TYT Matematik · Çarpanlara Ayırma, Denklem ve Eşitsizlikler

Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler

~8 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soruTYT'de ~3 soru/yıl · Sınavda yüksek ağırlık

Birinci dereceden denklem ve eşitsizlikler, TYT'nin en temel ama en çok puan getiren konularından biridir. Bilinmeyenin en büyük üssü 1 olan bu ifadeler; sayı problemlerinden geometri kurulumlarına kadar her yerde karşına çıkar. Burada denklemi tek bir köke indirgemeyi, eşitsizlikte yön kuralını ve çözümü aralık olarak yazmayı öğreneceksin.

1. Birinci Dereceden Denklem

Bilinmeyeni $x$ olan ve $x$ 'in en büyük üssü $1$ olan denklem birinci derecedendir. Genel biçimi:

$a x + b = 0, a \neq = 0 \Rightarrow x = - \frac{b}{a}$

$a \neq = 0$ koşulu şarttır: $a = 0$ olursa $x$ kaybolur ve denklem birinci dereceden olmaktan çıkar.

Çözüm adımları:

Varsa parantezleri aç.
Bilinmeyenli terimleri bir tarafta, sayıları diğer tarafta topla (terim taraf değiştirirken işareti değişir).
Bilinmeyenin katsayısına böl.

Örnek

Soru

$3 x - 7 = 8$ denklemini çözünüz.

Sayıyı sağ tarafa at: $3 x = 8 + 7 = 15$ .
Katsayıya böl: $x = \frac{15}{3} = 5$ .
Doğrulama: $3 \cdot 5 - 7 = 15 - 7 = 8$ . Doğru.

Sonuç:

x = 5

Örnek

Soru

$2 (x - 1) + 3 = x + 6$ denklemini çözünüz.

Sol tarafta parantezi aç: $2 x - 2 + 3 = x + 6 \Rightarrow 2 x + 1 = x + 6$ .
Bilinmeyenleri sola, sayıları sağa topla: $2 x - x = 6 - 1$ .
Sadeleştir: $x = 5$ .
Doğrulama: Sol $= 2 (5 - 1) + 3 = 8 + 3 = 11$ , sağ $= 5 + 6 = 11$ . Eşit.

Sonuç:

x = 5

2. Birinci Dereceden Eşitsizlik

Eşitsizlik, $=$ yerine $<, >, \leq, \geq$ işaretlerinden birini içerir. Çözüm adımları denklemdekiyle aynıdır, tek bir kritik fark vardır:

Yön kuralı: Bir eşitsizliği negatif bir sayıyla çarptığında veya böldüğünde eşitsizliğin yönü değişir ( $<$ ise $>$ olur). Pozitif sayıyla çarpıp bölmede yön değişmez.

Örnek

Soru

$2 x - 3 < 7$ eşitsizliğini çözünüz ve çözüm aralığını yazınız.

Sayıyı sağa at: $2 x < 7 + 3 \Rightarrow 2 x < 10$ .
Pozitif katsayı $2$ 'ye böl (yön değişmez): $x < 5$ .
Çözüm aralığı: $(- \infty, 5)$ .

Sonuç:

x < 5

, yani

x \in (- \infty, 5)

Örnek

Soru

$- 2 x > 6$ eşitsizliğini çözünüz.

Bilinmeyenin katsayısı negatif. İki tarafı $- 2$ 'ye bölerken yönü çevirmeyi unutma.

İki tarafı $- 2$ 'ye böl. Negatife böldüğümüz için yön değişir: $x < - 3$ .
Doğrulama: $x = - 4$ deneyelim: $- 2 \cdot (- 4) = 8 > 6$ . Sağladı. $x = 0$ ise $0 > 6$ yanlış; demek ki $- 3$ 'ten küçük olmalı.
Çözüm aralığı: $(- \infty, - 3)$ .

Sonuç:

x < - 3

3. Çözüm Kümesi ve Aralık Gösterimi

Eşitsizliğin çözümü genellikle bir aralıktır. Aralık yazarken:

Uç değer dâhilse (yani $\leq$ ya da $\geq$ ) köşeli parantez kullanılır: $[]$ .
Uç değer dâhil değilse (yani $<$ ya da $>$ ) yuvarlak parantez kullanılır: $()$ .
$- \infty$ ve $+ \infty$ için her zaman yuvarlak parantez kullanılır.

