AYT Matematik · Polinomlar

Polinom Kavramı ve İşlemler

~9 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soruAYT'de ~1.5 soru/yıl · Sınavda orta ağırlık

Polinomlar, tek değişkenli ve tam sayı kuvvetli terimlerden oluşan en temel cebirsel ifadelerdir. Bu konu; derece, baş katsayı, sabit terim gibi temel kavramları, katsayılar toplamı ve sabit terimin pratik hesabını ( $P (1)$ ve $P (0)$ ), polinomlarla toplama–çıkarma–çarpma işlemlerini ve polinom eşitliğini (özdeşlik) kurar. AYT'de bölme, çarpanlara ayırma ve kök konularının tamamı bu temele dayanır.

1. Polinom Nedir?

Tek değişkenli bir polinom, değişkeni $x$ olan ve üsleri negatif olmayan tam sayı olan terimlerin toplamıdır:

$P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}, a_{n} \neq = 0$

Burada $a_{n}, a_{n - 1}, \dots, a_{0}$ sayıları katsayılardır. Üslerin tam sayı olması zorunludur: $x = x^{1/2}$ , $\frac{1}{x} = x^{- 1}$ gibi terimler içeren ifadeler polinom değildir.

Kavram	Tanım	Örnek: $P (x) = 3 x^{4} - 2 x^{2} + 5$
Derece $de g P$	En yüksek üs	$4$
Baş katsayı	En yüksek dereceli terimin katsayısı $a_{n}$	$3$
Sabit terim	Değişkensiz terim $a_{0}$	$5$

Not: Sıfır polinomu ( $P (x) = 0$ ) dışındaki sabit polinomların (örneğin $P (x) = 7$ ) derecesi $0$ 'dır.

2. İki Altın Kural: $P (1)$ ve $P (0)$

Polinomun katsayılar toplamı ve sabit terimi, tek bir değer yerine yazılarak anında bulunur:

$Katsay ı lar toplam ı = P (1), Sabit terim = P (0)$

$x = 1$ koyunca her $x^{k}$ terimi $1$ olur, geriye sadece katsayıların toplamı kalır. $x = 0$ koyunca değişkenli her terim sıfırlanır, geriye yalnızca sabit terim kalır.

Örnek

Soru

$P (x) = 2 x^{3} - x + 4$ polinomunun katsayılar toplamını ve sabit terimini bulunuz.

Katsayılar toplamı için $x = 1$ yaz: $P (1) = 2 \cdot 1^{3} - 1 + 4 = 2 - 1 + 4 = 5$ .
Sabit terim için $x = 0$ yaz: $P (0) = 2 \cdot 0 - 0 + 4 = 4$ .

Sonuç: Katsayılar toplamı

5

, sabit terim

4

3. Polinomlarla İşlemler

Toplama ve çıkarma: Aynı dereceli terimlerin katsayıları toplanır/çıkarılır. Sonucun derecesi, terimlerin dereceleri farklıysa en büyüğü kadardır.

Çarpma: Çarpımın derecesi, derecelerin toplamıdır:

$de g (P \cdot Q) = de g P + de g Q$

Bunun nedeni, baş katsayıların çarpımının ( $a_{n} \cdot b_{m} \neq = 0$ ) en yüksek dereceli terimi vermesidir.

Örnek

Soru

$de g P = 3$ ve $de g Q = 2$ ise $de g (P \cdot Q)$ kaçtır?

Çarpımın derecesi, derecelerin toplamıdır: $de g (P \cdot Q) = de g P + de g Q$ .
Yerine yaz: $3 + 2 = 5$ .

Sonuç:

de g (P \cdot Q) = 5

4. Polinom Eşitliği (Özdeşlik)

İki polinom tüm $x$ değerleri için eşitse, karşılıklı (aynı dereceli) terimlerin katsayıları birbirine eşittir. Bu, katsayı bulmanın en güçlü yöntemidir.

$a_{n} x^{n} + \dots + a_{0} = b_{n} x^{n} + \dots + b_{0} ⟺ a_{n} = b_{n}, \dots, a_{0} = b_{0}$

Örnek

Soru

Her $x$ için $P (x) = a x^{2} + b x + c = 2 x^{2} + 3$ eşitliği sağlanıyorsa $a$ , $b$ , $c$ değerlerini bulunuz.

