TYT Matematik · Fonksiyonlar

Fonksiyon Grafikleri ve İşlemleri

~9 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soruTYT'de ~1 soru/yıl · Sınavda düşük ağırlık

Bir fonksiyonu grafiğinden okumak, doğrusal fonksiyonun denklemini kurmak, iki fonksiyonu bileşke ile birleştirmek ve ters fonksiyonu bulmak — TYT'de sık çıkan ve birbirini tamamlayan dört temel beceridir. Bu konu, hepsini net kurallar ve doğrulanmış örneklerle bir araya getirir.

1. Grafik Okuma

Bir fonksiyonun grafiği, $(x, f (x))$ noktalarından oluşur. Buradan iki şeyi hızlıca okuruz:

Değer okuma: $f (a)$ , grafikte $x = a$ noktasının dikey karşılığıdır (yani o $x$ değerine karşılık gelen $y$ ).
Kök okuma: $f (x) = 0$ denkleminin çözümü, grafiğin $x$ eksenini kestiği noktanın apsisidir.

Şekil 1 —

x = 2

için

f (2)

değeri:

x = 2

'den dikey, oradan yatay gidilerek

y

ekseninde

f (2) = 5

okunur.

Dikkat: $f (a)$ ile kök birbirine karıştırılmamalı. $f (a)$ bir $y$ değeridir; kök ise $f (x) = 0$ olan bir $x$ değeridir.

2. Doğrusal Fonksiyon Grafiği

$f (x) = a x + b$ biçimindeki bir fonksiyonun grafiği bir doğrudur. Burada:

Katsayı	Anlamı
$b$	Doğrunun $y$ eksenini kestiği nokta ( $f (0) = b$ )
$a$	Doğrunun eğimi (birim $x$ artışında $y$ 'nin değişimi)

İki noktası bilinen bir doğrunun eğimi:

$a = \frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}}$

Şekil 2 —

y = 2 x + 1

doğrusu.

y

eksenini

b = 1

noktasında keser; eğimi

a = 2

'dir.

3. Bileşke Fonksiyon

İki fonksiyon, biri diğerinin içine yazılarak birleştirilir:

$(f \circ g) (x) = f (g (x))$

Kural: önce iç fonksiyon ( $g$ ), sonra dış fonksiyon ( $f$ ) uygulanır. Sıra önemlidir; genelde

$f \circ g \neq = g \circ f$

4. Ters Fonksiyon

$f^{- 1}$ , $f$ 'nin yaptığı işlemi geri alan fonksiyondur. Bulmak için $y = f (x)$ yazılır, $x$ ile $y$ yer değiştirilir ve $y$ çözülür. Doğrusal durumda:

$f (x) = a x + b \Rightarrow f^{- 1} (x) = \frac{x - b}{a} (a \neq = 0)$

Sık yapılan hata: $f^{- 1} (x)$ 'i $\frac{1}{f ( x )}$ sanmak. Ters fonksiyon, çarpmaya göre ters değildir; bileşkeye göre tersidir: $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Geometrik olarak $f$ ile $f^{- 1}$ , $y = x$ doğrusuna göre birbirinin simetriğidir: $f$ üzerindeki $(a, b)$ noktası, $f^{- 1}$ üzerinde $(b, a)$ noktasına karşılık gelir.

Şekil 3 —

f (x) = 2 x - 1

ve tersi

f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{2}

y = x

doğrusuna göre simetriktir.

f

üzerindeki

(2, 3)

noktası,

f^{- 1}

üzerinde

(3, 2)

noktasına yansır.

Örnek

Soru

$f (x) = 2 x + 1$ ve $g (x) = x^{2}$ için $(f \circ g) (x)$ ile $(g \circ f) (x)$ ifadelerini bulunuz; eşit olup olmadıklarını söyleyiniz.

$(f \circ g) (x) = f (g (x)) = f (x^{2}) = 2 x^{2} + 1$ .
$(g \circ f) (x) = g (f (x)) = g (2 x + 1) = (2 x + 1)^{2}$ .
$2 x^{2} + 1$ ile $(2 x + 1)^{2} = 4 x^{2} + 4 x + 1$ aynı ifade değildir.

Sonuç:

(f \circ g) (x) = 2 x^{2} + 1

(g \circ f) (x) = (2 x + 1)^{2}

; eşit değiller.

Örnek

Soru

Yine $f (x) = 2 x + 1$ ve $g (x) = x^{2}$ olmak üzere $(f \circ g) (2)$ değerini bulunuz.

En içteki fonksiyondan başla: önce $g (2)$ 'yi hesapla, sonucu $f$ 'ye ver.

İç fonksiyon: $g (2) = 2^{2} = 4$ .
Dış fonksiyon: $f (4) = 2 \cdot 4 + 1 = 9$ .

Sonuç:

(f \circ g) (2) = 9

Örnek

Soru

$f (x) = 2 x + 1$ fonksiyonunun tersini bulunuz ve $f^{- 1} (5)$ değerini hesaplayarak doğrulayınız.

