kalır.)

Sonuç:

9

Soru 2Orta

Bir taksi, açılış ücreti ile birlikte gidilen her kilometre için sabit bir tutar ekleyerek ücretlendiriyor ve toplam ücret doğrusal bir

f (x) = a x + b

fonksiyonuyla veriliyor.

2

km sonunda ücret

34

lira,

5

km sonunda ücret

58

lira olduğuna göre, açılış ücreti (yani

f (0)

) kaç liradır?

Verilenler: $2 a + b = 34$ ve $5 a + b = 58$ .
İkinci denklemden birinciyi çıkar: $3 a = 24 \Rightarrow a = 8$ (km başına ücret).
$2 \cdot 8 + b = 34 \Rightarrow b = 18$ . Açılış ücreti $f (0) = b = 18$ liradır.

Sonuç:

18

Soru 3Orta

Bir su deposu,

g (t) = \frac{120}{t - 1}

kuralıyla modellenen bir basınç değerine sahiptir; burada

t

saat cinsinden zamandır. Bu modelin geçerli olabilmesi için paydanın sıfır olmaması gerekir. Buna göre modelin **tanımsız** olduğu

t

değeri ile

t = 4

anındaki basınç değerinin toplamı kaçtır?

Payda sıfır olamaz: $t - 1 = 0 \Rightarrow t = 1$ . Model $t = 1$ 'de tanımsızdır.
$t = 4$ için basınç: $g (4) = \frac{120}{4 - 1} = \frac{120}{3} = 40$ .
İstenen toplam: $1 + 40 = 41$ .

Sonuç:

41

Soru 4Zor

Bir okulda öğrencilere bir kart dağıtım uygulaması yapılıyor.

A = {Ali, Beren, Can}

öğrenci kümesinden

B = {k ı rm ı z ı, mavi}

renk kümesine, "her öğrenciye tam bir kart rengi" atayan eşlemeler birer fonksiyon kabul ediliyor. Buna göre **tüm öğrencilere aynı rengin verilmediği** kaç farklı atama (fonksiyon) yapılabilir?

Her öğrenciye $2$ renkten biri verilir; toplam fonksiyon sayısı $2^{3} = 8$ .
"Hepsi aynı renk" durumları: hepsi kırmızı ya da hepsi mavi, yani $2$ durum.
İstenen: $8 - 2 = 6$ .

Sonuç:

6

Soru 5Orta

Bir fabrikada üretim maliyeti

f (x) = 2 x + 5

(bin TL) fonksiyonuyla, satış geliri ise

g (x) = 4 x - 1

(bin TL) fonksiyonuyla modelleniyor;

x

üretilen ürün miktarıdır (bin adet). Kâr, gelir ile maliyetin farkı olarak

K (x) = g (x) - f (x)

biçiminde tanımlanıyor. Buna göre fabrikanın **başabaş** noktası (kârın sıfır olduğu

x

değeri) kaçtır?

Kâr fonksiyonu: $K (x) = g (x) - f (x) = (4 x - 1) - (2 x + 5) = 2 x - 6$ .
Başabaş noktası: $K (x) = 0 \Rightarrow 2 x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$ .

Sonuç:

3

Soru 6Kolay

Bir mağaza, kampanyada bir ürünün fiyatını

f (x) = \frac{x - 3}{2}

kuralıyla belirliyor;

x

ürünün etiket fiyatıdır (TL). Müşteri bir üründe

f (x) = 12

lira ödediğine göre, bu ürünün etiket fiyatı

x

kaç liradır?

Eşitliği kur: $\frac{x - 3}{2} = 12$ .
Paydadan kurtul: $x - 3 = 24$ .
Çöz: $x = 27$ .

Sonuç:

27

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Bir elemanın iki görüntüsü olan bağıntıyı fonksiyon sanmak. Bir tanım elemanından iki ok çıkıyorsa (örneğin $1 \to a$ ve $1 \to b$ ) o bağıntı fonksiyon değildir.
Değer kümesi ile görüntü kümesini karıştırmak. Değer kümesi $B$ hedef kümedir; görüntü kümesi ise gerçekten oluşan görüntülerden ibarettir ve $B$ 'nin alt kümesidir. Eşit olmaları gerekmez.
Rasyonel fonksiyonda paydayı sıfır yapan değeri tanım kümesinden çıkarmayı unutmak. $\frac{2 x - 1}{x - 3}$ ifadesinde $x = 3$ tanım kümesine dahil edilemez.

Sınav İpucu

$f (a) =$ değer tipi sorularda zaman kaybetmeden $a$ 'yı doğrudan kuralda yerine koy; denklem çıkıyorsa onu çöz. "Bu bağıntı fonksiyon mudur?" sorularında ise tek soruya odaklan: her tanım elemanının bir ve yalnız bir görüntüsü var mı? Hiç görüntüsü olmayan ya da iki görüntüsü olan tek bir eleman bile varsa, cevap "fonksiyon değildir".

1. Fonksiyon Tanımı

2. Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi

3. Fonksiyon Çeşitleri

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

İlgili yazılar

Fonksiyonlar — diğer konular