TYT Matematik · Temel Kavramlar

Sayı Kümeleri ve Sayı Çeşitleri

~8 dk okumaZorluk: Kolay19 çözümlü soru

Sayılar, matematiğin alfabesidir. Bu konu; doğal, tam, rasyonel, irrasyonel ve gerçek sayı kümelerini ve bu kümelerdeki sayıların çeşitlerini (çift–tek, pozitif–negatif, asal, aralarında asal) tek tek tanımlar. TYT'de doğrudan soru gelir; ayrıca üslü sayılar, köklü sayılar, mutlak değer gibi tüm konuların temelini oluşturur. Tanımlar kısa ama uç durumlar ( $0$ , $1$ , $2$ ) sınavda en çok hata yapılan yerlerdir.

1. Sayı Kümeleri

Sayıları, içerme ilişkisiyle birbirini kapsayan kümelerde sınıflandırırız.

Küme	Sembol	Tanım / Örnek
Doğal sayılar	$\mathbb{N}$	$\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}$
Tam sayılar	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}$
Rasyonel sayılar	$\mathbb{Q}$	$\mathbb{Q}=\left\{\dfrac{a}{b}\,:\,a,b\in\mathbb{Z},\ b\ne 0\right\}$
İrrasyonel sayılar	$\mathbb{Q}'$	Rasyonel olmayan gerçek sayılar; ör. $\sqrt{2},\ \pi$
Gerçek (reel) sayılar	$\mathbb{R}$	Rasyonel ile irrasyonellerin birleşimi

Rasyonel sayılar $\dfrac{a}{b}$ biçiminde yazılabilen sayılardır; ondalık açılımı ya sonludur ( $\dfrac{1}{4}=0{,}25$ ) ya da devirlidir ( $\dfrac{1}{3}=0{,}333\ldots$ ).

İrrasyonel sayıların ondalık açılımı ise sonsuz ve devirsizdir; bu nedenle hiçbiri $\dfrac{a}{b}$ kesri olarak yazılamaz. Örnek: $\sqrt{2}=1{,}41421\ldots$ ve $\pi=3{,}14159\ldots$

Kümeler arasındaki içerme zinciri:

$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$

İrrasyoneller $\mathbb{Q}$ 'nün dışında, $\mathbb{R}$ 'nin içindedir. Yani her gerçek sayı ya rasyoneldir ya da irrasyoneldir; ikisi birden olamaz.

Şekil 1 — İç içe sayı kümeleri:

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

. İrrasyonel sayılar (

\sqrt{2},\ \pi,\ e

)

\mathbb{R}

'nin içinde ama

\mathbb{Q}

'nün dışında kalan bölgededir. Bir sayının "en dar kümesi", onu içeren en içteki kutudur.

Sık yapılan hata: $\sqrt{2}$ irrasyoneldir diye her köklü sayı irrasyonel sanılır. Oysa kök içi tam kareyse sonuç rasyoneldir: $\sqrt{4}=2$ , $\sqrt{9}=3$ rasyoneldir.

Rakam ile Sayı Farkı

Rakam, sayıları yazmakta kullandığımız sembollerdir: $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ olmak üzere toplam $10$ rakam vardır. Sayı ise bu rakamların bir araya gelmesiyle oluşan büyüklüktür. Örneğin $25$ bir sayıdır; $2$ ve $5$ ise onu oluşturan rakamlardır.

2. Sayı Çeşitleri

Çift ve Tek Sayılar

Bir $k\in\mathbb{Z}$ için çift sayı $2k$ , tek sayı $2k+1$ biçiminde yazılır.

Tür	Genel ifade	Örnekler
Çift	$2k$	$\dots,-4,-2,0,2,4,\dots$
Tek	$2k+1$	$\dots,-3,-1,1,3,5,\dots$

Önemli: $0$ çifttir (çünkü $0=2\cdot 0$ ). Çift–tek sınıflaması tüm tam sayılar için geçerlidir; negatif sayılar da çift ya da tektir.

Pozitif ve Negatif Sayılar

Sıfırdan büyük sayılar pozitif ( $a > 0$ ), sıfırdan küçükler negatiftir ( $a < 0$ ). Burada kilit nokta: $0$ ne pozitif ne de negatiftir. Sıfır, pozitiflerle negatifleri ayıran nötr sayıdır.

