çözümebak

AYT Matematik · Polinomlar

Polinom Kavramı ve İşlemler

~9 dk okumaZorluk: Orta20 çözümlü soru

Polinomlar, tek değişkenli ve tam sayı kuvvetli terimlerden oluşan en temel cebirsel ifadelerdir. Bu konu; derece, baş katsayı, sabit terim gibi temel kavramları, katsayılar toplamı ve sabit terimin pratik hesabını (P(1) ve P(0)), polinomlarla toplama–çıkarma–çarpma işlemlerini ve polinom eşitliğini (özdeşlik) kurar. AYT'de bölme, çarpanlara ayırma ve kök konularının tamamı bu temele dayanır.

1. Polinom Nedir?

Tek değişkenli bir polinom, değişkeni x olan ve üsleri negatif olmayan tam sayı olan terimlerin toplamıdır:

P(x)=a_n x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1 x+a_0,\qquad a_n\neq 0

Burada a_n,a_{n-1},\dots,a_0 sayıları katsayılardır. Üslerin tam sayı olması zorunludur: \sqrt{x}=x^{1/2}, \dfrac{1}{x}=x^{-1} gibi terimler içeren ifadeler polinom değildir.

KavramTanımÖrnek: P(x)=3x^4-2x^2+5
Derece \deg PEn yüksek üs4
Baş katsayıEn yüksek dereceli terimin katsayısı a_n3
Sabit terimDeğişkensiz terim a_05

Not: Sıfır polinomu (P(x)=0) dışındaki sabit polinomların (örneğin P(x)=7) derecesi 0'dır.

2. İki Altın Kural: P(1) ve P(0)

Polinomun katsayılar toplamı ve sabit terimi, tek bir değer yerine yazılarak anında bulunur:

\text{Katsayılar toplamı}=P(1),\qquad \text{Sabit terim}=P(0)

x=1 koyunca her x^k terimi 1 olur, geriye sadece katsayıların toplamı kalır. x=0 koyunca değişkenli her terim sıfırlanır, geriye yalnızca sabit terim kalır.

Örnek
Soru

P(x)=2x^3-x+4 polinomunun katsayılar toplamını ve sabit terimini bulunuz.

  1. Katsayılar toplamı için x=1 yaz: P(1)=2\cdot 1^3-1+4=2-1+4=5.

  2. Sabit terim için x=0 yaz: P(0)=2\cdot 0-0+4=4.

Sonuç: Katsayılar toplamı 5, sabit terim 4.

3. Polinomlarla İşlemler

Toplama ve çıkarma: Aynı dereceli terimlerin katsayıları toplanır/çıkarılır. Sonucun derecesi, terimlerin dereceleri farklıysa en büyüğü kadardır.

Çarpma: Çarpımın derecesi, derecelerin toplamıdır:

\deg(P\cdot Q)=\deg P+\deg Q

Bunun nedeni, baş katsayıların çarpımının (a_n\cdot b_m\neq 0) en yüksek dereceli terimi vermesidir.

Örnek
Soru

\deg P=3 ve \deg Q=2 ise \deg(P\cdot Q) kaçtır?

  1. Çarpımın derecesi, derecelerin toplamıdır: \deg(P\cdot Q)=\deg P+\deg Q.

  2. Yerine yaz: 3+2=5.

Sonuç: \deg(P\cdot Q)=5

4. Polinom Eşitliği (Özdeşlik)

İki polinom tüm x değerleri için eşitse, karşılıklı (aynı dereceli) terimlerin katsayıları birbirine eşittir. Bu, katsayı bulmanın en güçlü yöntemidir.

a_n x^n+\dots+a_0 = b_n x^n+\dots+b_0 \;\Longleftrightarrow\; a_n=b_n,\ \dots,\ a_0=b_0

Örnek
Soru

Her x için P(x)=ax^2+bx+c=2x^2+3 eşitliği sağlanıyorsa a, b, c değerlerini bulunuz.

  1. Sağ tarafı tüm dereceleriyle yaz: 2x^2+3=2x^2+0\cdot x+3.

  2. Karşılıklı katsayıları eşitle: a=2, b=0, c=3.

Sonuç: a=2,\ b=0,\ c=3

5. P(x-1), P(2x) Gibi Değerler

P(x) içindeki her x yerine verilen ifade olduğu gibi yazılır. Örneğin P(x-1) için x\to x-1, P(2x) için x\to 2x dönüşümü yapılır. Sayısal bir değer isteniyorsa önce x'i, sonra fonksiyonu yerleştirmek pratiktir.

