Tek ve Çift Sayılar — Soru Tipleri ve Tuzaklar

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

1. 01

   Toplam ve çarpımın tekliği-çiftliği (temel parite tablosu)

   KolaySık çıkar

   a ve b'nin pariteleri verilir; a+b, a⋅b, a+2b gibi ifadelerden hangilerinin tek/çift olduğu sorulur. Konunun ısınma sorusu.

   Nasıl çözülür

   1. Toplama: tek+tek=çift, çift+çift=çift, tek+çift=tek.
   2. Çarpma: içinde EN AZ BİR çift çarpan varsa sonuç çift; tek⋅tek=tek.
   3. 2b, 4a gibi katsayısı çift olan terimler her zaman çifttir; toplamda parite belirlemez.
   4. Her ifadeyi bu kurallarla tek tek etiketle.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • tek+tek=tek sanmak→a+b'yi tek etiketlemek
   • tek⋅tek=çift sanmak (toplama kuralıyla karıştırmak)→a⋅b'yi çift etiketlemek
   • 2b'nin b tek iken tek olduğunu sanmak→a+2b için yanlış parite

   Örnek

   a ve b tek tam sayılar ise a+b, a⋅b, a+2b ifadelerinden hangileri çifttir?

   a+b=tek+tek çift; a⋅b=tek⋅tek tek; a+2b=tek+çift tek ⇒ yalnız a+b

2. 02

   Üslü ifadenin paritesi (tekⁿ tek kalır)

   KolaySık çıkar

   Büyük üslü sayıların toplam/farkının tek mi çift mi olduğu sorulur. Üs pariteyi DEĞİŞTİRMEZ; parite tabana bakar — bunu gören 20 saniyede çözer.

   Nasıl çözülür

   1. Tabana bak: taban tekse her pozitif kuvveti tek, taban çiftse her pozitif kuvveti çifttir.
   2. Üsün büyüklüğü ve tek/çift olması pariteyi etkilemez (işareti etkileyebilir, pariteyi asla).
   3. Terimleri tek/çift diye etiketleyip toplama kurallarını uygula.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Üs çift olunca sonucu çift sanmak (5²⁰²⁶ çift demek)→çift+tek = tek gibi ters parite
   • Üssü pariteye dahil edip taban yerine üsle karar vermek→rastgele ters etiketleme

   Örnek

   n pozitif tam sayı olmak üzere 7ⁿ + 6ⁿ toplamı tek midir, çift midir?

   7ⁿ tek, 6ⁿ çift; tek+çift = tek

3. 03

   Çarpım-toplam koşulundan parite çıkarımı (a⋅b çift, a+b tek ise…)

   OrtaSık çıkar

   a⋅b ve a+b'nin pariteleri verilir, a ile b hakkında 'kesinlikle doğru' olan istenir. a+b tek ⇒ biri tek biri çift çıkarımı sorunun anahtarıdır.

   Nasıl çözülür

   1. a+b tek ⇒ a ile b zıt paritelidir (biri tek, biri çift).
   2. a+b çift ⇒ ikisi aynı paritelidir; hangisi olduğuna a⋅b karar verir (a⋅b tekse ikisi tek).
   3. Çıkarımı şıklardaki her ifadeye uygula; 'kesinlikle' diyorsa tek bir karşı örnek şıkkı eler.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • a+b tek iken ikisini de tek sanmak→a−b çift gibi yanlış 'kesin' ifade
   • a⋅b çift ⇒ ikisi de çift sanmak (biri yeter)→b çifttir'i kesin doğru işaretlemek

   Örnek

   a, b tam sayılar; a⋅b çift ve a+b tek ise a−b için ne söylenir?

   a+b tek ⇒ biri tek biri çift ⇒ a−b = tek∓çift = tek; a−b daima tektir

   Sık birleştiği konular: Sayı Kümeleri ve Sayı Çeşitleri

4. 04

   Denklemli parite sorusu (3a+2b tek ise a…)

   OrtaSık çıkar

   Katsayılı bir ifadenin paritesi verilir, bilinmeyenin paritesi ve ondan türeyen ifadeler istenir. Çift katsayılı terimin pariteye etkisiz olduğunu görmek yeterli.

   Nasıl çözülür

   1. Çift katsayılı terimleri (2b, 4c…) 'çift' diye işaretle; ifadenin paritesini tek başına diğer terim belirler.
   2. 3a + çift = tek ⇒ 3a tek ⇒ a tek (3 tek olduğundan çarpım ancak a tekken tek olur).
   3. Bulduğun pariteyi şıklardaki a², a+1, 5a gibi ifadelere taşı.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • 2b terimini parite hesabına katmak (b'ye göre sonuç değişir sanmak)→'belirlenemez' cevabı
   • 3a tek ⇒ a çift sanmak (3'ün tekliğini es geçmek)→a çifttir; a+1 tektir zinciri baştan yanlış

   Örnek

   a, b tam sayılar; 3a + 2b tek olduğuna göre a tek midir, çift midir?

   2b çift ⇒ 3a tek olmalı; 3 tek olduğundan a tektir

5. 05

   Ardışık sayıların çarpımı (n(n+1) daima çift)

   OrtaSık çıkar

   n(n+1), n²+n gibi ardışık iki sayı çarpımına açılan ifadelerin paritesi sorulur. Ardışık iki sayıdan biri mutlaka çifttir — kanıt istemeden bu gerçek kullanılır.

   Nasıl çözülür

   1. İfadeyi çarpanlara ayırıp ardışık çarpımı görünür yap: n²+n = n(n+1).
   2. Ardışık iki tam sayıdan biri kesin çifttir ⇒ çarpım daima çifttir.
   3. n'nin tek/çift olmasından bağımsız sonuç; 'belirlenemez' şıkkına aldanma.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Sonucun n'ye bağlı olduğunu sanmak→'n'ye göre değişir' şıkkı
   • n²+n ifadesini n² ile aynı paritede sanmak (çarpana ayırmamak)→n tekken tek deme hatası

   Örnek

   n bir tam sayı olduğuna göre n² + n ifadesi için ne söylenir?

   n²+n = n(n+1) ardışık iki sayının çarpımı ⇒ daima çift

   Sık birleştiği konular: Ardışık Sayılar

6. 06

   Parite zinciri (a⋅b tek ⇒ (a+1)(b+1) tipi çıkarımlar)

   Zor

   Bir koşuldan iki bilinmeyenin paritesi çıkarılır, sonra onlardan kurulan yeni ifadenin çiftliği hatta 4'e bölünebilirliği istenir. Sınav ayarındaki iki adımlı parite sorusu.

   Nasıl çözülür

   1. a⋅b tek ⇒ a ve b ikisi de tektir (tek çarpan varsa çarpım çift olurdu).
   2. Tek + 1 = çift: a+1 ve b+1 ikisi de çifttir.
   3. Çift⋅çift = (2k)(2m) = 4km ⇒ çarpım 4'ün katıdır; kalan 0.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • a⋅b tek iken birinin çift olabileceğini sanmak→'belirlenemez' cevabı
   • Çift⋅çift çarpımı yalnız 2'nin katı sanmak (4'ü görememek)→4 ile bölümden kalan 2 demek

   Örnek

   a, b tam sayılar; a⋅b tek olduğuna göre (a+1)⋅(b+1) çarpımının 4 ile bölümünden kalan kaçtır?

   a ve b tek ⇒ a+1=2k, b+1=2m ⇒ çarpım 4km ⇒ kalan 0

   Sık birleştiği konular: Bölme ve Bölünebilme Kuralları