TYT Matematik · Çarpanlara Ayırma, Denklem ve Eşitsizlikler

Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler

~9 dk okumaZorluk: Orta20 çözümlü soru

Çarpanlara ayırma, bir cebirsel ifadeyi çarpımlar biçiminde yazmaktır. TYT'de sadeleştirme, denklem çözme ve özdeşlik sorularının çoğu, ifadeyi önce çarpanlarına ayırmakla kısa yoldan çözülür. Bu konuda ortak çarpan, gruplandırma, temel özdeşlikler ve ikinci derece üç terimlilerin çarpanlara ayrılışını işliyoruz. Her çarpanlamayı geri çarpıp doğrula alışkanlığı kazan.

1. Ortak Çarpana Ayırma

Bir ifadenin her teriminde ortak olan çarpanı parantezin dışına alırız. Bu, dağılma özelliğinin ters yönde uygulanmasıdır:

$ab+ac=a(b+c)$

Ortak çarpan, terimlerin en büyük ortak böleni (katsayılarda) ile en küçük üslü ortak değişkenin çarpımıdır.

Örnek

Soru

$6x^2+9x$ ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Katsayıların ortak böleni $\mathrm{OBEB}(6,9)=3$ .
Ortak değişken $x$ (her iki terimde de var, en küçük üs $1$ ).
Ortak çarpan $3x$ 'i dışarı al: $6x^2+9x=3x(2x+3)$ .
Doğrula: $3x\cdot 2x+3x\cdot 3=6x^2+9x$ . Tamam.

Sonuç:

6x^2+9x=3x(2x+3)

2. Gruplandırma ile Çarpanlara Ayırma

Tek ortak çarpanı olmayan ama genellikle dört terimli ifadelerde terimleri ikişerli gruplarız, her gruptan ortak çarpanı alırız ve ortaya çıkan ortak paranteze göre tekrar ayırırız.

$ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b)$

Örnek

Soru

$x^3+x^2+x+1$ ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Terimleri $(x^3+x^2)$ ve $(x+1)$ olarak ikişerli grupla; ilk gruptan $x^2$ , ikinci gruptan $1$ ortak çarpan çıkar.

İkişerli grupla: $(x^3+x^2)+(x+1)$ .
Birinci gruptan $x^2$ çık: $x^3+x^2=x^2(x+1)$ .
İkinci grup zaten $(x+1)$ .
Ortak parantez $(x+1)$ 'e göre ayır: $x^2(x+1)+(x+1)=(x+1)(x^2+1)$ .
Doğrula: $(x+1)(x^2+1)=x^3+x+x^2+1=x^3+x^2+x+1$ . Tamam.

Sonuç:

x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1)

3. Temel Özdeşlikler

Aşağıdaki özdeşlikleri ezberle ve her iki yönde tanı: hem açılımı (soldan sağa) hem de çarpanlamayı (sağdan sola) hızlıca yapabilmelisin.

Özdeşlik	Açılım / Çarpanlama
Tam kare (toplam)	$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
Tam kare (fark)	$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
İki kare farkı	$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
Küp (toplam)	$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
Küp (fark)	$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
İki küp toplamı	$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
İki küp farkı	$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Dikkat: $a^2+b^2$ (iki kare toplamı) reel sayılarda çarpanlarına ayrılamaz. Sadece $a^2-b^2$ (iki kare farkı) ayrılır.

İki küp toplamı özdeşliğindeki orta terimde işaretin ters olduğuna dikkat: $a^3+b^3=(a+b)(a^2\,{-}\,ab+b^2)$ . Buradaki ikinci çarpan tam kare değildir ( $-2ab$ değil, $-ab$ ).

Örnek

Soru

$x^2-16$ ifadesini çarpanlarına ayırınız.

İki kare farkı biçiminde yaz: $x^2-16=x^2-4^2$ .
$a=x,\ b=4$ için $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ uygula: $(x-4)(x+4)$ .
Doğrula: $(x-4)(x+4)=x^2+4x-4x-16=x^2-16$ . Tamam.

Sonuç:

x^2-16=(x-4)(x+4)

Örnek

Soru

$x^2+6x+9$ ifadesini çarpanlarına ayırınız.

İlk ve son terim tam kare ( $x^2$ ve $3^2$ ). Orta terimin $2\cdot x\cdot 3=6x$ olup olmadığını kontrol et; uyuyorsa tam karedir.

$x^2=(x)^2$ ve $9=3^2$ ; tam kare adayı.
Orta terim kontrolü: $2\cdot x\cdot 3=6x$ . İfadedeki orta terimle aynı.
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ile $a=x,\ b=3$ : $x^2+6x+9=(x+3)^2$ .
Doğrula: $(x+3)^2=x^2+6x+9$ . Tamam.

