TYT Matematik · Fonksiyonlar

Fonksiyon Grafikleri ve İşlemleri

~9 dk okumaZorluk: Orta18 çözümlü soru

Bir fonksiyonu grafiğinden okumak, doğrusal fonksiyonun denklemini kurmak, iki fonksiyonu bileşke ile birleştirmek ve ters fonksiyonu bulmak — TYT'de sık çıkan ve birbirini tamamlayan dört temel beceridir. Bu konu, hepsini net kurallar ve doğrulanmış örneklerle bir araya getirir.

1. Grafik Okuma

Bir fonksiyonun grafiği, $\big(x,\,f(x)\big)$ noktalarından oluşur. Buradan iki şeyi hızlıca okuruz:

Değer okuma: $f(a)$ , grafikte $x=a$ noktasının dikey karşılığıdır (yani o $x$ değerine karşılık gelen $y$ ).
Kök okuma: $f(x)=0$ denkleminin çözümü, grafiğin $x$ eksenini kestiği noktanın apsisidir.

Şekil 1 —

x=2

için

f(2)

değeri:

x=2

'den dikey, oradan yatay gidilerek

y

ekseninde

f(2)=5

okunur.

Dikkat: $f(a)$ ile kök birbirine karıştırılmamalı. $f(a)$ bir $y$ değeridir; kök ise $f(x)=0$ olan bir $x$ değeridir.

2. Doğrusal Fonksiyon Grafiği

$f(x)=ax+b$ biçimindeki bir fonksiyonun grafiği bir doğrudur. Burada:

Katsayı	Anlamı
$b$	Doğrunun $y$ eksenini kestiği nokta ( $f(0)=b$ )
$a$	Doğrunun eğimi (birim $x$ artışında $y$ 'nin değişimi)

İki noktası bilinen bir doğrunun eğimi:

$a=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$

Şekil 2 —

y=2x+1

doğrusu.

y

eksenini

b=1

noktasında keser; eğimi

a=2

'dir.

3. Bileşke Fonksiyon

İki fonksiyon, biri diğerinin içine yazılarak birleştirilir:

$(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)$

Kural: önce iç fonksiyon ( $g$ ), sonra dış fonksiyon ( $f$ ) uygulanır. Sıra önemlidir; genelde

$f\circ g\ne g\circ f$

4. Ters Fonksiyon

$f^{-1}$ , $f$ 'nin yaptığı işlemi geri alan fonksiyondur. Bulmak için $y=f(x)$ yazılır, $x$ ile $y$ yer değiştirilir ve $y$ çözülür. Doğrusal durumda:

$f(x)=ax+b \;\Rightarrow\; f^{-1}(x)=\dfrac{x-b}{a}\quad (a\ne 0)$

Sık yapılan hata: $f^{-1}(x)$ 'i $\dfrac{1}{f(x)}$ sanmak. Ters fonksiyon, çarpmaya göre ters değildir; bileşkeye göre tersidir: $f\big(f^{-1}(x)\big)=x$ .

Geometrik olarak $f$ ile $f^{-1}$ , $y=x$ doğrusuna göre birbirinin simetriğidir: $f$ üzerindeki $(a,b)$ noktası, $f^{-1}$ üzerinde $(b,a)$ noktasına karşılık gelir.

Şekil 3 —

f(x)=2x-1

ve tersi

f^{-1}(x)=\dfrac{x+1}{2}

y=x

doğrusuna göre simetriktir.

f

üzerindeki

(2,3)

noktası,

f^{-1}

üzerinde

(3,2)

noktasına yansır.

Örnek

Soru

$f(x)=2x+1$ ve $g(x)=x^2$ için $(f\circ g)(x)$ ile $(g\circ f)(x)$ ifadelerini bulunuz; eşit olup olmadıklarını söyleyiniz.

$(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)=f(x^2)=2x^2+1$ .
$(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big)=g(2x+1)=(2x+1)^2$ .
$2x^2+1$ ile $(2x+1)^2=4x^2+4x+1$ aynı ifade değildir.

