TYT Matematik · Temel Kavramlar

Ardışık Sayılar

~8 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soruTYT'de ~4 soru/yıl · Sınavda yüksek ağırlık

Ardışık sayılar, belirli bir kurala göre birbirini izleyen sayılardır: tam sayılarda her terim bir öncekinden $1$ fazla, çift ve tek sayılarda ise $2$ fazladır. TYT'de bu konu hem doğrudan soru olarak hem de problem çözümünde araç olarak karşına çıkar. Bu derste gösterimleri, toplam ve ortalama formüllerini ve işlemi kısaltan pratikleri öğreneceksin.

1. Ardışık Sayı Gösterimleri

Bir sayıya $n$ dersek, ardışık sayıları tek bir bilinmeyenle yazarız. Bu, problemleri denkleme dökmenin en hızlı yoludur.

Tür	Gösterim	Ardışık terimler arası fark
Ardışık tam sayılar	$n, n + 1, n + 2, \dots$	$1$
Ardışık çift sayılar	$n, n + 2, n + 4, \dots$ ( $n$ çift)	$2$
Ardışık tek sayılar	$n, n + 2, n + 4, \dots$ ( $n$ tek)	$2$

Dikkat: Ardışık çift ve ardışık tek sayılarda fark $1$ değil $2$ 'dir. Örneğin ardışık çift sayılar $4, 6, 8$ ; ardışık tek sayılar $5, 7, 9$ biçimindedir.

Şekil 1 — Ardışık terimler arasındaki farkın sabit olması, terimleri sayı doğrusunda eşit aralıklarla yerleştirir. Burada fark

3

(ardışık

3

'ün katları); ardışık tam sayılarda bu fark

1

, ardışık çift/tek sayılarda ise

2

olur. Sabit fark, ardışık sayıların toplamını ilk–son ortalaması üzerinden hesaplamayı mümkün kılar.

2. Ardışık Sayıların Toplamı

Ardışık sayılar bir aritmetik sıra oluşturduğundan, toplamları ilk ve son terimin ortalamasının terim sayısıyla çarpımına eşittir:

$Toplam = \frac{( ilk + son ) \cdot terim say ı s ı}{2}$

Buradaki kritik nokta terim sayısıdır. İki tam sayı arasındaki (ikisi dahil) terim sayısı şöyle bulunur:

$terim say ı s ı = son - ilk + 1$

İlk $n$ sayma sayısının toplamı için bu formülün özel hâli sık kullanılır:

$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$

3. Ardışık Sayıların Ortalaması

Ardışık sayıların aritmetik ortalaması, ilk ve son terimin ortalamasıdır:

$Ortalama = \frac{ilk + son}{2}$

Terim sayısı tek ise ortalama, tam ortadaki terime eşittir (ve bir tam sayıdır). Terim sayısı çift ise ortalama, ortadaki iki terimin arasında kalır ve genelde sayıların hiçbirine eşit değildir.

Örnek

Soru

Ardışık üç tam sayının toplamı $72$ ise bu sayıları bulunuz.

Terim sayısı tek olduğundan orta terime $x$ demek işlemi kısaltır.

Orta terime $x$ diyelim; sayılar $x - 1, x, x + 1$ olur.
Toplamı yaz: $(x - 1) + x + (x + 1) = 3 x$ .
Denklemi kur ve çöz: $3 x = 72 \Rightarrow x = 24$ .
Sayılar: $23, 24, 25$ .

Sonuç: Sayılar

23, 24, 25

'tir.

Örnek

Soru

$1 + 2 + 3 + \dots + 100$ toplamını hesaplayınız.

İlk $n$ sayma sayısının toplam formülünü kullan: $1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ .
$n = 100$ değerini yerine yaz: $\frac{100 \cdot 101}{2}$ .
İşlemi bitir: $\frac{10100}{2} = 5050$ .

Sonuç: Toplam

5050

'dir.

Örnek

Soru

Ardışık beş çift sayının toplamı $70$ ise en küçük sayı kaçtır?

Terim sayısı tek; orta terime $x$ de, toplam $= 5 x$ olur.

