çözümebak

AYT Matematik · Polinomlar

Polinomlarda Bölme ve Çarpanlara Ayırma

~10 dk okumaZorluk: Zor20 çözümlü soru

Bir polinomu başka bir polinoma bölmek, tam sayılarda bölme işlemine benzer: bir bölüm ve bir kalan elde ederiz. Bu konuda bölme özdeşliğini, kalan ve çarpan teoremlerini öğrenecek; uzun bölme yapmadan kalanı doğrudan bulmayı ve polinomları çarpanlarına ayırmayı göreceğiz. AYT'de bu konu hem tek başına hem de fonksiyon ve denklem sorularının içinde sık karşımıza çıkar.

1. Bölme Özdeşliği

P(x) polinomu (bölünen) B(x) polinomuna (bölen, B(x)\ne 0) bölündüğünde, bir Q(x) bölüm ve bir K(x) kalan polinomu için şu eşitlik yazılır:

P(x)=B(x)\cdot Q(x)+K(x)

Burada en kritik koşul kalanın derecesidir: kalanın derecesi, bölenin derecesinden küçüktür. Yani B(x) birinci dereceden ise kalan bir sabittir; B(x) ikinci dereceden ise kalan en çok birinci derecedendir (K(x)=mx+n).

Bölenin derecesiKalanın olası derecesi
1 (örn. x-a)sabit: K(x)=r
2 (örn. (x-a)(x-b))en çok 1: K(x)=mx+n
3en çok 2: K(x)=ax^2+bx+c

2. Kalan Teoremi

Bölme özdeşliğini birinci dereceden B(x)=x-a böleni için yazalım:

P(x)=(x-a)\cdot Q(x)+r

Bu eşitlikte x=a koyarsak (x-a) çarpanı sıfırlanır ve geriye yalnızca r kalır:

P(a)=(a-a)\cdot Q(a)+r=r

Kalan Teoremi: P(x) polinomunun (x-a) ile bölümünden kalan, P(a) değerine eşittir.

Bu teorem sayesinde uzun bölme yapmadan, sadece x=a değerini yerine yazarak kalanı buluruz.

Örnek
Soru

P(x)=x^{3}-2x+1 polinomunun (x-2) ile bölümünden kalanı bulunuz.

  1. Kalan teoremine göre kalan P(2) değeridir.

  2. x=2 yerine yaz: P(2)=2^{3}-2\cdot 2+1=8-4+1.

  3. Hesapla: P(2)=5.

Sonuç: Kalan 5'tir.

Bölen (x+1) gibi yazıldığında, onu (x-a) biçimine getirmeliyiz: x+1=x-(-1) olduğundan a=-1'dir ve kalan P(-1) olur.

Örnek
Soru

P(x)=2x^{3}+x^{2}-3 polinomunun (x+1) ile bölümünden kalanı bulunuz.

(x+1)=x-(-1) olduğundan kalan P(-1)'dir; a=+1 değil, a=-1 alınır.

  1. Böleni (x-a) biçimine getir: x+1=x-(-1), yani a=-1.

  2. Kalan teoremine göre kalan P(-1)'dir.

  3. Yerine yaz: P(-1)=2(-1)^{3}+(-1)^{2}-3=-2+1-3=-4.

Sonuç: Kalan -4'tür.

3. Çarpan Teoremi

Kalan teoreminin özel bir hâli, kalanın sıfır çıkması durumudur. Eğer P(a)=0 ise, (x-a) ile bölümden kalan 0 demektir; yani bölme tam bölünmedir ve (x-a) bir çarpandır.

Çarpan Teoremi: P(a)=0 olması ile (x-a)'nın P(x)'in çarpanı olması birbirine denktir:

P(a)=0 \iff (x-a)\mid P(x)

Buradaki a değerine P(x) polinomunun bir kökü denir.

Örnek
Soru

P(x)=x^{2}-5x+6 polinomunun (x-2) ile tam bölünüp bölünmediğini, yani (x-2)'nin çarpan olup olmadığını belirleyiniz.

  1. Çarpan teoremine göre (x-2) çarpan ise P(2)=0 olmalıdır.

  2. Yerine yaz: P(2)=2^{2}-5\cdot 2+6=4-10+6=0.

  3. Kalan 0 çıktığından (x-2) bir çarpandır. (Gerçekten x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).)

Sonuç: Evet; P(2)=0 olduğundan (x-2) bir çarpandır.

4. İki Çarpanlı Bölende Kalan

Bölen ikinci dereceden ve (x-a)(x-b) biçiminde çarpanlara ayrılabiliyorsa, kalan en çok birinci derecedendir: K(x)=mx+n. Bölme özdeşliğini yazalım:

P(x)=(x-a)(x-b)\cdot Q(x)+(mx+n)

Bu eşitlikte x=a ve x=b koyduğumuzda (x-a)(x-b) çarpanı sıfırlanır ve iki denklem elde ederiz:

P(a)=ma+n \qquad P(b)=mb+n

Bu iki denklemli sistemi çözerek m ve n, dolayısıyla K(x) bulunur.

Örnek
Soru

Bir P(x) polinomunun (x-1) ile bölümünden kalan 3, (x-2) ile bölümünden kalan 5'tir. P(x)'in (x-1)(x-2) ile bölümünden kalanı bulunuz.

Kalan birinci dereceden olur: K(x)=mx+n. Verilen bilgileri kalan teoremiyle P(1)=3 ve P(2)=5 olarak yaz, sonra x=1 ve x=2'yi özdeşlikte yerine koy.

  1. Kalanı K(x)=mx+n kabul et ve özdeşliği yaz: P(x)=(x-1)(x-2)\,Q(x)+mx+n.

  2. x=1 koy: P(1)=m\cdot 1+n=m+n. Verilenden P(1)=3, yani m+n=3.

  3. x=2 koy: P(2)=2m+n. Verilenden P(2)=5, yani 2m+n=5.

  4. İki denklemi taraf tarafa çıkar: (2m+n)-(m+n)=5-3 \Rightarrow m=2.

  5. m=2'yi yerine koy: 2+n=3 \Rightarrow n=1.

Sonuç: K(x)=2x+1.

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

P(x)=x^{4}-3x^{2}+2x-7 polinomunun (x-1) ile bölümünden kalanı bulunuz.

  1. Kalan teoremine göre kalan P(1)'dir.

  2. Yerine yaz: P(1)=1^{4}-3\cdot 1^{2}+2\cdot 1-7.

  3. Hesapla: 1-3+2-7=-7.

Sonuç: Kalan -7'dir.
Örnek
Soru

P(x)=x^{3}+kx-6 polinomunun (x-3) ile bölümünden kalan 0 ise k değerini bulunuz.

Kalan 0 ise (x-3) bir çarpandır; çarpan teoreminden P(3)=0 yazıp k'yi çöz.

  1. Kalan 0 olduğundan çarpan teoremine göre P(3)=0 olmalıdır.

  2. Yerine yaz: P(3)=3^{3}+k\cdot 3-6=27+3k-6=21+3k.

  3. Sıfıra eşitle: 21+3k=0 \Rightarrow 3k=-21 \Rightarrow k=-7.

Sonuç: k=-7.
Örnek
Soru

P(x)=2x^{3}-3x^{2}+ax+5 polinomunun (x+2) ile bölümünden kalan -15 ise a değerini bulunuz.

  1. (x+2)=x-(-2) olduğundan kalan P(-2)'dir ve P(-2)=-15 verilmiştir.

  2. Yerine yaz: P(-2)=2(-2)^{3}-3(-2)^{2}+a(-2)+5.

  3. Sadeleştir: 2\cdot(-8)-3\cdot 4-2a+5=-16-12-2a+5=-23-2a.

  4. -15'e eşitle: -23-2a=-15 \Rightarrow -2a=8 \Rightarrow a=-4.

Sonuç: a=-4.
Örnek
Soru

Bir P(x) polinomunun (x+1) ile bölümünden kalan 4, (x-3) ile bölümünden kalan 12'dir. P(x)'in (x+1)(x-3) ile bölümünden kalanı bulunuz.

Kalanı K(x)=mx+n al. (x+1) için a=-1, (x-3) için a=3 olduğuna dikkat et: P(-1)=4 ve P(3)=12.

  1. Kalanı K(x)=mx+n kabul et: P(x)=(x+1)(x-3)\,Q(x)+mx+n.

  2. x=-1 koy: P(-1)=-m+n=4.

  3. x=3 koy: P(3)=3m+n=12.

  4. İki denklemi taraf tarafa çıkar: (3m+n)-(-m+n)=12-4 \Rightarrow 4m=8 \Rightarrow m=2.

  5. m=2'yi ilk denkleme koy: -2+n=4 \Rightarrow n=6.

Sonuç: K(x)=2x+6.
Örnek
Soru

P(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6 polinomunu çarpanlarına ayırınız.

Sabit terim -6'nın bölenleri (\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6) arasından bir tam kök ara. Bir kök bulunca çarpan teoremiyle (x-a) çarpanını ayır.

  1. Tam kök dene: P(1)=1-6+11-6=0. Demek ki (x-1) bir çarpandır.

  2. P(x)'i (x-1)'e bölerek bölümü bul: P(x)=(x-1)(x^{2}-5x+6).

  3. İkinci dereceden çarpanı ayır: x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).

  4. Tümünü birleştir: P(x)=(x-1)(x-2)(x-3).

Sonuç: P(x)=(x-1)(x-2)(x-3).
Örnek
Soru

P(x) polinomunun (x-2) ile bölümünden kalan 7'dir. Buna göre Q(x)=P(x)-2x polinomunun (x-2) ile bölümünden kalanı bulunuz.

Yeni polinomun kalanı için yine kalan teoremini kullan: Q(2) değerini hesapla. P(2)'nin verilen kalandan bulunabildiğine dikkat et.

  1. Kalan teoremine göre Q(x)'in (x-2) ile bölümünden kalan Q(2)'dir.

  2. Q(x)=P(x)-2x olduğundan Q(2)=P(2)-2\cdot 2=P(2)-4.

  3. P(x)'in (x-2) ile bölümünden kalan 7 olduğundan kalan teoremiyle P(2)=7.

  4. Yerine yaz: Q(2)=7-4=3.

Sonuç: Kalan 3'tür.
Örnek
Soru

P(x)=x^{50}-3x^{20}+2 polinomunun (x^{2}-1) ile bölümünden kalanı bulunuz.

Bölen ikinci dereceden, x^2-1=(x-1)(x+1). Kalan K(x)=mx+n; P(1) ve P(-1) değerlerini kullan.

  1. x^2-1=(x-1)(x+1) olduğundan kalan K(x)=mx+n biçimindedir: P(x)=(x-1)(x+1)Q(x)+mx+n.

  2. x=1 koy: P(1)=1-3+2=0, yani m+n=0.

  3. x=-1 koy: P(-1)=(-1)^{50}-3(-1)^{20}+2=1-3+2=0, yani -m+n=0.

  4. Sistemi çöz: iki denklemden n=0 ve m=0. Demek ki kalan 0'dır.

Sonuç: Kalan 0'dır; yani (x^2-1)\mid P(x).
Örnek
Soru

P(x) polinomunun (x-2) ile bölümünden kalan 3'tür. Buna göre P(x)\cdot(x+1) polinomunun (x-2) ile bölümünden kalanı bulunuz.

Kalan teoremi çarpımlara da uygulanır: aranan kalan, \big(P(x)(x+1)\big) ifadesinin x=2'deki değeridir.