Örnek
Soru

P(x)=x^2+x olduğuna göre P(x-1) ifadesini bulunuz.

  1. Her x yerine x-1 yaz: P(x-1)=(x-1)^2+(x-1).

  2. Aç: (x-1)^2=x^2-2x+1, dolayısıyla P(x-1)=x^2-2x+1+x-1.

  3. Düzenle: x^2-x.

Sonuç: P(x-1)=x^2-x

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

P(x)=-4x^5+7x^3-x+6 polinomunun derecesini, baş katsayısını ve sabit terimini yazınız.

  1. Derece: En yüksek üs 5 olduğundan \deg P=5.

  2. Baş katsayı: x^5 teriminin katsayısı -4.

  3. Sabit terim: Değişkensiz terim 6.

Sonuç: Derece 5, baş katsayı -4, sabit terim 6.
Örnek
Soru

P(x)=3x^4-5x^2+2x-1 polinomunun katsayılar toplamı ile sabit teriminin farkını bulunuz.

Katsayılar toplamı P(1), sabit terim P(0)'dır. İkisini ayrı hesaplayıp çıkar.

  1. Katsayılar toplamı: P(1)=3-5+2-1=-1.

  2. Sabit terim: P(0)=-1.

  3. Fark: P(1)-P(0)=-1-(-1)=0.

Sonuç: Fark 0.
Örnek
Soru

\deg P=4 ve \deg Q=6 olan polinomlar için \deg\big(P^2\cdot Q\big) kaçtır?

P^2=P\cdot P olduğundan derecesi 2\deg P'dir. Çarpımda dereceler toplanır.

  1. P^2 derecesi: \deg(P\cdot P)=4+4=8.

  2. Çarpımı ekle: \deg\big(P^2\cdot Q\big)=8+6=14.

Sonuç: \deg\big(P^2\cdot Q\big)=14
Örnek
Soru

P(x)=2x^3+x^2-4 ve Q(x)=x^2-3x+1 ise P(x)+Q(x) polinomunu bulunuz.

  1. Aynı dereceli terimleri eşle. x^3: yalnız 2x^3.

  2. x^2: x^2+x^2=2x^2; x: yalnız -3x.

  3. Sabit: -4+1=-3. Birleştir: 2x^3+2x^2-3x-3.

Sonuç: P(x)+Q(x)=2x^3+2x^2-3x-3
Örnek
Soru

Her x için P(x)=(a-1)x^2+(b+2)x+5 polinomu 3x^2-x+5 polinomuna eşittir. Buna göre a+b kaçtır?

Karşılıklı katsayıları eşitle: x^2 katsayıları, x katsayıları ve sabit terimler ayrı ayrı eşit olmalı.

  1. x^2 katsayıları: a-1=3 \Rightarrow a=4.

  2. x katsayıları: b+2=-1 \Rightarrow b=-3.

  3. Topla: a+b=4+(-3)=1.

Sonuç: a+b=1
Örnek
Soru

P(x)=x^2-3x+2 olduğuna göre P(2x) ifadesini ve P(x+1) değerini ayrı ayrı bulunuz.

  1. P(2x) için her x yerine 2x yaz: (2x)^2-3(2x)+2=4x^2-6x+2.

  2. P(x+1) için her x yerine x+1 yaz: (x+1)^2-3(x+1)+2.

  3. Aç ve düzenle: x^2+2x+1-3x-3+2=x^2-x.

Sonuç: P(2x)=4x^2-6x+2 ve P(x+1)=x^2-x.
Örnek
Soru

Bir P(x) polinomu her x için P(x+1)-P(x)=6x+4 eşitliğini sağlıyor ve P(0)=2 dir. Buna göre P(2) kaçtır?

Fark 6x+4 birinci dereceden olduğundan P(x) ikinci derecedendir: P(x)=ax^2+bx+c al. Ya katsayıları eşitle ya da x=0,1 yazıp ardışık değerleri topla.