Orta (üçüncü) terime $x$ diyelim; sayılar $x - 4, x - 2, x, x + 2, x + 4$ olur.
Toplamı yaz: bu beş terimin toplamı $5 x$ 'tir.
Denklemi çöz: $5 x = 70 \Rightarrow x = 14$ .
Sayılar: $10, 12, 14, 16, 18$ ; en küçüğü $10$ .

Sonuç: En küçük sayı

10

'dur.

Örnek

Soru

$20$ ile $40$ arasındaki (ikisi de dahil) tam sayıların toplamını bulunuz.

Terim sayısını bul: $40 - 20 + 1 = 21$ .
Toplam formülünü uygula: $Toplam = \frac{( 20 + 40 ) \cdot 21}{2}$ .
İşlemi bitir: $\frac{60 \cdot 21}{2} = \frac{1260}{2} = 630$ .

Sonuç: Toplam

630

'dur.

Örnek

Soru

Ardışık dört tam sayının toplamı $54$ ise bu sayıları bulunuz.

Terim sayısı çift olduğundan orta terim yoktur; en küçüğe $n$ deyip $n, n + 1, n + 2, n + 3$ yazmak en pratiğidir.

Sayılara $n, n + 1, n + 2, n + 3$ diyelim.
Toplamı yaz: $n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4 n + 6$ .
Denklemi çöz: $4 n + 6 = 54 \Rightarrow 4 n = 48 \Rightarrow n = 12$ .
Sayılar: $12, 13, 14, 15$ .

Sonuç: Sayılar

12, 13, 14, 15

'tir.

Örnek

Soru

Ardışık üç tek sayının toplamı $51$ ise en büyük sayı kaçtır?

Orta terime $x$ diyelim; ardışık tek sayılar olduğundan sayılar $x - 2, x, x + 2$ olur.
Toplamı yaz: $(x - 2) + x + (x + 2) = 3 x$ .
Denklemi çöz: $3 x = 51 \Rightarrow x = 17$ .
Sayılar $15, 17, 19$ ; en büyüğü $19$ .

Sonuç: En büyük sayı

19

'dur.

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$50$ ile $100$ arasındaki (ikisi de dahil) tam sayıların toplamı kaçtır?

Terim sayısını bul: $100 - 50 + 1 = 51$ .
Toplam formülünü uygula: $Toplam = \frac{( 50 + 100 ) \cdot 51}{2}$ .
İşlemi bitir: $\frac{150 \cdot 51}{2} = 75 \cdot 51 = 3825$ .

Sonuç: Toplam

3825

'tir.

Örnek

Soru

Ardışık beş tam sayıdan en küçüğü ile en büyüğünün toplamı $46$ ise bu sayıların toplamı kaçtır?

Orta (üçüncü) terime $x$ diyelim; sayılar $x - 2, x - 1, x, x + 1, x + 2$ olur.
En küçük ile en büyük: $(x - 2) + (x + 2) = 2 x$ . Bu toplam aynı zamanda iki katı ortadır.
Denklemi kur: $2 x = 46 \Rightarrow x = 23$ .
Beş ardışık sayının toplamı $5 x = 5 \cdot 23 = 115$ 'tir.

Sonuç: Toplam

115

'tir.

Örnek

Soru

Ardışık iki tam sayının çarpımı $156$ ise büyük olan sayı kaçtır?

Sayılara $n$ ve $n + 1$ diyelim: $n (n + 1) = 156$ .
$156$ 'yı ardışık iki çarpana ayır: $12 \cdot 13 = 156$ .
Buradan $n = 12$ ve $n + 1 = 13$ bulunur.
Büyük olan sayı $13$ 'tür.

Sonuç: Büyük sayı

13

'tür.

Örnek

Soru

$2 + 4 + 6 + \dots + 50$ toplamı kaçtır?

Bunlar ardışık çift sayılardır; terim sayısını bul: $\frac{50 - 2}{2} + 1 = 24 + 1 = 25$ .
Toplam formülünü uygula: $Toplam = \frac{( 2 + 50 ) \cdot 25}{2}$ .
İşlemi bitir: $\frac{52 \cdot 25}{2} = 26 \cdot 25 = 650$ .