Asal Sayılar

Asal sayı, $1$ 'den büyük olup yalnızca $1$ 'e ve kendisine bölünebilen doğal sayıdır. İlk asallar:

$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ \dots$

Dikkat edilmesi gereken üç nokta:

$1$ asal değildir (yalnızca bir tane böleni vardır, oysa asal için tam iki bölen gerekir).
$2$ en küçük asal sayıdır ve tek çift asal sayıdır; $2$ dışındaki tüm asallar tektir.
Asallık yalnızca $1$ 'den büyük doğal sayılar için tanımlıdır; $0$ ve negatif sayılar asal olamaz.

Aralarında Asal Sayılar

İki ya da daha çok sayının ortak böleni yalnızca $1$ ise bu sayılara aralarında asal denir. Sayıların kendileri asal olmak zorunda değildir.

Örnek: $8=2^3$ ve $15=3\cdot 5$ sayılarının ortak böleni sadece $1$ 'dir; bu yüzden $8$ ile $15$ aralarında asaldır.

Örnekler

Örnek

Soru

$\sqrt{2},\quad -3,\quad \dfrac{1}{2},\quad 0,\quad \pi$ sayılarının her birini ait olduğu en dar küme ile eşleştiriniz.

"En dar küme", o sayıyı içeren ve içerme zincirinde en içte kalan kümedir. Önce sayının kesir/ondalık biçimine bak.

$\sqrt{2}=1{,}414\ldots$ açılımı sonsuz ve devirsiz: irrasyonel ( $\mathbb{R}$ içinde, $\mathbb{Q}$ dışında).
$-3$ negatif bir tam sayı, kesir değil: tam sayı ( $\mathbb{Z}$ ).
$\dfrac{1}{2}$ tam sayı değil ama kesir: rasyonel ( $\mathbb{Q}$ ).
$0$ hem doğal hem tam sayıdır; en dar küme doğal sayı ( $\mathbb{N}$ ).
$\pi=3{,}1415\ldots$ açılımı sonsuz ve devirsiz: irrasyonel.

Sonuç:

\sqrt{2}\to

irrasyonel,

-3\to

tam,

\dfrac{1}{2}\to

rasyonel,

0\to

doğal,

\pi\to

irrasyonel.

Örnek

Soru

En küçük asal sayı kaçtır? En küçük iki basamaklı asal sayı kaçtır?

Asal sayılar $1$ 'den büyük doğal sayılardandır; $1$ asal değildir.
$1$ 'den büyük en küçük doğal sayı $2$ 'dir ve yalnızca $1$ ile $2$ 'ye bölünür: en küçük asal $2$ .
İki basamaklı sayılar $10$ 'dan başlar. $10=2\cdot 5$ asal değildir; bir sonraki $11$ yalnızca $1$ ve $11$ 'e bölünür.

Sonuç: En küçük asal

2

; en küçük iki basamaklı asal

11

Örnek

Soru

$8$ ile $15$ sayıları aralarında asal mıdır?

$8$ 'in pozitif bölenleri: $1,2,4,8$ .
$15$ 'in pozitif bölenleri: $1,3,5,15$ .
İki listenin tek ortak elemanı $1$ 'dir.
Ortak bölen yalnızca $1$ olduğundan sayılar aralarında asaldır. (Sayıların kendileri asal olmasa da bu sonuç değişmez.)

Sonuç: Evet,

8

ile

15

aralarında asaldır.

Örnek

Soru

$\dfrac{a}{b}$ ifadesinin rasyonel sayı olması için $b$ üzerine konan koşul nedir? $0{,}333\ldots$ sayısı rasyonel midir?

Rasyonel tanımı $\dfrac{a}{b}$ , $a,b\in\mathbb{Z}$ ve $b\ne 0$ ister; payda sıfır olamaz, çünkü sıfıra bölme tanımsızdır.
Örneğin $\dfrac{5}{0}$ bir sayı belirtmez; bu nedenle rasyonel değildir.
$0{,}333\ldots$ devirli bir ondalık açılımdır ve $\dfrac{1}{3}$ kesrine eşittir.
$\dfrac{1}{3}$ biçiminde ( $b=3\ne 0$ ) yazılabildiğinden rasyoneldir.