Sonuç:

(f\circ g)(x)=2x^2+1

(g\circ f)(x)=(2x+1)^2

; eşit değiller.

Örnek

Soru

Yine $f(x)=2x+1$ ve $g(x)=x^2$ olmak üzere $(f\circ g)(2)$ değerini bulunuz.

En içteki fonksiyondan başla: önce $g(2)$ 'yi hesapla, sonucu $f$ 'ye ver.

İç fonksiyon: $g(2)=2^2=4$ .
Dış fonksiyon: $f(4)=2\cdot 4+1=9$ .

Sonuç:

(f\circ g)(2)=9

Örnek

Soru

$f(x)=2x+1$ fonksiyonunun tersini bulunuz ve $f^{-1}(5)$ değerini hesaplayarak doğrulayınız.

$y=2x+1$ yaz, $x$ ile $y$ 'yi değiştir: $x=2y+1$ .
$y$ 'yi çöz: $2y=x-1 \Rightarrow y=\dfrac{x-1}{2}$ , yani $f^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{2}$ .
Kontrol: $f^{-1}(5)=\dfrac{5-1}{2}=2$ . Gerçekten $f(2)=2\cdot 2+1=5$ olduğundan tutarlı.

Sonuç:

f^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{2}

f^{-1}(5)=2

Örnek

Soru

Bir doğrusal fonksiyonun grafiğinde $f(0)=1$ ve $f(2)=5$ okunuyor. Bu fonksiyonun kuralını yazınız.

Doğrusal fonksiyonda $b=f(0)$ 'dır; eğimi de iki noktadan $a=\dfrac{f(2)-f(0)}{2-0}$ ile bul.

$b=f(0)=1$ .
Eğim: $a=\dfrac{f(2)-f(0)}{2-0}=\dfrac{5-1}{2}=2$ .
Kural: $f(x)=ax+b=2x+1$ .

Sonuç:

f(x)=2x+1

Örnek

Soru

$f(x)=2x-6$ fonksiyonunun kökünü bulunuz.

Kök, $f(x)=0$ denkleminin çözümüdür: $2x-6=0$ .
Çöz: $2x=6 \Rightarrow x=3$ .

Sonuç: Kök

x=3

; grafik

x

eksenini

(3,0)

noktasında keser.

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$f(x)=3x-4$ doğrusal fonksiyonu için $f(a)=11$ ise $a$ kaçtır?

$f(a)=3a-4=11$ yazılır.
$3a=15 \Rightarrow a=5$ .

Sonuç:

a=5

Örnek

Soru

Bir doğrusal fonksiyonun grafiği $(1,5)$ ve $(3,11)$ noktalarından geçiyor. Bu fonksiyonun kuralını yazınız.

Eğim: $a=\dfrac{11-5}{3-1}=\dfrac{6}{2}=3$ .
$f(x)=3x+b$ biçiminde, $(1,5)$ noktasından: $5=3\cdot 1+b \Rightarrow b=2$ .
Kural: $f(x)=3x+2$ .

Sonuç:

f(x)=3x+2

Örnek

Soru

$f(x)=4x+3$ ve $g(x)=x-2$ olmak üzere $(g\circ f)(x)$ ifadesini bulunuz.

Önce iç fonksiyon $f$ uygulanır: $f(x)=4x+3$ .
Dış fonksiyon $g$ 'ye taşınır: $(g\circ f)(x)=g(4x+3)=(4x+3)-2=4x+1$ .

Sonuç:

(g\circ f)(x)=4x+1

Örnek

Soru

$f(x)=5x-2$ olmak üzere $f^{-1}(3)$ değerini bulunuz.

$f^{-1}(3)$ değeri, $f(x)=3$ eşitliğini sağlayan $x$ değeridir.

$f^{-1}(3)$ aranır; bu, $f(x)=3$ olan $x$ değeridir.
$5x-2=3 \Rightarrow 5x=5 \Rightarrow x=1$ .