Eşitsizlik	Aralık	Uçlar
$x < 5$	$(- \infty, 5)$	açık
$x \leq 5$	$(- \infty, 5]$	sağ kapalı
$- 1 \leq x$	$[- 1, \infty)$	sol kapalı
$- 1 \leq x < 3$	$[- 1, 3)$	sol kapalı, sağ açık

Çift eşitsizlik ( $a \leq x < b$ gibi), $x$ 'i ortada yalnız bırakacak şekilde her üç bölgeye aynı işlemi uygulayarak çözülür.

Örnek

Soru

$- 1 \leq 2 x - 1 < 5$ çift eşitsizliğini çözünüz ve çözüm aralığını yazınız.

Üç tarafa da $+ 1$ ekle: $- 1 + 1 \leq 2 x < 5 + 1 \Rightarrow 0 \leq 2 x < 6$ .
Üç tarafı da pozitif $2$ 'ye böl (yön değişmez): $0 \leq x < 3$ .
Sol uç dâhil ( $\leq$ ), sağ uç hariç ( $<$ ): aralık $[0, 3)$ .

Sonuç:

0 \leq x < 3

, yani

x \in [0, 3)

4. Kesirli Denklemler

Paydaları varsa, tüm terimleri paydaların en küçük ortak katına (EKOK) genişletip kesirden kurtulmak en pratik yoldur.

Örnek

Soru

$\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5$ denklemini çözünüz.

Paydaların EKOK'u $6$ . Sol tarafı paydası $6$ olacak şekilde topla: $\frac{3 x}{6} + \frac{2 x}{6} = \frac{5 x}{6}$ .
Denklem $\frac{5 x}{6} = 5$ oldu. İki tarafı $6$ ile çarp: $5 x = 30$ .
$5$ 'e böl: $x = 6$ .
Doğrulama: $\frac{6}{2} + \frac{6}{3} = 3 + 2 = 5$ . Doğru.

Sonuç:

x = 6

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$5 x + 4 = 3 x - 2$ denklemini çözünüz.

Bilinmeyenleri sola, sayıları sağa topla: $5 x - 3 x = - 2 - 4$ .
Sadeleştir: $2 x = - 6$ .
Katsayıya böl: $x = - 3$ .

Sonuç:

x = - 3

Örnek

Soru

$\frac{2 x + 1}{3} = \frac{x - 1}{2}$ denklemini çözünüz.

Çapraz çarp: $2 (2 x + 1) = 3 (x - 1)$ .
Parantezleri aç: $4 x + 2 = 3 x - 3$ .
Bilinmeyenleri sola, sayıları sağa topla: $4 x - 3 x = - 3 - 2 \Rightarrow x = - 5$ .
Doğrulama: Sol $= \frac{2 ( - 5 ) + 1}{3} = \frac{- 9}{3} = - 3$ , sağ $= \frac{- 5 - 1}{2} = \frac{- 6}{2} = - 3$ . Eşit.

Sonuç:

x = - 5

Örnek

Soru

$3 (x - 2) - 5 (x + 1) = 4 - 2 x$ denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Parantezleri aç: $3 x - 6 - 5 x - 5 = 4 - 2 x$ .
Sol tarafı sadeleştir: $- 2 x - 11 = 4 - 2 x$ .
İki tarafa $+ 2 x$ ekle: $- 11 = 4$ .
Bu eşitlik yanlıştır, hiçbir $x$ değeri sağlamaz. Çözüm kümesi boştur.

Sonuç:

\emptyset

(çözüm yok)

Örnek

Soru

$4 - 3 x \geq - 5$ eşitsizliğini çözünüz ve çözüm aralığını yazınız.

$4$ 'ü sağa at: $- 3 x \geq - 5 - 4 \Rightarrow - 3 x \geq - 9$ .
Negatif katsayı $- 3$ 'e böl, yön değişir: $x \leq 3$ .
Sağ uç dâhil ( $\leq$ ), sonsuz uç açık: aralık $(- \infty, 3]$ .

Sonuç:

x \leq 3

, yani

x \in (- \infty, 3]

Örnek

Soru

$\frac{x - 2}{3} < \frac{x + 1}{2}$ eşitsizliğini çözünüz.