$y = 2 x + 1$ yaz, $x$ ile $y$ 'yi değiştir: $x = 2 y + 1$ .
$y$ 'yi çöz: $2 y = x - 1 \Rightarrow y = \frac{x - 1}{2}$ , yani $f^{- 1} (x) = \frac{x - 1}{2}$ .
Kontrol: $f^{- 1} (5) = \frac{5 - 1}{2} = 2$ . Gerçekten $f (2) = 2 \cdot 2 + 1 = 5$ olduğundan tutarlı.

Sonuç:

f^{- 1} (x) = \frac{x - 1}{2}

f^{- 1} (5) = 2

Örnek

Soru

Bir doğrusal fonksiyonun grafiğinde $f (0) = 1$ ve $f (2) = 5$ okunuyor. Bu fonksiyonun kuralını yazınız.

Doğrusal fonksiyonda $b = f (0)$ 'dır; eğimi de iki noktadan $a = \frac{f ( 2 ) - f ( 0 )}{2 - 0}$ ile bul.

$b = f (0) = 1$ .
Eğim: $a = \frac{f ( 2 ) - f ( 0 )}{2 - 0} = \frac{5 - 1}{2} = 2$ .
Kural: $f (x) = a x + b = 2 x + 1$ .

Sonuç:

f (x) = 2 x + 1

Örnek

Soru

$f (x) = 2 x - 6$ fonksiyonunun kökünü bulunuz.

Kök, $f (x) = 0$ denkleminin çözümüdür: $2 x - 6 = 0$ .
Çöz: $2 x = 6 \Rightarrow x = 3$ .

Sonuç: Kök

x = 3

; grafik

x

eksenini

(3, 0)

noktasında keser.

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$f (x) = 3 x - 4$ doğrusal fonksiyonu için $f (a) = 11$ ise $a$ kaçtır?

$f (a) = 3 a - 4 = 11$ yazılır.
$3 a = 15 \Rightarrow a = 5$ .

Sonuç:

a = 5

Örnek

Soru

Bir doğrusal fonksiyonun grafiği $(1, 5)$ ve $(3, 11)$ noktalarından geçiyor. Bu fonksiyonun kuralını yazınız.

Eğim: $a = \frac{11 - 5}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$ .
$f (x) = 3 x + b$ biçiminde, $(1, 5)$ noktasından: $5 = 3 \cdot 1 + b \Rightarrow b = 2$ .
Kural: $f (x) = 3 x + 2$ .

Sonuç:

f (x) = 3 x + 2

Örnek

Soru

$f (x) = 4 x + 3$ ve $g (x) = x - 2$ olmak üzere $(g \circ f) (x)$ ifadesini bulunuz.

Önce iç fonksiyon $f$ uygulanır: $f (x) = 4 x + 3$ .
Dış fonksiyon $g$ 'ye taşınır: $(g \circ f) (x) = g (4 x + 3) = (4 x + 3) - 2 = 4 x + 1$ .

Sonuç:

(g \circ f) (x) = 4 x + 1

Örnek

Soru

$f (x) = 5 x - 2$ olmak üzere $f^{- 1} (3)$ değerini bulunuz.

$f^{- 1} (3)$ değeri, $f (x) = 3$ eşitliğini sağlayan $x$ değeridir.

$f^{- 1} (3)$ aranır; bu, $f (x) = 3$ olan $x$ değeridir.
$5 x - 2 = 3 \Rightarrow 5 x = 5 \Rightarrow x = 1$ .

Sonuç:

f^{- 1} (3) = 1

Örnek

Soru

$f (x) = 3 x + 5$ ve $g (x) = 2 x - 1$ olmak üzere $(f \circ g) (2) + (g \circ f) (1)$ toplamını bulunuz.

$(f \circ g) (2)$ : önce $g (2) = 2 \cdot 2 - 1 = 3$ , sonra $f (3) = 3 \cdot 3 + 5 = 14$ .
$(g \circ f) (1)$ : önce $f (1) = 3 \cdot 1 + 5 = 8$ , sonra $g (8) = 2 \cdot 8 - 1 = 15$ .
Toplam: $14 + 15 = 29$ .

Sonuç:

29

Örnek

Soru

$f (x) = \frac{2 x + 1}{3}$ fonksiyonunun ters fonksiyonu $f^{- 1} (x)$ 'i bulunuz.

$y = \frac{2 x + 1}{3}$ yaz, $x$ ile $y$ 'yi değiştir: $x = \frac{2 y + 1}{3}$ .
$3 x = 2 y + 1 \Rightarrow 2 y = 3 x - 1$ .
$y = \frac{3 x - 1}{2}$ , yani $f^{- 1} (x) = \frac{3 x - 1}{2}$ .

Sonuç:

f^{- 1} (x) = \frac{3 x - 1}{2}

Örnek

Soru

$f (x) = 2 x - 3$ ve $(f \circ g) (x) = 4 x + 1$ olduğuna göre $g (x)$ fonksiyonunu bulunuz.

$(f \circ g) (x) = f (g (x)) = 2 \cdot g (x) - 3$ olduğunu kullan.

$(f \circ g) (x) = f (g (x)) = 2 g (x) - 3$ .
Verilene eşitle: $2 g (x) - 3 = 4 x + 1$ .
$2 g (x) = 4 x + 4 \Rightarrow g (x) = 2 x + 2$ .