Sonuç: Toplam

650

'dir.

Örnek

Soru

Ardışık altı tam sayının toplamı $393$ ise en büyük sayı kaçtır?

Terim sayısı çift olduğundan orta terim yoktur; en küçüğe $n$ deyip altı terimi yaz.

Sayılara $n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5$ diyelim.
Toplamı yaz: $6 n + 15$ .
Denklemi çöz: $6 n + 15 = 393 \Rightarrow 6 n = 378 \Rightarrow n = 63$ .
Sayılar $63, 64, 65, 66, 67, 68$ ; en büyüğü $68$ .

Sonuç: En büyük sayı

68

'dir.

Örnek

Soru

$1 + 3 + 5 + \dots + 99$ toplamı kaçtır?

Bunlar $1$ 'den $99$ 'a kadar ardışık tek sayılardır; terim sayısını bul: $\frac{99 - 1}{2} + 1 = 49 + 1 = 50$ .
Toplam formülünü uygula: $Toplam = \frac{( 1 + 99 ) \cdot 50}{2}$ .
İşlemi bitir: $\frac{100 \cdot 50}{2} = 2500$ .

Sonuç: Toplam

2500

'dür.

Örnek

Soru

Ardışık tam sayıların toplamı $0$ ve en büyüğü $7$ ise en küçük sayı kaçtır?

Ardışık tam sayıların toplamının $0$ olması için sayılar $0$ etrafında simetrik olmalıdır.
Bu durumda her pozitif terimin negatifi de listede bulunur; örneğin $- 7$ ile $7$ birbirini götürür.
En büyük $7$ olduğundan en küçük $- 7$ olur ve sayılar $- 7, - 6, \dots, 6, 7$ biçimindedir.
Toplam: $(- 7) + (- 6) + \dots + 6 + 7 = 0$ olduğu için koşul sağlanır.

Sonuç: En küçük sayı

- 7

'dir.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Ardışık sayıların toplamı = ortanca ⋅ adet: Toplam÷adet sonucunu en küçük terim sanmak 65 toplamda en büyüğe 13+4=17 demek
Toplamı verilen ardışıklardan sayı bulma (n, n+1, … denklemi): n'yi bulup en büyük istenirken n'yi işaretlemek 42 toplamlı üç çiftte 12 (en büyük 16 yerine)
Ardışık tek / çift sayıların toplamı (adım 2 kurulumu): Ardışık tekleri n, n+1, n+2, n+3 diye kurmak 4n+6=64 ⇒ n=14,5 gibi tam sayı olmayan ara değer
Terim sayısı bulma ((son − ilk) ÷ artış + 1): +1 eklemeyi unutmak (85−13)/4 = 18 (doğru 19 yerine)
1'den n'ye toplam formülü (n(n+1)/2 uygulaması): 2 ile çarpmayı unutup n(n+1)=toplam kurmak n(n+1)=120'den tam sayı çıkmayınca yanlış yuvarlama
Uç terimlerin toplamı ve ortalama ilişkisi (sınav ayarı): En büyük + en küçük için ayrı ayrı hesaplayıp adım hatası yapmak 38 yerine 37 ya da 39

Soru 1Orta

Bir otobüs durağında

15

ardışık tam sayı ile numaralandırılmış koltukların toplam numarası

525

'tür. En küçük numara

n

ise en büyük koltuk numarası

n + 14

'tür. Buna göre en büyük koltuk numarası kaçtır?

Toplam: $n + (n + 1) + \dots + (n + 14) = 15 n + \frac{14 \cdot 15}{2} = 15 n + 105$ .
$15 n + 105 = 525 \Rightarrow 15 n = 420 \Rightarrow n = 28$ .
En büyük: $28 + 14 = 42$ .

Sonuç:

42

Soru 2Kolay

Bir spor salonunda dört ardışık **çift** numaralı dolabın numaraları toplamı

100

'dür. Buna göre en büyük dolap numarası kaçtır?

Dolaplar $n, n + 2, n + 4, n + 6$ olsun ( $n$ çift).
Toplam: $4 n + 12 = 100 \Rightarrow 4 n = 88 \Rightarrow n = 22$ .
En büyük: $22 + 6 = 28$ .