  1. x=0 koy: P(1)-P(0)=6\cdot 0+4=4, yani P(1)=P(0)+4=2+4=6.

  2. x=1 koy: P(2)-P(1)=6\cdot 1+4=10, yani P(2)=P(1)+10=6+10=16.

Sonuç: P(2)=16
Örnek
Soru

P(x)=(2x-1)^{8}\cdot(x+3)^{5} polinomunun katsayılar toplamı ile sabit teriminin oranı \dfrac{P(1)}{P(0)} kaçtır?

Açmaya çalışma; katsayılar toplamı P(1), sabit terim P(0). Her birini doğrudan yerine yazarak hesapla.

  1. Katsayılar toplamı: P(1)=(2\cdot 1-1)^{8}\cdot(1+3)^{5}=1^{8}\cdot 4^{5}=4^{5}.

  2. Sabit terim: P(0)=(2\cdot 0-1)^{8}\cdot(0+3)^{5}=(-1)^{8}\cdot 3^{5}=3^{5}.

  3. Oran: \dfrac{P(1)}{P(0)}=\dfrac{4^{5}}{3^{5}}=\left(\dfrac{4}{3}\right)^{5}.

Sonuç: \dfrac{P(1)}{P(0)}=\left(\dfrac{4}{3}\right)^{5}=\dfrac{1024}{243}
Örnek
Soru

P(x) baş katsayısı 1 olan ikinci dereceden bir polinomdur. P(x)=P(4-x) özdeşliği her x için sağlanıyor ve P(1)=0 ise P(x) polinomunu bulunuz.

P(x)=P(4-x) simetri koşulu, parabolün simetri ekseninin x=2 olduğunu söyler; bu da P(x)=(x-2)^2+k biçimini verir.

  1. P(x)=P(4-x) koşulu, x ile 4-x değerlerinin eşit görüntü vermesi demektir; bu noktaların orta noktası \dfrac{x+(4-x)}{2}=2 olduğundan simetri ekseni x=2'dir.

  2. Baş katsayı 1 ve tepe x=2 olduğundan P(x)=(x-2)^2+k yazılır.

  3. P(1)=0 koşulu: (1-2)^2+k=1+k=0\Rightarrow k=-1.

  4. Düzenle: P(x)=(x-2)^2-1=x^2-4x+3.

Sonuç: P(x)=x^2-4x+3
Örnek
Soru

P(x)=x^{20}+x^{15}+x^{10}+x^{5}+1 polinomunda, P(x) ifadesinin x^{2} türünden ifade edilen (yani çift dereceli) terimlerinin katsayıları toplamı kaçtır?

Çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı \dfrac{P(1)+P(-1)}{2} formülüyle bulunur; tek dereceliler x=-1'de işaret değiştirip yok olur.

  1. P(1)=1+1+1+1+1=5 (tüm katsayıların toplamı).

  2. P(-1)=(-1)^{20}+(-1)^{15}+(-1)^{10}+(-1)^{5}+1=1-1+1-1+1=1.

  3. Çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı \dfrac{P(1)+P(-1)}{2}=\dfrac{5+1}{2}=3.

Sonuç: 3

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

Bir P(x) polinomu için her x gerçek sayısında P(x-1)=x^2+3x eşitliği sağlanıyor.

Buna göre, P(x) polinomunun katsayılar toplamı ile sabit teriminin toplamı kaçtır?

A) 10 · B) 12 · C) 14 · D) 16 · E) 18

  1. Katsayılar toplamı P(1)'dir. P(x-1) içinde x-1=1 olması için x=2 alınır: P(1)=2^2+3\cdot 2=4+6=10.

  2. Sabit terim P(0)'dır. x-1=0 için x=1 alınır: P(0)=1^2+3\cdot 1=1+3=4.

  3. İstenen toplam: P(1)+P(0)=10+4=14.

Sonuç: C) 14
Örnek
Soru

Bir P(x) polinomu her x gerçek sayısı için P(2x)-P(x)=9x^2+4x eşitliğini sağlıyor ve P(0)=5 tir.

Buna göre, P(x) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?