  1. Kalan teoremine göre aranan kalan, R(x)=P(x)(x+1) ifadesinin x=2'deki değeridir: R(2)=P(2)\cdot(2+1).

  2. P(x)'in (x-2) ile bölümünden kalan 3 olduğundan P(2)=3.

  3. Yerine yaz: R(2)=3\cdot 3=9.

Sonuç: Kalan 9'dur.
Örnek
Soru

P(x)=x^{4}+2x^{3}-7x^{2}-8x+12 polinomunu çarpanlarına ayırınız.

Rasyonel kökler sabit terim 12'nin bölenleri arasındadır: \pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm12. Bir kök bulunca böl, kalan üçüncü dereceliyi yeniden dene.

  1. P(1)=1+2-7-8+12=0, demek ki (x-1) çarpandır. Bölersek P(x)=(x-1)(x^{3}+3x^{2}-4x-12).

  2. Üçüncü dereceliyi dene: x=2 için 8+12-8-12=0, yani (x-2) çarpandır. Bölersek x^{3}+3x^{2}-4x-12=(x-2)(x^{2}+5x+6).

  3. Son çarpanı ayır: x^{2}+5x+6=(x+2)(x+3).

  4. Tümünü birleştir: P(x)=(x-1)(x-2)(x+2)(x+3).

Sonuç: P(x)=(x-1)(x-2)(x+2)(x+3)
Örnek
Soru

P(x) polinomunun (x-1) ile bölümünden kalan 2, (x-2) ile bölümünden kalan 3, (x-3) ile bölümünden kalan 4'tür. P(x)'in (x-1)(x-2)(x-3) ile bölümünden kalanı bulunuz.

Verilen değerler P(1)=2,\ P(2)=3,\ P(3)=4, yani P(a)=a+1 örüntüsündedir. Kalan en çok ikinci derecedendir; bu örüntü kalanı tahmin etmeyi kolaylaştırır.

  1. Bölen üçüncü dereceden olduğundan kalan en çok ikinci derecedendir: K(x)=ax^2+bx+c.

  2. Verilenler: P(1)=2,\ P(2)=3,\ P(3)=4. Yani K(1)=2,\ K(2)=3,\ K(3)=4.

  3. Değerler K(a)=a+1 örüntüsündedir. L(x)=K(x)-(x+1) polinomu x=1,2,3'te sıfırlanır ve derecesi \le 2'dir; üç kökü olamayacağından L(x)\equiv 0.

  4. Demek ki K(x)=x+1.

Sonuç: K(x)=x+1

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

P(x)=x^{3}+ax^{2}-4x+b polinomunun (x-1) ile bölümünden kalan 6, (x+2) ile bölümünden kalan 0'dır.

Buna göre a\cdot b çarpımı kaçtır?

A) -42 · B) -36 · C) -30 · D) -24 · E) -18

  1. (x-1) ile bölümünden kalan P(1)'dir: P(1)=1+a-4+b=a+b-3. Kalan 6 olduğundan a+b-3=6 \Rightarrow a+b=9.

  2. (x+2)=x-(-2) olduğundan kalan P(-2)'dir: P(-2)=-8+4a+8+b=4a+b. Kalan 0 olduğundan 4a+b=0.

  3. İki denklemi taraf tarafa çıkar: (4a+b)-(a+b)=0-9 \Rightarrow 3a=-9 \Rightarrow a=-3.

  4. a=-3'ü a+b=9'da yerine koy: -3+b=9 \Rightarrow b=12.

  5. Çarpımı hesapla: a\cdot b=(-3)\cdot 12=-36.

Sonuç: B) -36
Örnek
Soru

Bir P(x) polinomunun (x-3) ile bölümünden kalan 5, (x+1) ile bölümünden kalan -7'dir. P(x)'in (x-3)(x+1) ile bölümünden kalan K(x) polinomudur.

Buna göre K(2) değeri kaçtır?

A) -2 · B) 0 · C) 1 · D) 2 · E) 4

  1. Bölen ikinci dereceden olduğundan kalan en çok birinci derecedendir: K(x)=mx+n al ve özdeşliği yaz: P(x)=(x-3)(x+1)\,Q(x)+mx+n.

