AYT Matematik · Sayma ve Olasılık (AYT)

Binom Açılımı

~20 dk okumaZorluk: Orta20 çözümlü soru

Binom açılımı, $(a + b)^{n}$ ifadesini parantezleri tek tek çarpmadan açmanın yoludur ve tek bir sayma fikrine dayanır: $n$ parantezin her birinden ya $a$ ya da $b$ seçilir. $a^{n - k} b^{k}$ terimi, $b$ 'nin alınacağı $k$ parantezi $n$ parantez arasından seçme sayısı kadar, yani $C (n, k)$ kez oluşur. Genel terim, sabit terim, katsayılar toplamı ve kombinasyon toplamları bu tek fikrin sonuçlarıdır.

Bu sayfadaki varsayımlar

$(a + b)^{n}$ ifadesinde $n$ bir doğal sayıdır ( $n = 0, 1, 2, \dots$ ). Negatif ya da kesirli üslü açılımlar bu sayfanın konusu değildir.

Katsayı, bir terimdeki sayısal çarpandır ve işaretiyle birlikte alınır: $- 160 x^{3}$ teriminin katsayısı $- 160$ 'tır. Binom katsayısı ise yalnız $C (n, k)$ sayısıdır.

Sabit terim, değişken içermeyen terimdir.

Terim sayısı, benzer terimler birleştirildikten ve katsayısı $0$ olan terimler atıldıktan sonra sayılır.

Terimin sırası önemli olduğunda soruda "terimler $x$ 'in azalan (ya da artan) kuvvetlerine göre sıralandığında" ifadesi bulunur. Bu ifade yoksa açılım, ifadenin yazıldığı sıraya göre yapılır.

Üslü ifadeler $x > 0$ için yazılır; $x = x^{1/2}$ , $\frac{1}{x ^{2}} = x^{- 2}$ gibi.

Bu sayfa Kombinasyon: Seçme Problemleri sayfasındaki $C (n, r)$ hesabını ve Pascal kuralını kullanır. Kombinasyonun temel anlatımı için 10. sınıf Kombinasyon dersine, sayma konularının genel haritası için Permütasyon ve Kombinasyon sayfasına bakabilirsin. Üslü ifade kuralları için Üslü İfadeler, terim ve derece kavramları için de Polinom Kavramı sayfasına göz atabilirsin.

1. Açılım Bir Sayma Problemidir: Her Parantezden Bir Seçim

$(a + b)^{3}$ ifadesini üç ayrı parantezin çarpımı olarak yazalım:

$(a + b)^{3} = (a + b) (a + b) (a + b)$

Bu çarpımı dağıtırken her parantezden bir harf seçer ve seçtiklerimizi çarparız. Her parantezde $2$ seçenek olduğundan çarpma kuralına göre $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ çarpım oluşur. Önce hepsini listeleyelim, sonra sayalım:

Şekil 1 —

(a + b)^{3}

açılımındaki

8

çarpım, içerdikleri

b

sayısına göre gruplandırılmıştır. Örneğin

aab

1.

2.

parantezden

a

3.

parantezden

b

seçildiğini gösterir. Grupların büyüklükleri

1, 3, 3, 1

'dir ve bunlar açılımın katsayılarıdır.

$aab$ , $aba$ ve $baa$ çarpımlarının hepsi $a^{2} b$ eder; bu yüzden açılımda $a^{2} b$ terimi $3$ kez oluşur ve katsayısı $3$ olur. Böylece

$(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

bulunur. $3$ sayısının nereden geldiğine bakalım: $a^{2} b$ terimini oluşturmak için üç parantezden hangisinden $b$ alınacağını seçmek yeterlidir, geri kalanlardan zaten $a$ alınır. Üç parantezden birini seçmenin $C (3, 1) = 3$ yolu vardır.

Aynı düşünce her $n$ için geçerlidir. $(a + b)^{n}$ açılımında $a^{n - k} b^{k}$ terimi, $n$ parantezden $b$ 'nin alınacağı $k$ tanesi seçilerek oluşur. Bu seçim $C (n, k)$ yolla yapılır:

$(a + b)^{n} = k = 0 \sum n C (n, k) a^{n - k} b^{k} = C (n, 0) a^{n} + C (n, 1) a^{n - 1} b + \dots + C (n, n) b^{n}$

Burada $C (n, k) = (k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ 'dir. $C (n, k)$ sayılarına bu yüzden binom katsayıları da denir.

Ana fikir: Katsayı, aynı terimi veren seçimlerin sayısıdır. $C (n, k)$ , $n$ parantezden $b$ 'nin geleceği $k$ parantezi seçme sayısıdır. Kombinasyonu burada sırasız seçim olarak kullanıyoruz: $b$ 'nin $2.$ ve $5.$ parantezden gelmesi ile $5.$ ve $2.$ parantezden gelmesi aynı seçimdir.

2. Pascal Üçgeni ve C(n, r) + C(n, r + 1) = C(n + 1, r + 1)

$(a + b)^{0}, (a + b)^{1}, (a + b)^{2}, \dots$ açılımlarının katsayılarını alt alta yazarsak Pascal üçgeni oluşur. Satırları $n$ değeriyle adlandırırız: en üstteki $1$ , $n = 0$ satırıdır ve $n$ satırı $C (n, 0), C (n, 1), \dots, C (n, n)$ sayılarından oluşur. Şekil 2'deki " $n = \dots$ " etiketleri de bu adlandırmayı gösterir.

Şekil 2 — Pascal üçgeninin ilk yedi satırı. Satırlar

1

ile başlar ve

1

ile biter; aradaki her sayı, hemen üstündeki iki sayının toplamıdır. Vurgulu üçlü:

10 + 10 = 20

. Sağdaki sütunda satır toplamları yer alır; her satırın toplamı bir öncekinin iki katıdır.

Üçgeni kuran kural, Kombinasyon: Seçme Problemleri sayfasında gerekçesiyle gördüğümüz Pascal kuralıdır:

$C (n, r) + C (n, r + 1) = C (n + 1, r + 1)$

Açılım diliyle de aynı sonucu okuyabiliriz: $(a + b)^{n + 1} = (a + b)^{n} \cdot (a + b)$ . Sağdaki son parantezden ya $a$ ya $b$ seçilir. $a^{n - r} b^{r + 1}$ terimi iki ayrık yolla oluşur: son parantezden $b$ seçilirse kalan $n$ parantezden $r$ tane $b$ gerekir ( $C (n, r)$ yol); son parantezden $a$ seçilirse kalan $n$ parantezden $r + 1$ tane $b$ gerekir ( $C (n, r + 1)$ yol). İki durum toplanır.

Pascal üçgeni küçük $n$ için en hızlı yoldur. Örneğin $(a + b)^{6}$ 'nın katsayıları doğrudan $n = 6$ satırından okunur: $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$ . Satırların simetrik olması da $C (n, k) = C (n, n - k)$ eşitliğini yansıtır.

3. Terim Sayısı, Üslerin Düzeni ve İşaret Deseni

$(a + b)^{n}$ açılımında $k$ değeri $0, 1, 2, \dots, n$ olabilir. Bu $n + 1$ farklı değerdir:

Terim sayısı: $(a + b)^{n}$ açılımında $n + 1$ terim vardır. Şekil 1'de $n = 3$ için $3$ değil, $4$ grup ( $k = 0, 1, 2, 3$ ) vardır.

Açılımda üç düzenlilik vardır:

$a$ 'nın üssü $n$ 'den başlayıp birer birer azalır; $b$ 'nin üssü $0$ 'dan başlayıp birer birer artar.
Her terimde $a$ ile $b$ 'nin üsleri toplamı $n$ 'dir. $(a + b)^{3}$ 'te $a^{3}, a^{2} b, a b^{2}, b^{3}$ terimlerinin hepsinde üsler toplamı $3$ 'tür.
Katsayılar simetriktir: baştan ve sondan aynı uzaklıktaki terimlerin binom katsayıları eşittir.