Sonuç: Koşul:

b\ne 0

0{,}333\ldots=\dfrac{1}{3}

rasyoneldir.

Örnek

Soru

Aşağıdaki ifadelerin doğru mu yanlış mı olduğunu belirleyiniz.

I. Her tam sayı rasyoneldir.

II. Her rasyonel sayı tam sayıdır.

I. Herhangi bir $n$ tam sayısı $\dfrac{n}{1}$ olarak yazılabilir; bu da rasyonel tanımına uyar. Dolayısıyla $\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}$ olup ifade doğrudur.
II. Ters örnek yeterlidir: $\dfrac{1}{2}$ rasyoneldir ama tam sayı değildir. Bu yüzden ifade yanlıştır.

Sonuç: I doğru, II yanlış.

Örnek

Soru

$0$ sayısı için aşağıdakilerden hangileri doğrudur?

I. Çifttir.

II. Pozitiftir.

III. Asaldır.

I. $0=2\cdot 0$ olduğundan $0$ çifttir: doğru.
II. $0$ ne pozitif ne negatiftir; sıfırdan büyük değildir: yanlış.
III. Asallık $1$ 'den büyük doğal sayılarda tanımlıdır; $0$ asal olamaz: yanlış.

Sonuç: Yalnız I doğrudur.

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$10$ ile $20$ arasında (uç değerler hariç) kaç tane asal sayı vardır?

$10$ ile $20$ arasındaki sayılar: $11,12,13,14,15,16,17,18,19$ .
Çift olanlar ( $12,14,16,18$ ) ve $15$ ( $3\cdot 5$ ) asal değildir.
Geriye kalan $11,13,17,19$ yalnızca $1$ ve kendilerine bölünür: asaldırlar.
Toplam $4$ tane asal sayı vardır.

Sonuç:

4

tane.

Örnek

Soru

$\sqrt{4},\ \sqrt{5},\ \sqrt{9},\ \sqrt{12}$ sayılarından kaç tanesi irrasyoneldir?

Kök içi tam kare ise sonuç rasyoneldir: $\sqrt{4}=2$ ve $\sqrt{9}=3$ rasyoneldir.
$5$ ve $12$ tam kare değildir; $\sqrt{5}$ ve $\sqrt{12}$ açılımları sonsuz ve devirsizdir: irrasyoneldir.
İrrasyonel olanlar $\sqrt{5}$ ve $\sqrt{12}$ olmak üzere $2$ tanedir.

Sonuç:

2

tane.

Örnek

Soru

$a$ tek, $b$ çift sayı olmak üzere $a+b$ ifadesi tek midir çift midir?

$a$ tek olduğundan $a=2k+1$ , $b$ çift olduğundan $b=2m$ yazılır ( $k,m\in\mathbb{Z}$ ).
$a+b=(2k+1)+2m=2(k+m)+1$ elde edilir.
Bu ifade $2\cdot(\text{tam sayı})+1$ biçiminde olduğundan tek sayıdır.

Sonuç:

a+b

tektir.

Örnek

Soru

Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

I. Her doğal sayı bir tam sayıdır.

II. Her irrasyonel sayı bir gerçek sayıdır.

III. Her gerçek sayı bir rasyonel sayıdır.

I. $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}$ olduğundan her doğal sayı tam sayıdır: doğru.
II. İrrasyoneller $\mathbb{R}$ 'nin içindedir; her irrasyonel gerçek sayıdır: doğru.
III. $\sqrt{2}$ gerçek bir sayıdır ama rasyonel değildir; ters örnek vardır: yanlış.

Sonuç: III yanlıştır.

Örnek

Soru

$12$ ile aralarında asal olan en küçük asal sayı kaçtır?

$12=2^2\cdot 3$ olduğundan bölenleri arasında $2$ ve $3$ vardır.
$2$ asaldır ama $12$ ile ortak böleni $2$ 'dir, aralarında asal değildir.
$3$ asaldır ama $12$ ile ortak böleni $3$ 'tür, aralarında asal değildir.
Bir sonraki asal $5$ 'tir; $12$ ile $5$ 'in ortak böleni yalnızca $1$ 'dir, aralarında asaldırlar.

Sonuç:

5

Örnek

Soru

Art arda gelen üç tam sayının toplamı çift midir tek midir? ( $n$ tam sayı olmak üzere $n,\ n+1,\ n+2$ alınız.)