Sonuç:

f^{-1}(3)=1

Örnek

Soru

$f(x)=3x+5$ ve $g(x)=2x-1$ olmak üzere $(f\circ g)(2)+(g\circ f)(1)$ toplamını bulunuz.

$(f\circ g)(2)$ : önce $g(2)=2\cdot 2-1=3$ , sonra $f(3)=3\cdot 3+5=14$ .
$(g\circ f)(1)$ : önce $f(1)=3\cdot 1+5=8$ , sonra $g(8)=2\cdot 8-1=15$ .
Toplam: $14+15=29$ .

Sonuç:

29

Örnek

Soru

$f(x)=\dfrac{2x+1}{3}$ fonksiyonunun ters fonksiyonu $f^{-1}(x)$ 'i bulunuz.

$y=\dfrac{2x+1}{3}$ yaz, $x$ ile $y$ 'yi değiştir: $x=\dfrac{2y+1}{3}$ .
$3x=2y+1 \Rightarrow 2y=3x-1$ .
$y=\dfrac{3x-1}{2}$ , yani $f^{-1}(x)=\dfrac{3x-1}{2}$ .

Sonuç:

f^{-1}(x)=\dfrac{3x-1}{2}

Örnek

Soru

$f(x)=2x-3$ ve $(f\circ g)(x)=4x+1$ olduğuna göre $g(x)$ fonksiyonunu bulunuz.

$(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)=2\cdot g(x)-3$ olduğunu kullan.

$(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)=2\,g(x)-3$ .
Verilene eşitle: $2\,g(x)-3=4x+1$ .
$2\,g(x)=4x+4 \Rightarrow g(x)=2x+2$ .

Sonuç:

g(x)=2x+2

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek

Soru

Bir teknik servis, arıza ücretini iki aşamada hesaplıyor. Önce $g(x)=x+10$ kuralıyla (işçilik), sonra bu sonucu $f(t)=2t-5$ kuralıyla (vergi ve kâr) işliyor; yani müşterinin ödediği toplam ücret $(f\circ g)(x)$ ile bulunuyor. Buna göre $x=15$ parça maliyetli bir tamirin toplam ücreti kaç liradır?

A) $35$ · B) $40$ · C) $45$ · D) $50$ · E) $55$

En içteki fonksiyondan başla: önce $g(15)$ , sonra onu $f$ 'ye ver.

İç fonksiyon: $g(15)=15+10=25$ .
Dış fonksiyon: $f(25)=2\cdot 25-5=45$ .

Sonuç: C)

45

Örnek

Soru

Bir döviz bürosu, alınan dolar miktarı $x$ 'i $f(x)=34x+2$ (TL, $2$ lira işlem ücreti dahil) kuralıyla Türk lirasına çeviriyor. Bir müşteriye toplam $342$ lira ödendiğine göre, bu işlemde kaç dolar bozdurulmuştur? (Yani $f^{-1}(342)$ kaçtır?)

A) $8$ · B) $9$ · C) $10$ · D) $11$ · E) $12$

$f^{-1}(342)$ , $f(x)=342$ eşitliğini sağlayan $x$ değeridir.

$f(x)=342\Rightarrow 34x+2=342$ .
$34x=340\Rightarrow x=10$ .

Sonuç: C)

10

Örnek

Soru

Bir doğrusal $f$ fonksiyonunun grafiği $(0,3)$ ve $(2,7)$ noktalarından geçiyor. Bu doğrunun $x$ eksenini kestiği noktanın apsisi (yani fonksiyonun kökü) kaçtır?

A) $-\dfrac{3}{2}$ · B) $-1$ · C) $-\dfrac{2}{3}$ · D) $1$ · E) $\dfrac{3}{2}$

Önce $f(x)=ax+b$ kuralını kur ( $b=f(0)$ , eğim iki noktadan); sonra $f(x)=0$ çöz.

