TYT Matematik · Temel Kavramlar

Sayı Basamakları ve Çözümleme

~8 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soruTYT'de ~4 soru/yıl · Sınavda yüksek ağırlık

Bir sayıyı oluşturan rakamların bulundukları basamağa göre taşıdıkları değer, TYT'nin en sık çıkan ve en hızlı çözülen konularından birinin temelidir. Bu derste rakam–basamak–değer kavramlarını netleştirip çözümleme yöntemini kuruyoruz: $\overline{ab} = 10 a + b$ gibi bir yazımı kavradığınızda, "rakamları yer değiştiren sayı" veya "rakamları toplamı" tipi problemler anında basit bir cebirsel denkleme dönüşür.

1. Rakam, Sayı ve Basamak

Rakam, sayıları yazmak için kullanılan $0, 1, 2, \dots, 9$ sembolleridir; toplam 10 rakam vardır. Sayı ise bu rakamların yan yana dizilmesiyle oluşur.

Bir sayının rakamlarını harflerle göstermek için üst çizgi kullanırız:

$\overline{ab} = rakamlar ı a ve b olan iki basamakl ı say ı (a \neq = 0)$

Dikkat: $\overline{ab}$ gösterimi, $a$ ile $b$ 'nin çarpımı değildir. Örneğin $\overline{ab}$ ile $a \cdot b$ tamamen farklı şeylerdir; ilki bir iki basamaklı sayı, ikincisi iki rakamın çarpımıdır.

En yüksek (en soldaki) basamağın rakamı $0$ olamaz ( $a \neq = 0$ ); aksi hâlde sayı bir basamak küçülür. Örneğin $\overline{ab}$ 'de $a = 0$ olursa elde edilen şey iki basamaklı bir sayı olmaz.

2. Basamak Değeri ve Sayı (Rakam) Değeri

Bir rakamın iki ayrı değeri vardır:

Sayı (rakam) değeri: rakamın kendisidir; bulunduğu basamaktan bağımsızdır.
Basamak değeri: rakamın, bulunduğu basamağa göre kazandığı değerdir.

Örnek olarak $47$ sayısını ele alalım:

Rakam	Bulunduğu basamak	Sayı değeri	Basamak değeri
$4$	onlar	$4$	$40$
$7$	birler	$7$	$7$

Görüldüğü gibi $4$ rakamının sayı değeri $4$ iken, onlar basamağında olduğu için basamak değeri $4 \cdot 10 = 40$ 'tır.

3. Bir Sayının Çözümlenmesi

Bir sayıyı, her rakamın basamak değerlerinin toplamı biçiminde yazmaya çözümleme denir.

İki basamaklı sayı:

$\overline{ab} = 10 a + b$

Üç basamaklı sayı:

$\overline{ab c} = 100 a + 10 b + c$

Örneğin $305$ sayısında $\overline{ab c}$ için $a = 3, b = 0, c = 5$ olur ve çözümleme $100 \cdot 3 + 10 \cdot 0 + 5 = 305$ verir. Buradaki $0$ basamağı boş bırakılmaz, mutlaka yazılır; aksi hâlde sayı $35$ 'e dönüşürdü.

Yararlı Sonuçlar

Çözümlemeyi kullanarak iki klasik sonucu türetelim:

$\overline{ab} + \overline{ba} = (10 a + b) + (10 b + a) = 11 a + 11 b = 11 (a + b)$

$\overline{ab} - \overline{ba} = (10 a + b) - (10 b + a) = 9 a - 9 b = 9 (a - b)$

Bu iki eşitlik, "rakamları yer değiştiren sayı" sorularında doğrudan kullanılır.

Örnek

Soru

$47$ sayısında $4$ rakamının basamak değeri ile sayı değeri arasındaki fark kaçtır?

$4$ rakamı onlar basamağında olduğundan basamak değeri $40$ 'tır.
$4$ rakamının sayı değeri $4$ 'tür.
Fark: $40 - 4 = 36$ .

Sonuç:

36

Örnek

Soru

$\overline{ab}$ iki basamaklı bir sayıdır. Rakamları yer değiştirildiğinde $\overline{ba}$ sayısı oluşuyor. $\overline{ab} - \overline{ba}$ ifadesinin daima $9$ 'un katı olduğunu çözümleyerek gösteriniz.

İki sayıyı da çözümle: $\overline{ab} = 10 a + b$ ve $\overline{ba} = 10 b + a$ .
Farkı al: $\overline{ab} - \overline{ba} = (10 a + b) - (10 b + a)$ .
Düzenle: $= 10 a + b - 10 b - a = 9 a - 9 b$ .
Ortak çarpan parantezine al: $= 9 (a - b)$ .

Sonuç:

\overline{ab} - \overline{ba} = 9 (a - b)

olduğundan fark her zaman

9

'un katıdır.

Örnek

Soru

İki basamaklı bir sayı, rakamlarının toplamının $7$ katına eşittir. Bu koşulu sağlayan tüm sayıları bulunuz.

Sayıyı $10 a + b$ , rakamlarının toplamını $a + b$ biçiminde yaz ve eşitliği kur.

Sayı $10 a + b$ , rakamlarının toplamı $a + b$ olduğundan denklem: $10 a + b = 7 (a + b)$ .
Sağ tarafı dağıt: $10 a + b = 7 a + 7 b$ .
Düzenle: $10 a - 7 a = 7 b - b \Rightarrow 3 a = 6 b \Rightarrow a = 2 b$ .
$b = 1, 2, 3, 4$ için $a = 2, 4, 6, 8$ olur (her birinde $a \neq = 0$ ve rakamlar geçerli): sayılar $21, 42, 63, 84$ .
Doğrulama: $21$ için rakam toplamı $2 + 1 = 3$ ve $7 \cdot 3 = 21$ ✓.

Sonuç:

21, 42, 63, 84

Örnek

Soru

$\overline{ab} + \overline{ba} = 121$ olduğuna göre $a + b$ kaçtır?

Çözümlemeden bilinen sonucu kullan: $\overline{ab} + \overline{ba} = 11 (a + b)$ .
Eşitliği yaz: $11 (a + b) = 121$ .
Her iki tarafı $11$ 'e böl: $a + b = 11$ .

Sonuç:

a + b = 11

Örnek

Soru

Yüzler basamağı $3$ , onlar basamağı $0$ , birler basamağı $5$ olan üç basamaklı sayı kaçtır? Çözümleme ile gösteriniz.

Üç basamaklı sayının çözümlemesi: $\overline{ab c} = 100 a + 10 b + c$ .
Verilenleri yerine koy: $a = 3, b = 0, c = 5$ .
Hesapla: $100 \cdot 3 + 10 \cdot 0 + 5 = 300 + 0 + 5 = 305$ .
Onlar basamağındaki $0$ atılamaz; yazılmazsa sayı $35$ olurdu.

Sonuç:

305

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$\overline{ab}$ iki basamaklı bir sayıdır. $a$ rakamının basamak değeri ile $b$ rakamının basamak değeri toplamı $63$ olduğuna göre $\overline{ab}$ kaçtır?

$a$ onlar basamağında olduğundan basamak değeri $10 a$ , $b$ birler basamağında olduğundan basamak değeri $b$ 'dir.
Toplamları zaten sayının kendisidir: $10 a + b = \overline{ab}$ .
Bu toplam $63$ verildiğinden $\overline{ab} = 63$ olur.

Sonuç:

63

Örnek

Soru

İki basamaklı bir $\overline{ab}$ sayısının rakamları toplamı $12$ 'dir. Bu sayının alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaçtır?

$a + b = 12$ ve $a \neq = 0$ koşulları geçerli. En büyük sayıyı elde etmek için onlar basamağı en büyük olmalı.
En büyük: $a = 9, b = 3 \Rightarrow 93$ .
En küçük: onlar basamağı mümkün olan en küçük değeri alsın; $a = 3, b = 9 \Rightarrow 39$ (çünkü $b \leq 9$ olmalı, bu yüzden $a \geq 3$ ).
Fark: $93 - 39 = 54$ .

Sonuç:

54

Örnek

Soru

İki basamaklı bir sayının rakamları yer değiştirildiğinde elde edilen yeni sayı, ilk sayıdan $36$ büyüktür. Buna göre $b - a$ kaçtır? (Sayı $\overline{ab}$ , yeni sayı $\overline{ba}$ biçimindedir.)

Koşulu yaz: $\overline{ba} - \overline{ab} = 36$ .
Çözümle: $(10 b + a) - (10 a + b) = 9 b - 9 a = 9 (b - a)$ .
Eşitle: $9 (b - a) = 36 \Rightarrow b - a = 4$ .

Sonuç:

b - a = 4

Örnek

Soru

$\overline{a 5}$ iki basamaklı sayısı ile $\overline{5 a}$ iki basamaklı sayısının toplamı $99$ 'dur. Buna göre $a$ kaçtır?

İki sayıyı da çözümle ve birler/onlar basamaklarındaki $5$ ile $a$ 'yı dikkatlice yerleştir.

Çözümle: $\overline{a 5} = 10 a + 5$ ve $\overline{5 a} = 50 + a$ .
Topla: $(10 a + 5) + (50 + a) = 11 a + 55$ .
Eşitle: $11 a + 55 = 99 \Rightarrow 11 a = 44 \Rightarrow a = 4$ .
Doğrulama: $45 + 54 = 99$ ✓.

Sonuç:

a = 4

Örnek

Soru

Üç basamaklı $\overline{ab c}$ sayısında $b = 0$ , $c = 2 a$ ve $a = 3$ olduğuna göre sayı kaçtır?

$a = 3$ verildiğinden $c = 2 a = 6$ ve $b = 0$ olur.
Çözümle: $\overline{ab c} = 100 a + 10 b + c$ .
Yerine koy: $100 \cdot 3 + 10 \cdot 0 + 6 = 300 + 0 + 6 = 306$ .

Sonuç:

306

Örnek

Soru

İki basamaklı bir sayının onlar basamağındaki rakam, birler basamağındaki rakamın $3$ katıdır. Bu sayının rakamları toplamı $8$ olduğuna göre sayı kaçtır?

Onlar basamağı $a$ , birler basamağı $b$ olsun: $a = 3 b$ ve $a + b = 8$ .
Birinciyi ikinciye koy: $3 b + b = 8 \Rightarrow 4 b = 8 \Rightarrow b = 2$ .
Buradan $a = 3 \cdot 2 = 6$ .
Sayı: $\overline{ab} = 10 \cdot 6 + 2 = 62$ .

Sonuç:

62

Örnek

Soru

Üç basamaklı $\overline{ab c}$ sayısı ile rakamları ters çevrilmiş $\overline{c ba}$ sayısının farkı $\overline{ab c} - \overline{c ba} = 297$ olduğuna göre $a - c$ kaçtır?

Çözümle: $\overline{ab c} = 100 a + 10 b + c$ ve $\overline{c ba} = 100 c + 10 b + a$ .
Farkı al: $(100 a + 10 b + c) - (100 c + 10 b + a) = 99 a - 99 c$ .
Ortak çarpana al: $= 99 (a - c)$ .
Eşitle: $99 (a - c) = 297 \Rightarrow a - c = 3$ .

Sonuç:

a - c = 3

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Basamak değeri ile sayı (rakam) değeri ayrımı: Basamak değeri yerine sayı değerini vermek 347'de 4 için cevap 4
İki/üç basamaklı sayının çözümlenmesi (10a+b kurulumu): ab sayısını a⋅b çarpımı sanmak kurulamayan ya da saçma denklem
Rakamları yer değiştirme farkı: ab − ba = 9(a−b): Farkı 10(a−b) sanmak 45 fark için a−b = 4,5 çıkmazı
ab + ba tipi toplamlar: 11(a+b): Toplamı 10(a+b) veya 12(a+b) sanmak 132 için a+b = 13,2 veya 11
Üç basamaklıda yüzler-birler değişimi: abc − cba = 99(a−c): Farkı 100(a−c) sanmak 297 için a−c = 2,97 çıkmazı
Basamak koşullarından sayıyı bulma (iki koşullu sistem — sınav ayarı): İstenen ab iken ters çevrilmiş ba'yı işaretlemek 48 yerine 84

Soru 1Kolay

Bir otopark plakasında iki basamaklı

\overline{5 a}

yazılıdır. Plaka

3

'ün katı olacak biçimde

a

rakamı seçilecektir. Buna göre

a

kaç farklı değer alabilir?

$3$ ile bölünebilirlik: $5 + a$ toplamı $3$ 'ün katı olmalı.
$a \in {0, 1, \dots, 9}$ için $5 + a \in {5, 6, \dots, 14}$ ; $3$ 'ün katları: $6, 9, 12$ .
$a = 1, 4, 7$ → $3$ farklı değer ( $51$ , $54$ , $57$ ).

Sonuç:

3

Soru 2Orta

İki basamaklı bir telefon kodunun rakamları toplamı

11

'dir. Kod ile rakamları yer değiştirilmiş hali arasındaki fark

27

'dir. Buna göre bu kod (ilk yazılış hâli) kaçtır?

Kod $\overline{ab} = 10 a + b$ , tersi $\overline{ba} = 10 b + a$ .
Fark: $(10 a + b) - (10 b + a) = 9 (a - b) = 27 \Rightarrow a - b = 3$ .
Rakam toplamı: $a + b = 11$ . Topla: $2 a = 14 \Rightarrow a = 7$ , $b = 4$ .
Kod: $74$ .

Sonuç:

74

Soru 3Kolay

Üç basamaklı

\overline{ab c}

sayısı ile

\overline{c ba}

sayısı arasındaki fark

396

'dır;

b = 5

sabittir. Buna göre

a - c

kaçtır?

$\overline{ab c} - \overline{c ba} = (100 a + 10 b + c) - (100 c + 10 b + a) = 99 (a - c)$ .
$99 (a - c) = 396 \Rightarrow a - c = 4$ .

Sonuç:

4

Soru 4Kolay

Bir kargo barkodunda üç basamaklı

\overline{8 mn}

sayısı yazılıdır (

m

n

herhangi rakam). Sistem, soldaki

8

rakamının **basamak değeri** ile **sayı (rakam) değeri** arasındaki farkı bir güvenlik koduna çeviriyor. Buna göre bu fark kaçtır?

$8$ rakamı **yüzler** basamağındadır; basamak değeri $8 \cdot 100 = 800$ .
Aynı rakamın **sayı değeri** $8$ 'dir.
Fark: $800 - 8 = 792$ . ( $m$ ve $n$ sonucu etkilemez.) Çeldirici: basamak değerini $80$ ( $\Rightarrow 72$ ) sanmak ya da farkı almayı unutup $800$ demek.

Sonuç:

792

Soru 5Orta

İki basamaklı bir bilet numarası

\overline{ab}

'nin rakamları toplamı

10

'dur. Bu numara, rakamları yer değiştirilmiş hâli

\overline{ba}

'dan

18

fazladır. Buna göre bilet numarası (ilk yazılış hâli) kaçtır?

Koşul: $\overline{ab} - \overline{ba} = 18 \Rightarrow 9 (a - b) = 18 \Rightarrow a - b = 2$ .
Rakam toplamı: $a + b = 10$ . Topla: $2 a = 12 \Rightarrow a = 6, b = 4$ .
Numara: $\overline{ab} = 64$ . Doğrulama: $64 - 46 = 18$ ✓ ve $6 + 4 = 10$ ✓. (Çeldirici: $\overline{ba} = 46$ cevabını işaretlemek.)

Sonuç:

64

Soru 6Orta

Bir dolap şifresi üç basamaklı

\overline{2 k 6}

biçimindedir (

k

bir rakam). Şifrenin **

3

ile bölünebilmesi** isteniyor. Buna göre

k

kaç farklı değer alabilir?

$3$ ile bölünebilme: rakamlar toplamı $2 + k + 6 = 8 + k$ sayısı $3$ 'ün katı olmalı.
$k \in {0, 1, \dots, 9}$ için $8 + k \in {8, 9, \dots, 17}$ ; $3$ 'ün katları: $9, 12, 15$ .
$8 + k = 9 \Rightarrow k = 1$ , $8 + k = 12 \Rightarrow k = 4$ , $8 + k = 15 \Rightarrow k = 7$ .
$k \in {1, 4, 7}$ → $3$ farklı değer. (Çeldirici: birler basamağına bakıp $5$ / $2$ ile bölünebilme kuralıyla karıştırmak.)

Sonuç:

3

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

$\overline{ab}$ 'yi çarpım sanmak: $\overline{ab}$ bir iki basamaklı sayıdır ( $10 a + b$ ), $a \cdot b$ çarpımı değildir.
Basamak değeri ile sayı değerini karıştırmak: $47$ 'de $4$ 'ün sayı değeri $4$ , basamak değeri $40$ 'tır; bunları yer değiştirmemek gerekir.
Çözümlemede sıfır basamağını atlamak: $305$ sayısında onlar basamağı $0$ 'dır; bu basamak yazılmazsa sayı $35$ 'e düşer.
En yüksek basamağın $0$ olabileceğini sanmak: $\overline{ab}$ ve $\overline{ab c}$ gibi yazımlarda en soldaki rakam $0$ olamaz ( $a \neq = 0$ ).

Sınav İpucu

Rakam yer değiştirme, "rakamları toplamı", "rakamları arasındaki fark" tipi sorularda zaman kaybetmeden sayıyı hemen $\overline{ab} = 10 a + b$ (veya üç basamaklıysa $100 a + 10 b + c$ ) biçiminde çözümleyin. Bu adımdan sonra problem neredeyse her zaman tek bir cebirsel denkleme indirgenir. Ayrıca $\overline{ab} + \overline{ba} = 11 (a + b)$ ve $\overline{ab} - \overline{ba} = 9 (a - b)$ sonuçlarını ezberleyin; toplam/fark verilen sorularda saniyeler içinde sonuca götürür.

1. Rakam, Sayı ve Basamak

2. Basamak Değeri ve Sayı (Rakam) Değeri

3. Bir Sayının Çözümlenmesi

Yararlı Sonuçlar

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Temel Kavramlar — diğer konular