İşaret deseni. $(a - b)^{n}$ ifadesini $(a + (- b))^{n}$ olarak düşünürüz. Genel terimde $(- b)^{k} = (- 1)^{k} b^{k}$ çarpanı bulunur. Bu yüzden $b$ 'nin üssü çift olan terimler $+$ , tek olan terimler $-$ işaretlidir ve işaretler $+, -, +, -, \dots$ diye sırayla değişir:

$(a - b)^{4} = a^{4} - 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} - 4 a b^{3} + b^{4}$

Sadeleşen açılımlar. Terim sayısı $n + 1$ kuralı tek bir $(a + b)^{n}$ için geçerlidir. İki açılım toplanır ya da çarpılırsa önce sadeleştirmek gerekir. Örneğin

$(x + 1)^{4} + (x - 1)^{4} = 2 x^{4} + 12 x^{2} + 2$

ifadesinde $x^{3}$ ve $x$ terimleri zıt işaretli olduğu için birbirini götürür; ifade $5 + 5 = 10$ değil, $3$ terimlidir.

Tek ve çift kuvvetli terimler. $(x + 1)^{n}$ açılımında $x$ 'in üsleri $n, n - 1, \dots, 1, 0$ değerlerinin hepsini alır. Örneğin $(x + 1)^{6}$ 'da üsler $6, 5, 4, 3, 2, 1, 0$ 'dır; bunlardan $1, 3, 5$ tek olduğundan $3$ terimde $x$ 'in kuvveti tektir. Terim sayısı sorulduğunda üsleri listelemek en güvenli yoldur.

4. Genel Terim: Baştan ve Sondan k'ıncı Terim

$(a + b)^{n}$ açılımının baştan $(k + 1)$ 'inci terimi şöyle yazılır:

$T_{k + 1} = C (n, k) a^{n - k} b^{k} (k = 0, 1, \dots, n)$

$k$ sıfırdan başladığı için terimin sıra numarası $k$ 'den bir fazladır: $1.$ terimde $k = 0$ , $2.$ terimde $k = 1$ , genel olarak $r$ 'inci terimde $k = r - 1$ 'dir.

Sondan sayarken iki yol vardır:

Sırayı çevirmek: $n + 1$ terim olduğundan sondan $r$ 'inci terim, baştan $(n + 2 - r)$ 'inci terimdir.
İfadeyi ters yazmak: Sondan $r$ 'inci terim, $(b + a)^{n}$ açılımının baştan $r$ 'inci terimidir.

Şekil 3 —

(a + b)^{5}

açılımının

6

terimi. Her kutunun üstünde baştan sırası ve

k

değeri, altında sondan sırası yazılıdır. Vurgulu kutu baştan

5.

, sondan

2.

terimdir; burada

k = 4

'tür, yani terim

C (5, 4) a b^{4} = 5 a b^{4}

'tür.

Şekil 3'te iki yolu da deneyebiliriz. Sondan $2.$ terim baştan $5 + 2 - 2 = 5.$ terimdir: $k = 4$ , $T_{5} = C (5, 4) a b^{4} = 5 a b^{4}$ . İfadeyi $(b + a)^{5}$ diye yazarsak baştan $2.$ terim $C (5, 1) b^{4} a = 5 a b^{4}$ olur. Sonuç aynıdır.

5. Hangi Sıraya Göre? Azalan ve Artan Kuvvetler Tuzağı

Genel terim formülü, $a$ yerine parantezde önce yazılan ifadeyi koyar. $(3 - x)^{5}$ ifadesinde önce $3$ yazılmıştır; formül olduğu gibi uygulanırsa terimler $x$ 'in artan kuvvetlerine göre sıralanmış olur: $243, - 405 x, 270 x^{2}, \dots$

Soru "terimler $x$ 'in azalan kuvvetlerine göre sıralandığında" diyorsa önce ifadeyi bu sıraya getiririz: $(3 - x)^{5} = (- x + 3)^{5}$ . Artık $a = - x$ , $b = 3$ 'tür ve genel terim istenen sırayı verir: $- x^{5}, 15 x^{4}, - 90 x^{3}, \dots$ Aynı açılımın " $3.$ terimi", sıralamaya göre $270 x^{2}$ ya da $- 90 x^{3}$ olabilir. Bu tuzağın ayrıntılı bir uygulaması Örnek 4'tedir.

Kural: Terimin sırası sorulduğunda önce parantezin içini istenen sıraya göre yeniden yaz, sonra $T_{k + 1} = C (n, k) a^{n - k} b^{k}$ formülünü uygula. Sıra belirtilmemişse ifadenin yazıldığı sıra esas alınır.

Bu tuzak yalnız sıra sorularında vardır. " $x^{4}$ 'lü terimin katsayısı" gibi bir soruda terimin yeri önemli değildir; hangi sırayla yazarsan yaz aynı katsayıyı bulursun.

6. Belirli Üslü Terimin Katsayısı ve Sabit Terim

" $x^{m}$ 'li terimin katsayısı" ya da "sabit terim" sorularının hepsi aynı dört adımla çözülür:

Genel terimi yaz: $T_{k + 1} = C (n, k) a^{n - k} b^{k}$ .
$a$ ve $b$ içindeki sayıları ve $x$ kuvvetlerini ayır. Paydadaki $x$ 'i negatif üsle yaz: $\frac{2}{x} = 2 x^{- 1}$ , $\frac{1}{3 x} = x^{- 1/3}$ .
$x$ 'in toplam üssünü $k$ cinsinden bul ve istenen üsse eşitle. Sabit terim isteniyorsa üs $0$ 'dır.
Bulunan $k$ değerini katsayıda yerine koy. Parantezdeki sayı katsayıya kendi kuvvetiyle ve işaretiyle girer: $(- 3)^{k}$ , $2^{n - k}$ gibi.

Dikkat: $k$ bir doğal sayı olmalı ve $0 \leq k \leq n$ aralığında kalmalıdır. Üs denkleminden $k$ tam sayı çıkmıyorsa ya da bu aralığın dışında kalıyorsa açılımda o üslü terim yoktur; katsayısı $0$ 'dır.

Rasyonel terimler. Üsler kesirli olduğunda "rasyonel terim" denince $x$ 'in üssü tam sayı olan terim anlaşılır. Örneğin $(x + 2)^{5}$ açılımında genel terim $C (5, k) x^{(5 - k) /2} 2^{k}$ 'dir. Üs $\frac{5 - k}{2}$ ancak $5 - k$ çift olduğunda tam sayıdır; bu da $k = 1, 3, 5$ için olur. Açılımda $3$ rasyonel terim vardır: $10 x^{2}$ , $80 x$ ve $32$ .

7. Katsayıdan Parametre Bulmak

Bazı sorularda katsayı verilir, parantezdeki bir sayı sorulur. Yöntem aynıdır; tek fark, son adımda bir denklem çözmemizdir. Parametre katsayıya $k$ 'ıncı kuvvetiyle girer.

Örneğin $(1 + a x)^{4}$ açılımında $x^{2}$ 'li terimin katsayısı $54$ ise genel terim $C (4, k) (a x)^{k}$ olduğundan $k = 2$ için $C (4, 2) a^{2} = 6 a^{2} = 54$ bulunur. Buradan $a^{2} = 9$ , yani $a = 3$ ya da $a = - 3$ olur. Kuvvet çift olduğunda iki değer çıkabilir; soru " $a > 0$ " gibi bir koşul vermiyorsa ikisi de geçerlidir. Kuvvet tek olduğunda gerçek sayılarda tek bir değer vardır (Örnek 6).

8. Ortanca Terim ve En Büyük Katsayı

$(a + b)^{n}$ açılımında $n + 1$ terim vardır.

$n$	Terim sayısı	Ortanca terim(ler)
Çift	Tek ( $n + 1$ )	Bir tane: $T_{\frac{n}{2} + 1}$
Tek	Çift ( $n + 1$ )	İki tane: $T_{\frac{n + 1}{2}}$ ve $T_{\frac{n + 3}{2}}$

Örneğin $n = 6$ için $7$ terim vardır ve ortanca terim $T_{4}$ 'tür ( $k = 3$ ). $n = 5$ için $6$ terim vardır ve ortanca terimler $T_{3}$ ile $T_{4}$ 'tür.