Sonuç:

x^2+6x+9=(x+3)^2

Örnek

Soru

$x^3-8$ ifadesini çarpanlarına ayırınız.

İki küp farkı biçiminde yaz: $x^3-8=x^3-2^3$ .
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ ile $a=x,\ b=2$ : $(x-2)(x^2+2x+4)$ .
Doğrula: $(x-2)(x^2+2x+4)=x^3+2x^2+4x-2x^2-4x-8=x^3-8$ . Tamam.

Sonuç:

x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)

4. İkinci Derece Üç Terimli: $x^2+bx+c$

Baş katsayısı $1$ olan $x^2+bx+c$ ifadesini ayırmak için, çarpımı $c$ , toplamı $b$ olan iki sayı bulunur. Bu iki sayı $m$ ve $n$ ise:

$x^2+bx+c=(x+m)(x+n)\quad\text{burada}\quad m\cdot n=c,\ \ m+n=b$

İşaret stratejisi: $c>0$ ise iki sayı aynı işaretli ( $b$ 'nin işaretinde), $c<0$ ise zıt işaretlidir.

Örnek

Soru

$x^2-5x+6$ ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Çarpımı $+6$ , toplamı $-5$ olan iki sayı ara. $c>0$ ve $b<0$ olduğundan ikisi de negatif olmalı.

Çarpımı $c=6$ , toplamı $b=-5$ olan iki sayı gerekir.
$c>0$ , $b<0$ olduğundan iki sayı da negatif. Adaylar: $-2$ ve $-3$ .
Kontrol: $(-2)\cdot(-3)=6$ ve $(-2)+(-3)=-5$ . Uydu.
Çarpanlara ayır: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ .
Doğrula: $(x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6$ . Tamam.

Sonuç:

x^2-5x+6=(x-2)(x-3)

Örnek

Soru

$\dfrac{x^2-9}{x^2+x-12}$ ifadesini sadeleştiriniz $(x\neq 3,\ x\neq -4)$ .

Pay iki kare farkı; payda ise çarpımı $-12$ , toplamı $+1$ olan iki sayı ile ayrılan üç terimli. Ortak çarpanı sadeleştir.

Payı ayır: $x^2-9=(x-3)(x+3)$ .
Paydayı ayır: çarpımı $-12$ , toplamı $+1$ olan sayılar $+4$ ve $-3$ ; yani $x^2+x-12=(x-3)(x+4)$ .
Ortak çarpan $(x-3)$ 'ü sadeleştir: $\dfrac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+4)}=\dfrac{x+3}{x+4}$ .

Sonuç:

\dfrac{x+3}{x+4}

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$a=37$ için $a^2-1$ ifadesinin değeri kaçtır?

İfadeyi iki kare farkına ayır: $a^2-1=(a-1)(a+1)$ .
$a=37$ yerine koy: $(37-1)(37+1)=36\cdot 38$ .
Çarpımı hesapla: $36\cdot 38=1368$ .

Sonuç:

1368

Örnek

Soru

$\dfrac{2x^2-8}{x+2}$ ifadesi $x\neq -2$ için aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Payda önce ortak çarpan $2$ 'yi al: $2x^2-8=2(x^2-4)$ .
$x^2-4$ iki kare farkıdır: $x^2-4=(x-2)(x+2)$ .
Böylece pay $2(x-2)(x+2)$ olur.
Ortak çarpan $(x+2)$ 'yi sadeleştir: $\dfrac{2(x-2)(x+2)}{x+2}=2(x-2)=2x-4$ .

Sonuç:

2x-4

Örnek

Soru

$x^2-7x+12$ ifadesini çarpanlarına ayırdığımızda çarpanlardan birinin kökü (yani ifadeyi sıfır yapan değerlerden büyüğü) kaçtır?

Çarpımı $+12$ , toplamı $-7$ olan iki sayı ara. $c>0$ , $b<0$ olduğundan ikisi de negatif olmalı.

Çarpımı $12$ , toplamı $-7$ olan sayılar: $-3$ ve $-4$ .
Çarpanlara ayır: $x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$ .
İfadeyi sıfır yapan değerler $x=3$ ve $x=4$ .
Bunların büyüğü $4$ 'tür.

Sonuç:

4

Örnek

Soru

$x+y=7$ ve $x-y=3$ ise $x^2-y^2$ ifadesinin değeri kaçtır?

İki kare farkını çarpan biçiminde yaz: $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ .
Verilenleri yerine koy: $(x-y)(x+y)=3\cdot 7$ .
Çarpımı bul: $3\cdot 7=21$ .

Sonuç:

21

Örnek

Soru

$3x^2+5x-2$ ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Baş katsayı $1$ değil. Çapraz çarpanlama (AC yöntemi) kullan: $3\cdot(-2)=-6$ olacak şekilde çarpımı $-6$ , toplamı $+5$ olan iki sayı bul.