Sonuç:

28

Soru 3Kolay

Bir asansörde

7

ardışık kat düğmesinin numaraları toplamı

49

'dur. Buna göre ortadaki (dördüncü) düğmenin numarası kaçtır?

Düğmeler $n, n + 1, \dots, n + 6$ ; toplam $7 n + 21 = 49$ .
$7 n = 28 \Rightarrow n = 4$ .
Ortadaki (dördüncü) düğme: $n + 3 = 7$ .

Sonuç:

7

Soru 4Orta

Bir tiyatroda koltuklar

1

. sıradan başlayarak sıra numarası kadar koltuk içerecek biçimde diziliyor:

1

. sırada

1

2

. sırada

2

\dots

n

. sırada

n

koltuk. Salon tam dolduğunda toplam

210

koltuk kullanılmıştır. Buna göre salonda kaç sıra (

n

) vardır?

Toplam koltuk: $1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2} = 210$ .
$n (n + 1) = 420$ . Ardışık iki sayının çarpımı $420$ : $20 \cdot 21 = 420$ .
Buradan $n = 20$ . (Çeldirici: $\frac{n ( n + 1 )}{2} = 210$ yerine $n (n + 1) = 210$ alıp yanlış kök aramak.)

Sonuç:

20

Soru 5Orta

Bir maratonda ardışık

9

tam sayı ile numaralandırılmış istasyonların numaralarının **aritmetik ortalaması**

40

'tır. Buna göre en büyük istasyon numarası kaçtır?

Terim sayısı $9$ (tek) olduğundan ortalama, tam ortadaki ( $5.$ ) terime eşittir: orta terim $= 40$ .
En büyük terim, ortadan $4$ adım ileridedir: $40 + 4 = 44$ .
(Çeldirici: ortalamayı ilk terim sanıp $40 + 8 = 48$ demek, ya da yanlış adım sayısı.)

Sonuç:

44

Soru 6Zor

Bir depoda ardışık **çift** numaralı

6

raf vardır; numaralarının toplamı

90

'dır. Görevli, en küçük ve en büyük raf numarasının **çarpımını** etikete yazacaktır. Buna göre etikete yazılacak çarpım kaçtır?

Raflar $n, n + 2, n + 4, n + 6, n + 8, n + 10$ olsun ( $n$ çift).
Toplam: $6 n + 30 = 90 \Rightarrow 6 n = 60 \Rightarrow n = 10$ .
Numaralar: $10, 12, 14, 16, 18, 20$ ; en küçük $10$ , en büyük $20$ .
Çarpım: $10 \cdot 20 = 200$ . (Çeldirici: ardışık çift farkı $1$ sanıp $6 n + 15$ kurmak yanlış $n$ verir.)

Sonuç:

200

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Ardışık çift/tek sayılarda farkı $1$ sanmak. Doğrusu fark $2$ 'dir: çift sayılar $n, n + 2, n + 4$ ; tek sayılar da $n, n + 2, n + 4$ biçiminde yazılır.
Terim sayısını "son $-$ ilk" almak. Doğrusu "son $-$ ilk $+ 1$ "dir. $20$ ile $40$ arasında $40 - 20 = 20$ değil, $21$ terim vardır.
Çift sayıda terimde ortalamayı bir terime eşit sanmak. Yalnızca terim sayısı tek ise ortalama tam ortadaki terime eşittir; çift sayıda terimde ortalama sayıların hiçbiri olmayabilir.

Sınav İpucu

Ardışık terim sayısı tek ise orta terime $x$ de: toplam doğrudan $terim say ı s ı \times x$ olur. Örneğin ardışık $5$ sayının toplamı $5 x$ , ardışık $3$ sayının toplamı $3 x$ 'tir. Böylece tek denklemle, sadeleştirme yapmadan orta terimi bulur ve diğer terimleri saniyeler içinde yazarsın.

1. Ardışık Sayı Gösterimleri

2. Ardışık Sayıların Toplamı

3. Ardışık Sayıların Ortalaması

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Temel Kavramlar — diğer konular