Sağ tarafı tüm dereceleriyle yaz: $2 x^{2} + 3 = 2 x^{2} + 0 \cdot x + 3$ .
Karşılıklı katsayıları eşitle: $a = 2$ , $b = 0$ , $c = 3$ .

Sonuç:

a = 2, b = 0, c = 3

5. $P (x - 1)$ , $P (2 x)$ Gibi Değerler

$P (x)$ içindeki her $x$ yerine verilen ifade olduğu gibi yazılır. Örneğin $P (x - 1)$ için $x \to x - 1$ , $P (2 x)$ için $x \to 2 x$ dönüşümü yapılır. Sayısal bir değer isteniyorsa önce $x$ 'i, sonra fonksiyonu yerleştirmek pratiktir.

Örnek

Soru

$P (x) = x^{2} + x$ olduğuna göre $P (x - 1)$ ifadesini bulunuz.

Her $x$ yerine $x - 1$ yaz: $P (x - 1) = (x - 1)^{2} + (x - 1)$ .
Aç: $(x - 1)^{2} = x^{2} - 2 x + 1$ , dolayısıyla $P (x - 1) = x^{2} - 2 x + 1 + x - 1$ .
Düzenle: $x^{2} - x$ .

Sonuç:

P (x - 1) = x^{2} - x

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$P (x) = - 4 x^{5} + 7 x^{3} - x + 6$ polinomunun derecesini, baş katsayısını ve sabit terimini yazınız.

Derece: En yüksek üs $5$ olduğundan $de g P = 5$ .
Baş katsayı: $x^{5}$ teriminin katsayısı $- 4$ .
Sabit terim: Değişkensiz terim $6$ .

Sonuç: Derece

5

, baş katsayı

- 4

, sabit terim

6

Örnek

Soru

$P (x) = 3 x^{4} - 5 x^{2} + 2 x - 1$ polinomunun katsayılar toplamı ile sabit teriminin farkını bulunuz.

Katsayılar toplamı $P (1)$ , sabit terim $P (0)$ 'dır. İkisini ayrı hesaplayıp çıkar.

Katsayılar toplamı: $P (1) = 3 - 5 + 2 - 1 = - 1$ .
Sabit terim: $P (0) = - 1$ .
Fark: $P (1) - P (0) = - 1 - (- 1) = 0$ .

Sonuç: Fark

0

Örnek

Soru

$de g P = 4$ ve $de g Q = 6$ olan polinomlar için $de g (P^{2} \cdot Q)$ kaçtır?

$P^{2} = P \cdot P$ olduğundan derecesi $2 de g P$ 'dir. Çarpımda dereceler toplanır.

$P^{2}$ derecesi: $de g (P \cdot P) = 4 + 4 = 8$ .
Çarpımı ekle: $de g (P^{2} \cdot Q) = 8 + 6 = 14$ .

Sonuç:

de g (P^{2} \cdot Q) = 14

Örnek

Soru

$P (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 4$ ve $Q (x) = x^{2} - 3 x + 1$ ise $P (x) + Q (x)$ polinomunu bulunuz.

Aynı dereceli terimleri eşle. $x^{3}$ : yalnız $2 x^{3}$ .
$x^{2}$ : $x^{2} + x^{2} = 2 x^{2}$ ; $x$ : yalnız $- 3 x$ .
Sabit: $- 4 + 1 = - 3$ . Birleştir: $2 x^{3} + 2 x^{2} - 3 x - 3$ .

Sonuç:

P (x) + Q (x) = 2 x^{3} + 2 x^{2} - 3 x - 3

Örnek

Soru

Her $x$ için $P (x) = (a - 1) x^{2} + (b + 2) x + 5$ polinomu $3 x^{2} - x + 5$ polinomuna eşittir. Buna göre $a + b$ kaçtır?

Karşılıklı katsayıları eşitle: $x^{2}$ katsayıları, $x$ katsayıları ve sabit terimler ayrı ayrı eşit olmalı.

$x^{2}$ katsayıları: $a - 1 = 3 \Rightarrow a = 4$ .
$x$ katsayıları: $b + 2 = - 1 \Rightarrow b = - 3$ .
Topla: $a + b = 4 + (- 3) = 1$ .

Sonuç:

a + b = 1

Örnek

Soru

$P (x) = x^{2} - 3 x + 2$ olduğuna göre $P (2 x)$ ifadesini ve $P (x + 1)$ değerini ayrı ayrı bulunuz.