  2. x=3 koy: P(3)=3m+n. Kalan teoreminden P(3)=5, yani 3m+n=5.

  3. x=-1 koy: P(-1)=-m+n. (x+1) için a=-1 olduğundan P(-1)=-7, yani -m+n=-7.

  4. İki denklemi taraf tarafa çıkar: (3m+n)-(-m+n)=5-(-7) \Rightarrow 4m=12 \Rightarrow m=3.

  5. m=3'ü ilk denkleme koy: 9+n=5 \Rightarrow n=-4, böylece K(x)=3x-4.

  6. İstenen değer: K(2)=3\cdot 2-4=2.

Sonuç: D) 2
Örnek
Soru

P(x)=2x^{3}-3x^{2}+kx-2 polinomunun bir çarpanı (x-2)'dir.

Buna göre P(1) değeri kaçtır?

A) -6 · B) -5 · C) -4 · D) -2 · E) 0

  1. Çarpan teoremine göre (x-2) çarpan ise P(2)=0 olmalıdır.

  2. Yerine yaz: P(2)=2\cdot 8-3\cdot 4+2k-2=16-12+2k-2=2k+2.

  3. Sıfıra eşitle: 2k+2=0 \Rightarrow k=-1, böylece P(x)=2x^{3}-3x^{2}-x-2.

  4. İstenen değeri hesapla: P(1)=2-3-1-2=-4.

Sonuç: C) -4
Örnek
Soru

Bir P(x) polinomunun (x-2) ile bölümünden kalan 5'tir.

Buna göre P(x)+x^{2}-3 polinomunun (x-2) ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 4 · B) 5 · C) 6 · D) 7 · E) 8

  1. Kalan teoremine göre (x-2) ile bölümden kalan, ifadenin x=2'deki değeridir.

  2. P(x)'in kalanı 5 olduğundan P(2)=5.

  3. Yeni ifadeyi x=2'de hesapla: P(2)+2^{2}-3=5+4-3=6.

Sonuç: C) 6
Örnek
Soru

P(x) polinomunun (x^{2}-3x+2) ile bölümünden kalan 2x+1'dir.

Buna göre P(x) polinomunun (x-1) ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 1 · B) 2 · C) 3 · D) 4 · E) 5

  1. Bölme özdeşliği: P(x)=(x^{2}-3x+2)\,Q(x)+(2x+1).

  2. x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2) olduğundan x=1 koyunca bölünen terim sıfırlanır: P(1)=2\cdot 1+1=3.

  3. (x-1) ile bölümden kalan, kalan teoremiyle P(1)'dir.

Sonuç: C) 3
Örnek
Soru

P(x) baş katsayısı 1 olan üçüncü dereceden bir polinomdur. P(x) polinomu (x-1), (x+2) ve (x-3) ile tam bölünmektedir.

Buna göre P(x) polinomunun (x-2) ile bölümünden kalan kaçtır?

A) -4 · B) -2 · C) 0 · D) 2 · E) 4

  1. (x-1), (x+2), (x-3) ile tam bölündüğünden bunlar çarpandır; baş katsayı 1 ve derece 3 olduğundan P(x)=(x-1)(x+2)(x-3).

  2. (x-2) ile bölümden kalan, kalan teoremiyle P(2)'dir.

  3. Yerine yaz: P(2)=(2-1)(2+2)(2-3)=1\cdot 4\cdot(-1)=-4.

Sonuç: A) -4

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

AYT'de "kalan" soran soruların büyük çoğunluğu uzun bölme gerektirmez: böleni (x-a) biçimine getirip P(a)'yı hesaplamak yeterlidir. Bölen ikinci dereceden ve çarpanlara ayrılabiliyorsa (x-a)(x-b) kökleri yerine koyarak K(x)=mx+n kalanını iki denklemle bul. Bölen çarpanlara ayrılamıyorsa (örneğin x^{2}+1), kalanı yine mx+n alıp özdeşlikte katsayı eşitlemesi yaparak ilerle.

Polinomlar — diğer konular