Paydaların EKOK'u $6$ . İki tarafı pozitif $6$ ile çarp (yön değişmez): $2 (x - 2) < 3 (x + 1)$ .
Parantezleri aç: $2 x - 4 < 3 x + 3$ .
Bilinmeyenleri bir tarafta topla: $2 x - 3 x < 3 + 4 \Rightarrow - x < 7$ .
İki tarafı $- 1$ ile çarp, yön değişir: $x > - 7$ .

Sonuç:

x > - 7

, yani

x \in (- 7, \infty)

Örnek

Soru

$2 < 5 - x \leq 8$ çift eşitsizliğini sağlayan tam sayıların toplamı kaçtır?

Üç taraftan da $5$ çıkar: $2 - 5 < - x \leq 8 - 5 \Rightarrow - 3 < - x \leq 3$ .
Üç tarafı da $- 1$ ile çarp, yön değişir: $3 > x \geq - 3$ , yani $- 3 \leq x < 3$ .
Bu aralıktaki tam sayılar: $- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2$ .
Toplam: $- 3 - 2 - 1 + 0 + 1 + 2 = - 3$ .

Sonuç:

- 3

Örnek

Soru

Bir sayının $3$ katının $4$ eksiği, aynı sayının $2$ fazlasına eşittir. Bu sayı kaçtır?

Sayıya $x$ diyelim. Cümleyi denkleme çevir: $3 x - 4 = x + 2$ .
Bilinmeyenleri sola, sayıları sağa topla: $3 x - x = 2 + 4 \Rightarrow 2 x = 6$ .
Katsayıya böl: $x = 3$ .
Doğrulama: $3$ katının $4$ eksiği $= 3 \cdot 3 - 4 = 5$ ; sayının $2$ fazlası $= 3 + 2 = 5$ . Eşit.

Sonuç:

3

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Tek bilinmeyenli denklem çözme (paydalı dahil): OKEK ile çarparken paydasız terimi çarpmamak x/2 + x/3 = 10 için 5x = 10 ⇒ x = 2 gibi küçük yanlış kök
Birinci dereceden eşitsizlik (negatifle çarpınca yön değişir): Negatife bölerken yönü çevirmemek x > −3 yerine x < −3; cevap kümesinin tam tersi
İki bilinmeyenli denklem sistemi (yok etme / yerine koyma): Sadece x'i bulup soruda isteneni (x⋅y) hesaplamadan işaretlemek x değeri şıklarda çeldirici olarak durur (örnekte 3)
Aralık dönüştürme (x ∈ [a,b] iken mx+n hangi aralıkta): Sabiti yalnız bir uca uygulamak [−5, 6] gibi tek ucu doğru aralık
Sıralama eşitsizliği (işlemlerin sıralamaya etkisi): Pozitif sayı alışkanlığıyla x < x² ise 1/x'i de en büyük sanmak 1/x negatifken onu pozitif ifadelerin üstüne yazan yanlış sıralama
Çözümün olmaması / sonsuz olması (katsayı analizi): 'Çözüm yok' ile 'sonsuz çözüm' koşullarını karıştırmak sabitleri de eşitleyen (veya eşitlemeyen) yanlış parametre

Soru 1Kolay

Bir otoparkta saatlik ücret

20

TL'dir; ayrıca giriş için sabit

15

TL alınır. Bir sürücü toplam

95

TL ödediğine göre aracını kaç saat park etmiştir?

Saat sayısına $x$ diyelim: $15 + 20 x = 95$ .
Sabiti at: $20 x = 80$ .
Katsayıya böl: $x = 4$ . Çeldirici C) $5$ , sabit girişi unutup $\frac{95}{20}$ hesaplamaktan doğar; B doğru.

Sonuç:

4

Soru 2Orta

Bir baba ile oğlunun yaşları toplamı

46

'dır. Baba, oğlunun yaşının

3

katından

2

yaş küçüktür. Buna göre oğlun yaşı kaçtır?

Oğul $x$ , baba $3 x - 2$ .
Toplam: $x + (3 x - 2) = 46 \Rightarrow 4 x - 2 = 46$ .
$4 x = 48 \Rightarrow x = 12$ .
Doğrulama: baba $3 \cdot 12 - 2 = 34$ ; $34 + 12 = 46$ . Çeldirici A) $10$ , denklemi $4 x + 2 = 46$ kurup işaret hatasından gelir; C doğru.

