Sayı ve Kesir Problemleri — Soru Tipleri ve Tuzaklar

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

1. 01

   Cümleyi denkleme çevirme (katının fazlası/eksiği)

   KolaySık çıkar

   'Bir sayının 3 katının 5 fazlası 26'dır' tipi tek bilinmeyenli çeviri sorusu. Konunun kapı sorusu; kat=çarpma, fazlası/eksiği=toplama-çıkarma sözlüğü her şeyi belirler.

   Nasıl çözülür

   1. Aranan sayıya x de; cümleyi SOLDAN SAĞA parça parça çevir.
   2. '3 katının 5 fazlası' = 3x+5 (önce kat, sonra fazlası).
   3. Denklemi çöz, sonucu cümleye geri koyup sağla.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • 'Katının fazlası'nı '(x+5)'in 3 katı' diye okumak: 3(x+5)=26→x=11/3 — tam çıkmayan değer, en yakın şıkka savrulma
   • Sayı istenirken 3 katını işaretlemek→7 yerine 21

   Örnek

   Bir sayının 3 katının 5 fazlası 26 ise bu sayı kaçtır?

   3x+5=26 ⇒ 3x=21 ⇒ x=7 (sağlama: 3⋅7+5=26)

   Sık birleştiği konular: Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler

2. 02

   Ardışık sayılar (toplamdan sayı bulma)

   KolaySık çıkar

   Ardışık üç-dört sayının toplamı verilir, biri istenir. Kritik ayrım: ardışık TAM sayılar 1'er, ardışık TEK/ÇİFT sayılar 2'şer artar.

   Nasıl çözülür

   1. Ardışık tam sayılar: x, x+1, x+2 — tek/çift ise x, x+2, x+4.
   2. Toplamı denkleme dök, x'i çöz.
   3. İstenen 'en büyük' mü 'ortanca' mı — x'i değil onu ver.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Tek sayıları x, x+1, x+2 diye 1'er artırmak→3x+3=45'ten x=14 — tek olmayan sayı
   • En büyük istenirken en küçüğü (x'i) işaretlemek→17 yerine 13

   Örnek

   Ardışık üç tek sayının toplamı 45 ise en büyüğü kaçtır?

   x+(x+2)+(x+4)=45 ⇒ 3x+6=45, x=13 ⇒ en büyük 17 (13+15+17=45)

   Sık birleştiği konular: Ardışık Sayılar

3. 03

   Toplam–fark tipi (iki bilinmeyenli sistem)

   OrtaSık çıkar

   İki sayının toplamı ve farkı (ya da biri diğerinin katı) verilir. İki denklemli sistemin en yumuşak hâli; taraf tarafa toplamak bilinmeyeni anında düşürür.

   Nasıl çözülür

   1. Büyüğe x, küçüğe y de: x+y = 40, x−y = 12.
   2. Taraf tarafa topla: 2x = 52 ⇒ x = 26.
   3. Pratik formül: büyük = (toplam+fark)/2, küçük = (toplam−fark)/2.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Formülü ters kullanıp büyüğü (toplam−fark)/2 ile hesaplamak→26 yerine küçük sayı 14
   • Toplamın yarısına farkın tamamını eklemek (20+12)→32

   Örnek

   İki sayının toplamı 40, farkı 12 ise büyük sayı kaçtır?

   Büyük = (40+12)/2 = 26 (sağlama: 26+14=40, 26−14=12)

4. 04

   Kesir problemleri ('kalanın ...si' zinciri)

   OrtaSık çıkar

   Para/elma/yakıt hikâyesi: önce bütünün bir kesri, sonra KALANIN bir kesri harcanır, kalan miktar verilir. Tuzağın tamamı 'kalanın' kelimesinde gizlidir.

   Nasıl çözülür

   1. Bütüne x de. Her adımda KALAN kesri çarp: 1/3 harcandıysa kalan 2/3⋅x.
   2. 'Kalanın 1/4'ü' ⇒ elde kalan (3/4)⋅(2/3)⋅x = x/2.
   3. Son kalanı verilen sayıya eşitle, x'i çöz; adım adım geri sağla.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • 'Kalanın 1/4'ünü' bütünün 1/4'ü sanıp 1−1/3−1/4=5/12 ile kurmak→(5/12)x=36'dan x=86,4 — tam çıkmayan değer
   • İlk harcamadan sonraki ara kalanı cevap sanmak→72 yerine 48

   Örnek

   Bir kişi parasının önce 1/3'ünü, sonra kalanın 1/4'ünü harcıyor; geriye 36 TL kalıyor. Başlangıçtaki parası kaç TL'dir?