Sonuç:

g (x) = 2 x + 2

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

Bir teknik servis, arıza ücretini iki aşamada hesaplıyor. Önce

g (x) = x + 10

kuralıyla (işçilik), sonra bu sonucu

f (t) = 2 t - 5

kuralıyla (vergi ve kâr) işliyor; yani müşterinin ödediği toplam ücret

(f \circ g) (x)

ile bulunuyor. Buna göre

x = 15

parça maliyetli bir tamirin toplam ücreti kaç liradır?

İç fonksiyon: $g (15) = 15 + 10 = 25$ .
Dış fonksiyon: $f (25) = 2 \cdot 25 - 5 = 45$ .

Sonuç:

45

Soru 2Kolay

Bir döviz bürosu, alınan dolar miktarı

x

f (x) = 34 x + 2

(TL,

2

lira işlem ücreti dahil) kuralıyla Türk lirasına çeviriyor. Bir müşteriye toplam

342

lira ödendiğine göre, bu işlemde kaç dolar bozdurulmuştur? (Yani

f^{- 1} (342)

kaçtır?)

$f (x) = 342 \Rightarrow 34 x + 2 = 342$ .
$34 x = 340 \Rightarrow x = 10$ .

Sonuç:

10

Soru 3Orta

Bir doğrusal

f

fonksiyonunun grafiği

(0, 3)

(2, 7)

noktalarından geçiyor. Bu doğrunun

x

eksenini kestiği noktanın apsisi (yani fonksiyonun kökü) kaçtır?

$b = f (0) = 3$ . Eğim: $a = \frac{7 - 3}{2 - 0} = 2$ , yani $f (x) = 2 x + 3$ .
Kök: $2 x + 3 = 0 \Rightarrow x = - \frac{3}{2}$ .

Sonuç:

- \frac{3}{2}

Soru 4Orta

Bir matbaa,

x

adet afiş için maliyeti

f (x) = 5 x + 40

(TL) ile hesaplıyor. Bir müşteri,

f

fonksiyonunun **tersini** kullanarak elindeki bütçeyle kaç afiş bastırabileceğini hesaplamak istiyor. Müşterinin bütçesi

190

lira olduğuna göre

f^{- 1} (190)

değeri, yani bastırabileceği afiş sayısı kaçtır?

$f^{- 1} (x) = \frac{x - 40}{5}$ .
$f^{- 1} (190) = \frac{190 - 40}{5} = \frac{150}{5} = 30$ .

Sonuç:

30

Soru 5Orta

Bir oyunda bir karakterin canı

f (x) = - 2 x + 50

(puan) kuralıyla azalıyor;

x

geçen süredir (saniye). Buna göre karakterin canının sıfırlandığı an ile başlangıç canı (

x = 0

anındaki değer) toplamı kaçtır?

Sıfırlanma anı (kök): $- 2 x + 50 = 0 \Rightarrow x = 25$ .
Başlangıç canı: $f (0) = 50$ .
Toplam: $25 + 50 = 75$ .

Sonuç:

75

Soru 6Orta

İki makine bir ürünü sırayla işliyor. Birinci makine

f (x) = 2 x - 3

, ikinci makine

g (x) = x + 6

dönüşümünü uyguluyor. Ürün **önce

f

sonra

g

** makinesinden geçtiğinde sonuç

(g \circ f) (x)

, **önce

g

sonra

f

** geçtiğinde sonuç

(f \circ g) (x)

oluyor.

x = 5

için bu iki sonucun farkı

(g \circ f) (5) - (f \circ g) (5)

kaçtır?

$(g \circ f) (5)$ : $f (5) = 2 \cdot 5 - 3 = 7$ , sonra $g (7) = 7 + 6 = 13$ .
$(f \circ g) (5)$ : $g (5) = 5 + 6 = 11$ , sonra $f (11) = 2 \cdot 11 - 3 = 19$ .
Fark: $13 - 19 = 6$ .

Sonuç:

6

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Bileşkede sırayı ters uygulamak: $f \circ g$ ile $g \circ f$ farklıdır; her zaman en içteki fonksiyondan başla.
Ters fonksiyonu $\frac{1}{f ( x )}$ sanmak: Ters fonksiyon çarpmaya göre ters değildir; $y = f (x)$ 'te $x$ ile $y$ 'yi değiştirip $y$ 'yi çözerek bulunur.
Grafikten $f (a)$ yerine kökü okumak: $f (a)$ bir $y$ değeridir (dikey karşılık); kök ise $x$ eksenini kesen $x$ değeridir.

Sınav İpucu

Bileşke: "En içteki önce." Sayısal soruda iç fonksiyonun değerini bulup dış fonksiyona taşı.
Ters fonksiyon: $y = f (x)$ yaz, $x$ ile $y$ 'yi değiştir, $y$ 'yi çöz.

1. Grafik Okuma

2. Doğrusal Fonksiyon Grafiği

3. Bileşke Fonksiyon

4. Ters Fonksiyon

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Fonksiyonlar — diğer konular