$a\cdot c=3\cdot(-2)=-6$ . Çarpımı $-6$ , toplamı $+5$ olan sayılar: $+6$ ve $-1$ .
Orta terimi böl: $3x^2+6x-x-2$ .
İkişerli grupla: $(3x^2+6x)+(-x-2)=3x(x+2)-1(x+2)$ .
Ortak parantez $(x+2)$ 'ye göre ayır: $(x+2)(3x-1)$ .
Doğrula: $(x+2)(3x-1)=3x^2-x+6x-2=3x^2+5x-2$ . Tamam.

Sonuç:

3x^2+5x-2=(x+2)(3x-1)

Örnek

Soru

$a-b=4$ ve $a^2-ab+b^2=13$ ise $a^3-b^3$ ifadesinin değeri kaçtır?

İki küp farkı özdeşliğini kullan: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ . Buradaki ikinci çarpanda $+ab$ olduğuna dikkat; verilende $-ab$ var.

İki küp farkı özdeşliği: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ .
Verilen $a^2-ab+b^2=13$ ile karıştırma; doğru çarpan $a^2+ab+b^2$ 'dir. Ama soru bilerek bunu test eder; verilenle özdeşliğin çarpanı farklı.
$a^2+ab+b^2=(a^2-ab+b^2)+2ab=13+2ab$ olduğundan $ab$ gerekir.
$a-b=4$ ise $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=16$ . Buradan $a^2-ab+b^2=13$ ile çıkarma yap: $(a^2-ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)=13-16$ , yani $ab=-3$ .
O hâlde $a^2+ab+b^2=13+2(-3)=7$ .
Sonuç: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)=4\cdot 7=28$ .

Sonuç:

28

Örnek

Soru

$\dfrac{x^3-1}{x^2-1}$ ifadesi $x\neq 1$ ve $x\neq -1$ için sadeleştirildiğinde sonuç nedir?

Payı iki küp farkı, paydayı iki kare farkı olarak ayır; ortak çarpanı sadeleştir.

Payı ayır: $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ .
Paydayı ayır: $x^2-1=(x-1)(x+1)$ .
Ortak çarpan $(x-1)$ 'i sadeleştir: $\dfrac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{x^2+x+1}{x+1}$ .

Sonuç:

\dfrac{x^2+x+1}{x+1}

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek

Soru

Bir kenarı $a$ metre olan kare biçimli bir bahçenin her kenarı $3$ metre kısaltıldığında alanı $a^{2}-6a+9$ metrekare ile ifade edilir. Bu yeni karenin bir kenarı kaç metredir?

A) $a-9$ · B) $a-6$ · C) $a-3$ · D) $a+3$ · E) $3a$

Alan bir karenin alanı olduğundan ifade tam kare olmalı: $a^{2}-6a+9$ .
İlk ve son terim tam kare: $a^{2}=(a)^{2}$ , $9=3^{2}$ . Orta terim kontrolü: $2\cdot a\cdot 3=6a$ ; uyuyor (işaret $-$ ).
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ ile $a^{2}-6a+9=(a-3)^{2}$ .
Karenin alanı (kenar) $^2$ olduğundan kenar $a-3$ metredir. Çeldirici A) $a-9$ , $9=3^2$ yerine kenarı $9$ sanmaktan; C doğru.

Sonuç: C)

a-3

Örnek

Soru

Bir manav, fiyatı $x$ lira olan bir ürünü önce $\%$ değil de sabit bir hesapla satıyor: $x$ liralık üründen $x^{2}-25$ liralık ciro, $x-5$ adet satıştan elde ediliyor. Buna göre bir adet ürünün ortalama satış tutarı kaç liradır? $(x\neq 5)$

A) $x-5$ · B) $x+5$ · C) $5x$ · D) $x^{2}-5$ · E) $x+25$

Ortalama tutar $=\dfrac{\text{ciro}}{\text{adet}}$ . Payı iki kare farkı olarak ayır.

Ortalama tutar $=\dfrac{x^{2}-25}{x-5}$ .
Pay iki kare farkı: $x^{2}-25=(x-5)(x+5)$ .
Sadeleştir: $\dfrac{(x-5)(x+5)}{x-5}=x+5$ ( $x\neq 5$ ).

Sonuç: B)

x+5

Örnek

Soru

Ardışık iki tam sayıdan büyüğü $a$ , küçüğü $b$ 'dir. Bu iki sayının kareleri farkı $a^{2}-b^{2}=37$ olduğuna göre, sayıların toplamı kaçtır?

A) $19$ · B) $37$ · C) $35$ · D) $38$ · E) $36$

Ardışık sayılarda $a-b=1$ . İki kare farkını $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ biçiminde yaz.