A) 9 · B) 10 · C) 11 · D) 12 · E) 13

  1. P(x)=ax^2+bx+c alınsın. O hâlde P(2x)=4ax^2+2bx+c olur.

  2. Fark: P(2x)-P(x)=(4a-a)x^2+(2b-b)x+(c-c)=3ax^2+bx.

  3. Bu ifade 9x^2+4x'e özdeş: 3a=9\Rightarrow a=3 ve b=4.

  4. P(0)=c=5 verildiğinden c=5 bulunur.

  5. Katsayılar toplamı P(1)=a+b+c=3+4+5=12.

Sonuç: D) 12
Örnek
Soru

P(x) ve Q(x) sıfırdan farklı polinomları için \deg\big(P\cdot Q\big)=10 ve \deg\big(P^2\cdot Q\big)=15 tir.

Buna göre, \deg\big(P^2\cdot Q^3\big) kaçtır?

A) 25 · B) 27 · C) 30 · D) 33 · E) 35

  1. \deg P=m, \deg Q=n olsun. Çarpımda dereceler toplanır: \deg(P\cdot Q)=m+n=10.

  2. \deg(P^2\cdot Q)=2m+n=15.

  3. İki denklemi taraf tarafa çıkar: (2m+n)-(m+n)=15-10\Rightarrow m=5, buradan n=10-5=5.

  4. İstenen: \deg(P^2\cdot Q^3)=2m+3n=2\cdot 5+3\cdot 5=10+15=25.

Sonuç: A) 25
Örnek
Soru

P(x) ikinci dereceden bir polinomdur ve her x gerçek sayısı için

P(x+1)=P(x)+2x+3

eşitliği sağlanmaktadır. P(0)=4 olduğuna göre P(5) kaçtır?

A) 24 · B) 29 · C) 34 · D) 39 · E) 44

  1. Eşitlik bir ardışık fark bağıntısıdır. x=0,1,2,3,4 için yazıp toplayalım.

  2. x=0:\ P(1)=P(0)+3. x=1:\ P(2)=P(1)+5. x=2:\ P(3)=P(2)+7. x=3:\ P(4)=P(3)+9. x=4:\ P(5)=P(4)+11.

  3. Taraf tarafa toplayıp sadeleştir: P(5)=P(0)+(3+5+7+9+11)=P(0)+35.

  4. P(0)=4 olduğundan P(5)=4+35=39.

Sonuç: D) 39
Örnek
Soru

P(x) ve Q(x) polinomları için her x gerçek sayısında

P(x)=(x^{2}-1)\,Q(x)+3x+5

eşitliği sağlanıyor. Buna göre P(1)+P(-1) toplamı kaçtır?

A) 8 · B) 9 · C) 10 · D) 12 · E) 16

  1. x=1 koy: x^2-1=0 olduğundan ilk terim sıfırlanır; P(1)=3\cdot 1+5=8.

  2. x=-1 koy: yine x^2-1=0; P(-1)=3\cdot(-1)+5=-3+5=2.

  3. Toplam: P(1)+P(-1)=8+2=10.

Sonuç: C) 10
Örnek
Soru

Baş katsayısı 2 olan ikinci dereceden bir P(x) polinomunun grafiği, y eksenini (0,6) noktasında kesmekte ve x=2 doğrusuna göre simetriktir.

Buna göre P(x) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?

A) -3 · B) -1 · C) 0 · D) 2 · E) 4

  1. Baş katsayı 2 ve simetri ekseni x=2 olduğundan tepe biçiminde P(x)=2(x-2)^2+k yazılır.

  2. Grafik (0,6)'dan geçer: P(0)=2(0-2)^2+k=8+k=6\Rightarrow k=-2.

  3. Böylece P(x)=2(x-2)^2-2. Açık biçim: 2(x^2-4x+4)-2=2x^2-8x+6.

  4. Katsayılar toplamı P(1)=2-8+6=0.

Sonuç: C) 0

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

"Katsayılar toplamı" sorusunda hemen x=1, "sabit terim" sorusunda hemen x=0 yaz; polinomu açmaya gerek yok. P(ax+b) türü ifadelerde özel sayısal değer isteniyorsa (örneğin P(3) ararken 2x+1=3 kurup x=1 bulmak gibi), iç ifadeyi istenen değere eşitleyip x'i çekmek çoğu zaman en hızlı yoldur.

İlgili yazılar

Polinomlar — diğer konular