$P (2 x)$ için her $x$ yerine $2 x$ yaz: $(2 x)^{2} - 3 (2 x) + 2 = 4 x^{2} - 6 x + 2$ .
$P (x + 1)$ için her $x$ yerine $x + 1$ yaz: $(x + 1)^{2} - 3 (x + 1) + 2$ .
Aç ve düzenle: $x^{2} + 2 x + 1 - 3 x - 3 + 2 = x^{2} - x$ .

Sonuç:

P (2 x) = 4 x^{2} - 6 x + 2

P (x + 1) = x^{2} - x

Örnek

Soru

Bir $P (x)$ polinomu her $x$ için $P (x + 1) - P (x) = 6 x + 4$ eşitliğini sağlıyor ve $P (0) = 2$ dir. Buna göre $P (2)$ kaçtır?

Fark $6 x + 4$ birinci dereceden olduğundan $P (x)$ ikinci derecedendir: $P (x) = a x^{2} + b x + c$ al. Ya katsayıları eşitle ya da $x = 0, 1$ yazıp ardışık değerleri topla.

$x = 0$ koy: $P (1) - P (0) = 6 \cdot 0 + 4 = 4$ , yani $P (1) = P (0) + 4 = 2 + 4 = 6$ .
$x = 1$ koy: $P (2) - P (1) = 6 \cdot 1 + 4 = 10$ , yani $P (2) = P (1) + 10 = 6 + 10 = 16$ .

Sonuç:

P (2) = 16

Örnek

Soru

$P (x) = (2 x - 1)^{8} \cdot (x + 3)^{5}$ polinomunun katsayılar toplamı ile sabit teriminin oranı $\frac{P ( 1 )}{P ( 0 )}$ kaçtır?

Açmaya çalışma; katsayılar toplamı $P (1)$ , sabit terim $P (0)$ . Her birini doğrudan yerine yazarak hesapla.

Katsayılar toplamı: $P (1) = (2 \cdot 1 - 1)^{8} \cdot (1 + 3)^{5} = 1^{8} \cdot 4^{5} = 4^{5}$ .
Sabit terim: $P (0) = (2 \cdot 0 - 1)^{8} \cdot (0 + 3)^{5} = (- 1)^{8} \cdot 3^{5} = 3^{5}$ .
Oran: $\frac{P ( 1 )}{P ( 0 )} = \frac{4 ^{5}}{3 ^{5}} = (\frac{4}{3})^{5}$ .

Sonuç:

\frac{P ( 1 )}{P ( 0 )} = (\frac{4}{3})^{5} = \frac{1024}{243}

Örnek

Soru

$P (x)$ baş katsayısı $1$ olan ikinci dereceden bir polinomdur. $P (x) = P (4 - x)$ özdeşliği her $x$ için sağlanıyor ve $P (1) = 0$ ise $P (x)$ polinomunu bulunuz.

$P (x) = P (4 - x)$ simetri koşulu, parabolün simetri ekseninin $x = 2$ olduğunu söyler; bu da $P (x) = (x - 2)^{2} + k$ biçimini verir.

$P (x) = P (4 - x)$ koşulu, $x$ ile $4 - x$ değerlerinin eşit görüntü vermesi demektir; bu noktaların orta noktası $\frac{x + ( 4 - x )}{2} = 2$ olduğundan simetri ekseni $x = 2$ 'dir.
Baş katsayı $1$ ve tepe $x = 2$ olduğundan $P (x) = (x - 2)^{2} + k$ yazılır.
$P (1) = 0$ koşulu: $(1 - 2)^{2} + k = 1 + k = 0 \Rightarrow k = - 1$ .
Düzenle: $P (x) = (x - 2)^{2} - 1 = x^{2} - 4 x + 3$ .

Sonuç:

P (x) = x^{2} - 4 x + 3

Örnek

Soru

$P (x) = x^{20} + x^{15} + x^{10} + x^{5} + 1$ polinomunda, $P (x)$ ifadesinin $x^{2}$ türünden ifade edilen (yani çift dereceli) terimlerinin katsayıları toplamı kaçtır?

Çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı $\frac{P ( 1 ) + P ( - 1 )}{2}$ formülüyle bulunur; tek dereceliler $x = - 1$ 'de işaret değiştirip yok olur.