Sonuç:

12

Soru 3Orta

Bir asansörün taşıyabileceği toplam ağırlık en fazla

600

kg'dır. İçinde

90

kg'lık bir kasa varken, ortalama

75

kg olan kişilerden en fazla kaçı asansöre binebilir?

Kişi sayısı $x$ : $90 + 75 x \leq 600$ .
Sabiti at: $75 x \leq 510$ .
Böl: $x \leq 6, 8$ .
En fazla tam sayı $6$ . Çeldirici C) $7$ , $6, 8$ 'i yukarı yuvarlamaktan; B doğru.

Sonuç:

6

Soru 4Orta

3 x - 2 < 5 x + 8

eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayı kaçtır?

Bilinmeyenleri sola, sayıları sağa: $3 x - 5 x < 8 + 2 \Rightarrow - 2 x < 10$ .
Negatif katsayıya böl, yön değişir: $x > - 5$ .
$x > - 5$ 'i sağlayan en küçük tam sayı $- 4$ 'tür ( $- 5$ dahil değil). Çeldirici B) $- 5$ , ucu dahil sanmaktan; C doğru.

Sonuç:

- 4

Soru 5Orta

Bir öğrenci sınavdan kalan süresini hesaplıyor: çözdüğü soru sayısının

4

katının

6

eksiği, çözmediği soru sayısının

2

katına eşit. Sınavda toplam

30

soru olduğuna göre öğrenci kaç soru çözmüştür?

Çözülen $x$ , çözülmeyen $30 - x$ .
Denklem: $4 x - 6 = 2 (30 - x)$ .
Dağıt: $4 x - 6 = 60 - 2 x$ .
Topla: $6 x = 66 \Rightarrow x = 11$ .
Doğrulama: çözülen $11$ , çözülmeyen $19$ ; $4 \cdot 11 - 6 = 38$ ve $2 \cdot 19 = 38$ . Eşit.

Sonuç:

11

Soru 6Zor

- 3 \leq 2 x - 1 < 7

çift eşitsizliğini sağlayan tam sayıların toplamı kaçtır?

Üç tarafa $+ 1$ ekle: $- 2 \leq 2 x < 8$ .
Üç tarafı $2$ 'ye böl: $- 1 \leq x < 4$ .
Tam sayılar: $- 1, 0, 1, 2, 3$ (sağ uç $4$ dahil değil).
Toplam: $- 1 + 0 + 1 + 2 + 3 = 5$ . Çeldirici C) $6$ , sağ uç $4$ 'ü dahil sanmaktan; B doğru.

Sonuç:

5

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Yön kuralını unutmak (en kritik hata): Eşitsizliği negatif bir sayıyla çarpıp böldüğünde yönü çevirmemek. $- 2 x > 6$ sonucu $x > - 3$ değil, $x < - 3$ 'tür.
Aralıkta kapalı/açık ucu karıştırmak: $x \leq 5$ için sağ uç kapalıdır $(- \infty, 5]$ ; $x < 5$ için açıktır $(- \infty, 5)$ . Sonsuz uç daima açıktır.
Parantez açarken işaret hatası: $- (x - 3)$ ifadesi $- x + 3$ 'tür, $- x - 3$ değil. Önündeki eksi tüm terimlerin işaretini çevirir.
Terim taraf değiştirirken işaret koymamak: $3 x - 7 = 8$ 'de $- 7$ sağa geçerken $+ 7$ olur.

Sınav İpucu

Bir eşitsizlikte bilinmeyenin önündeki katsayı negatifse, son adımda böldüğünde yönü çevirmeyi asla unutma; ÖSYM'nin en sevdiği tuzaktır. Şüphe duyarsan bulduğun aralıktan bir sayı seç, orijinal eşitsizlikte yerine koy ve sağladığını gör. Çözüm kümesi sorulduğunda cevabı aralık biçiminde yazmaya, kapalı/açık uçları doğru seçmeye dikkat et.

1. Birinci Dereceden Denklem

2. Birinci Dereceden Eşitsizlik

3. Çözüm Kümesi ve Aralık Gösterimi

4. Kesirli Denklemler

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Çarpanlara Ayırma, Denklem ve Eşitsizlikler — diğer konular