Üç ardışık sayının toplamı: $n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)$ .
Bu toplamın çift/tek olması $n+1$ değerine bağlıdır.
$n$ çift ise $n+1$ tek, $3(n+1)$ tek olur; $n$ tek ise $n+1$ çift, $3(n+1)$ çift olur.
Demek ki sonuç $n$ 'ye göre değişir; her zaman çift ya da her zaman tek değildir.

Sonuç: Toplam

3(n+1)

'dir;

n

'nin tek/çift olmasına göre değişir, sabit değildir.

Örnek

Soru

İki basamaklı en büyük asal sayı ile en küçük asal sayının toplamı kaçtır?

İki basamaklı sayılar $99$ 'a kadar gider. $99=9\cdot 11$ , $98,96$ çift, $95=5\cdot 19$ , $93=3\cdot 31$ asal değildir.
$97$ sayısını $2,3,5,7$ asallarına bölmeyi deneriz; hiçbirine tam bölünmez, dolayısıyla $97$ asaldır (iki basamaklı en büyük asal).
En küçük asal sayı $2$ 'dir.
Toplam: $97+2=99$ .

Sonuç:

99

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek

Soru

Bir müze rehberi, vitrindeki etiketlerde yalnızca $1$ ile $50$ arasındaki asal doğal sayıların yazılı olduğunu söylüyor.

Buna göre vitrinde kaç etiket vardır?

A) $12$ · B) $15$ · C) $14$ · D) $16$ · E) $13$

$50$ 'ye kadar asallar: $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47$ .
Say: toplam $15$ asal vardır ( $1$ asal değildir, $4,6,8,\dots$ asal değildir).

Sonuç: B)

15

Örnek

Soru

Bir fen laboratuvarında tahtaya şu sayılar yazılmıştır: $\sqrt{9}$ , $0$ , $\pi$ , $-\dfrac{7}{4}$ , $\sqrt{6}$ .

Öğretmen, bunlardan kaçının rasyonel sayı ( $\mathbb{Q}$ ) olduğunu soruyor.

Buna göre kaç tanesi rasyoneldir?

A) $1$ · B) $2$ · C) $3$ · D) $4$ · E) $5$

$\sqrt{9}=3$ tam sayıdır, rasyoneldir.
$0$ tam sayıdır, rasyoneldir.
$\pi$ kesir olarak yazılamaz, irrasyoneldir.
$-\dfrac{7}{4}$ kesir biçimindedir, rasyoneldir.
$\sqrt{6}$ irrasyoneldir (içi tam kare değil).
Rasyonel olanlar: $\sqrt{9}$ , $0$ , $-\dfrac{7}{4}$ → $3$ sayı.

Sonuç: C)

3

Örnek

Soru

İki depo rafının kod numaraları $84$ ile $110$ 'dur. Yönetici, bu kodların aralarında asal olup olmadığını kontrol etmek istiyor.

Buna göre ortak bölenleri yalnızca $1$ ise bu ifade doğru mudur; değilse $\text{EBOB}(84,110)$ kaçtır?

A) $1$ · B) $5$ · C) $4$ · D) $2$ · E) $11$

$84=2^{2}\cdot 3\cdot 7$ ve $110=2\cdot 5\cdot 11$ .
Ortak asal çarpan yalnızca $2$ 'dir; $\text{EBOB}(84,110)=2$ .
Ortak bölen $1$ 'den büyük olduğundan sayılar aralarında asal değildir.

Sonuç: D)

2

Örnek

Soru

Bir robotik atölyesinde kutulara $\sqrt{8},\ \sqrt{16},\ \sqrt{20},\ \sqrt{25},\ \sqrt{36}$ etiketleri yapıştırılmıştır. Eğitmen, rasyonel sayı değeri taşıyan etiketlerin üzerindeki sayıların (kök sonuçlarının) toplamını panoya yazacaktır.

Buna göre panoya yazılan toplam kaçtır?

A) $11$ · B) $13$ · C) $15$ · D) $17$ · E) $9$

Kök içi tam kare olanlar rasyoneldir: $\sqrt{16}=4$ , $\sqrt{25}=5$ , $\sqrt{36}=6$ .
$\sqrt{8}$ ve $\sqrt{20}$ tam kare değildir; irrasyoneldir, toplama katılmaz.
Toplam: $4+5+6=15$ .