En büyük binom katsayısı her zaman ortadadır: $n$ çiftse $C (n, \frac{n}{2})$ , $n$ tekse iki ortanca katsayı eşittir ve en büyüktür. Pascal üçgeninde her satır ortaya kadar büyür, sonra küçülür.

Ardışık binom katsayılarının oranı. Bir binom katsayısından bir sonrakine geçerken faktöriyeller sadeleşir:

$\frac{C ( n , k + 1 )}{C ( n , k )} = \frac{n !}{( k + 1 )! ( n - k - 1 )!} \cdot \frac{k ! ( n - k )!}{n !} = \frac{n - k}{k + 1}$

Bu oran $k$ küçükken $1$ 'den büyüktür, $k$ büyüdükçe $1$ 'in altına iner; satırın önce büyüyüp sonra küçülmesinin nedeni budur. Parantezde sayılar varsa terim katsayılarının oranına bu sayıların oranı da girer. Örneğin $(1 + 2 x)^{n}$ 'de ardışık iki terimin katsayılarının oranı $2 \cdot \frac{n - k}{k + 1}$ 'dir.

Ancak parantezde $1$ 'den farklı sayılar varsa katsayıların en büyüğü ortada olmayabilir. $(x + 2)^{5}$ açılımını yazalım:

$(x + 2)^{5} = x^{5} + 10 x^{4} + 40 x^{3} + 80 x^{2} + 80 x + 32$

Ortanca terimler $40 x^{3}$ ve $80 x^{2}$ 'dir, ama en büyük katsayı $80$ hem $x^{2}$ 'li hem $x$ 'li terimde görülür; çünkü $2^{k}$ çarpanı katsayıları sona doğru büyütür. Oran da bunu gösterir: burada ardışık katsayıların oranı $2 \cdot \frac{5 - k}{k + 1}$ 'dir ve $k = 3$ için tam $1$ olduğundan $x^{2}$ 'li ve $x$ 'li terimlerin katsayıları eşittir. Küçük $n$ için en güvenli yol, katsayıları yan yana yazıp karşılaştırmaktır.

9. Katsayılar Toplamı: x = 1, x = −1 ve x = 0

Açılımı $P (x) = c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + \dots + c_{n} x^{n}$ diye düşünelim. Bir polinomda değişkene verilen her değer bir eşitlik üretir:

Yerine koyma	Sonuç	Ne verir?
$x = 1$	$P (1) = c_{0} + c_{1} + c_{2} + \dots + c_{n}$	Katsayılar toplamı
$x = 0$	$P (0) = c_{0}$	Sabit terim
$x = - 1$	$P (- 1) = c_{0} - c_{1} + c_{2} - c_{3} + \dots$	İşaretleri değişen toplam

$P (1)$ ve $P (- 1)$ satırlarından iki pratik sonuç çıkar:

Çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı:

$c_{0} + c_{2} + c_{4} + \dots = \frac{P ( 1 ) + P ( - 1 )}{2}$

Tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı:

$c_{1} + c_{3} + c_{5} + \dots = \frac{P ( 1 ) - P ( - 1 )}{2}$

Nedeni şudur: $P (1)$ ile $P (- 1)$ toplandığında tek dereceli katsayılar birbirini götürür, çift dereceliler iki kez sayılır. Çıkarıldığında ise çift dereceliler gider, tek dereceliler iki kez sayılır.

Sabit terimin derecesi $0$ olduğu için sabit terim, çift dereceli terimlere dahildir.

Birden çok değişken. Katsayılar toplamı için bütün değişkenlere $1$ verilir. Örneğin $(x - 2 y)^{4}$ açılımının katsayılar toplamı $(1 - 2)^{4} = 1$ 'dir. Açılımı yazarak kontrol edebiliriz: $1 - 8 + 24 - 32 + 16 = 1$ .

Dikkat: "Katsayılar toplamı" ile "binom katsayıları toplamı" farklı şeylerdir. $(x - 2 y)^{4}$ açılımının katsayılar toplamı $1$ 'dir; binom katsayılarının ( $1, 4, 6, 4, 1$ ) toplamı ise $16$ 'dır.

10. Kombinasyon Toplamları: 2^n, İşaretleri Değişen Toplam ve Diğer Değerler

$(1 + x)^{n} = C (n, 0) + C (n, 1) x + C (n, 2) x^{2} + \dots + C (n, n) x^{n}$ eşitliği her $x$ için doğrudur. $x$ 'e uygun değerler vererek kombinasyon toplamlarını hesaplarız:

Yerine koyma	Toplam
$x = 1$	$C (n, 0) + C (n, 1) + C (n, 2) + \dots + C (n, n) = 2^{n}$
$x = - 1$	$C (n, 0) - C (n, 1) + C (n, 2) - \dots + (- 1)^{n} C (n, n) = 0 (n \geq 1)$
$x = 2$	$C (n, 0) + 2 C (n, 1) + 4 C (n, 2) + \dots + 2^{n} C (n, n) = 3^{n}$
$x = - 2$	$C (n, 0) - 2 C (n, 1) + 4 C (n, 2) - \dots = (- 1)^{n}$

İlk iki satırı toplayıp ikiye bölersek

$C (n, 0) + C (n, 2) + C (n, 4) + \dots = C (n, 1) + C (n, 3) + C (n, 5) + \dots = 2^{n - 1} (n \geq 1)$

bulunur. Çift indisli kombinasyonların toplamı tek indislilerin toplamına eşittir ve her biri $2^{n}$ 'in yarısıdır.

Bu sonuçları küçük bir $n$ ile doğrulamak her zaman iyi bir alışkanlıktır. $n = 4$ için Pascal satırı $1, 4, 6, 4, 1$ 'dir: toplam $16 = 2^{4}$ , çift indisliler $1 + 6 + 1 = 8$ , tek indisliler $4 + 4 = 8$ . $n = 3$ için $1 + 2 \cdot 3 + 4 \cdot 3 + 8 \cdot 1 = 27 = 3^{3}$ ve $1 - 6 + 12 - 8 = - 1 = (- 1)^{3}$ .

$2^{n}$ toplamının bir sayma anlamı da vardır: $n$ elemanlı bir kümenin $0, 1, \dots, n$ elemanlı alt kümelerinin sayıları toplanınca bütün alt kümelerin sayısı, yani $2^{n}$ elde edilir.

11. İki İfadenin Çarpımında Belirli Terim

$(1 + 2 x) (1 + x)^{5}$ gibi bir çarpımda $x^{3}$ 'lü terimi arayalım. Birinci parantezden ya $1$ ya $2 x$ alınır; ikinci çarpandan da eksik kalan kuvveti tamamlayan terim alınmalıdır:

Birinciden $1$ alınırsa $(1 + x)^{5}$ 'ten $x^{3}$ 'lü terim gerekir: katkısı $C (5, 3) = 10$ .
Birinciden $2 x$ alınırsa $(1 + x)^{5}$ 'ten $x^{2}$ 'li terim gerekir: katkısı $2 \cdot C (5, 2) = 2 \cdot 10 = 20$ .

İki durum ayrık olduğundan katkılar toplanır: $10 + 20 = 30$ . Bu sorularda en sık hata, yalnız bir kaynaktan gelen katkıyı yazmaktır. Önce " $x^{3}$ hangi yollarla oluşur?" diye bütün durumları listele.

İki çarpan da binomsa ve ortak bir biçime getirilebiliyorsa önce birleştirmek işi kısaltır: $(x + 1)^{n} (x - 1)^{n} = (x^{2} - 1)^{n}$ gibi.

12. Yaklaşık Hesap ve Son Basamaklar

Yaklaşık hesap. $1$ 'e yakın bir sayının kuvvetini $(1 + h)^{n}$ diye yazarsak, $h$ küçük olduğunda sonraki terimler çok hızlı küçülür. Örneğin

$(1, 02)^{5} = (1 + 0, 02)^{5} = 1 + 5 (0, 02) + 10 (0, 02)^{2} + 10 (0, 02)^{3} + \dots$

$= 1 + 0, 1 + 0, 004 + 0, 00008 + \dots \approx 1, 10408$

İlk üç terim $1, 104$ değerini verir; dördüncü terim ancak yüz binde birler basamağını etkiler. Gerçek değer $1, 1040808032$ 'dir.

Son basamaklar. Bir sayının son iki basamağı, sayının $100$ 'e bölümünden kalandır. Tabanı $10$ 'un katına yakın yazarsak açılımdaki terimlerin çoğu $100$ 'ün katı olur. Örneğin $9^{6} = (10 - 1)^{6}$ için

$(10 - 1)^{6} = 1 0^{6} - 6 \cdot 1 0^{5} + \dots + C (6, 4) \cdot 1 0^{2} - C (6, 5) \cdot 10 + 1$

$1 0^{2}$ ve daha büyük kuvvetleri içeren terimlerin hepsi $100$ 'ün katıdır. Geriye $- 60 + 1 = - 59$ kalır; $- 59$ 'a $100$ eklersek kalan $41$ olur. Gerçekten $9^{6} = 531441$ ve son iki basamak $41$ 'dir.

13. Çok Terimli Açılım: (a + b + c)^n (Derinleştirme)

Aynı seçim fikri üç terimli ifadelerde de çalışır: $(a + b + c)^{n}$ açılımında her parantezden $a$ , $b$ ya da $c$ seçilir.

Terim sayısı. Bir terim $a^{p} b^{q} c^{r}$ biçimindedir ve $p + q + r = n$ olur ( $p, q, r$ doğal sayılar). Bu denklemin çözüm sayısı Gruplara Ayırma ve Dağıtma sayfasındaki çubuk–yıldız yöntemiyle $C (n + 2, 2)$ bulunur. Burada terim sayısı $n + 1$ değildir. Küçük bir örnekle görelim:

$(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 a c + 2 b c$

$6$ terim vardır; $n + 1 = 3$ değil, $C (4, 2) = 6$ .

Katsayı. $a^{p} b^{q} c^{r}$ teriminin katsayısı, $n$ parantezden hangi $p$ tanesinin $a$ , hangi $q$ tanesinin $b$ vereceğini seçme sayısıdır:

$C (n, p) \cdot C (n - p, q) = \frac{n !}{p ! q ! r !}$

Örneğin $(a + b + c)^{4}$ açılımında $a^{2} b c$ teriminin katsayısı: $a$ verecek $2$ parantez $C (4, 2) = 6$ yolla, kalan $2$ parantezden $b$ verecek olan $2$ yolla seçilir; $6 \cdot 2 = 12 = \frac{4 !}{2 ! 1 ! 1 !}$ .

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

a) $(x - 3)^{4}$ ifadesini Pascal üçgenini kullanarak aç. Açılımda kaç terim vardır?

b) $(x + y + z)^{6}$ ifadesinin açılımında kaç terim vardır?

$(x - 3)^{4} = (x + (- 3))^{4}$ diye düşün. Katsayılar $n = 4$ satırından gelir; $- 3$ sayısı her terime kendi kuvvetiyle girer. (b) şıkkında üç terimli bir ifade var; terim sayısı için Bölüm 13'e bak.

a) Pascal üçgeninin $n = 4$ satırı: $1, 4, 6, 4, 1$ . Genel terim $C (4, k) x^{4 - k} (- 3)^{k}$ 'dir.
Terimleri sırayla yazalım:

$k$	$C (4, k)$	$x^{4 - k}$	$(- 3)^{k}$	Terim
$0$	$1$	$x^{4}$	$1$	$x^{4}$
$1$	$4$	$x^{3}$	$- 3$	$- 12 x^{3}$
$2$	$6$	$x^{2}$	$9$	$54 x^{2}$
$3$	$4$	$x$	$- 27$	$- 108 x$
$4$	$1$	$1$	$81$	$81$

Böylece $(x - 3)^{4} = x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81$ . İşaretler $+, -, +, -, +$ diye değişir, çünkü $(- 3)^{k}$ tek $k$ için negatiftir.
Terim sayısı: $k = 0, 1, 2, 3, 4$ olmak üzere $5$ terim vardır. " $n = 4$ olduğu için $4$ terim" demek yanlıştır; tabloda da $5$ satır görülüyor.
Kontrol: $x = 1$ koyalım. Sol taraf $(1 - 3)^{4} = 16$ ; sağ taraf $1 - 12 + 54 - 108 + 81 = 16$ . İki taraf eşittir.
b) Burada " $n = 6$ olduğu için $7$ terim" demek yanlıştır; $n + 1$ kuralı yalnız iki terimli ifadeler içindir. Küçük bir durumla görelim: $(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 a c + 2 b c$ ifadesinde $3$ değil $6$ terim vardır.
Açılımdaki her terim $x^{p} y^{q} z^{r}$ biçimindedir; $p, q, r$ doğal sayılardır ve $p + q + r = 6$ olur. Farklı $(p, q, r)$ üçlüleri farklı terimler verir ve hiçbir katsayı $0$ olmaz. Bu denklemin çözüm sayısı çubuk–yıldız yöntemiyle $C (6 + 2, 2) = C (8, 2) = 28$ 'dir.

Sonuç: a)

x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81

;

5

terim. b)

28

terim

Örnek

Soru

$(x + 2)^{8}$ açılımında terimler $x$ 'in azalan kuvvetlerine göre sıralanıyor.

a) Baştan $4.$ terim nedir?

b) Sondan $2.$ terim nedir?

$r$ 'inci terimde $k = r - 1$ 'dir. Sondan sayarken terim sayısının $n + 1 = 9$ olduğunu kullan.

İfade zaten $x$ 'in azalan kuvvetlerine göre yazılmış: $a = x$ , $b = 2$ . Genel terim $T_{k + 1} = C (8, k) x^{8 - k} 2^{k}$ .
a) Baştan $4.$ terim $T_{4}$ 'tür, yani $k = 3$ : $C (8, 3) x^{5} 2^{3} = 56 \cdot 8 x^{5} = 448 x^{5}$ .
Yaygın hata, " $4.$ terim" deyince $k = 4$ almaktır. Bu, $C (8, 4) x^{4} 2^{4} = 1120 x^{4}$ terimini verir; o terim aslında $5.$ terimdir. Küçük bir kontrol hatayı gösterir: $1.$ terim $x^{8}$ 'dir ve $k = 0$ 'a karşılık gelir, $k = 1$ 'e değil.
b) Açılımda $8 + 1 = 9$ terim vardır. Sondan $2.$ terim, baştan $9 - 2 + 1 = 8.$ terimdir; $k = 7$ : $C (8, 7) x^{1} 2^{7} = 8 \cdot 128 x = 1024 x$ .
Kontrol (ifadeyi ters yazarak): Sondan $2.$ terim, $(2 + x)^{8}$ açılımının baştan $2.$ terimidir: $C (8, 1) 2^{7} x = 1024 x$ . Aynı sonuç.

Sonuç: a)

448 x^{5}

; b)

1024 x

Örnek

Soru

$(3 x - 2)^{6}$ açılımında $x^{3}$ 'lü terimin katsayısı kaçtır?