Ardışık ve $a>b$ olduğundan $a-b=1$ .
İki kare farkı: $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)=1\cdot(a+b)=a+b$ .
Verilen $a^{2}-b^{2}=37$ olduğundan $a+b=37$ . Çeldirici A) $19$ , sayıları $18$ ve $19$ sanıp birini yazmaktan; B doğru.

Sonuç: B)

37

Örnek

Soru

Bir öğrenci $\dfrac{x^{2}-x-6}{x^{2}-9}$ ifadesini sadeleştirip $x=5$ için değerini hesaplamak istiyor. $(x\neq 3,\ x\neq -3)$ Buna göre sonuç kaçtır?

A) $\dfrac{1}{2}$ · B) $\dfrac{3}{4}$ · C) $\dfrac{7}{8}$ · D) $\dfrac{2}{3}$ · E) $1$

Payı çarpımı $-6$ toplamı $-1$ olan iki sayıyla, paydayı iki kare farkıyla ayır; ortak çarpanı sadeleştir.

Pay: çarpımı $-6$ , toplamı $-1$ olan sayılar $-3$ ve $+2$ ; $x^{2}-x-6=(x-3)(x+2)$ .
Payda iki kare farkı: $x^{2}-9=(x-3)(x+3)$ .
Ortak çarpan $(x-3)$ sadeleşir: $\dfrac{(x-3)(x+2)}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{x+2}{x+3}$ .
$x=5$ için: $\dfrac{5+2}{5+3}=\dfrac{7}{8}$ .

Sonuç: C)

\dfrac{7}{8}

Örnek

Soru

$x+y=8$ ve $xy=12$ olduğuna göre $x^{2}+y^{2}$ ifadesinin değeri kaçtır?

A) $40$ · B) $52$ · C) $64$ · D) $76$ · E) $88$

$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ özdeşliğinden $x^2+y^2$ 'yi yalnız bırak.

Tam kare özdeşliği: $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$ .
$x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy$ biçiminde yaz.
Verilenleri koy: $(8)^{2}-2\cdot 12=64-24=40$ . Çeldirici C) $64$ , $-2xy$ terimini unutup yalnız $(x+y)^2$ yazmaktan; A doğru.

Sonuç: A)

40

Örnek

Soru

Bir dikdörtgenin alanı $x^{2}+7x+12$ santimetrekaredir ve bir kenarının uzunluğu $x+3$ santimetredir. Buna göre diğer kenarın uzunluğu kaç santimetredir?

A) $x+1$ · B) $x+2$ · C) $x+4$ · D) $x+6$ · E) $x+9$

Dikdörtgende alan $=$ kenar $\times$ kenar. Alanı çarpanlarına ayır; verilen kenarı sadeleştir.

Alanı ayır: çarpımı $12$ , toplamı $7$ olan sayılar $3$ ve $4$ ; $x^{2}+7x+12=(x+3)(x+4)$ .
Diğer kenar $=\dfrac{\text{alan}}{\text{kenar}}=\dfrac{(x+3)(x+4)}{x+3}=x+4$ .

Sonuç: C)

x+4

Sık Yapılan Hatalar

$a^2-b^2$ ile $a^2+b^2$ 'yi karıştırmak. Yalnızca iki kare farkı çarpanlarına ayrılır: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ . İki kare toplamı $a^2+b^2$ reel sayılarda ayrılamaz.
$(a+b)^2=a^2+b^2$ sanmak. Orta terim $2ab$ unutulur. Doğrusu $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ .
Üç terimliyi yanlış iki sayıyla bölmek. $x^2+bx+c$ için seçtiğin iki sayı hem çarpımı $c$ hem toplamı $b$ vermeli; sadece birini sağlamak yetmez.
İki küp özdeşliğinin orta terimini tam kare sanmak. $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ ; ikinci çarpanda $+2ab$ değil, $+ab$ vardır.

Sınav İpucu

Sadeleştirme, denklem ve özdeşlik sorularında refleksin önce çarpanlara ayırmak olsun; çoğu soru bir ortak çarpan sadeleşince kısalır.
İki kare farkını ( $a^2-b^2$ ) ve tam kareyi ilk bakışta tanı: ilk ve son terim tam kare mi, orta terim $2ab$ mi diye bak.
Üç terimlide önce ortak çarpan var mı kontrol et; varsa onu çıkarınca sayılar küçülür ve iki sayıyı bulmak kolaylaşır.
$c<0$ ise iki sayı zıt işaretli, $c>0$ ise aynı işaretlidir; bu, doğru sayıları hızlı bulmanı sağlar.

1. Ortak Çarpana Ayırma

2. Gruplandırma ile Çarpanlara Ayırma

3. Temel Özdeşlikler

4. İkinci Derece Üç Terimli: x^2+bx+c

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Çarpanlara Ayırma, Denklem ve Eşitsizlikler — diğer konular

4. İkinci Derece Üç Terimli: $x^2+bx+c$