Ardışık Sayılar — Soru Tipleri ve Tuzaklar

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

1. 01

   Ardışık sayıların toplamı = ortanca ⋅ adet

   KolaySık çıkar

   Tek adette (3, 5, 7…) ardışık sayının toplamı verilir; en büyük/en küçük terim istenir. Ortancayı toplam÷adet ile bulan öğrenci denklemsiz çözer.

   Nasıl çözülür

   1. Adet tekse ortanca = toplam ÷ adet.
   2. Ortancadan uçlara adım say: en büyük = ortanca + (adet−1)/2, en küçük = ortanca − (adet−1)/2.
   3. Ardışık tam sayıda adım 1, ardışık tek/çiftte adım 2'dir.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Toplam÷adet sonucunu en küçük terim sanmak→65 toplamda en büyüğe 13+4=17 demek
   • Uçlara giderken yanlış adım saymak ((adet−1)/2 yerine adet/2)→bir fazla/eksik kaymış uç değer

   Örnek

   Ardışık 5 tam sayının toplamı 65 olduğuna göre en büyüğü kaçtır?

   Ortanca = 65÷5 = 13 ⇒ sayılar 11,12,13,14,15 ⇒ en büyük 15

2. 02

   Toplamı verilen ardışıklardan sayı bulma (n, n+1, … denklemi)

   KolaySık çıkar

   Ardışık birkaç sayının toplamı verilir; en küçük/en büyük istenir. Ortanca yaklaşımı yerine denklem kurdurtan standart biçim; çift adette mecburen bu yol.

   Nasıl çözülür

   1. En küçüğe n de; ardışıkları n+1, n+2, … (tek/çiftte n+2, n+4, …) diye yaz.
   2. Toplamı n cinsinden topla: katsayı⋅n + sabit = verilen toplam.
   3. n'yi çöz; soruda İSTENEN terimi (en büyük mü, en küçük mü?) geri hesapla.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • n'yi bulup en büyük istenirken n'yi işaretlemek→42 toplamlı üç çiftte 12 (en büyük 16 yerine)
   • Sabiti yanlış toplamak (0+2+4 yerine 2+4+6)→n değeri 2 kaymış çözüm

   Örnek

   Ardışık üç çift sayının toplamı 42 olduğuna göre en küçüğü kaçtır?

   n+(n+2)+(n+4)=3n+6=42 ⇒ n=12 (sayılar 12,14,16)

   Sık birleştiği konular: Sayı ve Kesir Problemleri

3. 03

   Ardışık tek / çift sayıların toplamı (adım 2 kurulumu)

   OrtaSık çıkar

   Ardışık tek ya da çift sayılar toplamıyla verilir. Tek fark, terimler arası adımın 2 olması; adımı 1 kuran öğrenci sistematik yanlışa düşer.

   Nasıl çözülür

   1. Terimleri n, n+2, n+4, … biçiminde adım 2 ile yaz.
   2. Toplayıp denklemi çöz; n'nin gerçekten tek/çift çıktığını kontrol et (çıkmıyorsa kurulum yanlış).
   3. İstenen terimi n'den adım adım hesapla.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Ardışık tekleri n, n+1, n+2, n+3 diye kurmak→4n+6=64 ⇒ n=14,5 gibi tam sayı olmayan ara değer
   • En büyüğü n+8 sanmak (4 terimde son terim n+6)→doğrudan 2 fazla uç değer

   Örnek

   Ardışık dört tek sayının toplamı 64 olduğuna göre en büyüğü kaçtır?

   n+(n+2)+(n+4)+(n+6)=4n+12=64 ⇒ n=13 ⇒ en büyük 13+6=19 (13+15+17+19=64)

   Sık birleştiği konular: Tek ve Çift Sayılar

4. 04

   Terim sayısı bulma ((son − ilk) ÷ artış + 1)

   OrtaSık çıkar

   Eşit artışlı bir dizide kaç terim olduğu sorulur. +1'i unutmak bu sorunun tarihî hatasıdır; şıklarda bir eksiği hep bekler.

   Nasıl çözülür

   1. Artış miktarını belirle (ardışık teklerde/çiftlerde 2, katlarda kat sayısı).
   2. Terim sayısı = (son − ilk) ÷ artış + 1.
   3. +1'i EKLEMEYİ unutma: fark bölü artış yalnız adım sayısını verir, terim sayısını değil.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • +1 eklemeyi unutmak→(85−13)/4 = 18 (doğru 19 yerine)
   • Artışı 1 almak (dizinin adımına bakmamak)→85−13+1 = 73 gibi devasa değer

   Örnek

   13, 17, 21, …, 85 dizisinde kaç terim vardır?

   (85−13)÷4 + 1 = 72÷4 + 1 = 18+1 = 19

5. 05

   1'den n'ye toplam formülü (n(n+1)/2 uygulaması)

   OrtaSık çıkar

   1+2+⋯+n toplamı verilir n istenir, ya da hikâyeleştirilir (üçgensel dizilim, sıra sıra koltuk). n(n+1) çarpımını ardışık iki sayıya ayırmak çözümün son adımıdır.

   Nasıl çözülür

   1. 1+2+⋯+n = n(n+1)/2 formülünü kur.
   2. Verilen toplama eşitle: n(n+1) = 2⋅toplam.
   3. 2⋅toplamı ardışık iki sayının çarpımı olarak yaz (√(2⋅toplam) civarına bak); küçük olan n'dir.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • 2 ile çarpmayı unutup n(n+1)=toplam kurmak→n(n+1)=120'den tam sayı çıkmayınca yanlış yuvarlama
   • Ardışık çarpımın büyük çarpanını n almak→n=16 (doğru 15 yerine)

   Örnek

   1+2+3+⋯+n = 120 olduğuna göre n kaçtır?

   n(n+1)=240=15⋅16 ⇒ n=15

6. 06

   Uç terimlerin toplamı ve ortalama ilişkisi (sınav ayarı)

   Zor

   Ardışık dizide toplam/ortalama verilip en büyük ile en küçüğün toplamı ya da farkı istenir. En büyük + en küçük = 2⋅ortanca kısayolunu gören denklemsiz bitirir.

   Nasıl çözülür

   1. Ortancayı bul: toplam ÷ adet (adet tekse doğrudan ortancadır).
   2. Simetriden: en küçük + en büyük = 2⋅ortanca.
   3. En büyük − en küçük = (adet−1)⋅artış — toplamdan bağımsız, salt adede bağlı.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • En büyük + en küçük için ayrı ayrı hesaplayıp adım hatası yapmak→38 yerine 37 ya da 39
   • Uçların farkını toplama bağlı sanmak→fark sorusunda toplamı işleme sokan yanlış değer

   Örnek

   Ardışık 7 tam sayının toplamı 133 olduğuna göre en büyüğü ile en küçüğünün toplamı kaçtır?

   Ortanca = 133÷7 = 19 ⇒ en küçük 16, en büyük 22 ⇒ 16+22 = 38 (= 2⋅19)

   Sık birleştiği konular: Sayı ve Kesir Problemleri, Sayı Kümeleri ve Sayı Çeşitleri