   Kalan = (2/3)⋅(3/4)⋅x = x/2 = 36 ⇒ x=72 (sağlama: 72→24 harca, 48 kalır→12 harca, 36 kalır)

   Sık birleştiği konular: Rasyonel Sayılar, Oran ve Orantı

5. 05

   Basamak problemleri (rakamları yer değiştirme)

   OrtaSık çıkar

   İki basamaklı sayının rakamları yer değişince sayının 27 artması/azalması tipi. Fark HER ZAMAN 9(b−a)'dır; bunu bilen soruyu 20 saniyede bitirir.

   Nasıl çözülür

   1. Sayıyı 10a+b, yer değiştirmişini 10b+a yaz.
   2. Fark: (10b+a)−(10a+b) = 9(b−a) — artışı buna eşitle.
   3. Rakam toplamı denklemiyle birleştirip a ve b'yi çöz; a rakam olmalı (1–9).

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Artışı ters yönde yazmak: (10a+b)−(10b+a)=27 kurmak→b−a=−3'ten 63 — yani yer değiştirmiş sayının kendisi
   • 9 parantezini görmeyip b−a=27 sanmak→b=15 gibi rakam olamayacak değer

   Örnek

   İki basamaklı bir sayının rakamları yer değiştirince sayı 27 artıyor. Rakamları toplamı 9 ise bu sayı kaçtır?

   9(b−a)=27 ⇒ b−a=3; a+b=9 ⇒ b=6, a=3 ⇒ sayı 36 (sağlama: 63−36=27)

   Sık birleştiği konular: Sayı Basamakları ve Çözümleme

6. 06

   Bölme özdeşliğiyle sayı bulma (bölüm–kalan)

   Orta

   'Büyük sayı küçüğe bölününce bölüm 4, kalan 7' tipi: bölme özdeşliği B = bölen⋅bölüm + kalan ile ikinci bilgi (fark/toplam) birleştirilir.

   Nasıl çözülür

   1. Özdeşliği yaz: Büyük = 4⋅küçük + 7.
   2. İkinci bilgiyi denkleme dök: Büyük − küçük = 58.
   3. Yerine koy: 4k+7−k = 58 ⇒ k'yı çöz. Kalan < bölen kontrolünü yap.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Kalanı çıkarmak: Büyük = 4k−7 yazmak→3k−7=58'den tam çıkmayan k
   • Farkı toplam okuyup Büyük + küçük = 58 kurmak→5k+7=58'den kesirli değer

   Örnek

   İki sayının farkı 58'dir. Büyük sayı küçüğe bölününce bölüm 4, kalan 7 oluyor. Küçük sayı kaçtır?

   B=4k+7 ve B−k=58 ⇒ 3k+7=58, k=17 (sağlama: B=75=4⋅17+7, 75−17=58, kalan 7<17)

   Sık birleştiği konular: Bölme ve Bölünebilme Kuralları

7. 07

   En az / en çok — eşitsizlikli sayı sorusu (sınav ayarı)

   Zor

   Toplam sabitken 'b en az kaçtır?' tipi. Denklem değil sınır mantığı ister: koşulu eşitsizliğe çevirip tam sayı sınırına yuvarlamak. TYT'nin eleyici sorusu.

   Nasıl çözülür

   1. Koşulu eşitsizlik olarak yaz: a < b ve a+b = 27.
   2. a'yı yok et: a = 27−b ⇒ 27−b < b ⇒ b > 13,5.
   3. Tam sayı sınırına DOĞRU yönde yuvarla: b en az 14. Uç değeri sağlayarak kontrol et.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • 13,5'i aşağı yuvarlamak (a<b koşulunu esnetmek)→14 yerine 13 — o zaman a=14>b olur, koşul bozulur
   • 'En az' isterken 'en çok' mantığıyla a'yı 1 almak→26

   Örnek

   a ve b pozitif tam sayılar, a < b ve a+b = 27 ise b en az kaçtır?

   27−b < b ⇒ b > 13,5 ⇒ b en az 14 (sağlama: a=13, b=14 ⇒ 13<14 ve toplam 27)

   Sık birleştiği konular: Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler