TYT Matematik · Temel Kavramlar

Tek ve Çift Sayılar

~7 dk okumaZorluk: Kolay6 çözümlü soruTYT'de ~4 soru/yıl · Sınavda yüksek ağırlık

Tek ve çift sayılar, TYT "Temel Kavramlar" konusunun en çok soru getiren parçasıdır. Burada amaç sayıyı hesaplamak değil, bir ifadenin paritesini (tek mi çift mi olduğunu) toplama, çıkarma, çarpma ve üs kurallarıyla hızlıca belirlemektir. Bu kuralları ezberlemek yerine $2 k$ ve $2 k + 1$ gösterimiyle bir kez doğrulamak, sınavda saniyeler kazandırır.

1. Tanım

Bir tam sayı $2$ ile tam bölünüyorsa çift, bölünmüyorsa tektir. $k$ bir tam sayı olmak üzere:

$\overset{c}{¸} ift = 2 k, tek = 2 k + 1$

Buna göre $\dots, - 4, - 2, 0, 2, 4, \dots$ çift; $\dots, - 3, - 1, 1, 3, 5, \dots$ tektir.

Dikkat: $0$ çifttir, çünkü $0 = 2 \cdot 0$ olarak yazılır. Sınavda "sıfır tek midir çift midir" tuzağına düşme: sıfır çifttir.

2. Toplama ve Çıkarma Kuralları

İki sayının toplamının veya farkının paritesi yalnızca terimlerin türüne bağlıdır:

İşlem	Sonuç
çift $\pm$ çift	çift
tek $\pm$ tek	çift
tek $\pm$ çift	tek
çift $\pm$ tek	tek

Kural: Aynı türden iki sayının toplamı/farkı çift, farklı türden iki sayının toplamı/farkı tektir.

Bunu $2 k$ ve $2 m + 1$ ile doğrulayalım: tek $+$ tek $= (2 k + 1) + (2 m + 1) = 2 (k + m + 1)$ , yani çift.

3. Çarpma Kuralları

İşlem	Sonuç
çift $\cdot$ herhangi	çift
tek $\cdot$ tek	tek

Kural: Bir çarpımın çift olması için en az bir çarpanın çift olması yeterlidir. Çarpımın tek olması için ise tüm çarpanların tek olması gerekir.

Doğrulama: çift $\cdot$ herhangi $= 2 k \cdot n = 2 (k n)$ çifttir; tek $\cdot$ tek $= (2 k + 1) (2 m + 1) = 2 (2 k m + k + m) + 1$ tektir.

4. Üs Alma Kuralı

$n$ pozitif tam sayı olmak üzere bir sayının kuvveti, o sayının tekrarlı çarpımıdır; bu yüzden üs alma pariteyi değiştirmez:

$tek^{n} = tek, \overset{c}{¸} ift^{n} = \overset{c}{¸} ift$

Örneğin $3^{5} = 243$ tek, $4^{3} = 64$ çifttir. Taban tekse sonuç her zaman tek, taban çiftse sonuç her zaman çifttir.

5. Ardışık Sayılar İncelemesi

Ardışık iki tam sayıdan biri mutlaka çifttir. Dolayısıyla bunların çarpımı her zaman çifttir:

$n (n + 1) daima \overset{c}{¸} ifttir.$

Bu sonuç, ifadelerin çift olduğunu kanıtlamada sık kullanılır.

Örnek

Soru

$a$ tek, $b$ çift sayı olmak üzere aşağıdaki ifadelerin tek mi çift mi olduğunu belirleyiniz:

$a + b, a \cdot b, a^{2} + b, 3 a + 2 b$

Her terimi ayrı ayrı işaretle (tek/çift), sonra toplama–çarpma kurallarını uygula. Emin olamadığın yerde $a = 1$ , $b = 2$ deneyebilirsin.

$a + b$ : tek $+$ çift $=$ tek.
$a \cdot b$ : tek $\cdot$ çift, en az bir çarpan çift olduğundan $=$ çift.
$a^{2} + b$ : $a^{2}$ tek (üs pariteyi değiştirmez), tek $+$ çift $=$ tek.
$3 a + 2 b$ : $3 a$ tek $\cdot$ tek $=$ tek, $2 b$ çift $\cdot$ çift $=$ çift; tek $+$ çift $=$ tek.

Sonuç:

a + b

tek,

a \cdot b

çift,

a^{2} + b

tek,

3 a + 2 b

tektir.

Örnek

Soru

$x$ bir tam sayı olmak üzere $x^{2} + x$ ifadesinin daima çift olduğunu gösteriniz.

İfadeyi çarpanlarına ayır: $x^{2} + x = x (x + 1)$ .
$x$ ile $x + 1$ ardışık iki tam sayıdır.
Ardışık iki sayıdan biri mutlaka çift olduğundan, çarpımda en az bir çarpan çifttir.
Çift $\cdot$ herhangi $=$ çift olduğundan $x (x + 1)$ her $x$ için çifttir.

Sonuç:

x^{2} + x

her tam sayı

x

için daima çifttir.

Örnek

Soru

$a \cdot b \cdot c$ çarpımı tek bir sayı ise $a$ , $b$ ve $c$ hakkında ne söylenebilir?

Bir çarpımın tek olması için tüm çarpanlar tek olmalıdır.
Çarpanlardan biri bile çift olsaydı, çift $\cdot$ herhangi $=$ çift kuralıyla sonuç çift çıkardı.
Sonuç tek verildiğine göre çift çarpan bulunamaz.

Sonuç:

a

b

c

sayılarının üçü de tektir.

Örnek

Soru

$a$ ve $b$ tam sayılar olmak üzere $2 a + 3 b$ ifadesi tek ise $b$ hakkında ne söylenebilir?

$2 a$ teriminin paritesi bellidir. Toplamın tek çıkması için diğer terimin ne olması gerektiğini düşün.

$2 a$ ifadesi $a$ ne olursa olsun çifttir.
Toplam çift $+ 3 b$ biçimindedir. Bu toplamın tek olması için $3 b$ teriminin tek olması gerekir (çift $+$ tek $=$ tek).
$3 b$ teriminin tek olması için, $3$ tek olduğundan $b$ de tek olmalıdır (tek $\cdot$ tek $=$ tek; eğer $b$ çift olsaydı $3 b$ çift olurdu).

Sonuç:

b

tek bir sayıdır.

Örnek

Soru

Ardışık üç tam sayının toplamı her zaman tek midir çift midir? Belirleyiniz.

Ardışık üç sayıyı $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ olarak yaz.
Toplamları: $n + (n + 1) + (n + 2) = 3 n + 3 = 3 (n + 1)$ .
Paritesi $n + 1$ terimine bağlıdır: $n$ çift ise $n + 1$ tek, dolayısıyla toplam tek; $n$ tek ise $n + 1$ çift, dolayısıyla toplam çift olur.

Sonuç: Ardışık üç sayının toplamı sabit bir parite vermez; ortadaki sayı tek ise toplam tek, çift ise toplam çifttir.

Örnek

Soru

$5^{12} + 7^{9}$ ifadesi tek midir çift midir?

$5$ tek olduğundan $5^{12}$ tektir (üs pariteyi değiştirmez).
$7$ tek olduğundan $7^{9}$ tektir.
Tek $+$ tek $=$ çift kuralıyla toplam çifttir.

Sonuç: İfade çifttir.

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$a$ bir tam sayı olmak üzere $4 a + 6$ ifadesi tek midir çift midir?

$4 a$ ifadesi $4 a = 2 (2 a)$ olduğundan çifttir.
$6$ sayısı çifttir.
Çift $+$ çift $=$ çift olduğundan ifade her $a$ için çifttir.

Sonuç: İfade çifttir.

Örnek

Soru

$a$ ve $b$ tam sayılar olmak üzere $a + b$ çift ise $a$ ile $b$ hakkında ne söylenebilir?

Toplamın çift olması için iki sayının aynı türden olması gerekir.
Çift $+$ çift $=$ çift ve tek $+$ tek $=$ çift; farklı türden olsalardı toplam tek olurdu.
Bu yüzden ya ikisi de çift ya da ikisi de tektir.

Sonuç:

a

b

aynı türdendir (ikisi de tek veya ikisi de çift).

Örnek

Soru

$1 + 2 + 3 + \dots + 10$ toplamı tek midir çift midir?

Toplamda tek sayılar $1, 3, 5, 7, 9$ olmak üzere $5$ tanedir.
Tek sayıların adedi tek olduğundan, bu tek sayıların toplamı tektir (çift sayıların toplamı pariteyi etkilemez, hep çifttir).
Çift sayıların toplamı çift, tek sayıların toplamı tek olduğundan genel toplam çift $+$ tek $=$ tektir.
Kontrol: $1 + 2 + \dots + 10 = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55$ , tektir.

Sonuç: Toplam tektir (

55

Örnek

Soru

$a$ çift, $b$ tek sayı olmak üzere $(a + b) \cdot (a - b)$ ifadesi tek midir çift midir?

Önce parantez içlerinin paritesini belirle, sonra çarpma kuralını uygula.

$a + b$ : çift $+$ tek $=$ tektir.
$a - b$ : çift $-$ tek $=$ tektir.
İki çarpanın çarpımı tek $\cdot$ tek $=$ tektir.

Sonuç: İfade tektir.

Örnek

Soru

$3^{20} \cdot 5^{15} \cdot 7$ çarpımının birler basamağını değil, paritesini belirleyiniz.

$3$ tek olduğundan $3^{20}$ tektir (üs pariteyi değiştirmez).
$5$ tek olduğundan $5^{15}$ tektir.
$7$ tektir.
Tüm çarpanlar tek olduğundan tek $\cdot$ tek $\cdot$ tek $=$ tektir.

Sonuç: Çarpım tektir.

Örnek

Soru

$a$ ve $b$ tam sayılar olmak üzere $a \cdot b$ çift ise bu durumda mutlaka doğru olan ne söylenebilir?

Çarpımın çift olması için en az bir çarpanın çift olması yeterli ve gereklidir.
Eğer her iki sayı da tek olsaydı tek $\cdot$ tek $=$ tek olurdu; bu çelişir.
Demek ki $a$ ile $b$ 'den en az biri çifttir.

Sonuç:

a

ile

b

sayılarından en az biri çifttir.

Örnek

Soru

$n$ bir tam sayı olmak üzere $n^{3} - n$ ifadesinin daima çift olduğunu gösteriniz.

İfadeyi çarpanlarına ayırarak ardışık sayılar elde etmeye çalış.

Ortak çarpan $n$ alınır: $n^{3} - n = n (n^{2} - 1)$ .
$n^{2} - 1 = (n - 1) (n + 1)$ olduğundan ifade $(n - 1) \cdot n \cdot (n + 1)$ olur.
Bunlar ardışık üç tam sayıdır; ardışık iki sayıdan biri mutlaka çift olduğu için çarpanlardan en az biri çifttir.
Çift $\cdot$ herhangi $=$ çift olduğundan ifade her $n$ için çifttir.

Sonuç:

n^{3} - n

her tam sayı

n

için daima çifttir.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Toplam ve çarpımın tekliği-çiftliği (temel parite tablosu): tek+tek=tek sanmak a+b'yi tek etiketlemek
Üslü ifadenin paritesi (tekⁿ tek kalır): Üs çift olunca sonucu çift sanmak (5²⁰²⁶ çift demek) çift+tek = tek gibi ters parite
Çarpım-toplam koşulundan parite çıkarımı (a⋅b çift, a+b tek ise…): a+b tek iken ikisini de tek sanmak a−b çift gibi yanlış 'kesin' ifade
Denklemli parite sorusu (3a+2b tek ise a…): 2b terimini parite hesabına katmak (b'ye göre sonuç değişir sanmak) 'belirlenemez' cevabı
Ardışık sayıların çarpımı (n(n+1) daima çift): Sonucun n'ye bağlı olduğunu sanmak 'n'ye göre değişir' şıkkı
Parite zinciri (a⋅b tek ⇒ (a+1)(b+1) tipi çıkarımlar): a⋅b tek iken birinin çift olabileceğini sanmak 'belirlenemez' cevabı

Soru 1Kolay

n

bir tam sayıdır. Bir sensör, okunan değeri

T = (n + 1)^{2} - (n - 1)^{2}

formülüyle hesaplıyor. Buna göre

T

sayısının

4

ile bölümünden kalan daima kaçtır?

Aç: $(n + 1)^{2} - (n - 1)^{2} = (n^{2} + 2 n + 1) - (n^{2} - 2 n + 1) = 4 n$ .
$4 n$ her tam $n$ için $4$ 'ün katıdır; bölümünden kalan $0$ 'dır.

Sonuç:

0

Soru 2Orta

Bir turnuvada

1

'den

41

'e kadar **ardışık tek** numaralı sporcu kaydı tutuluyor. Kayıt memuru tüm numaraların toplamını hesaplayacak. Buna göre bu toplam kaçtır?

Terimler $1, 3, 5, \dots, 41$ ; terim sayısı $\frac{41 - 1}{2} + 1 = 21$ .
Ardışık tek toplamı: $\frac{( 1 + 41 ) \cdot 21}{2} = \frac{42 \cdot 21}{2} = 441$ .