Genel terim: $T_{k + 1} = C (6, k) (3 x)^{6 - k} (- 2)^{k} = C (6, k) \cdot 3^{6 - k} \cdot (- 2)^{k} \cdot x^{6 - k}$ .
$x$ 'in üssü $6 - k = 3$ olmalı, buradan $k = 3$ .
Katsayı: $C (6, 3) \cdot 3^{3} \cdot (- 2)^{3} = 20 \cdot 27 \cdot (- 8) = - 4320$ .
Sık yapılan iki hata vardır. Birincisi, yalnız $C (6, 3) = 20$ yazıp parantezlerdeki $3$ ve $- 2$ sayılarının kuvvetlerini unutmaktır. İkincisi, $(- 2)^{3}$ yerine $2^{3}$ yazmaktır; işaret düşer ve $4320$ bulunur. Kural: $x$ 'in yanındaki ya da yalnız duran her sayı, bulunduğu parantezin kuvvetiyle katsayıya girer.
Kontrol: $x^{3}$ 'lü terim, $7$ terimli açılımın ortanca terimidir ( $T_{4}$ ). İfadeyi $(- 2 + 3 x)^{6}$ diye ters yazsak da $k = 3$ olur ve katsayı yine $C (6, 3) (- 2)^{3} 3^{3} = - 4320$ çıkar. İşaret de mantıklı: $- 2$ 'nin tek kuvveti negatiftir.

Sonuç:

- 4320

Örnek

Soru

$(1 - 2 x)^{6}$ açılımının terimleri $x$ 'in azalan kuvvetlerine göre sıralanıyor. Baştan $3.$ terim nedir?

İfadede önce $1$ yazılmış. Genel terimi olduğu gibi uygularsan terimler $x$ 'in artan kuvvetlerine göre sıralanır.

Önce yanlış yolu görelim. $a = 1$ , $b = - 2 x$ alıp $k = 2$ yazarsak $C (6, 2) \cdot 1^{4} \cdot (- 2 x)^{2} = 15 \cdot 4 x^{2} = 60 x^{2}$ buluruz. Bu terim, $x$ 'in artan kuvvetlerine göre sıralamada $3.$ terimdir; çünkü bu sıralama $1, - 12 x, 60 x^{2}, \dots$ diye başlar.
Azalan kuvvetlere göre sıralamak için ifadeyi yeniden yazalım: $(1 - 2 x)^{6} = (- 2 x + 1)^{6}$ . Şimdi $a = - 2 x$ , $b = 1$ .
Baştan $3.$ terim $k = 2$ : $C (6, 2) (- 2 x)^{4} \cdot 1^{2} = 15 \cdot 16 x^{4} = 240 x^{4}$ .
Kontrol: Açılımın tamamı $64 x^{6} - 192 x^{5} + 240 x^{4} - 160 x^{3} + 60 x^{2} - 12 x + 1$ 'dir. Azalan sırada $3.$ terim $240 x^{4}$ , artan sırada $3.$ terim $60 x^{2}$ 'dir. Katsayılar toplamı $64 - 192 + 240 - 160 + 60 - 12 + 1 = 1 = (1 - 2)^{6}$ ; açılım doğru.

Sonuç:

240 x^{4}

Örnek

Soru

a) $(2 x^{2} - \frac{1}{x})^{9}$ açılımındaki sabit terim kaçtır?

b) $(x^{2} + \frac{1}{x})^{7}$ açılımında sabit terim var mıdır?

Paydadaki $x$ 'i negatif üsle yaz: $\frac{1}{x} = x^{- 1}$ . Sonra $x$ 'in toplam üssünü $0$ 'a eşitle.

a) Genel terim: $C (9, k) (2 x^{2})^{9 - k} (- x^{- 1})^{k} = C (9, k) \cdot 2^{9 - k} \cdot (- 1)^{k} \cdot x^{2 (9 - k) - k}$ .
$x$ 'in üssü: $2 (9 - k) - k = 18 - 3 k$ . Sabit terim için $18 - 3 k = 0$ , yani $k = 6$ .
Katsayı: $C (9, 6) \cdot 2^{3} \cdot (- 1)^{6} = 84 \cdot 8 \cdot 1 = 672$ .
Yanlış yol: Paydadaki $x$ unutulup üs yalnız $2 (9 - k)$ diye alınırsa $2 (9 - k) = 0$ ve $k = 9$ çıkar. Bu $k$ değeri $(- \frac{1}{x})^{9} = - \frac{1}{x ^{9}}$ terimini verir; bu terim sabit değildir. Hata, $x^{- 1}$ 'in üsse katkısını atlamaktır.
b) Genel terim $C (7, k) x^{2 (7 - k)} x^{- k} = C (7, k) x^{14 - 3 k}$ . Sabit terim için $14 - 3 k = 0$ , $k = \frac{14}{3}$ olur. $k$ tam sayı olmadığından açılımda sabit terim yoktur; sabit terim $0$ 'dır. Gerçekten üsler $14, 11, 8, 5, 2, - 1, - 4, - 7$ diye $3$ 'er azalır ve $0$ değerini atlar.
Kontrol (a şıkkı): $k = 6$ için $(2 x^{2})^{3} \cdot (- \frac{1}{x})^{6} = 8 x^{6} \cdot \frac{1}{x ^{6}} = 8$ ; bunu $C (9, 6) = 84$ ile çarpınca $672$ olur ve $x$ tamamen sadeleşir.

Sonuç: a)

672

; b) Yoktur.

Örnek

Soru

$a$ bir gerçek sayıdır. $(2 + a x)^{5}$ açılımında $x^{3}$ 'lü terimin katsayısı $- 320$ olduğuna göre $a$ kaçtır?

Genel terim: $C (5, k) 2^{5 - k} (a x)^{k} = C (5, k) \cdot 2^{5 - k} \cdot a^{k} \cdot x^{k}$ .
$x^{3}$ için $k = 3$ . Katsayı: $C (5, 3) \cdot 2^{2} \cdot a^{3} = 10 \cdot 4 \cdot a^{3} = 40 a^{3}$ .
Denklem: $40 a^{3} = - 320$ , buradan $a^{3} = - 8$ ve $a = - 2$ . Kuvvet tek olduğundan tek gerçek çözüm vardır.
Sık yapılan hata, $(a x)^{3}$ teriminden $a^{3}$ yerine $a$ ya da $3 a$ almaktır. $40 a = - 320$ yazılırsa $a = - 8$ bulunur; ama $a = - 8$ için katsayı $40 \cdot (- 512)$ olur, $- 320$ değil. $2^{2}$ çarpanını unutmak da $10 a^{3} = - 320$ , yani $a^{3} = - 32$ verir; buradan $a = - 332$ bulunur ve bu sayı tam sayı değildir.
Kontrol: $a = - 2$ için $(2 - 2 x)^{5}$ açılımında $x^{3}$ 'lü terim $C (5, 3) \cdot 2^{2} \cdot (- 2)^{3} x^{3} = 10 \cdot 4 \cdot (- 8) x^{3} = - 320 x^{3}$ .

Sonuç:

- 2

Örnek

Soru

$(2 x - 3)^{5}$ açılımı için

a) katsayılar toplamını,

b) sabit terim hariç katsayılar toplamını,

c) $x$ 'in tek kuvvetlerini içeren terimlerin katsayıları toplamını bul.

$P (x) = (2 x - 3)^{5}$ olsun. Katsayılar toplamı $P (1)$ , sabit terim $P (0)$ 'dır. Tek ve çift dereceli katsayıları ayırmak için $P (- 1)$ 'i de hesapla.

a) Katsayılar toplamı: $P (1) = (2 - 3)^{5} = (- 1)^{5} = - 1$ .
Burada iki yanlış cevap çok görülür. $x = 0$ koymak $P (0) = (- 3)^{5} = - 243$ verir; bu katsayılar toplamı değil, sabit terimdir. Binom katsayılarını toplamak da $2^{5} = 32$ verir; ama terimlerin katsayıları $C (5, k)$ 'den ibaret değildir, $2$ ve $- 3$ 'ün kuvvetlerini de içerir.
b) Sabit terim $P (0) = - 243$ olduğundan sabit terim hariç toplam: $P (1) - P (0) = - 1 - (- 243) = 242$ .
c) $P (- 1) = (- 2 - 3)^{5} = (- 5)^{5} = - 3125$ . Tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı:

$\frac{P ( 1 ) - P ( - 1 )}{2} = \frac{- 1 - ( - 3125 )}{2} = \frac{3124}{2} = 1562$

Kontrol: Açılım $32 x^{5} - 240 x^{4} + 720 x^{3} - 1080 x^{2} + 810 x - 243$ 'tür. Tüm katsayıların toplamı $- 1$ ; sabit terim hariç toplam $- 1 + 243 = 242$ ; tek dereceliler $32 + 720 + 810 = 1562$ . Çift dereceliler $- 240 - 1080 - 243 = - 1563$ ve $1562 + (- 1563) = - 1 = P (1)$ .

Sonuç: a)

- 1

; b)

242

; c)

1562

Örnek

Soru

$(1 + x)^{n}$ açılımında $x^{3}$ 'lü ve $x^{7}$ 'li terimlerin katsayıları sıfırdan farklıdır ve birbirine eşittir.

a) $n$ kaçtır?

b) $C (n, 0) + C (n, 2) + C (n, 4) + \dots + C (n, n)$ toplamı kaçtır?

c) Açılımın ortanca terimi nedir?

$C (n, a) = C (n, b)$ eşitliğinde iki durum vardır: $a = b$ ya da $a + b = n$ .

a) Genel terim $C (n, k) x^{k}$ olduğundan $x^{3}$ 'ün katsayısı $C (n, 3)$ , $x^{7}$ 'nin katsayısı $C (n, 7)$ 'dir. Soruda $x^{7}$ 'li terimin katsayısının sıfırdan farklı olduğu verildiğinden açılımda bu terim vardır, yani $n \geq 7$ 'dir. (Bu koşul olmasaydı $n = 0, 1, 2$ için iki katsayı da $0$ olurdu ve eşitlik yine sağlanırdı.)
$C (n, 3) = C (n, 7)$ için yalnız "indisler eşit" durumunu denersek $3 = 7$ gibi imkânsız bir sonuca varırız. İkinci durum simetriden gelir: $3 + 7 = n$ , yani $n = 10$ . Bu, Kombinasyon: Seçme Problemleri sayfasındaki kombinasyon denklemlerinde kullanılan yöntemin aynısıdır.
b) $n = 10$ için çift indisli kombinasyonların toplamı $2^{n - 1} = 2^{9} = 512$ 'dir. Gerekçe: $x = 1$ için $(1 + 1)^{10} = 2^{10} = 1024$ ve $x = - 1$ için $(1 - 1)^{10} = 0$ . İki eşitlik toplanınca tek indisliler birbirini götürür: $2 [C (10, 0) + C (10, 2) + \dots + C (10, 10)] = 1024$ .
c) Açılımda $10 + 1 = 11$ terim vardır; ortanca terim $T_{6}$ 'dır ( $k = 5$ ): $C (10, 5) x^{5} = 252 x^{5}$ . Terim sayısı tek olduğu için ortanca terim, terimler hangi sırayla dizilirse dizilsin aynıdır.
Kontrol: $C (10, 3) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = 120$ ve $C (10, 7) = C (10, 3) = 120$ ; eşitlik sağlanıyor. Ayrıca $512$ , tüm binom katsayılarının toplamı olan $1024$ 'ün tam yarısıdır.

Sonuç: a)

10

; b)

512

; c)

252 x^{5}

Pekiştirme Soruları

Konuyu pekiştirmek için hazırlanmış özgün sorular.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

(x^{2} - 3 y)^{7}

ifadesinin açılımında kaç terim vardır?

$(a + b)^{n}$ açılımında $k = 0, 1, \dots, n$ olmak üzere $n + 1$ terim vardır. Burada $a = x^{2}$ , $b = - 3 y$ ve $n = 7$ 'dir.
Genel terim $C (7, k) (x^{2})^{7 - k} (- 3 y)^{k} = C (7, k) (- 3)^{k} x^{14 - 2 k} y^{k}$ 'dir. $k$ değiştikçe $y$ 'nin üssü değiştiği için hiçbir iki terim benzer değildir ve hiçbir katsayı $0$ olmaz.
Terim sayısı $7 + 1 = 8$ 'dir. Parantezin içindeki $x^{2}$ 'nin üssü ya da $- 3$ katsayısı terim sayısını değiştirmez; $14$ ya da $21$ gibi sonuçlar bu sayıları $n$ ile çarpmaktan gelir.
Kontrol: $k$ değerleri $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ 'dir; bunlar $8$ tanedir.

Sonuç:

8

Soru 2Kolay

(x - 1)^{10}

ifadesinin açılımında katsayısı pozitif olan kaç terim vardır?

Genel terim: $C (10, k) x^{10 - k} (- 1)^{k}$ . $C (10, k)$ her zaman pozitiftir; terimin işaretini yalnız $(- 1)^{k}$ belirler.
$(- 1)^{k}$ , $k$ çift olduğunda $+ 1$ 'dir. $k$ değerleri $0, 1, \dots, 10$ olduğundan çift olanlar $0, 2, 4, 6, 8, 10$ 'dur.
Katsayısı pozitif olan $6$ terim vardır ( $k$ tek olan $5$ terimin katsayısı negatiftir).
Kontrol: $6 + 5 = 11$ eder; bu da $10 + 1 = 11$ olan terim sayısına eşittir. İşaretler $+, -, +, \dots, +$ diye değişir ve hem ilk hem son terim pozitiftir.

Sonuç:

6

Soru 3Kolay

n

bir pozitif tam sayıdır.

C (n, 1) + C (n, 2) + C (n, 3) + \dots + C (n, n) = 255

olduğuna göre

n

kaçtır?

$(1 + x)^{n} = C (n, 0) + C (n, 1) x + \dots + C (n, n) x^{n}$ eşitliğinde $x = 1$ koyarsak $C (n, 0) + C (n, 1) + \dots + C (n, n) = 2^{n}$ olur.
Verilen toplamda $C (n, 0) = 1$ yoktur. Bu yüzden toplam $2^{n} - 1$ 'dir: $2^{n} - 1 = 255$ .
$2^{n} = 256 = 2^{8}$ , buradan $n = 8$ .
Toplamı $2^{n - 1} - 1$ almak (tek indisliler formülüyle karıştırmak) $n = 9$ verir; " $n + 1$ terim var" diye $2^{n + 1} - 1$ yazmak ise $n = 7$ verir.
Kontrol: $n = 8$ için Pascal satırı $1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1$ 'dir; ilk $1$ hariç toplam $8 + 28 + 56 + 70 + 56 + 28 + 8 + 1 = 255$ .

Sonuç:

8

Soru 4Kolay

C (7, 0) - 2 C (7, 1) + 4 C (7, 2) - 8 C (7, 3) + \dots - 128 C (7, 7)

toplamı kaçtır?

Terimler $C (7, k) (- 2)^{k}$ biçimindedir: katsayılar $1, - 2, 4, - 8, \dots, - 128$ diye $(- 2)$ 'nin kuvvetleridir.
$(1 + x)^{7} = \sum_{k = 0}^{7} C (7, k) x^{k}$ eşitliğinde $x = - 2$ koyarsak istenen toplam elde edilir.
Toplam $= (1 - 2)^{7} = (- 1)^{7} = - 1$ .
$x = 2$ koymak $3^{7} = 2187$ , $x = - 1$ koymak $0$ , $x = 1$ koymak $2^{7} = 128$ verir; bunlar başka toplamlardır. $(- 1)^{7}$ 'nin işaretini $+$ almak da $1$ verir.
Kontrol: $1 - 14 + 84 - 280 + 560 - 672 + 448 - 128 = - 1$ .

Sonuç:

- 1

Soru 5Orta

(x + 3)^{5}

ifadesinin açılımında katsayısı en büyük olan terimin katsayısı kaçtır?

Genel terim: $C (5, k) x^{5 - k} 3^{k}$ . Katsayı $C (5, k) \cdot 3^{k}$ 'dir; yalnız binom katsayısı değildir.
Katsayıları yan yana yazalım: $k = 0$ : $1$ ; $k = 1$ : $5 \cdot 3 = 15$ ; $k = 2$ : $10 \cdot 9 = 90$ ; $k = 3$ : $10 \cdot 27 = 270$ ; $k = 4$ : $5 \cdot 81 = 405$ ; $k = 5$ : $1 \cdot 243 = 243$ .
En büyük katsayı $405$ 'tir ve $405 x$ teriminde görülür.
En büyük binom katsayısı ( $10$ ) ortadadır; ama $3^{k}$ çarpanı katsayıları sona doğru büyüttüğü için en büyük katsayı ortanca terimlerde ( $90$ , $270$ ) değildir. En büyük çarpana sahip son terim ( $243$ ) de en büyük değildir, çünkü orada $C (5, 5) = 1$ 'dir.
Kontrol: Katsayılar toplamı $1 + 15 + 90 + 270 + 405 + 243 = 1024 = (1 + 3)^{5}$ .

Sonuç:

405

Soru 6Orta

n

bir pozitif tam sayıdır.

(1 + x)^{n}

ifadesinin açılımındaki terimlerin katsayılarının aritmetik ortalaması

16

olduğuna göre

n

kaçtır?

Açılımın katsayıları $C (n, 0), C (n, 1), \dots, C (n, n)$ 'dir. Bunların toplamı $x = 1$ koyarak $(1 + 1)^{n} = 2^{n}$ bulunur.
Açılımda $n + 1$ terim vardır. Aritmetik ortalama $\frac{2 ^{n}}{n + 1}$ 'dir.
$\frac{2 ^{n}}{n + 1} = 16$ denklemini deneyerek çözelim: $n = 7$ için $\frac{128}{8} = 16$ . $n$ bir artınca pay iki katına çıkar, payda ise iki katından az artar; bu yüzden ortalama $n$ ile birlikte büyür ve başka çözüm yoktur.
Terim sayısına bölmeyi unutup $2^{n} = 16$ yazmak $n = 4$ verir. Terim sayısı olan $8$ 'i $n$ sanmak da $8$ cevabını verir.
Kontrol: $n = 7$ için katsayılar $1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1$ ; toplam $128$ , terim sayısı $8$ , ortalama $16$ .

Sonuç:

7

Soru 7Orta

x > 0

olmak üzere

(x - \frac{2}{x})^{6}

ifadesinin açılımında

\frac{1}{x ^{3}}

'lü terimin katsayısı kaçtır?

Üsleri yazalım: $x = x^{1/2}$ ve $\frac{2}{x} = 2 x^{- 1}$ . İstenen terim $x^{- 3}$ 'lü terimdir.
Genel terim: $C (6, k) (x^{1/2})^{6 - k} (- 2 x^{- 1})^{k} = C (6, k) (- 2)^{k} x^{\frac{6 - k}{2} - k}$ .
$x$ 'in üssü: $\frac{6 - k}{2} - k = \frac{6 - 3 k}{2}$ . Bunu $- 3$ 'e eşitleyelim: $6 - 3 k = - 6$ , buradan $k = 4$ .
Katsayı: $C (6, 4) \cdot (- 2)^{4} = 15 \cdot 16 = 240$ . Üs kesrinin paydasındaki $2$ unutulup üs $6 - 3 k$ diye alınırsa $6 - 3 k = - 3$ , $k = 3$ ve katsayı $- 160$ bulunur; $(- 2)^{4}$ hiç yazılmazsa yalnız $15$ kalır.
Kontrol: $k = 4$ için $(x^{1/2})^{2} \cdot (- 2 x^{- 1})^{4} = x \cdot 16 x^{- 4} = 16 x^{- 3}$ ; $15$ ile çarpınca $240 x^{- 3}$ olur.

Sonuç:

240

Soru 8Orta

(1 + x)^{3} \cdot (1 - x)^{5}

çarpımının açılımında

x^{2}

'li terimin katsayısı kaçtır?

İki açılımın katsayıları: $(1 + x)^{3}$ için $1, 3, 3, 1$ ; $(1 - x)^{5}$ için $1, - 5, 10, - 10, 5, - 1$ (sabit terimden başlayarak).
$x^{2}$ üç yolla oluşur: birinciden $1$ , ikinciden $x^{2}$ : $1 \cdot 10 = 10$ ; birinciden $x$ , ikinciden $x$ : $3 \cdot (- 5) = - 15$ ; birinciden $x^{2}$ , ikinciden $1$ : $3 \cdot 1 = 3$ .
Durumlar ayrık olduğundan katkılar toplanır: $10 - 15 + 3 = - 2$ .
Yalnız bir kaynağı almak, ortadaki $x \cdot x$ durumunu atlamak ve $- 5$ 'in işaretini düşürmek sırasıyla $10$ , $13$ ve $28$ verir.
Kontrol (ikinci yol): $(1 + x)^{3} (1 - x)^{5} = (1 - x^{2})^{3} (1 - x)^{2} = (1 - 3 x^{2} + \dots) (1 - 2 x + x^{2})$ . $x^{2}$ 'nin katsayısı $1 \cdot 1 + (- 3) \cdot 1 = - 2$ .

Sonuç:

- 2

Soru 9Orta

1 1^{12}

sayısının

100

ile bölümünden kalan kaçtır?

$1 1^{12} = (10 + 1)^{12} = \sum_{k = 0}^{12} C (12, k) 1 0^{k}$ biçiminde yazalım.
$k \geq 2$ olan terimler $1 0^{2} = 100$ çarpanını içerir, bu yüzden $100$ 'e tam bölünür. Kalanı yalnız $k = 0$ ve $k = 1$ terimleri belirler.
$k = 0$ : $1$ ; $k = 1$ : $C (12, 1) \cdot 10 = 120$ . Toplam $121$ ; $121 = 100 + 21$ olduğundan kalan $21$ 'dir.
$C (12, 1)$ çarpanı unutulursa $1 + 10 = 11$ bulunur. $121$ 'den $100$ çıkarmayı unutmak ise $121$ cevabını verir; oysa kalan $100$ 'den küçük olmalıdır.
Kontrol: Aynı akıl yürütmeyle her $n$ için $1 1^{n} = (10 + 1)^{n}$ sayısının $100$ ile bölümünden kalan, $1 + 10 n$ sayısının $100$ ile bölümünden kalana eşittir. $n = 2$ için $21$ ( $1 1^{2} = 121$ ), $n = 4$ için $41$ ( $1 1^{4} = 14641$ ) tutar. $n = 12$ için $1 + 120 = 121$ ve kalan $21$ 'dir.

Sonuç:

21

Soru 10Zor

x > 0

olmak üzere

(x + \frac{1}{3 x})^{10}

ifadesinin açılımında

x

'in üssü tam sayı olan kaç terim vardır (sabit terim dahil)?

Üsleri yazalım: $x = x^{1/2}$ ve $\frac{1}{3 x} = x^{- 1/3}$ .
Genel terim: $C (10, k) x^{\frac{10 - k}{2}} x^{- \frac{k}{3}} = C (10, k) x^{\frac{30 - 5 k}{6}}$ , $k = 0, 1, \dots, 10$ .
Üs $\frac{30 - 5 k}{6} = \frac{5 ( 6 - k )}{6}$ tam sayı olmalıdır. $5$ ile $6$ aralarında asal olduğundan $6 - k$ , $6$ 'nın katı olmalıdır: $k = 0$ ya da $k = 6$ .
$k = 0$ : $x^{5}$ ; $k = 6$ : $x^{0}$ , yani sabit terim $C (10, 6) = 210$ . Sabit terimin üssü $0$ 'dır ve $0$ bir tam sayıdır; bu terim de sayılır. Terim sayısı $2$ 'dir.
Koşulları ayrı ayrı uygulamak yanlıştır: yalnız $10 - k$ 'nin çift olmasını istemek $6$ , yalnız $k$ 'nin $3$ 'ün katı olmasını istemek $4$ terim verir. İki kesrin toplamına bakılmalıdır.
Kontrol: $k = 2$ için üs $\frac{20}{6}$ , $k = 3$ için $\frac{15}{6}$ olur; ikisi de tam sayı değildir.