Sonuç: C)

15

Örnek

Soru

Bir öğrenci, $20$ ile $40$ arasındaki (uç değerler dahil) doğal sayıların içinden asal olanları bir listeye yazıyor. Listedeki asal sayı adedi $A$ , en küçük ile en büyük asalın toplamı ise $T$ olsun.

Buna göre $A+T$ kaçtır?

A) $60$ · B) $62$ · C) $64$ · D) $66$ · E) $68$

$20$ – $40$ arasındaki asallar: $23,\ 29,\ 31,\ 37$ (çiftler ve $21=3\cdot7,\ 25=5^2,\ 27,\ 33,\ 35,\ 39$ asal değildir).
Asal sayı adedi $A=4$ .
En küçük $+$ en büyük: $T=23+37=60$ .
$A+T=4+60=64$ . (Çeldirici: $A$ 'yı unutup yalnız $T=60$ demek A şıkkına, $1$ 'i asal sayıp fazladan saymak başka şıklara götürür.)

Sonuç: C)

64

Örnek

Soru

Bir oyun tasarımcısı, iki dişli çark kullanıyor: birincide $24$ , ikincide $35$ diş var. İki çark başlangıç noktasından beraber dönmeye başladığında, başlangıç dişlerinin yeniden aynı anda temas etmesi için her çarkın tam tur sayısı en az olacak biçimde aranıyor. Bunun için tasarımcı önce $24$ ile $35$ 'in aralarında asal olup olmadığına bakıyor.

Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) $\text{EBOB}(24,35)=2$ , aralarında asal değil · B) $\text{EBOB}(24,35)=1$ , aralarında asal · C) $\text{EBOB}(24,35)=12$ , aralarında asal değil · D) $\text{EBOB}(24,35)=7$ , aralarında asal değil · E) $\text{EBOB}(24,35)=5$ , aralarında asal değil

$24=2^{3}\cdot 3$ ve $35=5\cdot 7$ .
Ortak asal çarpan yoktur; $\text{EBOB}(24,35)=1$ .
Ortak bölen yalnızca $1$ olduğundan sayılar aralarında asaldır (sayıların kendileri asal olmasa da).

Sonuç: B)

\text{EBOB}(24,35)=1

, aralarında asal

Sık Yapılan Hatalar

$0$ 'ı pozitif sanmak: Sıfır ne pozitif ne negatiftir. "Pozitif tam sayılar" denildiğinde $1,2,3,\dots$ kastedilir, $0$ dahil değildir.
$0$ 'ı asal sanmak: Asal sayılar $1$ 'den büyük doğal sayılardır; $0$ asal değildir.
$1$ 'i asal sanmak: $1$ asal değildir; en küçük asal $2$ 'dir.
$2$ 'yi asal saymamak: $2$ asaldır ve tek çift asal sayıdır.
Her köklü sayıyı irrasyonel sanmak: $\sqrt{2}$ irrasyoneldir ama $\sqrt{4}=2$ rasyoneldir. Kök içi tam kareyse sonuç rasyoneldir.

Sınav İpucu

Bir sayının "hangi kümeden" olduğu sorulduğunda en dar kümeyi seç: $0$ için $\mathbb{N}$ , $-3$ için $\mathbb{Z}$ , $\dfrac{1}{2}$ için $\mathbb{Q}$ .
Köklü bir ifadenin rasyonel mi irrasyonel mi olduğunu hızlı anlamak için kök içine bak: tam kareyse ( $4,9,16,25,\dots$ ) sonuç rasyonel, değilse irrasyoneldir.
Devirli ya da sonlu ondalık $=$ rasyonel; sonsuz ve devirsiz ondalık $=$ irrasyonel.
$0$ , $1$ ve $2$ ile ilgili özel durumlar (çift–pozitif–asal) sınavda sık çıkar; tanımları ezberden değil, yukarıdaki koşullarla sına.

1. Sayı Kümeleri

Rakam ile Sayı Farkı

2. Sayı Çeşitleri

Çift ve Tek Sayılar

Pozitif ve Negatif Sayılar

Asal Sayılar

Aralarında Asal Sayılar

Örnekler

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Temel Kavramlar — diğer konular