Sonuç:

441

Soru 3Orta

İki sayaç aynı anda çalışıyor: birincinin değeri

5^{2026}

, ikincininki

3^{2027}

. Gösterge paneli iki değerin **toplamının paritesini** (tek/çift) kodluyor; çift için

2

, tek için

1

yazıyor. Buna göre panelde görünen kod kaçtır?

$5$ tek olduğundan $5^{2026}$ tektir.
$3$ tek olduğundan $3^{2027}$ tektir.
tek $+$ tek $=$ çifttir; panel çift için $2$ yazar.

Sonuç:

2

Soru 4Orta

Bir kontrol panelinde üç ölçüm cihazı sırasıyla

4^{6}

7^{5}

9^{3}

değerlerini gösteriyor. Panel, bu üç değerin **toplamının** paritesini kodluyor: çift ise yeşil, tek ise kırmızı yanıyor. Buna göre panelde hangi renk yanar?

$4$ çift olduğundan $4^{6}$ **çift**.
$7$ tek olduğundan $7^{5}$ **tek**; $9$ tek olduğundan $9^{3}$ **tek**.
Toplam: çift $+$ tek $+$ tek $=$ çift $+$ (tek $+$ tek) $=$ çift $+$ çift $=$ **çift**.
Panel çift için yeşil yanar. (Çeldirici: $7^{5}$ ve $9^{3}$ 'ü çift sanıp ya da üç tek terim sayıp tek demek.)

Sonuç: Yeşil (çift)

Soru 5Orta

Bir koridorda ardışık tek numaralı üç dolap vardır; numaraları küçükten büyüğe

2 n - 1

2 n + 1

2 n + 3

biçiminde yazılabilir (

n

pozitif tam sayı). Buna göre bu üç numaranın toplamının

2

ile bölümünden kalan daima kaçtır?

Topla: $(2 n - 1) + (2 n + 1) + (2 n + 3) = 6 n + 3$ .
$6 n$ çifttir; çift $+$ tek $(3)$ $=$ **tek**. Yani toplam her $n$ için tektir.
Tek sayının $2$ ile bölümünden kalan $1$ 'dir. (Çeldirici: $6 n + 3$ 'ü $3$ 'ün katı görüp kalanı $n$ 'ye bağlı sanmak; oysa parite sabittir.)

Sonuç:

1

Soru 6Zor

Bir oyunda

m

puanı **tek**,

n

puanı **çift** olan iki oyuncu vardır. Sistem,

P = m^{2} + n^{2} + m \cdot n

değerini hesaplayıp sonucun tek mi çift mi olduğuna göre sıra veriyor. Buna göre

P

daima nasıldır?

$m$ tek $\Rightarrow m^{2}$ tek (üs pariteyi değiştirmez).
$n$ çift $\Rightarrow n^{2}$ çift.
$m \cdot n$ : en az bir çarpan ( $n$ ) çift olduğundan çift.
Toplam: tek $+$ çift $+$ çift $=$ tek $+$ (çift $+$ çift) $=$ tek $+$ çift $=$ **tek**.
Demek ki $P$ her zaman tektir. (Çeldirici: $m^{2}$ 'yi çift sanmak ya da $mn$ 'yi tek sanmak çift sonucuna götürür.)

Sonuç: Daima tek

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

tek $\cdot$ çift sonucunu tek sanmak. En az bir çarpan çift olduğundan sonuç çifttir (ör. $3 \cdot 4 = 12$ ).
Üs alınca paritenin değişeceğini sanmak. $tek^{n}$ tek, $\overset{c}{¸} ift^{n}$ çifttir; üs alma pariteyi değiştirmez.
"tek $+$ tek $=$ tek" demek. Doğrusu tek $+$ tek $=$ çifttir (aynı türden toplama çift verir).
Sıfırı tek sanmak. $0$ çifttir.

Sınav İpucu

Bilinmeyenli ifadelerde kuralları hatırlayamadığında, harflerin yerine küçük somut sayılar koy: tek için $1$ , çift için $2$ . Örneğin $a$ tek, $b$ çift için $a = 1$ , $b = 2$ alıp $3 a + 2 b = 3 + 4 = 7$ (tek) sonucunu saniyeler içinde doğrularsın. Bu yöntem hem hız kazandırır hem de yanlış hatırlanan kuralı anında yakalar.

1. Tanım

2. Toplama ve Çıkarma Kuralları

3. Çarpma Kuralları

4. Üs Alma Kuralı

5. Ardışık Sayılar İncelemesi

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Temel Kavramlar — diğer konular