Sonuç:

2

Soru 11Zor

(1 + 2 x)^{n}

ifadesinin açılımında terimler

x

'in artan kuvvetlerine göre sıralanıyor.

4.

terimin katsayısının

3.

terimin katsayısına oranı

6

olduğuna göre

n

kaçtır?

İfade $x$ 'in artan kuvvetlerine göre yazılmıştır: $a = 1$ , $b = 2 x$ . Genel terim $T_{k + 1} = C (n, k) 2^{k} x^{k}$ .
$4.$ terimde $k = 3$ , $3.$ terimde $k = 2$ 'dir. Katsayılar $C (n, 3) \cdot 8$ ve $C (n, 2) \cdot 4$ .
$\frac{C ( n , 3 )}{C ( n , 2 )} = \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 ) /6}{n ( n - 1 ) /2} = \frac{n - 2}{3}$ olduğundan oran $\frac{8}{4} \cdot \frac{n - 2}{3} = \frac{2 ( n - 2 )}{3}$ 'tür.
$\frac{2 ( n - 2 )}{3} = 6 \Rightarrow n - 2 = 9 \Rightarrow n = 11$ .
Sıra numarasını $k$ sanmak ( $k = 4$ ve $k = 3$ ) $n = 15$ , $2^{k}$ çarpanlarını unutmak $n = 20$ , ikisini birden yapmak $n = 27$ verir.
Kontrol: $n = 11$ için $4.$ terimin katsayısı $C (11, 3) \cdot 8 = 165 \cdot 8 = 1320$ , $3.$ terimin katsayısı $C (11, 2) \cdot 4 = 55 \cdot 4 = 220$ ; $\frac{1320}{220} = 6$ .

Sonuç:

11

Soru 12Zor

(1 + x + x^{2})^{3}

ifadesinin açılımında

x^{3}

'lü terimin katsayısı kaçtır?

$(1 + x + x^{2})^{3} = (1 + x + x^{2}) (1 + x + x^{2}) (1 + x + x^{2})$ . Her parantezden $1$ , $x$ ya da $x^{2}$ seçilir; seçilen üslerin toplamı $3$ olmalıdır.
Üç parantezden gelen üsler $0$ , $1$ ya da $2$ 'dir. Toplamı $3$ olan seçimler iki türlüdür: ${2, 1, 0}$ ve ${1, 1, 1}$ .
${2, 1, 0}$ : $x^{2}$ , $x$ ve $1$ farklı parantezlerden gelir; hangi parantezden hangisinin geleceği $3! = 6$ yolla seçilir. ${1, 1, 1}$ : her parantezden $x$ , yalnız $1$ yol.
Katsayı: $6 + 1 = 7$ . Yalnız durum türlerini saymak $2$ , $x \cdot x \cdot x$ seçimini unutmak $6$ verir. $10 = C (5, 2)$ ise $(a + b + c)^{3}$ 'ün terim sayısıdır, bir katsayı değildir.
Kontrol: $(1 + x + x^{2})^{2} = 1 + 2 x + 3 x^{2} + 2 x^{3} + x^{4}$ . Bunu $(1 + x + x^{2})$ ile çarpınca $x^{3}$ 'ün katsayısı $2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 7$ olur.

Sonuç:

7

0/12 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Terim sayısını $n$ almak. $(a + b)^{n}$ açılımında $k = 0, 1, \dots, n$ olduğundan $n + 1$ terim vardır (Örnek 1, Bölüm 3).
$r$ 'inci terimde $k = r$ almak. $k$ sıfırdan başlar; $r$ 'inci terimde $k = r - 1$ 'dir. Sondan $r$ 'inci terim, baştan $(n + 2 - r)$ 'inci terimdir. Ardışık terimlerin oranı sorulduğunda da bu kaymaya dikkat et (Örnek 2, Bölüm 4).
Genel terimi istenen sıraya göre değil, ifadenin yazıldığı sıraya göre uygulamak. " $x$ 'in azalan kuvvetlerine göre" deniyorsa önce parantezin içini bu sıraya göre yeniden yaz (Örnek 4, Bölüm 5).
Parantezdeki sayının kuvvetini ve işaretini katsayıya katmamak. $(3 x - 2)^{6}$ 'da katsayı yalnız $C (6, k)$ değildir; $3^{6 - k}$ ve $(- 2)^{k}$ çarpanları da vardır (Örnek 3).
Katsayıdan parametre bulurken $a^{k}$ yerine $a$ ya da $k \cdot a$ yazmak. $(a x)^{k}$ teriminden katsayıya $a^{k}$ gelir (Örnek 6, Bölüm 7).
Paydadaki $x$ 'in negatif üssünü üs denklemine katmamak. $\frac{1}{x} = x^{- 1}$ yazılmadan kurulan denklem yanlış $k$ verir. $k$ tam sayı çıkmıyorsa o terim yoktur (Örnek 5).
Katsayılar toplamı için $x = 0$ koymak. $x = 0$ sabit terimi verir; katsayılar toplamı için $x = 1$ konur (Örnek 7, Bölüm 9).
"Katsayılar toplamı" ile "binom katsayıları toplamı ( $2^{n}$ )" kavramlarını karıştırmak. İkisi genel olarak eşit değildir: katsayılar toplamı, bütün değişkenlere $1$ verildiğinde ifadenin aldığı değerdir; binom katsayılarının toplamı ise her zaman $2^{n}$ 'dir. Örneğin $(1 + x)^{n}$ 'de ikisi eşittir, $(2 x - 3)^{5}$ 'te biri $- 1$ , öteki $32$ 'dir (Örnek 7, Bölüm 9).
Eşit katsayılarda yalnız "indisler eşit" durumunu denemek. $C (n, a) = C (n, b)$ ve $a \neq = b$ ise $a + b = n$ olmalıdır (Örnek 8).
Çarpımda belirli terimi tek bir kaynaktan almak. $x^{m}$ 'nin oluştuğu bütün yolları listele ve katkıları topla (Bölüm 11).
Çok terimli açılımda terim sayısını $n + 1$ sanmak. $(a + b + c)^{n}$ açılımında $C (n + 2, 2)$ terim vardır; $(a + b + c)^{2}$ 'de bile $6$ terim bulunur (Örnek 1, Bölüm 13).

Özet

Konu	Kural
Genel terim (baştan $(k + 1)$ 'inci)	$T_{k + 1} = C (n, k) a^{n - k} b^{k}$
Terim sayısı	$n + 1$
Sondan $r$ 'inci terim	Baştan $(n + 2 - r)$ 'inci terim
Belirli üslü terim, sabit terim	$x$ 'in üssünü $k$ cinsinden yaz, istenen üsse ( $0$ 'a) eşitle
Ardışık binom katsayılarının oranı	$\frac{C ( n , k + 1 )}{C ( n , k )} = \frac{n - k}{k + 1}$
Ortanca terim	$n$ çiftse $T_{\frac{n}{2} + 1}$ ; $n$ tekse $T_{\frac{n + 1}{2}}$ ve $T_{\frac{n + 3}{2}}$
Katsayılar toplamı / sabit terim	$P (1)$ / $P (0)$
Çift / tek dereceli katsayılar toplamı	$\frac{P ( 1 ) + P ( - 1 )}{2}$ / $\frac{P ( 1 ) - P ( - 1 )}{2}$
$\sum C (n, k)$	$2^{n}$
Çift ya da tek indisli kombinasyonların toplamı	$2^{n - 1}$
$\sum C (n, k) 2^{k}$	$3^{n}$
$(a + b + c)^{n}$ terim sayısı	$C (n + 2, 2)$

Pratik İpucu

Bir açılımı yazdığında $x = 1$ koyarak kısa bir kontrol yap: bulduğun katsayıların toplamı, ifadenin $x = 1$ 'deki değerine eşit olmalıdır.
Sıra soran sorularda ilk iş, parantezin içini istenen kuvvet sırasına göre yazmaktır.
Sabit terim ve belirli üslü terim sorularında üs denklemini çözmeden önce bütün $x$ 'leri tek bir $x^{(\dots)}$ biçiminde topla.