$b=f(0)=3$ . Eğim: $a=\dfrac{7-3}{2-0}=2$ , yani $f(x)=2x+3$ .
Kök: $2x+3=0\Rightarrow x=-\dfrac{3}{2}$ .

Sonuç: A)

-\dfrac{3}{2}

Örnek

Soru

Bir matbaa, $x$ adet afiş için maliyeti $f(x)=5x+40$ (TL) ile hesaplıyor. Bir müşteri, $f$ fonksiyonunun tersini kullanarak elindeki bütçeyle kaç afiş bastırabileceğini hesaplamak istiyor. Müşterinin bütçesi $190$ lira olduğuna göre $f^{-1}(190)$ değeri, yani bastırabileceği afiş sayısı kaçtır?

A) $26$ · B) $28$ · C) $30$ · D) $32$ · E) $34$

$f^{-1}(x)=\dfrac{x-40}{5}$ .
$f^{-1}(190)=\dfrac{190-40}{5}=\dfrac{150}{5}=30$ .

Sonuç: C)

30

Örnek

Soru

Bir oyunda bir karakterin canı $f(x)=-2x+50$ (puan) kuralıyla azalıyor; $x$ geçen süredir (saniye). Buna göre karakterin canının sıfırlandığı an ile başlangıç canı ( $x=0$ anındaki değer) toplamı kaçtır?

A) $25$ · B) $50$ · C) $60$ · D) $75$ · E) $100$

"Canın sıfırlandığı an" $f(x)=0$ köküdür; "başlangıç canı" ise $f(0)$ değeridir. İkisini karıştırma.

Sıfırlanma anı (kök): $-2x+50=0\Rightarrow x=25$ .
Başlangıç canı: $f(0)=50$ .
Toplam: $25+50=75$ .

Sonuç: D)

75

Örnek

Soru

İki makine bir ürünü sırayla işliyor. Birinci makine $f(x)=2x-3$ , ikinci makine $g(x)=x+6$ dönüşümünü uyguluyor. Ürün önce $f$ sonra $g$ makinesinden geçtiğinde sonuç $(g\circ f)(x)$ , önce $g$ sonra $f$ geçtiğinde sonuç $(f\circ g)(x)$ oluyor. $x=5$ için bu iki sonucun farkı $\big|(g\circ f)(5)-(f\circ g)(5)\big|$ kaçtır?

A) $5$ · B) $6$ · C) $7$ · D) $8$ · E) $9$

Bileşke sırası önemlidir; $f\circ g\ne g\circ f$ . Her ikisini ayrı ayrı en içten başlayarak hesapla.

$(g\circ f)(5)$ : $f(5)=2\cdot 5-3=7$ , sonra $g(7)=7+6=13$ .
$(f\circ g)(5)$ : $g(5)=5+6=11$ , sonra $f(11)=2\cdot 11-3=19$ .
Fark: $\big|13-19\big|=6$ .

Sonuç: B)

6

Sık Yapılan Hatalar

Bileşkede sırayı ters uygulamak: $f\circ g$ ile $g\circ f$ farklıdır; her zaman en içteki fonksiyondan başla.
Ters fonksiyonu $\dfrac{1}{f(x)}$ sanmak: Ters fonksiyon çarpmaya göre ters değildir; $y=f(x)$ 'te $x$ ile $y$ 'yi değiştirip $y$ 'yi çözerek bulunur.
Grafikten $f(a)$ yerine kökü okumak: $f(a)$ bir $y$ değeridir (dikey karşılık); kök ise $x$ eksenini kesen $x$ değeridir.

Sınav İpucu

Bileşke: "En içteki önce." Sayısal soruda iç fonksiyonun değerini bulup dış fonksiyona taşı.
Ters fonksiyon: $y=f(x)$ yaz, $x$ ile $y$ 'yi değiştir, $y$ 'yi çöz.

1. Grafik Okuma

2. Doğrusal Fonksiyon Grafiği

3. Bileşke Fonksiyon

4. Ters Fonksiyon

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Fonksiyonlar — diğer konular