$P (1) = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5$ (tüm katsayıların toplamı).
$P (- 1) = (- 1)^{20} + (- 1)^{15} + (- 1)^{10} + (- 1)^{5} + 1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1$ .
Çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı $\frac{P ( 1 ) + P ( - 1 )}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3$ .

Sonuç:

3

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Polinom olma koşulu (parametre bulma): Üssün 0 olamayacağını sanıp üs > 0 almak bir eksik sayım (7 yerine 6)
Katsayılar toplamı P(1), sabit terim P(0) — dönüşümlü ifadede: Katsayılar toplamı için doğrudan x = 1 koymak (iç ifadeyi 1'e eşitlememek) p(1) yerine p(a+b) değeri (2 yerine 5)
Türetilmiş derece hesabı — P(xⁿ), P·Q, kuvvetler: P(x²) derecesini çarpmak yerine toplamak (3+2=5 almak) bir eksik toplam (12 yerine 11)
P(ax+b) verilip P(c) isteme (uygun x seçimi): x = 5'i doğrudan sağ tarafta yerine koymak (bu P(11)'i verir) 15 yerine 45
Çift / tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı: Tek istendiği hâlde çift formülünü ([P(1)+P(−1)]/2) kullanmak 1 yerine 0
Fonksiyonel eşitlikten değer bulma (ardışık adım): Tek adımda gitmek: P(4) = P(0) + (4⋅4+4) sanmak 17 yerine 21

Soru 1Orta

Bir

P (x)

polinomu için her

x

gerçek sayısında

P (x - 1) = x^{2} + 3 x

eşitliği sağlanıyor. Buna göre,

P (x)

polinomunun katsayılar toplamı ile sabit teriminin toplamı kaçtır?

Katsayılar toplamı $P (1)$ 'dir. $P (x - 1)$ içinde $x - 1 = 1$ olması için $x = 2$ alınır: $P (1) = 2^{2} + 3 \cdot 2 = 4 + 6 = 10$ .
Sabit terim $P (0)$ 'dır. $x - 1 = 0$ için $x = 1$ alınır: $P (0) = 1^{2} + 3 \cdot 1 = 1 + 3 = 4$ .
İstenen toplam: $P (1) + P (0) = 10 + 4 = 14$ .

Sonuç:

14

Soru 2Orta

Bir

P (x)

polinomu her

x

gerçek sayısı için

P (2 x) - P (x) = 9 x^{2} + 4 x

eşitliğini sağlıyor ve

P (0) = 5

tir. Buna göre,

P (x)

polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?

$P (x) = a x^{2} + b x + c$ alınsın. O hâlde $P (2 x) = 4 a x^{2} + 2 b x + c$ olur.
Fark: $P (2 x) - P (x) = (4 a - a) x^{2} + (2 b - b) x + (c - c) = 3 a x^{2} + b x$ .
Bu ifade $9 x^{2} + 4 x$ 'e özdeş: $3 a = 9 \Rightarrow a = 3$ ve $b = 4$ .
$P (0) = c = 5$ verildiğinden $c = 5$ bulunur.
Katsayılar toplamı $P (1) = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12$ .

Sonuç:

12

Soru 3Orta

P (x)

Q (x)

sıfırdan farklı polinomları için

de g (P \cdot Q) = 10

de g (P^{2} \cdot Q) = 15

tir. Buna göre,

de g (P^{2} \cdot Q^{3})

kaçtır?

$de g P = m$ , $de g Q = n$ olsun. Çarpımda dereceler toplanır: $de g (P \cdot Q) = m + n = 10$ .
$de g (P^{2} \cdot Q) = 2 m + n = 15$ .
İki denklemi taraf tarafa çıkar: $(2 m + n) - (m + n) = 15 - 10 \Rightarrow m = 5$ , buradan $n = 10 - 5 = 5$ .
İstenen: $de g (P^{2} \cdot Q^{3}) = 2 m + 3 n = 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5 = 10 + 15 = 25$ .

Sonuç:

25

Soru 4Orta

P (x)

ikinci dereceden bir polinomdur ve her

x

gerçek sayısı için $

P (x + 1) = P (x) + 2 x + 3

e \overset{s}{\c} i tl i \overset{g}{˘} i s a \overset{g}{˘} l anmak t a d ı r .

P(0)=4

o l d u \overset{g}{˘} u na g \overset{o}{¨} r e

P(5)$ kaçtır?

Eşitlik bir ardışık fark bağıntısıdır. $x = 0, 1, 2, 3, 4$ için yazıp toplayalım.
$x = 0 : P (1) = P (0) + 3$ . $x = 1 : P (2) = P (1) + 5$ . $x = 2 : P (3) = P (2) + 7$ . $x = 3 : P (4) = P (3) + 9$ . $x = 4 : P (5) = P (4) + 11$ .
Taraf tarafa toplayıp sadeleştir: $P (5) = P (0) + (3 + 5 + 7 + 9 + 11) = P (0) + 35$ .
$P (0) = 4$ olduğundan $P (5) = 4 + 35 = 39$ .

Sonuç:

39

Soru 5Orta

P (x)

Q (x)

polinomları için her

x

gerçek sayısında $

P (x) = (x^{2} - 1) Q (x) + 3 x + 5

e \overset{s}{\c} i tl i \overset{g}{˘} i s a \overset{g}{˘} l an ı y or . B u na g \overset{o}{¨} r e

P(1)+P(-1)$ toplamı kaçtır?

$x = 1$ koy: $x^{2} - 1 = 0$ olduğundan ilk terim sıfırlanır; $P (1) = 3 \cdot 1 + 5 = 8$ .
$x = - 1$ koy: yine $x^{2} - 1 = 0$ ; $P (- 1) = 3 \cdot (- 1) + 5 = - 3 + 5 = 2$ .
Toplam: $P (1) + P (- 1) = 8 + 2 = 10$ .

Sonuç:

10

Soru 6Orta

Baş katsayısı

2

olan ikinci dereceden bir

P (x)

polinomunun grafiği,

y

eksenini

(0, 6)

noktasında kesmekte ve

x = 2

doğrusuna göre simetriktir. Buna göre

P (x)

polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?

Baş katsayı $2$ ve simetri ekseni $x = 2$ olduğundan tepe biçiminde $P (x) = 2 (x - 2)^{2} + k$ yazılır.
Grafik $(0, 6)$ 'dan geçer: $P (0) = 2 (0 - 2)^{2} + k = 8 + k = 6 \Rightarrow k = - 2$ .
Böylece $P (x) = 2 (x - 2)^{2} - 2$ . Açık biçim: $2 (x^{2} - 4 x + 4) - 2 = 2 x^{2} - 8 x + 6$ .
Katsayılar toplamı $P (1) = 2 - 8 + 6 = 0$ .

Sonuç:

0

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Katsayılar toplamını $P (0)$ sanmak. Doğrusu katsayılar toplamı $P (1)$ 'dir; $P (0)$ ise sabit terimi verir. İkisi ancak özel durumda eşit olabilir.
Sabit terimi baş katsayıyla karıştırmak. Sabit terim $a_{0}$ (değişkensiz terim), baş katsayı $a_{n}$ (en yüksek dereceli terimin katsayısı)'dır; çoğu zaman farklıdırlar.
Çarpımda dereceleri çarpmak. $de g (P \cdot Q)$ derecelerin toplamıdır, çarpımı değil.
$x$ veya $\frac{1}{x}$ içeren ifadeyi polinom sanmak. Üsler negatif olmayan tam sayı olmalıdır.

Sınav İpucu

"Katsayılar toplamı" sorusunda hemen $x = 1$ , "sabit terim" sorusunda hemen $x = 0$ yaz; polinomu açmaya gerek yok. $P (a x + b)$ türü ifadelerde özel sayısal değer isteniyorsa (örneğin $P (3)$ ararken $2 x + 1 = 3$ kurup $x = 1$ bulmak gibi), iç ifadeyi istenen değere eşitleyip $x$ 'i çekmek çoğu zaman en hızlı yoldur.

1. Polinom Nedir?

2. İki Altın Kural: P(1) ve P(0)

3. Polinomlarla İşlemler

4. Polinom Eşitliği (Özdeşlik)

5. P(x−1), P(2x) Gibi Değerler

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

İlgili yazılar

Polinomlar — diğer konular

2. İki Altın Kural: $P (1)$ ve $P (0)$

5. $P (x - 1)$ , $P (2 x)$ Gibi Değerler